七年级数学下册试题 第十四章《三角形》章节复习题-沪教版（含解析）

第十四章《三角形》章节复习题
一、单选题
1．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（　　）
A．90°n° B．90°n° C．45°+n° D．180°﹣n°
2．下图中能体现∠1一定大于∠2的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
4．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．若一个三角形的两个内角的度数分别为和，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6．如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．中，厘米，，厘米，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以v厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，v的值为　　
A． B．3 C．或3 D．1或5
8．如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠F C．AC∥DF D．AB∥DE
9．如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A． B． C． D．
10．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
11．下列说法正确的是（　　）
A．等腰三角形高、中线、角平分线互相重合
B．顶角相等的两个等腰三角形全等
C．底角相等的两个等腰三角形全等
D．等腰三角形的两个底角相等
12．如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC=∠ACB，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB
14．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE;(　　)
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
15．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．等腰三角形的角平分线和中线重合
C．含60°的两个直角三角形全等
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
16．如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．如果三角形的三条边长分别为，那么x的取值范围是______．
18．一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是___．
19．有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 ．
20．如图，在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点B落在点E处，如果，那么等于______度．
21．将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A'处，A'D、A'E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A'NM＝20°，则∠NEC＝_____度．
22．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为______度．
23．如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1=35°，那么∠2=___度．
24．如图，五边形ABCDE中，AB∥DE，BC⊥CD，∠1、∠2分别是与∠ABC、∠CDE相邻的外角，则∠1+∠2等于____度．
25．如图，已知△ABC≌△ABD，其中AC、BC的对应边分别是AD、BD，∠C＝60°，∠ABC＝80°，那么∠CAD＝___度．
26．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE=___cm．
27．在与中，，那么______．
28．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是__________________（只需填写一个）．
29．如图，在中，，如果的面积是12，那么的面积是______．
30．已知等腰三角形的一个外角是，那么这个等腰三角形的底角等于______度．
31．在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ___．
32．如果等腰三角形的周长为10，一边长为3，那么这个等腰三角形的另外两条边长为___________．
33．已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F（如图），如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为_____．
34．如图，在ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠B＝_________度．
35．如图，已知且点与点对应，点与点对应，点在上，，则的度数是______________________
36．如图，已知直线，等边三角形的顶点分别在直线上，如果边与直线的夹角，那么边与直线的夹角______度．
37．在中，如果，，那么的形状为______．
38．在Rt△ABC中，∠C＝90°，将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交边AB于点M，交BC于点N，如果BN＝2NC，那么∠ABC＝_____度．
三、解答题
39．已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH的形状并说明理由．
40．已知ABC，COD均为等边三角形，点O是ABC内的一点，且∠AOB＝110°．∠COB＝α．
（1）如图1，说明BOC≌ADC的理由；
（2）如图2，当α＝150°时，试判断AOD的形状，并说明理由；
（3）填空：当AOD为等腰三角形时，α的度数为 ．（请直接写出答案）
41．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
42．已知， 、均为等边三角形，点是内的点
（1）如图①，说明的理由；
（2）如图②，当点在线段上时，求的度数；
（3）当为等腰直角三角形时，________度（直接写出客案）.
