备考2024年高考数学提升专题特训：等式与不等式
一、解答题
1．（2023高一上·重庆市月考）
（1）已知，，求，的取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
【答案】（1）解：∵，，
∴，.
∴.
又，
∴
（2）解：，
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质进行计算即可；
（2）根据作差法比较大小可得：要比较 与的大小 ，然后判定的正负即可求解.
2．（2023高一上·沙坪坝月考）
（1）已知实数x，y满足，，求的取值范围；
（2）已知实数，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是
（2）解：，则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查不等式的性质，基本不等式的应用.
（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
3．（2023高一上·奉贤期中）
（1）设，用反正法证明：若，则或
（2）设，比较与的值的大小
【答案】（1）证：假设且
则，与已知条件矛盾
所以假设不成立，即或
（2）当时，
当时，
当时，
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】(1)利用反证法证明步骤，先假设结论不成立，然后根据假设推出矛盾即可.
(2)根据作差法比较大小即可.
4．（2024高一上·中山期末）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部偶函数”，
（1）已知函数，试判断是否为“局部偶函数”，并说明理由；
（2）若为定义在区间上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：，令，得，解得，
存在满足，故是“局部偶函数”；
（2）解：由，得
令，得，则在上有解
，即，故的取值范围为
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据局部偶函数得定义，解方程得出，从而得出是“局部偶函数”；
（2）由得出，令，得出在上有解，求出的范围，进而得出实数的取值范围.
5．（2024高三上·重庆月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，，求的面积；
（2）求的最小值，并求出此时的大小.
【答案】（1）解：在中，角，，的对边分别为，，，
因为，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
由正弦定理得出，，又因为，，，
所以，所以，
所以三角形的面积为。
（2）解：由（1）知sinA=-cosB，所以
所以，
所以
当且仅当时，即时取等号，
因为，所以，当时，取最小值为5.
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角B的值，再结合三角形内角和为180°的性质，进而得出角C的值，再利用正弦定理得出b的值，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积.
（2）利用已知条件结合三角形内角和为180°的性质和角之间的关系式，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而由均值不等式求最值的方法得出的最小值，并求出此时角的大小.
6．（2023高二上·齐齐哈尔月考）已知直线.
（1）若不经过第三象限，求的取值范围；
（2）求坐标原点到直线距离的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）解：直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故的取值范围是
（2）解：设原点到直线l的距离为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】本题考查直线截距式方程的应用，点到直线的距离公式.
（1）将直线方程转化为斜截式可得：，根据直线l不经过第三象限，可列出方程组，解方程组可求出实数的取值范围；
（2）利用点线距离公式可列出式子，利用基本不等式可求得，利用基本不等式取等号的条件可求出的值，进而求出直线方程和最小值.
7．（2024高一上·芦溪期末）对于函数和，记函数的定义域为，函数的定义域为，若，则称函数是函数的好函数，否则，称函数不是函数的好函数.现已知函数的定义域为.
（1）若函数，判断函数是不是函数的好函数；
（2）若函数，且函数是函数的好函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题设知：，解得，
∴函数的定义域为，又，
∴函数是函数的好函数；
（2）解：记函数的定义域为，则且，
由得：，即，
由函数的定义知：为非空数集，故，即.
当，显然满足；
当，又，则，解得，故
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数的定义域及其求法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合函数的定义域关系分析求解；
(2) 记函数的定义域为，由题意可知，分和两种情况，结合二次不等式运算求解.
8．（2023高一上·盐田月考）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：若对一切恒成立，
当时，则有，满足题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）解：对于不等式，.
当时，即当时，不等式的解集为；
当时，即当或时，
方程的根为，此时，
不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）分和讨论，当时，转换为二次项系数与判别式满足的不等式即可求解；
（2）分和讨论，结合一元二次不等式和一元二次方程之间的关系求解即可.
9．（2024高一上·吉林期末）已知函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围
（3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：原不等式可化为，因为该不等式解集为，
可知的两根为和3，
则，即，
故解得
（2）解：若对任意的恒成立，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，所以，
又因为，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是
（3）解：当时，，因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，显然不成立，
综上所述，实数的取值范围是或
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)由 等式的解集为，得到 -1，3为的两根，
利用韦达定理即可求解.
（2）将对任意的恒成立，转化为，利用基本不等式即可
得实数的取值范围.
