备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：幂函数、指数函数、对数函数
一、解答题
1．（2023高一上·安吉月考） 已知函数，，
（1）若，记函数在上最大值为，最小值为，求；
（2）若存在实数，，且，使得在上的值域为，求实数的取值范围．
2．（2022高一上·辽宁月考）已知幂函数 ()为偶函数，且在是单调增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求解集.
3．（2022高一上·湖北期中）设幂函数在单调递增，
（1）求的解析式；
（2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式.
4．（2020高一上·福州期中）已知幂函数 满足 .
（1）求函数的解析式；
（2）若函数 ， ，且 的最小值为0，求实数 的值.
（3）若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为 ？若存在，求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由.
5．（2024·乌江期末）已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（2023高一上·重庆市月考）已知定义在上的函数．
（1）已知当时，函数在上的最大值为8，求实数的值；
（2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．
7．（2023高二上·杭州月考）已知为过点的指数函数，为定义域为R的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
8．（2023高二上·常熟开学考）已知函数过定点，且点在函数的图象上，．
（1）求函数的解析式；
（2）若定义在区间上的函数有零点，求整数的值；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围．
9．（2023高一上·普宁期中）已知函数.
（1）写出函数的定义域并判断其奇偶性；
（2）若，求实数的取值范围.
（3）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
10．（2023高一上·佛山月考）已知函数与，其中是偶函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求实数的值；
（3）若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
11．（2023高一上·潮阳期中） 已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求的取值范围；
（3）若对，恒成立，求实数的取值范围．
12．（2023高一上·广州月考）已知函数，且
（1）当时，求的值；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
13．（2023高一下·定远期末）已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）设函数的定义域为，若存在区间，满足：对任意，都存在使得，则称区间为的“区间”已知，若为函数的“区间”，求的最大值．
14．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：
第一档 第二档 第三档
每户每月用电量 (单位：度) [0，200] (200，400] (400，＋∞)
电价(单位：元/度) 0.61 0.66 0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别 月用电量 频数统计 频数 频率
① [0，100]
② (100，200]
③ (200，300]
④ (300，400]
⑤ (400，500]
⑥ (500，600]
合计
（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；
（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
（3）设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
15．（2023高一下·达州期末）设平面向量、的夹角为，．已知，，．
（1）求的解析式；
（2）若﹐证明：不等式在上恒成立．
16．（2023高一下·深圳月考）已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
17．（2023高二下·宁波期中）已知函数
（1）求函数的最小正周期 单调递增区间及最值；
（2）若为锐角的内角且，求面积的最大值．
18．（2023高一上·杭州月考）若函数满足：对任意，则称为“函数”．
（1）判断是不是函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是函数，且当时，．求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和．
19．（2023高一上·哈尔滨月考）已知函数过原点且．
（1）求k值并证明为偶函数；
（2）若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围．
20．（2019高一上·中山月考）某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益 与广告费 满足 ，在网络媒体上投放广告的收益 与广告费 满足 ，设在报刊上投放的广告费为 (单位：万元)，总收益为 (单位：万元).
（1）当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大
21．（2019高一上·大庆月考）定义：若函数 在某一区间 上任取两个实数 ，都有 ，则称函数 在区间 上具有性质 .
（1）试判断下列函数中哪些函数具有性质 （给出结论即可）
① ；② ；③ ；④ .
（2）从（1）中选择一个具有性质 的函数，用所给定义证明你的结论.
（3）若函数 在区间 上具有性质 ，求实数 的取值范围.
22．（2019高二下·玉林月考）已知函数 ，且 .
（1）求不等式 的解集；
（2）求 在 上的最值。
答案解析部分
1．【答案】（1）解：方法一
因为，
所以为奇函数
故当，时，
方法二
因为在上单调递增
所以，
所以
（2）解：因为在上单调递增，
所以
所以方程在上有2个不同的实数根
方法一
由知
令，则
因为在上单调递增，在上单调递增
又当时，，当时，
所以，即
方法二
令，则方程在上有两个不相等的实数根
则
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)首先确定f(x)为奇函数，再结合奇函数的性质即可求解；
（2）由可得，设，可得 ，再根据单调性即可求解.
2．【答案】（1）解：因为幂函数在在是单调增函数， 所以，解得： ，
因为，所以，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，此时为奇函数，不符合题意；
所以当时， ，；
（2）解：，
等价于，
即，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为
当时，解集为，
当时，解集为.
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合幂函数的奇偶性合单调性，进而得出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合一元二次不等式求解方法和根与系数的关系，进而得出不等式 解集。
3．【答案】（1）解：∵是幂函数且在单调递增，
∴，解得，∴.
（2）解：即，解得，
∴的定义域为.