43．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．
44．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD是∠BAC的平分线．
45．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是 　 　，请说明理由．
46．如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD=BE；
（2）试说明ADBE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
47．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
48．如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以 ( )
因为点是边的中点，
所以
在和中，
（ ）
∠ADB=∠EDC（ ）
（ ）
所以( )
所以( )
49．如图，已知，，说明的理由．
50．如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？
51．已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形．
52．如图，中，，垂足为点D，，垂足为点E，，和交于点F，联结，试说明．
53．如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知）
∴∠EBC＝∠FCB（ ）
∵∠EBC＋∠EBA＝180°，∠FCB＋∠FCD＝180°（平角的意义）
∴∠EBA＝∠FCD（ ）
∵AC＝BD（已知）
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 　 　（完成以下说理过程）
54．如图，已知在等腰中，点D，点E和点F分别是，和边上的点，且，，试说明．
55．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，说明AFC是等腰三角形的理由．
56．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
57．如图，已知在ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE．请说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ．（等边对等角）
因为 ．
所以∠AED＝∠ADE．
在△ABE与ACD中，
，
所以ABE≌ACD（ ）．
所以 （全等三角形对应边相等）．
所以BD＝CE（等式性质）．
58．如图，在中，，，垂足为点D．
（1）试说明点D为的中点；
（2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//；
（3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】
根据BD、CE分别是△ABC的角平分线和三角形的外角，得到，再利用三角形的内角和，得到，代入数据即可求解．
【详解】
解：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴．
故答案选：A．
2．C
【分析】
由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由三角形的外角的性质可判断C，由直角三角形中同角的余角相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：A、∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2．故此选项不符合题意；
B、如图，
若两线平行，则∠3＝∠2，则
若两线不平行，则大小关系不确定，所以∠1不一定大于∠2．故此选项不符合题意；
C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此选项符合题意；
D、根据同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】
根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】
设∠A=α°，则∠B=2α°，∠C=3α°，利用三角形内角和定理可得出关于α的一元一次方程，解之即可得出α的值，进而可得出∠C=90°，再利用直角三角形的性质即可得出△ABC为直角三角形．
【详解】
解：设∠A=α°，则∠B=2α°，∠C=3α°，
依题意得：α+2α+3α=180，
解得：α=30，
∴∠C=3α°=3×30°=90°．
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
5．B
【分析】
根据三角形内角和求出第三个内角，根据三角形的分类确定即可
【详解】
三角形的两个内角的度数分别为和
第三个内角为：
这个三角形是锐角三角形
故选B
6．A
【分析】
根据全等三角形的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵两个三角形全等，
∴∠2=∠1=180°-58°-72°=50°，
故选：A．
7．C
【分析】
此题要分两种情况：①当BD=PC时，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD=CQ时，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【详解】
①当BD=PC时，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6厘米，
∵BD=PC，
∴BP=9-6=3（厘米），
∴CQ =BP=3厘米，
∴点Q运动了3÷3=1秒
∴点P在线段BC上的运动速度是3÷1=3（厘米秒），
②当BD=CQ时，
∴BD=CQ=6厘米，
点Q运动了6÷3=2秒.
∵△BDP≌△CQP，
∴BP=CP=厘米，
∴点P在线段BC上的运动速度是÷2=2.25（厘米秒），
故选C.
8．D
【分析】
根据全等三角形的判定定理依次判断．
【详解】
解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，
∴当∠A＝∠D时，无法判定△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
当∠ACB＝∠F时，无法判定△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
当时，∠ACB＝∠F，无法判定△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
当时，∠B＝∠DEF时，可根据SAS判定△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】
添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．
【详解】
解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】
运用全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．
故选C．
11．D
【分析】
根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对选项一一分析判定即可．
【详解】
解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，该选项说法错误，不符合题意；
B、顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为边不相等，该选项说法错误，不符合题意；