(3) 将当时，若对任意的，总存在，使成立， 转化为的值域是的值域的子集，分类讨论、、时所满足条件，解不等式组即可求解.
10．（2020高一下·广东期中）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素 ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐
【答案】解：法（一）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为 个单位和 个单位，所花的费用为 元，则依题意得： ，且 满足
即
在可行域的四个顶点
处的值分别是
比较之， 最小，因此，应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
法（二）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为 个单位和 个单位，所花的费用为 元，则依题意得： ，且 满足
即
让目标函数表示的直线 在可行域上平移，由此可知 在 处取得最小值．
因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
【知识点】简单线性规划
【解析】【分析】 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．
11．（2020高二上·榆树期末）某企业生产甲、乙两种产品均需用 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：
（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 吨，试写出关于 的线性约束条件并画出可行域；
（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.
【答案】（1）解：由题意可列 ，其表示如图阴影部分区域：
（2）解：设该企业每天可获得的利润为 万元，则 .
当直线 过点 时， 取得最大值，
所以 .
即该企业每天可获得的最大利润18万元.
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】（1）由已知表格中的数据列出不等式组，即可画出可行域；
（2）先由已知得到利润 ，再利用（1）中图象，得到直线 过点 时， 取得最大值，即可求出该企业每天可获得的最大利润.
12．（2020高二上·榆树期末）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件) 产品B(件)
研制成本与塔载 费用之和(万元/件) 20 30 计划最大资 金额300万元
产品重量(千克/件) 10 5 最大搭载 重量110千克
预计收益(万元/件) 80 60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【答案】解：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z= 80x+60y.
作出可行域，如图.
作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值， ，
解得 ，即M(9，4)．
所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．
答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】先设搭载产品Ax件，产品By件，由已知列出不等式组，再利用线性规划问题作出可行域，结合图象得到当直线经过M点时z能取得最大值，即可求出搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，且最大收益为960万元.
13．（2024高一上·中山期末）已知函数的定义域为R，值域为，且对任意m，，都有，.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）当时，，且，证明为R上的增函数，并解不等式
【答案】（1）解：令，得，
又函数的值域为.
，
为奇函数
（2）证明：任取.
.
.
当时，.
又函数的值域为，
，即为上的增函数.
由，即，化简得.
.
又为上的增函数，，故的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据已知条件，令，即可求得；根据的性质，证明即可.
（2）先利用函数单调性得定义证明函数的单调性，再由单调性解不等式即可.
14．（2024高三上·绵阳高考模拟） 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，使得能成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：依题意得，
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集为或．
（2）解：依题意，
又，故，
令，，
结合的图象知，，故，
【知识点】函数恒成立问题；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分，，三类讨论，分别去绝对值即可求解.
（2）利用绝对值几何意义，将问题转化为使成立，结合的图象求出最大值，即可得m的取值范围．
15．（2023高三上·晥豫月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：（，）.
【答案】（1）解：由已知的定义域为，
，
①当，即时，对任意，都有，此时在区间上单调递增；
②当，即时，令，
则的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
当时，单调递增，当时，单调递减，
的最大值为，
i）当时，对任意，都有，
∴，在区间上单调递减；
ii）当时，，
∴令，解得，，
且，
∴当时，，
∴，在区间和上单调递减；
当时，，
∴，在区间上单调递增.
综上所述，当时， 在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减；
当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递减，
∴对任意的，有，
即当时，恒成立，
∴，
，
，
，
……
，（，），
上式相加，有
∴，
∴，
∴，
∴，（，），原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先对求导，然后根据的范围，对的单调性进行讨论；
（2）令，由（1）中的单调性得出时，，构造出不等式后，累加求和即可证明.
16．（2022高三上·临夏期中）已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为；
（2）解：方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：
由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围.
【知识点】不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据分段函数的表达式，分段解不等式，即可求出相应的解集；
（2） 方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象 ，即可求出实数m的取值范围.
17．（2022高一上·洛阳期中）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．
（1）求，的值；
（2）判断函数的单调性并加以证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）解：令，得，即．
令，，得，即．
（2）解：函数是减函数，证明如下：
，，当时，，则，
，即，
所以函数是减函数．
（3）解：，所以，即，
因为函数是减函数，不等式可化为，
所以，解得，不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用；不等式的综合
【解析】【分析】（1） 令，求得，再令，，结合，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）把不等式转化为 即， 结合函数 是减函数，得到不等式，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
18．（2024高一上·酒泉期末）已知函数（，且）的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由图象可知函数经过点和，
所以解得
所以函数的解析式是
（2）解：由（1）知，
根据题意知，即在上有解，
设，则，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，故，
所以，实数的取值范围是.