则，当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
所以，.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，进而得出实数m的值，从而得出幂函数的解析式。
（2） 利用得出，再利用一元二次不等式求解方法得出函数的定义域，再利用已知条件得出，再利用分类讨论的方法结合函数求最值的方法得出函数 的解析式。
4．【答案】（1）解：∵ 为幂函数，
∴ ，∴ 或 .
当 时， 在 上单调递减，故 不符合题意.
当 时， 在 上单调递增，
故 ，符合题意.
∴ .
（2）解： ，
令 .
∵ ，
∴ ，
∴ ， .
①当 时，即 时，则当 时， 有最小值，
∴ ， .
②当 时，即 时，则当 时， 有最小值.
∴ ， （舍）.
③当 时，即 时，则当 时， 有最小值，
∴ ， （舍）.
综上所述 .
（3）解： ，易知 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
两式相减 ，
又 ，
∴ ，
故有 .
因为 且 ， ，
所以 ，解得 ，
令 ，∴ ，
∴ ， ，
所以 ，
故实数 的取值范围 .
【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义结合分类讨论的方法，再利用已知条件 结合函数的单调性，从而求出满足要求的p的值，进而求出函数的解析式。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再利用换元法，令 ，∵ ，
∴ ，∴ ， ，再利用分类讨论的方法结合二次函数图象求最值的方法，从而求出满足要求的m的值。
（3）利用函数f(x)的解析式求出函数h(x)的解析式，再利用减函数的定义判断出函数h(x)为减函数，从而结合函数h(x)的单调性求出函数的最值，得出 ， 再利用两式相减得出，故有 ，因为 且 ， ，所以 ，解得 ，令 ，∴ ， ∴ ， ， 再利用二次函数图象求函数值域的方法 ， 从而求出实数n的取值范围。
5．【答案】（1）解：函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，即，
当时，，即函数是奇函数，
所以
（2）解：由（1）知，，而函数在上单调递增，因此在上单调递减，
不等式化为，
由是奇函数，得，因此不等式化为，
于是，即，
依题设，对任意的，不等式恒成立，
显然当时，取得最小值1，从而，
所以实数的取值范围是.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数性质和代入法以及函数的解析式，进而由检验法和奇函数的定义得出实数m的值.
（2）由（1）知函数的解析式，再结合函数的单调性和奇函数的性质，进而得出，再利用二次函数的图象求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数k的取值范围.
6．【答案】（1）解：令，则：
设
由题意，.
因为，二次函数图像开口向上，所以
即：或解得：
经检验：符合题意
（2）解：根据局部对称函数的定义可知，，
即，
，
，
令，
则，
因为，当且仅当，时等号成立，
函数在区间上单调递增，所以，
所以，所以的取值范围是．
【知识点】函数的值域；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【分析】（1）令，则：，运用换元法将原函数变为二次函数：，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据局部对称函数的定义可知，，进而得到：，再次运用换元法：令，得到：，然后运用基本不等式即可求出m的最小值，进而求出m的取值范围.
7．【答案】（1）解：设(a>0，且a≠1)，则a2=4，
所以a=2，
所以，，
又因为f(x)为奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
所以，整理得
m(2x+1)=2x+1，
所以m=1，
所以；
（2）解：，
所以易知f(x)在R上单调递减，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
所以f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)，
因为f(x)为定义域为R的奇函数
所以f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)，
所以有任意的t∈[0，5]，t2+2t+k<2t2-2t+5恒成立，
即k而(t-2)2+1在[0，5]上的最小值为1，
所以k<1.