C、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为没有边对应相等，该选项说法错误，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
12．D
【分析】
根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．
【详解】
解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，
∴∠ECF＝90°，CE＝CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
故选：D．
13．B
【分析】
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定△ABE≌△ACD，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠BAE=∠CAD，
∴补充条件AD=AE时，△ABE≌△ACD（SAS），故选项A不符合题意；
补充条件BE=CD，无法判断△ABE≌△ACD，故选项B符合题意；
补充条件OB=OC时，则∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，则△ABE≌△ACD（ASA），故选项C不符合题意；
补充条件∠BDC=∠CEB时，则∠AEB=∠ADC，则△ABE≌△ACD（AAS），故选项D不符合题意；
故选：B．
14．C
【分析】
由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，DE∥BC，易证得△BDF和△CEF都是等腰三角形，继而可得DE=BD+CE，又由△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；即可得△ADE的周长等于AB与AC的和．
【详解】
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
∴BD与CE不一定相等，故④错误．
故选C．
15．D
【分析】
根据三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定方法以及等边三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
解：A、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项说法不正确；
B、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合，故本选项说法不正确；
C、含有60°的两个直角三角形的对应边不一定相等，则这两个直角三角形不一定全等，故本选项说法不正确；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项说法正确．
故选D．
16．B
【分析】
利用等边三角形的性质和“SAS”证明可得A选项；可利用“ASA”证明可得C、D选项，利用排除法求解即可．
【详解】
解：∵、都是等边三角形，
∴，=60°，，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∴（SAS），
∴BD=AE，（故A正确）；
∴∠AEC=∠BDC，又，，
∴（ASA），
∴EG=FD，（故C正确），
FC=GC，（故D正确）
由于B项不能由已知条件得到，故B错误，
故选：B．
二、填空题
17．
【分析】
根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可求解
【详解】
解：根据题意得：，
即．
故答案为：．
18．9
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a为整数，
∴a的最大值为9．
故答案为：9．
19．或
【分析】
根据题意和等腰三角形的性质分类讨论即可；
【详解】
如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，，，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
如图，，
则，不可能；
故符合条件的顶角的度数为或．
故答案是：或．
20．
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°求出∠B=∠ACB=70°，由折叠可得∠BDC=∠EDC，由DE∥AC可得∠EDC=∠BCD，在等腰三角形BDC中求出∠BCD的度数，根据角度关系可求∠ACD的度数．
【详解】
解：如图，
，
由折叠可知，
//，
，
，
，
．
故答案为：
21．140
【分析】
根据对顶角相等，可得∠CNE＝20°，再由DE∥BC，可得∠DEN＝∠CNE＝20°，然后根据折叠的性质可得∠AED＝∠DEN＝20°，即可求解．
【详解】
解：∵∠A′NM＝20°，∠CNE＝∠A′NM，
∴∠CNE＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠DEN＝∠CNE＝20°，
由翻折性质得：∠AED＝∠DEN＝20°，
∴∠AEN＝40°，
∴∠NEC＝180°﹣∠AEN＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140
22．27
【分析】
如图，∠3＝∠1，由∠3＝∠2+∠A计算求解即可．
【详解】
解：如图
∵a∥b，∠1＝56°
∴∠3＝∠1＝56°
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°
故答案为：27．
23．65
【分析】
根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3=∠2．
【详解】
解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°，
∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2=∠3=65°，
故答案为：65．
24．90．
【分析】
连接BD，根据三角形内角和定理求出∠CBD+∠CDB，根据平行线的性质求出∠ABD+∠EDB，即可求出答案．
【详解】
连接BD，
∵BC⊥CD，
∴∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣90°＝90°，
∵AB//DE，
∴∠ABD+∠EDB＝180°，
∴∠1+∠2＝(180°﹣∠ABC)+(180°﹣∠EDC)
＝360°﹣(∠ABC+∠EDC)
＝360°﹣(∠ABD+∠CBD+∠EDB+∠CDB)
＝360°﹣(90°+180°)
＝90°，
故答案为：90．
25．80
【分析】
根据三角形的内角和定理得到∠CAB=180°-∠C-∠ABC=40°，根据全等三角形的性质得到∠DAB=∠CAB=40°，于是得到结论．
【详解】
解：∵∠C=60°，∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-60°-80°=40°，
∵△ABC≌△ABD，
∴∠DAB=∠CAB=40°，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=80°，
故答案为：80．
26．2
【分析】
∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，可得∠CAD=∠BCE，再利用AAS证得△CDA≌△BEC，从而得到CD=BE，CE=AD，再由DE=CE-CD，得DE=AD-BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CDA与△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE，
∵AD=3cm，BE=1cm，
∴DE=3-1=2（cm），
故答案为：2．
27．
【分析】
先画好图形，再利用证明再利用全等三角形的性质可得答案.