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）由图可知，函数过点和，代入即可求，从而得函数的解析式；
（2）由（1）得，问题转化为在有解，令，根据函数的单调性求的最小值，即可得实数m的取值范围.
19．（2023高一上·龙泉驿月考） 秋冬季是流感的高发季节， 为了预防流感， 东竞高中决定对教室采用药熏消毒法进行消毒， 药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与药熏时间 (小时) 成正比： 当药熏过程结束， 药物即释放完毕， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 达到最大值.此后， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 的函数关系式为 ( 为常数， ). 已知从药熏开始， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 关于时间 (小时) 的变化曲线如图所示.
（1）从药熏开始， 求每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 之间的函数关系式；
（2）据测定， 当空气中每立方米的药物含量不高于 毫克时， 学生方可进入教室， 那么从药薰开始， 至少需要经过多少小时后， 学生才能回到教室.
【答案】（1）解：依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，所以；
（2）解：令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求参数的值，即可求函数的关系式；
（2）根据指数函数的单调性解不等式即可.
20．（2023高一上·武汉月考） 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为 （其中a，b是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s.
（1）求的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位
【答案】（1）解：由题意可得，，
化简得①，
，化简得②，
联立①②，解得，
所以；
（2）解：由（1）得， ，根据题意可得，
即，得，
解得.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要345个单位.
【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出的值，代入即可求值；
（2）由（1）得 ，根据题意可得，解不等式即可得解.
21．（2020高一下·嘉兴期中）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 有且仅有2个整数解，求正实数a的取值范围．
【答案】（1）解：
当 时，
由 ，可得不等式
即：
即：
可得：
当 时，不等式的解集为 ，
故：不等式 的解集为： ；
（2）解：
又
可得
等式可化为 ，
① ，即 时，原不等式的解集为 ，不满足题意；
②当 ，即 时， ，
此时 ，
要保证关于 的不等式 有且仅有2个整数解
；
③当 ，即 时， ，
要保证关于 的不等式 有且仅有2个整数解
只需 ，解得 ；
综上所述， 或 ．
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的实际应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）因为 ，当 时， ，由 ，可得不等式 ，即可求得答案；（2）对a分类讨论解不等式分析找到a满足的不等式，解不等式即得解.
22．（2020·梅河口模拟）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，如果方程 有两个不等实根 ，求实数t的取值范围，并证明 .
【答案】（1）解： 的定义域为R，且 .
由 ，得 ；由 ，得 .
故当 时，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是
（2）解：由（1）知当 时， ，且 .
当 时， ；当 时， .
当 时，直线 与 的图像有两个交点，
实数t的取值范围是 .
方程 有两个不等实根 ，
， ， ， ，
，即 .
要证 ，只需证 ，
即证 ，不妨设 .
令 ，则 ，
则要证 ，即证 .
令 ，则 .
令 ，则 ，
在 上单调递增， .
， 在 上单调递增，
，即 成立，
即 成立. .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）求出 ，对 分类讨论，分别求出 的解，即可得出结论；（2）由（1）得出 有两解时 的范围，以及 关系，将 ，等价转化为证明 ，不妨设 ，令 ，则 ，即证 ，构造函数 ，只要证明对于任意 恒成立即可.
23．（2019高三上·安义月考）如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 点在 上， 点在 上，且对角线 过 点.已知AB=3米，AD=2米.
（1）要使矩形 的面积大于32平方米，请问 的长应在什么范围；
（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小，并求出最小面积.
【答案】（1）解： （ ），则由 ，得 ，
∴ ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ，解得 ，或 ，
所以 的长度的取值范围为
（2）解：因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以当 的长度是 时，矩形 的面积最小，最小值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）设 ，则 ，表示出矩形的面积，利用矩形 的面积大于 平方米，即可求得 的取值范围；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论．
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：等式与不等式
一、解答题
1．（2023高一上·重庆市月考）
（1）已知，，求，的取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
2．（2023高一上·沙坪坝月考）
（1）已知实数x，y满足，，求的取值范围；
（2）已知实数，求的最小值.