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】 （1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由g（2）=9可确定y=g（x）的解析式，再根据为奇函数，求出m的值即可求解；
（2）首先确定函数f（x）在R上为减函数，对任意的，不等式恒成立等价于，分离参数k，利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围．
8．【答案】（1）解：函数过定点，
的图像过点，，解得，
函数的解析式为；
（2）解：由可知，，
函数定义在区间上，
在区间上恒成立，可得．
可知，令，得，
设，，
则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，
开口向上，对称轴，
，解得，，
，的值为．
（3）解：由题只需，
，
又且，且，
的最大值可能是或，
，
可知，
，
设，在上单调递增，
又，，即，，
的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；有理数指数幂的运算性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)根据指数的运算性质，代入点 进行计算求解；
(2)根据函数零点的定义和对数运算得 在 上有解，再利用二次函数的性质进行计算求解；
(3)将问题转化为，然后根据指数运算性质求解 ，进而分析求解的取值范围．
9．【答案】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上偶函数
（2）解：由函数，
可得，
又由，可得，
解得，
即实数的取值范围为
（3）解：若存在使得不等式成立，即，
由，其中，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，所以，即，
所以实数的最大值为
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法和交集的运算法则，进而得出函数f(x)的定义域，再结合偶函数的定义判断出函数为定义域上为偶函数。
（2）利用已知条件结合对数的运算法则和对数型函数的定义域以及对数函数的单调性，进而得出实数m的取值范围。
（3）存在使得不等式成立，即，再利用对数的运算法则和复合函数的单调性，进而得出复合函数f(x)的最大值，从而得出实数m的取值范围，进而得出实数的最大值。
10．【答案】解：（Ⅰ）由有意义得，即，当时，，即，当时，；即．综上，当时，的定义域为，当时，的定义域为．（Ⅱ）的定义域为R，是偶函数，恒成立，即恒成立，；即，，即．（Ⅲ）令得，，即，令，则，与的图象只有一个交点，只有一解，关于的方程只有一正数解，（1）若，则，不符合题意；（2）若，且，即或．当时，方程的解为，不符合题意；当时，方程的解为，符合题意；（3）若方程有一正根，一负根，则，∴．综上，的取值范围是．
（1）解：由有意义得，即，当时，，即，
当时，；即．
综上，当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
（2）解：的定义域为R，
是偶函数，恒成立，
即恒成立，
；即，
，即．
（3）解：令得，
，即，
令，则，
与的图象只有一个交点，只有一解，
关于的方程只有一正数解，（1）若，则，不符合题意；（2）若，且，即或．
当时，方程的解为，不符合题意；
当时，方程的解为，符合题意；（3）若方程有一正根，一负根，则，∴．
综上，的取值范围是．
【知识点】函数的奇偶性；指数式与对数式的互化；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，指数式与对数式的互化公式，函数与方程的综合应用.
（1）根据对数的真数大于0可得，即，分两种情况进行讨论：当时，当时，再将指数式转化为对数式可求出定义域；
（2）已知是偶函数，根据偶函数的性质可列出方程，解方程可求出实数的值；
（3）由对数的运算性质可将原问题转化为：方程有且只有一个实根，采用换元法令，可得方程有且只有一个实根，结合一元二次方程根的分布分两种情况进行讨论：当时，当时，列出方程可求出实数a的值.
11．【答案】（1）解：因为（，且）的图象过点，
所以，解得，所以．
又因为函数的图象与的图象关于对称，所以；
（2）解：因为，即，
则解得，
所以的取值范围为；
（3）解：对于，，
对，恒成立，所以．
即实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】(1)根据g (x)的图象过点 (，2)， 求得a的值，可得g (x) 的解析式，再根据图象的对称性， 求得f (x) 的解析式.
(2) 由f (3x-1) >f (-x+5) ， 可得， 由此求得x的取值范围.
（3）考察恒成立问题，求出即可.
12．【答案】（1）解：当时，；
（2）解：当时，函
故函数的定义域为.
设
又在上单调递增.
要使方程在上有解
则符合题意，故实数的取值范围；
（3）解：
由题意得
所以函数在上单调递增
①若，则在上单调递减
在上最大值为
在上恒成立
，解得或.
②若，则在上单调递增
在上最大值为
在上恒成立
，解得
此时不存在实数满足题意，综上，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）将 时 ，代入求出结论；
（2）将 代入 得出表达式，进而计算出定义域范围，再根据分别得出；根据计算列式，再根据单调性得出结论；
（3）先计算得出，根据题意得出a的范围，可得在定义域内单调递增，分别求解和范围内的最大值，从而得出在成立.
13．【答案】（1）函数的图象如图所示，
当时，的最大值为，
当时，的最大值为
（2）当时，在上的值域
为，在上的值域为，
因为满足：对任意，都存在使得，
所以，成立
此时为函数的"区间"，
当时，在上的值域为，在上的值域为，
当时，，所以，，
即存在，对任意，使得，
所以不为函数的"区间"，
所以的最大值是．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)作出函数 的图象，分，a> 2，利用数形结合法求解；
(2)根据对任意，都存在使得，分，分别求得f(x)在上和[a， 2]上的值域，利用集合法求解.
14．【答案】（1）解：频率分布表如下：
组别 月用电量 频数统计 频数 频率
① [0，100] 4 0.04
② (100，200] 12 0.12
③ (200，300] 24 0.24
④ (300，400] 30 0.30
⑤ (400，500] 26 0.26
⑥ (500，600] 4 0.04
合计 100 1
频率分布直方图如图：
（2）解：该100户用户11月的平均用电量
＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．
（3）解：y1＝0.65x，
y2＝ .
由y2≤y1得 或
或 ，
解得x≤ ≈423.1.
因为x∈N，故x的最大值为423.