【详解】
解：如图：
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
28．AB＝DE或∠ACB＝∠DCE（只需填写一个）．
【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．
【详解】
解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；
故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．
29．
【分析】
由得到是的中线，进而得到，再由E是的中点得到．
【详解】
解：，
是的中线，
，
是等腰三角形，，
点E是的中点，
．
故答案为：3．
30．
【分析】
分等腰三角形的顶角的外角为和等腰三角形的底角的外角为两种情况，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．
【详解】
解：当等腰三角形的顶角的外角为，则顶角等于，
所以底角等于；
当等腰三角形的底角的外角为，则底角等于，
，
不满足三角形的内角和定理，不成立；
综上，这个等腰三角形的底角等于20度，
故答案为：20．
31．64°或28°
【分析】
分三种情况：①AB=AC时；②BA=BC时；③CA=CB时；分别由等腰三角形的性质和“黄金三角形”的定义求出∠BAC的度数，即可求解．
【详解】
解：当△ABC为“黄金三角形”时，分三种情况：
①AB=AC时，∠ACB=∠ABC=2∠BAC，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=×180°=36°，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-36°=64°；
②BA=BC时，∠BAC=∠BCA=2∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=×180°=72°，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°；
③CA=CB时，∠BAC=∠ABC=2∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=×180°=72°，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°；
综上所述，∠OAC的度数等于64°或28°，
故答案为：64°或28°．
32．3，4或3.5，3.5．
【分析】
题目给出等腰三角形一条边长为3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：（1）当3是腰长时，底边为10-3×2=4，
此时4、3、3三边能够组成三角形，
所以另两边长为3，4；
（2）当3为底边长时，腰长为×（10-3）=3.5，
此时3.5、3.5、3能够组成三角形，
所以另两边长为3.5，3.5．
所以另两边的长分别是3，4或3.5，3.5．
故答案为3，4或3.5，3.5．
33．36°或
【分析】
如图，由题意知，设∠B＝x，∠1＝∠2＝∠B＝x，∠5＝180°﹣2x，∠3＝∠A+∠5＝360°﹣4x；△CDF为等腰三角形分三种情况讨论：①当CD＝DF时，∠2＝∠3＝x，进行求解即可；②当CD＝DF时，∠4＝∠3，由∠2+∠3+∠4＝180°，进行求解即可；③当CF＝DF时，∠2＝∠4＝x，由∠2+∠3+∠4＝180°，进行求解即可．
【详解】
解：如图，设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝x
∴∠A＝180°﹣2x
∵△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处
∴CB＝CD，∠2＝∠B＝x
∴∠1＝∠B＝x
∴∠5＝180°﹣2x，∠3＝∠A+∠5＝360°﹣4x
当CD＝CF时，△CDF为等腰三角形，即∠2＝∠3＝x，则x＝360°﹣4x，解得x＝72°，此时∠A＝180°﹣2x＝36°；
当CD＝DF时，△CDF为等腰三角形，即∠4＝∠3，而∠2+∠3+∠4＝180°，则x+2（360°﹣4x）＝180°，解得x＝，此时∠A＝180°﹣2x＝；
当CF＝DF时，△CDF为等腰三角形，即∠2＝∠4＝x，而∠2+∠3+∠4＝180°，则x+x+360°﹣2x＝180°，无解，故舍去．
综上所述，△CDF为等腰三角形时∠A的度数为36°或．
故答案为36°或．
34．36
【分析】
由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，令∠B=∠C=x，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质分别用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根据三角形的内角和定理求解．
【详解】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
令∠B=∠C=x，
由折叠的性质可得∠D=∠B=x，
∵AE=ED，
∴∠EAD=∠D=x，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=90° ，
∵∠AEF+∠AEB=180°，∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠AEB+∠EFD=90°+，
∵∠AEB=∠AED，
∴∠AED=90°+，
∴∠FED=x，