3．（2023高一上·奉贤期中）
（1）设，用反正法证明：若，则或
（2）设，比较与的值的大小
4．（2024高一上·中山期末）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部偶函数”，
（1）已知函数，试判断是否为“局部偶函数”，并说明理由；
（2）若为定义在区间上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围.
5．（2024高三上·重庆月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，，求的面积；
（2）求的最小值，并求出此时的大小.
6．（2023高二上·齐齐哈尔月考）已知直线.
（1）若不经过第三象限，求的取值范围；
（2）求坐标原点到直线距离的最小值，并求此时直线的方程.
7．（2024高一上·芦溪期末）对于函数和，记函数的定义域为，函数的定义域为，若，则称函数是函数的好函数，否则，称函数不是函数的好函数.现已知函数的定义域为.
（1）若函数，判断函数是不是函数的好函数；
（2）若函数，且函数是函数的好函数，求实数的取值范围.
8．（2023高一上·盐田月考）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
9．（2024高一上·吉林期末）已知函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围
（3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
10．（2020高一下·广东期中）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素 ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐
11．（2020高二上·榆树期末）某企业生产甲、乙两种产品均需用 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：
（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 吨，试写出关于 的线性约束条件并画出可行域；
（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.
12．（2020高二上·榆树期末）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件) 产品B(件)
研制成本与塔载 费用之和(万元/件) 20 30 计划最大资 金额300万元
产品重量(千克/件) 10 5 最大搭载 重量110千克
预计收益(万元/件) 80 60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
13．（2024高一上·中山期末）已知函数的定义域为R，值域为，且对任意m，，都有，.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）当时，，且，证明为R上的增函数，并解不等式
14．（2024高三上·绵阳高考模拟） 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，使得能成立，求实数m的取值范围．
15．（2023高三上·晥豫月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：（，）.
16．（2022高三上·临夏期中）已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
17．（2022高一上·洛阳期中）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．
（1）求，的值；
（2）判断函数的单调性并加以证明；
（3）解不等式．
18．（2024高一上·酒泉期末）已知函数（，且）的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
19．（2023高一上·龙泉驿月考） 秋冬季是流感的高发季节， 为了预防流感， 东竞高中决定对教室采用药熏消毒法进行消毒， 药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与药熏时间 (小时) 成正比： 当药熏过程结束， 药物即释放完毕， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 达到最大值.此后， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 的函数关系式为 ( 为常数， ). 已知从药熏开始， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 关于时间 (小时) 的变化曲线如图所示.
（1）从药熏开始， 求每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 之间的函数关系式；
（2）据测定， 当空气中每立方米的药物含量不高于 毫克时， 学生方可进入教室， 那么从药薰开始， 至少需要经过多少小时后， 学生才能回到教室.
20．（2023高一上·武汉月考） 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为 （其中a，b是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s.
（1）求的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位
21．（2020高一下·嘉兴期中）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 有且仅有2个整数解，求正实数a的取值范围．
22．（2020·梅河口模拟）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，如果方程 有两个不等实根 ，求实数t的取值范围，并证明 .
23．（2019高三上·安义月考）如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 点在 上， 点在 上，且对角线 过 点.已知AB=3米，AD=2米.
（1）要使矩形 的面积大于32平方米，请问 的长应在什么范围；
（2）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小，并求出最小面积.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵，，
∴，.
∴.
又，
∴
（2）解：，
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质进行计算即可；
（2）根据作差法比较大小可得：要比较 与的大小 ，然后判定的正负即可求解.
2．【答案】（1）解：因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是
（2）解：，则，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查不等式的性质，基本不等式的应用.
（1）由不等式的性质求解；
（2）由基本不等式求最小值．
3．【答案】（1）证：假设且
则，与已知条件矛盾
所以假设不成立，即或
（2）当时，
当时，
当时，
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】(1)利用反证法证明步骤，先假设结论不成立，然后根据假设推出矛盾即可.
(2)根据作差法比较大小即可.
4．【答案】（1）解：，令，得，解得，
存在满足，故是“局部偶函数”；
（2）解：由，得
令，得，则在上有解
，即，故的取值范围为
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据局部偶函数得定义，解方程得出，从而得出是“局部偶函数”；
（2）由得出，令，得出在上有解，求出的范围，进而得出实数的取值范围.