根据频率分布直方图，x≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002 6＝0.759 8>0.75，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；分段函数的应用
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合频率等于频数除以样本容量的公式，从而完成频率分布表，再利用频率分布表中的数据结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而绘制出频率分布直方图。
（2） 利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的公式，从而估计出全市住户11月的平均用电量。
（3）利用已知条件结合函数建模的方法，从而建立分段函数的模型，进而结合x∈N，从而得出x的最大值，再结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积和求和法，进而得出 x≤423时的频率，从而估计出“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠。
15．【答案】（1）解：因为，，，
所以，，，
所以，
则
，
所以，
因为，当时，当时，
所以
（2）解：当时，
又，
所以，
令，
因为，所以，所以，
则，
所以，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即
令，
因为，所以，所以，
则，则，
令，，
显然在上单调递增，所以，即，
显然，所以，
即不等式在上恒成立.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数最值的应用
【解析】【分析】 (1) 根据向量数量积的坐标表示求，再根据 和同角三角函数的基本关系得到 的解析式；
(2) 先求出 的解析式，令，求出的最小值和 的最大值，即可得证.
16．【答案】（1）解： 是定义在上的奇函数，且时，，
，解得，
时，，
当时，，则，
即在上的解析式为．
∴函数的解析式为
（2）解：时，，
在有解，
整理得，
令，显然与在上单调递减，
在上单调递减，
则，
∴实数m的取值范围是．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)由奇函数的性质f(0)=0，f(x)=- f( -x)，即可求出函数f(x)的解析式；
(2) 分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m的取值范围.
17．【答案】（1）解：
故函数的最小正周期．
由
得．
函数的单调递增区间为．
当，时，
即当，时，取最大值，最大值为，
当，时，
即当，时，取最小值，最小值为，
（2）解：由得，
所以，
又，所以，
解得．
由余弦定理，又，
可得．
而，得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时，取得最大值．
【知识点】函数的单调性及单调区间；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数最值的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出函数f(x)的单调递增区间，再利用函数的单调性求出函数f(x)的最值。
（2） 由结合函数的解析式和代入法得出，再利用锐角三角形中角的取值范围和不等式的基本性质，进而得出角A的值，再利用余弦定理和a的值得出，再结合均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再利用三角形的面积公式得出三角形 面积的最大值 。
18．【答案】（1）解：是函数，证明如下：
因为，又，，所以，故是函数，
是函数，证明如下：
因为，
，所以，故是函数.
（2）解：因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，，
当，即时，，
又时，，所以，
综上，在上的解析式为；
（3）解：由（2）知，当时，，所以，得到，
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为，
当时，有16个解，由对称知，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
综上，方程所有解的和.
【知识点】函数与方程的综合运用；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，正切函数的图象和性质，函数与方程的综合应用.
（1）根据题设，直接检验是否成立，进而判断出结果；
（2）根据条件得出函数的周期为，再结合可推出函数关于直线对称，再结合题目条件，利用周期性和对称性可推出函数在上的解析式；
（3）由（2）可得出，先作出一个周期的函数图象，再利用周期性，进行平移可作出的图像，结合函数图象进行讨论可求出答案.
19．【答案】（1）解：解由题意可知
（2）解：
∴令∴方程仅有一个正根
当时，与题意不符；当时，方程恒有一个正根一个负根符合题意；
当时，
若方程有两个不等正根与题意不符，若或
当时，两根均为负；当时两根均为满足题意
综上或
【知识点】函数的奇偶性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的应用，函数与方程的综合应用.
（1）因为函数经过原点，故，可先求出k的值，进而写出函数 的解析式， 先求出，利用偶函数定义可证明结论；
（2）采用换元法令，把问题转化为方程仅有一个正根，对a进行分类讨论：当时，当时，当时，分别讨论一元二次方程根的分布可求出实数a的取值范围.
20．【答案】（1）解：当 时，此时在网络媒体上的投资为12万元，
所以总收益 (万元).
（2）解：由题知，在报刊上投放的广告费为 万元，则在网络媒体上投放广告费为 万元，
依题意得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 = .
当 ，即 万元时， 的最大值为17万元．
所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．
【知识点】函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题意收益分为两部分，报刊广告收益和网络媒体广告收益，代入具体数值即可求解；（2）列出总收益对应的表达式 ，再利用换元法结合二次函数即可求得收益最大值
21．【答案】（1）解：②④具有性质
（2）解：如果选择 证明如下：
任取两个实数
② 具有性质
如果选择④同理可证
（3）解：由于 在区间 上具有性质
任取 ，
，所以a的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的应用
【解析】【分析】（1）由已知函数 在区间 上具有性质 的概念，分别判断各函数即可得结论；
（2）先选择 ，再利用函数单调性的定义，即可证明 具有性质 ；
（3）由已知 在区间 上具有性质 ，利用函数单调性的定义，得到 ，即可求出实数 的取值范围.
22．【答案】（1）解：由题意，得 ，解得 ，
因为 ，即 ，即 ，解得 ，
即不等式的解集为
（2）解：由（1）知，函数 ，
所以二次函数的开口向下，对称轴的方程为 ，
在 上，函数 单调递增，在 上，函数 单调递减，
又由 ，
所以函数的最大值为 ，最小值为 ，
所以函数的值域为
【知识点】函数的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的表达式，代入求出m，即可求出不等式的解集；
（2）根据二次函数的单调性，求出函数的值域即可.