在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D=180°，
即x+（90°+）+x=180°，
解得x=36°，
∴∠B=36°．
故答案为：36．
35．
【分析】
由，可得AB=AD，∠ABC=∠ADE，利用等边对等角∠ABD=∠ADB，可求∠ABD=，∠ADE=70°，由∠DAE=∠BAE-∠BAD=74°，利用三角形内角和∠E=180°-∠DAE-∠ADE=36°即可．
【详解】
解：∵，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADE，
∴∠ABD=∠ADB，
∵，
∴∠ABD=，
∴∠ADE=∠ABC=∠ABD=70°，
又∵∠DAE=∠BAE-∠BAD=114°-40°=74°，
∵∠E=180°-∠DAE-∠ADE=180°-74°-70°=36°．
故答案为：36．
36．
【分析】
根据平行线的性质与等边三角形的性质可得，继而可得，即可求得
【详解】
解：是等边三角形，
，
直线，
，
，
，
，
故答案为：34．
37．等边三角形
【分析】
根据三个角相等的三角形是等边三角形证明即可．
【详解】
在中，由得，
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
38．30
【分析】
根据折叠的性质得到∠1＝∠B，NA＝NB，求出∠ANC＝60°，再利用三角形的外角定理得∠2＝2∠B，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图，
∵将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，
∴∠1＝∠B，NA＝NB，
∵BN＝2NC，
∴AN＝2NC，
∵∠C＝90°，
∴∠CAN＝30°，
∴∠ANC＝60°，
∵∠2＝2∠B，
∴∠B＝30°，
故答案为：30．
三、解答题
39．
解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD．
又BC=AC、CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH．
又BC=AC，
∴△BCF≌△ACH．
∴CF=CH．
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
40．
解：（1）∵与为等边三角形，
∴，，，
∴，
即：，
在与中，
，
∴ ；
（2）由（1）得： ，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形；
（3）为等腰三角形，需要对其进行分类讨论，
①当时，即：，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，即：，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
③当时，即：，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：或或．
41．
（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BFC=90°，即EC⊥BD．
42．
解：（1）∵和都是等边三角形（已知）
∴，，（等边三角形的性质）．
∴（等式性质），即，
在和中，
，
∴
∴（全等三角形对应边相等）
（2）∵是等边三角形（已知）．
∴（等边三角形的性质）．
∴（邻补角的意义）
∴（等式性质）
∴同理（1）得
∴（全等三角形对应角相等）
∴（等式性质）
（3）当为等腰直角三角形时，有三种情况：
I.当∠EDB=90°，DE=DB时，如图③-1：
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=60°+90°=150°，
又∵AD=DE，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABD=；
II.当∠BED=90°，BE=DB时，如图③-2：
在△ABE和△ADB中：
，
∴△ABE≌△ADB（SSS）
∴∠ABE=∠ABD，
∴ ；
III.当∠EDB=90°，DE=DB时，如图③-3：
同I可得：∠ABE=15°，
∵∠EBD=，
∴∠ABD=.
综上所述：∠ABD=或或.
故答案为或或.
43．
证明：（1）如图1，∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵ADBC，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）答：如图2，EG垂直平分DF．
理由是：∵∠ADF＝∠F，∠ADF＝∠GDF，
∴∠F＝∠GDF，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥FD；
44．
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB．
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△ABD与△ACD中
∵，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
45．
（1）证明：如图所示，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°．
在和中，
（2）BE与AD之间的数量关系是理由如下：
∵AD平分∠BAC，
在和中，
∴AD=BF.