5．【答案】（1）解：在中，角，，的对边分别为，，，
因为，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
由正弦定理得出，，又因为，，，
所以，所以，
所以三角形的面积为。
（2）解：由（1）知sinA=-cosB，所以
所以，
所以
当且仅当时，即时取等号，
因为，所以，当时，取最小值为5.
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角B的值，再结合三角形内角和为180°的性质，进而得出角C的值，再利用正弦定理得出b的值，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积.
（2）利用已知条件结合三角形内角和为180°的性质和角之间的关系式，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而由均值不等式求最值的方法得出的最小值，并求出此时角的大小.
6．【答案】（1）解：直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故的取值范围是
（2）解：设原点到直线l的距离为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】本题考查直线截距式方程的应用，点到直线的距离公式.
（1）将直线方程转化为斜截式可得：，根据直线l不经过第三象限，可列出方程组，解方程组可求出实数的取值范围；
（2）利用点线距离公式可列出式子，利用基本不等式可求得，利用基本不等式取等号的条件可求出的值，进而求出直线方程和最小值.
7．【答案】（1）解：由题设知：，解得，
∴函数的定义域为，又，
∴函数是函数的好函数；
（2）解：记函数的定义域为，则且，
由得：，即，
由函数的定义知：为非空数集，故，即.
当，显然满足；
当，又，则，解得，故
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数的定义域及其求法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合函数的定义域关系分析求解；
(2) 记函数的定义域为，由题意可知，分和两种情况，结合二次不等式运算求解.
8．【答案】（1）解：若对一切恒成立，
当时，则有，满足题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）解：对于不等式，.
当时，即当时，不等式的解集为；
当时，即当或时，
方程的根为，此时，
不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）分和讨论，当时，转换为二次项系数与判别式满足的不等式即可求解；
（2）分和讨论，结合一元二次不等式和一元二次方程之间的关系求解即可.
9．【答案】（1）解：原不等式可化为，因为该不等式解集为，
可知的两根为和3，
则，即，
故解得
（2）解：若对任意的恒成立，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，所以，
又因为，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是
（3）解：当时，，因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，显然不成立，
综上所述，实数的取值范围是或
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)由 等式的解集为，得到 -1，3为的两根，
利用韦达定理即可求解.
（2）将对任意的恒成立，转化为，利用基本不等式即可
得实数的取值范围.
(3) 将当时，若对任意的，总存在，使成立， 转化为的值域是的值域的子集，分类讨论、、时所满足条件，解不等式组即可求解.
10．【答案】解：法（一）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为 个单位和 个单位，所花的费用为 元，则依题意得： ，且 满足
即
在可行域的四个顶点
处的值分别是
比较之， 最小，因此，应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
法（二）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为 个单位和 个单位，所花的费用为 元，则依题意得： ，且 满足
即
让目标函数表示的直线 在可行域上平移，由此可知 在 处取得最小值．
因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
【知识点】简单线性规划
【解析】【分析】 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．
11．【答案】（1）解：由题意可列 ，其表示如图阴影部分区域：
（2）解：设该企业每天可获得的利润为 万元，则 .
当直线 过点 时， 取得最大值，
所以 .
即该企业每天可获得的最大利润18万元.
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】（1）由已知表格中的数据列出不等式组，即可画出可行域；
（2）先由已知得到利润 ，再利用（1）中图象，得到直线 过点 时， 取得最大值，即可求出该企业每天可获得的最大利润.
12．【答案】解：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z= 80x+60y.
作出可行域，如图.
作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值， ，
解得 ，即M(9，4)．
所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．
答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】先设搭载产品Ax件，产品By件，由已知列出不等式组，再利用线性规划问题作出可行域，结合图象得到当直线经过M点时z能取得最大值，即可求出搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，且最大收益为960万元.
13．【答案】（1）解：令，得，
又函数的值域为.
，
为奇函数
（2）证明：任取.
.
.
当时，.
又函数的值域为，
，即为上的增函数.
由，即，化简得.
.
又为上的增函数，，故的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据已知条件，令，即可求得；根据的性质，证明即可.
（2）先利用函数单调性得定义证明函数的单调性，再由单调性解不等式即可.
14．【答案】（1）解：依题意得，
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集为或．
（2）解：依题意，
又，故，
令，，
结合的图象知，，故，
【知识点】函数恒成立问题；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分，，三类讨论，分别去绝对值即可求解.