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：幂函数、指数函数、对数函数
一、解答题
1．（2023高一上·安吉月考） 已知函数，，
（1）若，记函数在上最大值为，最小值为，求；
（2）若存在实数，，且，使得在上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：方法一
因为，
所以为奇函数
故当，时，
方法二
因为在上单调递增
所以，
所以
（2）解：因为在上单调递增，
所以
所以方程在上有2个不同的实数根
方法一
由知
令，则
因为在上单调递增，在上单调递增
又当时，，当时，
所以，即
方法二
令，则方程在上有两个不相等的实数根
则
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)首先确定f(x)为奇函数，再结合奇函数的性质即可求解；
（2）由可得，设，可得 ，再根据单调性即可求解.
2．（2022高一上·辽宁月考）已知幂函数 ()为偶函数，且在是单调增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求解集.
【答案】（1）解：因为幂函数在在是单调增函数， 所以，解得： ，
因为，所以，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，此时为奇函数，不符合题意；
所以当时， ，；
（2）解：，
等价于，
即，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为
当时，解集为，
当时，解集为.
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合幂函数的奇偶性合单调性，进而得出幂函数的解析式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合一元二次不等式求解方法和根与系数的关系，进而得出不等式 解集。
3．（2022高一上·湖北期中）设幂函数在单调递增，
（1）求的解析式；
（2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式.
【答案】（1）解：∵是幂函数且在单调递增，
∴，解得，∴.
（2）解：即，解得，
∴的定义域为.
则，当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
所以，.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，进而得出实数m的值，从而得出幂函数的解析式。
（2） 利用得出，再利用一元二次不等式求解方法得出函数的定义域，再利用已知条件得出，再利用分类讨论的方法结合函数求最值的方法得出函数 的解析式。
4．（2020高一上·福州期中）已知幂函数 满足 .
（1）求函数的解析式；
（2）若函数 ， ，且 的最小值为0，求实数 的值.
（3）若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为 ？若存在，求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 为幂函数，
∴ ，∴ 或 .
当 时， 在 上单调递减，故 不符合题意.
当 时， 在 上单调递增，
故 ，符合题意.
∴ .
（2）解： ，
令 .
∵ ，
∴ ，
∴ ， .
①当 时，即 时，则当 时， 有最小值，
∴ ， .
②当 时，即 时，则当 时， 有最小值.
∴ ， （舍）.
③当 时，即 时，则当 时， 有最小值，
∴ ， （舍）.
综上所述 .
（3）解： ，易知 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
两式相减 ，
又 ，
∴ ，
故有 .
因为 且 ， ，
所以 ，解得 ，
令 ，∴ ，
∴ ， ，
所以 ，
故实数 的取值范围 .
【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义结合分类讨论的方法，再利用已知条件 结合函数的单调性，从而求出满足要求的p的值，进而求出函数的解析式。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再利用换元法，令 ，∵ ，
∴ ，∴ ， ，再利用分类讨论的方法结合二次函数图象求最值的方法，从而求出满足要求的m的值。
（3）利用函数f(x)的解析式求出函数h(x)的解析式，再利用减函数的定义判断出函数h(x)为减函数，从而结合函数h(x)的单调性求出函数的最值，得出 ， 再利用两式相减得出，故有 ，因为 且 ， ，所以 ，解得 ，令 ，∴ ， ∴ ， ， 再利用二次函数图象求函数值域的方法 ， 从而求出实数n的取值范围。
5．（2024·乌江期末）已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，即，
当时，，即函数是奇函数，
所以
（2）解：由（1）知，，而函数在上单调递增，因此在上单调递减，
不等式化为，
由是奇函数，得，因此不等式化为，
于是，即，
依题设，对任意的，不等式恒成立，
显然当时，取得最小值1，从而，
所以实数的取值范围是.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数性质和代入法以及函数的解析式，进而由检验法和奇函数的定义得出实数m的值.
（2）由（1）知函数的解析式，再结合函数的单调性和奇函数的性质，进而得出，再利用二次函数的图象求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数k的取值范围.
6．（2023高一上·重庆市月考）已知定义在上的函数．
（1）已知当时，函数在上的最大值为8，求实数的值；
（2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：令，则：
设
由题意，.
因为，二次函数图像开口向上，所以
即：或解得：
经检验：符合题意
（2）解：根据局部对称函数的定义可知，，
即，
，
，
令，
则，
因为，当且仅当，时等号成立，
函数在区间上单调递增，所以，
所以，所以的取值范围是．
【知识点】函数的值域；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【分析】（1）令，则：，运用换元法将原函数变为二次函数：，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据局部对称函数的定义可知，，进而得到：，再次运用换元法：令，得到：，然后运用基本不等式即可求出m的最小值，进而求出m的取值范围.