46．
（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB，
∴BC=CA，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC=90°，∠BDP=∠ADC，
∴∠CBE+∠BDP=90°，
∴∠APB=90°，
∴AD⊥BE；
（3）AD与BE的位置关系不发生改变．
如图2，
∵，
∴，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∵△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵∠BFP=∠AFC，
∴∠BPF=∠ACF=90°，
∴AD⊥BE．
47．
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①当∠ACB＝3∠ABC时，∵∠ABO＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴∠CAB＝10°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴4∠CAB＝150°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
48．
解：因为（已知），
所以∠E（两直线平行，内错角相等）
因为点是边的中点，
所以BD=CD．
在和中，
（对顶角相等）
所以（AAS）
所以（全等三角形的对应边相等）
49．
解：∵AD=BC，AE=BE，
∴CE=DE，
在△ACE和△BDE中，
，
∴△ACE≌△BDE（SAS），
∴AC=BD．
50．
解：∵∠FDC=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．
又∵∠FDE=∠B，
∴∠DFB=∠EDC，
在△DFB和△EDC中，
∴△DFB≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠C．
51．
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
52．
∵，（已知），
∴，，（垂直的意义），
∴（等量代换）.
∵，
∴（等量代换）.
∵（对顶角相等），
∴
在与中，
∴（ASA），
∴（全等三角形的对应边相等），
∴.
∵，
∴．
53．
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
54．
解：∵（已知），
∴（等边对等角）．
∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（已知），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等式性质）．
在与中，
，
∴（ASA），
∴（全等三角形的对应边相等）．
55．
在与中，
∵，
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，即．
∴，
∴是等腰三角形．
56．
（1）AD＝CB，
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，
理由
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（AAS），
∴FB＝DB．
57．
解：因为AB＝AC，
所以∠B=∠C．（等边对等角）
因为AE=AD．
所以∠AED＝∠ADE．
在△ABE与ACD中，
，
所以ABE≌ACD（AAS）．
所以 BE=CD（全等三角形对应边相等）．
所以BD＝CE（等式性质）．
58．
（1）解：∵，
∴△ABC是等腰三角形
∵（已知），
∴点D为的中点.
（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）
（2）解：
∵，（已知），
∴是等边三角形
（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形），
∴（等边三角形的三内角等于60°）.
∵（已知），
∴
（等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合），
∴（等式性质）.
∵，（旋转的意义），
∴是等边三角形
（有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形），
∴（等边三角形的三边相等），
（等边三角形的三内角等于60°）.
∴（等式性质），
即，
∴（等量代换）.
在与中，
∴（SAS）.
∴（全等三角形的对应边相等），
∴（等量代换），
∴（等式性质），
即，
∴（等式性质），
∴（同旁内角互补，两直线平行）.
（3）解：∵（已知），
∴（等边对等角），
∵（已知），
（三角形的内角和等于180°），
∴（等式性质），
∴（等式性质）.
∵（已知），
∴（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合），
（等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合）.
当的度数为n，n有三种可能情况：，，.
（i）当时：
延长、交于点G.
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同旁内角互补），
∴（等式性质），
∴（等量代换）.
在与中，
∴（ASA），
∴（全等三角形的对应边相等），
（全等三角形的对应角相等）.
∵（旋转的意义），
∴（等量代换），
∴（等边对等角），
∴（等量代换）.
∵
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴（等式性质），
∴（等式性质）.
∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴直线与直线的夹角的度数是.
（ii）当时：
延长交于点G.
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）.
在与中，
∴（ASA），
∴（全等三角形的对应边相等），
（全等三角形的对应角相等）.
∵（旋转的意义），
∴（等量代换），
∴（等边对等角），
∴（等量代换）.
∵
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴（等式性质），
∴（等式性质）.
∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴直线与直线的夹角的度数是.
（iii）当时：
∵（已知），
∴，（等式性质），
∴（等量代换），
∴（等边对等角），
∵（旋转的意义），
∴（等量代换），
∴，
∴∠ADF=180°
∴不符合题意，舍去.
综合上述，直线与直线的夹角的度数是或.