（2）利用绝对值几何意义，将问题转化为使成立，结合的图象求出最大值，即可得m的取值范围．
15．【答案】（1）解：由已知的定义域为，
，
①当，即时，对任意，都有，此时在区间上单调递增；
②当，即时，令，
则的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
当时，单调递增，当时，单调递减，
的最大值为，
i）当时，对任意，都有，
∴，在区间上单调递减；
ii）当时，，
∴令，解得，，
且，
∴当时，，
∴，在区间和上单调递减；
当时，，
∴，在区间上单调递增.
综上所述，当时， 在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减；
当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递减，
∴对任意的，有，
即当时，恒成立，
∴，
，
，
，
……
，（，），
上式相加，有
∴，
∴，
∴，
∴，（，），原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先对求导，然后根据的范围，对的单调性进行讨论；
（2）令，由（1）中的单调性得出时，，构造出不等式后，累加求和即可证明.
16．【答案】（1）解：当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为；
（2）解：方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：
由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围.
【知识点】不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据分段函数的表达式，分段解不等式，即可求出相应的解集；
（2） 方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象 ，即可求出实数m的取值范围.
17．【答案】（1）解：令，得，即．
令，，得，即．
（2）解：函数是减函数，证明如下：
，，当时，，则，
，即，
所以函数是减函数．
（3）解：，所以，即，
因为函数是减函数，不等式可化为，
所以，解得，不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用；不等式的综合
【解析】【分析】（1） 令，求得，再令，，结合，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）把不等式转化为 即， 结合函数 是减函数，得到不等式，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
18．【答案】（1）解：由图象可知函数经过点和，
所以解得
所以函数的解析式是
（2）解：由（1）知，
根据题意知，即在上有解，
设，则，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，故，
所以，实数的取值范围是.
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）由图可知，函数过点和，代入即可求，从而得函数的解析式；
（2）由（1）得，问题转化为在有解，令，根据函数的单调性求的最小值，即可得实数m的取值范围.
19．【答案】（1）解：依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，所以；
（2）解：令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求参数的值，即可求函数的关系式；
（2）根据指数函数的单调性解不等式即可.
20．【答案】（1）解：由题意可得，，
化简得①，
，化简得②，
联立①②，解得，
所以；
（2）解：由（1）得， ，根据题意可得，
即，得，
解得.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要345个单位.
【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出的值，代入即可求值；
（2）由（1）得 ，根据题意可得，解不等式即可得解.
21．【答案】（1）解：
当 时，
由 ，可得不等式
即：
即：
可得：
当 时，不等式的解集为 ，
故：不等式 的解集为： ；
（2）解：
又
可得
等式可化为 ，
① ，即 时，原不等式的解集为 ，不满足题意；
②当 ，即 时， ，
此时 ，
要保证关于 的不等式 有且仅有2个整数解
；
③当 ，即 时， ，
要保证关于 的不等式 有且仅有2个整数解
只需 ，解得 ；
综上所述， 或 ．
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的实际应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）因为 ，当 时， ，由 ，可得不等式 ，即可求得答案；（2）对a分类讨论解不等式分析找到a满足的不等式，解不等式即得解.
22．【答案】（1）解： 的定义域为R，且 .
由 ，得 ；由 ，得 .
故当 时，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是
（2）解：由（1）知当 时， ，且 .
当 时， ；当 时， .
当 时，直线 与 的图像有两个交点，
实数t的取值范围是 .
方程 有两个不等实根 ，
， ， ， ，
，即 .
要证 ，只需证 ，
即证 ，不妨设 .
令 ，则 ，
则要证 ，即证 .
令 ，则 .
令 ，则 ，
在 上单调递增， .
， 在 上单调递增，
，即 成立，
即 成立. .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）求出 ，对 分类讨论，分别求出 的解，即可得出结论；（2）由（1）得出 有两解时 的范围，以及 关系，将 ，等价转化为证明 ，不妨设 ，令 ，则 ，即证 ，构造函数 ，只要证明对于任意 恒成立即可.
23．【答案】（1）解： （ ），则由 ，得 ，
∴ ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ，解得 ，或 ，
所以 的长度的取值范围为
（2）解：因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以当 的长度是 时，矩形 的面积最小，最小值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）设 ，则 ，表示出矩形的面积，利用矩形 的面积大于 平方米，即可求得 的取值范围；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论．
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