7．（2023高二上·杭州月考）已知为过点的指数函数，为定义域为R的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：设(a>0，且a≠1)，则a2=4，
所以a=2，
所以，，
又因为f(x)为奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
所以，整理得
m(2x+1)=2x+1，
所以m=1，
所以；
（2）解：，
所以易知f(x)在R上单调递减，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
所以f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)，
因为f(x)为定义域为R的奇函数
所以f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)，
所以有任意的t∈[0，5]，t2+2t+k<2t2-2t+5恒成立，
即k而(t-2)2+1在[0，5]上的最小值为1，
所以k<1.
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】 （1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由g（2）=9可确定y=g（x）的解析式，再根据为奇函数，求出m的值即可求解；
（2）首先确定函数f（x）在R上为减函数，对任意的，不等式恒成立等价于，分离参数k，利用二次函数的单调性可求实数k的取值范围．
8．（2023高二上·常熟开学考）已知函数过定点，且点在函数的图象上，．
（1）求函数的解析式；
（2）若定义在区间上的函数有零点，求整数的值；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数过定点，
的图像过点，，解得，
函数的解析式为；
（2）解：由可知，，
函数定义在区间上，
在区间上恒成立，可得．
可知，令，得，
设，，
则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，
开口向上，对称轴，
，解得，，
，的值为．
（3）解：由题只需，
，
又且，且，
的最大值可能是或，
，
可知，
，
设，在上单调递增，
又，，即，，
的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；有理数指数幂的运算性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)根据指数的运算性质，代入点 进行计算求解；
(2)根据函数零点的定义和对数运算得 在 上有解，再利用二次函数的性质进行计算求解；
(3)将问题转化为，然后根据指数运算性质求解 ，进而分析求解的取值范围．
9．（2023高一上·普宁期中）已知函数.
（1）写出函数的定义域并判断其奇偶性；
（2）若，求实数的取值范围.
（3）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
【答案】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上偶函数
（2）解：由函数，
可得，
又由，可得，
解得，
即实数的取值范围为
（3）解：若存在使得不等式成立，即，
由，其中，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，所以，即，
所以实数的最大值为
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法和交集的运算法则，进而得出函数f(x)的定义域，再结合偶函数的定义判断出函数为定义域上为偶函数。
（2）利用已知条件结合对数的运算法则和对数型函数的定义域以及对数函数的单调性，进而得出实数m的取值范围。
（3）存在使得不等式成立，即，再利用对数的运算法则和复合函数的单调性，进而得出复合函数f(x)的最大值，从而得出实数m的取值范围，进而得出实数的最大值。
10．（2023高一上·佛山月考）已知函数与，其中是偶函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求实数的值；
（3）若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由有意义得，即，当时，，即，当时，；即．综上，当时，的定义域为，当时，的定义域为．（Ⅱ）的定义域为R，是偶函数，恒成立，即恒成立，；即，，即．（Ⅲ）令得，，即，令，则，与的图象只有一个交点，只有一解，关于的方程只有一正数解，（1）若，则，不符合题意；（2）若，且，即或．当时，方程的解为，不符合题意；当时，方程的解为，符合题意；（3）若方程有一正根，一负根，则，∴．综上，的取值范围是．
（1）解：由有意义得，即，当时，，即，
当时，；即．
综上，当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
（2）解：的定义域为R，
是偶函数，恒成立，
即恒成立，
；即，
，即．
（3）解：令得，
，即，
令，则，
与的图象只有一个交点，只有一解，
关于的方程只有一正数解，（1）若，则，不符合题意；（2）若，且，即或．
当时，方程的解为，不符合题意；
当时，方程的解为，符合题意；（3）若方程有一正根，一负根，则，∴．
综上，的取值范围是．
【知识点】函数的奇偶性；指数式与对数式的互化；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，指数式与对数式的互化公式，函数与方程的综合应用.
（1）根据对数的真数大于0可得，即，分两种情况进行讨论：当时，当时，再将指数式转化为对数式可求出定义域；
（2）已知是偶函数，根据偶函数的性质可列出方程，解方程可求出实数的值；
（3）由对数的运算性质可将原问题转化为：方程有且只有一个实根，采用换元法令，可得方程有且只有一个实根，结合一元二次方程根的分布分两种情况进行讨论：当时，当时，列出方程可求出实数a的值.
11．（2023高一上·潮阳期中） 已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求的取值范围；
（3）若对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为（，且）的图象过点，
所以，解得，所以．
又因为函数的图象与的图象关于对称，所以；
（2）解：因为，即，
则解得，
所以的取值范围为；
（3）解：对于，，
对，恒成立，所以．
即实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】(1)根据g (x)的图象过点 (，2)， 求得a的值，可得g (x) 的解析式，再根据图象的对称性， 求得f (x) 的解析式.
(2) 由f (3x-1) >f (-x+5) ， 可得， 由此求得x的取值范围.
（3）考察恒成立问题，求出即可.
12．（2023高一上·广州月考）已知函数，且
（1）当时，求的值；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，；
（2）解：当时，函
故函数的定义域为.
设
又在上单调递增.
要使方程在上有解
则符合题意，故实数的取值范围；
（3）解：
由题意得
所以函数在上单调递增
①若，则在上单调递减
在上最大值为
在上恒成立
，解得或.
②若，则在上单调递增
在上最大值为
在上恒成立
，解得
此时不存在实数满足题意，综上，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）将 时 ，代入求出结论；
（2）将 代入 得出表达式，进而计算出定义域范围，再根据分别得出；根据计算列式，再根据单调性得出结论；
（3）先计算得出，根据题意得出a的范围，可得在定义域内单调递增，分别求解和范围内的最大值，从而得出在成立.
13．（2023高一下·定远期末）已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）设函数的定义域为，若存在区间，满足：对任意，都存在使得，则称区间为的“区间”已知，若为函数的“区间”，求的最大值．
【答案】（1）函数的图象如图所示，
当时，的最大值为，
当时，的最大值为
（2）当时，在上的值域
为，在上的值域为，
因为满足：对任意，都存在使得，
所以，成立
此时为函数的"区间"，
当时，在上的值域为，在上的值域为，
当时，，所以，，
即存在，对任意，使得，
所以不为函数的"区间"，
所以的最大值是．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)作出函数 的图象，分，a> 2，利用数形结合法求解；
(2)根据对任意，都存在使得，分，分别求得f(x)在上和[a， 2]上的值域，利用集合法求解.
14．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：
第一档 第二档 第三档
每户每月用电量 (单位：度) [0，200] (200，400] (400，＋∞)
电价(单位：元/度) 0.61 0.66 0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别 月用电量 频数统计 频数 频率
① [0，100]
② (100，200]
③ (200，300]
④ (300，400]
⑤ (400，500]
⑥ (500，600]
合计
（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；
（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
（3）设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
【答案】（1）解：频率分布表如下：
组别 月用电量 频数统计 频数 频率
① [0，100] 4 0.04
② (100，200] 12 0.12
③ (200，300] 24 0.24
④ (300，400] 30 0.30
⑤ (400，500] 26 0.26
⑥ (500，600] 4 0.04
合计 100 1
频率分布直方图如图：
（2）解：该100户用户11月的平均用电量
＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．
（3）解：y1＝0.65x，
y2＝ .
由y2≤y1得 或
或 ，
解得x≤ ≈423.1.
因为x∈N，故x的最大值为423.
根据频率分布直方图，x≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002 6＝0.759 8>0.75，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；分段函数的应用
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合频率等于频数除以样本容量的公式，从而完成频率分布表，再利用频率分布表中的数据结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而绘制出频率分布直方图。
（2） 利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的公式，从而估计出全市住户11月的平均用电量。
（3）利用已知条件结合函数建模的方法，从而建立分段函数的模型，进而结合x∈N，从而得出x的最大值，再结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积和求和法，进而得出 x≤423时的频率，从而估计出“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠。
15．（2023高一下·达州期末）设平面向量、的夹角为，．已知，，．
（1）求的解析式；
（2）若﹐证明：不等式在上恒成立．
【答案】（1）解：因为，，，
所以，，，
所以，
则
，
所以，
因为，当时，当时，
所以
（2）解：当时，
又，
所以，
令，
因为，所以，所以，
则，
所以，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即
令，
因为，所以，所以，
则，则，
令，，
显然在上单调递增，所以，即，
显然，所以，
即不等式在上恒成立.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数最值的应用
【解析】【分析】 (1) 根据向量数量积的坐标表示求，再根据 和同角三角函数的基本关系得到 的解析式；
(2) 先求出 的解析式，令，求出的最小值和 的最大值，即可得证.
16．（2023高一下·深圳月考）已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解： 是定义在上的奇函数，且时，，
，解得，
时，，
当时，，则，
即在上的解析式为．
∴函数的解析式为
（2）解：时，，
在有解，
整理得，
令，显然与在上单调递减，
在上单调递减，
则，
∴实数m的取值范围是．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)由奇函数的性质f(0)=0，f(x)=- f( -x)，即可求出函数f(x)的解析式；
(2) 分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m的取值范围.
17．（2023高二下·宁波期中）已知函数
（1）求函数的最小正周期 单调递增区间及最值；
（2）若为锐角的内角且，求面积的最大值．
【答案】（1）解：
故函数的最小正周期．
由
得．
函数的单调递增区间为．
当，时，
即当，时，取最大值，最大值为，
当，时，
即当，时，取最小值，最小值为，
（2）解：由得，
所以，
又，所以，
解得．
由余弦定理，又，
可得．
而，得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时，取得最大值．
【知识点】函数的单调性及单调区间；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数最值的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出函数f(x)的单调递增区间，再利用函数的单调性求出函数f(x)的最值。
（2） 由结合函数的解析式和代入法得出，再利用锐角三角形中角的取值范围和不等式的基本性质，进而得出角A的值，再利用余弦定理和a的值得出，再结合均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再利用三角形的面积公式得出三角形 面积的最大值 。
18．（2023高一上·杭州月考）若函数满足：对任意，则称为“函数”．
（1）判断是不是函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是函数，且当时，．求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和．
【答案】（1）解：是函数，证明如下：
因为，又，，所以，故是函数，
是函数，证明如下：
因为，
，所以，故是函数.
（2）解：因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，，
当，即时，，
又时，，所以，
综上，在上的解析式为；
（3）解：由（2）知，当时，，所以，得到，
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为，
当时，有16个解，由对称知，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
综上，方程所有解的和.
【知识点】函数与方程的综合运用；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，正切函数的图象和性质，函数与方程的综合应用.
（1）根据题设，直接检验是否成立，进而判断出结果；
（2）根据条件得出函数的周期为，再结合可推出函数关于直线对称，再结合题目条件，利用周期性和对称性可推出函数在上的解析式；
（3）由（2）可得出，先作出一个周期的函数图象，再利用周期性，进行平移可作出的图像，结合函数图象进行讨论可求出答案.
19．（2023高一上·哈尔滨月考）已知函数过原点且．
（1）求k值并证明为偶函数；
（2）若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：解由题意可知
（2）解：
∴令∴方程仅有一个正根
当时，与题意不符；当时，方程恒有一个正根一个负根符合题意；
当时，
若方程有两个不等正根与题意不符，若或
当时，两根均为负；当时两根均为满足题意
综上或
【知识点】函数的奇偶性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的应用，函数与方程的综合应用.
（1）因为函数经过原点，故，可先求出k的值，进而写出函数 的解析式， 先求出，利用偶函数定义可证明结论；
（2）采用换元法令，把问题转化为方程仅有一个正根，对a进行分类讨论：当时，当时，当时，分别讨论一元二次方程根的分布可求出实数a的取值范围.
20．（2019高一上·中山月考）某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益 与广告费 满足 ，在网络媒体上投放广告的收益 与广告费 满足 ，设在报刊上投放的广告费为 (单位：万元)，总收益为 (单位：万元).
（1）当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大
【答案】（1）解：当 时，此时在网络媒体上的投资为12万元，
所以总收益 (万元).
（2）解：由题知，在报刊上投放的广告费为 万元，则在网络媒体上投放广告费为 万元，
依题意得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 = .
当 ，即 万元时， 的最大值为17万元．
所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．
【知识点】函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题意收益分为两部分，报刊广告收益和网络媒体广告收益，代入具体数值即可求解；（2）列出总收益对应的表达式 ，再利用换元法结合二次函数即可求得收益最大值
21．（2019高一上·大庆月考）定义：若函数 在某一区间 上任取两个实数 ，都有 ，则称函数 在区间 上具有性质 .
（1）试判断下列函数中哪些函数具有性质 （给出结论即可）
① ；② ；③ ；④ .
（2）从（1）中选择一个具有性质 的函数，用所给定义证明你的结论.
（3）若函数 在区间 上具有性质 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：②④具有性质
（2）解：如果选择 证明如下：
任取两个实数
② 具有性质
如果选择④同理可证
（3）解：由于 在区间 上具有性质
任取 ，
，所以a的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的应用
【解析】【分析】（1）由已知函数 在区间 上具有性质 的概念，分别判断各函数即可得结论；
（2）先选择 ，再利用函数单调性的定义，即可证明 具有性质 ；
（3）由已知 在区间 上具有性质 ，利用函数单调性的定义，得到 ，即可求出实数 的取值范围.
22．（2019高二下·玉林月考）已知函数 ，且 .
（1）求不等式 的解集；
（2）求 在 上的最值。
【答案】（1）解：由题意，得 ，解得 ，
因为 ，即 ，即 ，解得 ，
即不等式的解集为
（2）解：由（1）知，函数 ，
所以二次函数的开口向下，对称轴的方程为 ，
在 上，函数 单调递增，在 上，函数 单调递减，
又由 ，
所以函数的最大值为 ，最小值为 ，
所以函数的值域为
【知识点】函数的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的表达式，代入求出m，即可求出不等式的解集；
（2）根据二次函数的单调性，求出函数的值域即可.
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