备考2024年高考数学提升专题特训：幂函数、指数函数、对数函数
一、解答题
1．（2022高一上·丰城期末）已知函数是指数函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式
【答案】（1）解：由题可知解得
（2）解：由（1）得
∵在上单调递增，
∴，解得，
故原不等式的解集为
【知识点】指数函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意可得，求解即可得实数的值；
（2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案.
2．（2022高一上·丰城期末）已知幂函数为偶函数，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．
【答案】（1）解：因为为幂函数，
所以，解得或
因为为偶函数，
所以，故的解析式；
（2）解：由（1）知，对称轴为，开口向上，
当即时，，即；
当即时，，即；
综上所述：或．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可求得解析式；
（2）由（1）得的解析式，再求对称轴，分和讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值.
3．（2023高一上·鹤山月考）已知函数的幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
所以；
（2）解：由（1）可得，
则函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间[上 单调递减，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，函数在区间上单调递增，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，则的最大值为，
解得，不符题意；
综上所述：存在实数满足题意.
【知识点】函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据幂函数的定义和性质分析求解；
(2) 由（1）可得，分、和三种情况，结合二次函数单调性分析求解.
4．（2024高一上·南山期末）计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：.
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合对数的运算法则，从而化简求值；（2）利用根式与指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，进而化简求值.
5．（2024高一上·吉林期末）已知函数（为常数且）的图象经过点
（1）试求的值；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由于函数图像经过，
所以，解得，
故的值为，的值为
（2）解：原不等式为，
即在时恒成立，
而在时单调递减，
故在时，有最小值为2，
故．
所以实数的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】1）用待定系数法，将两点代入，解方程组即可.
（2）利用函数在时单调递减，得在时恒成立时，x的取值，即可得实数的取值范围．
6．（2024高一上·泊头期末）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
．
【知识点】对数的性质与运算法则；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】本题主要考查对数的加减运算，三角函数的诱导公式，（1）根据对数的加减运算规则进行计算即可求解；（2）根据三角函数的诱导公式求解即可.
7．（2024高一上·闵行期末）已知.
（1）解不等式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性，并严格证明.
【答案】（1）解：不等式等价于，
因为在上是严格增函数，
所以，解得，
因此不等式的解集为.
（2）解：在定义域上是严格增函数.
证明：设是定义域上任意给定的两个实数，且，
则，
因为在上是严格增函数，
所以，
即，
即证函数在其定义域上是严格增函数.
另解
在定义域上是严格增函数.
证明：令，
设是定义域上任意给定的两个实数，且，
，
因为，所以，则，
所以，
即证函数在其定义域上是严格增函数.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性、单调性的证明，不等式等价于，然后利用在上是严格增函数，去掉对应法则f，变为一元一次不等式，再结合定义域即可求解；
（2）设是定义域上任意给定的两个实数，且，则，利用在上是严格增函数即可证明结论.
8．（2023高二下·浙江月考）已知函数满足，其中.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）因为，即，
可得，
若，则，不恒成立，不合题意；
若，则；
综上所述：.
（2）当时，不等式显然成立；
当时，等价于，
设，
（ⅰ）当，即时，
当时，；
当时，；
所以，故；
（ⅱ）当，即时，
当时，；
当时，；
因为，即。
所以；
综上所述：，可得.
所以实数的取值范围.
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题目所给的等式，代入求解方程即可；
（2）将绝对值打开，以a=1为分界点，分成、两段进行讨论.
9．（2023高一下·浙江期中） 在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.
【答案】（1）解：释放的去污剂浓度为，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，即；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天
（2）解：设从第一次喷洒起，经天，则浓度，
，当且仅当即等号成立.
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据分段函数的特性，两段函数都要进行列式求解，并将解集进行合并整合；
(2)综合考虑去污剂的两次影响，在第九天去污剂的浓度最低，即若持续去污则要求第九天的浓度大于4，第九天的去污剂由两部分组成，第一次两个单位的去污剂，第二次a个单位的去污剂，从而得出关于a的函数解析式或不等式，进而列式求解。
10．（2023高一下·湖南期中）已知函数的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数，对称轴为，
当即时，函数在上单调递增，
所以，即；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即；
当即时，函数在上单调递减，
所以，即，
故.
（2）解：由（1）知，当时，，函数单调递减，
当时，，对称轴为，函数在上单调递减，
当时，，函数单调递减，
注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减.
由，得，解得，
故实数m的取值范围为.
【知识点】二次函数的性质；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知二次函数对称轴为，分类讨论当、、时函数的单调性，求出对应的最小值即可；
（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.
11．（2023高二下·玉林期中）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.
每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 5
（1）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；
（2）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.
【答案】（1）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的数学期望.
（2）解：购进350千克时利润的期望值：，
购进400千克时利润的期望值：
，
由解得，，因，，因此，
所以的最小值是17.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；函数最值的应用
【解析】【分析】（1） 依题意结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式得出1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，从而得出随机变量的可能值，再结合二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） 利用已知条件结合数学期望的公式得出购进350千克时利润的期望值和购进400千克时利润的期望值，再结合，进而得出s的取值范围，再利用，，进而得出s的取值范围，从而得出的最小值。
12．（2023高二下·合肥期中）如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数据：．）
（1）写出运输时间关于x的函数；
（2）当C选在何处时运输时间最短？
【答案】（1）解：
由题意知，OB⊥AB，则，
∴.
（2）解：，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以时，取最小值.
所以当点C选在距B点68km时运输时间最短.
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由题意知，OB⊥AB，再利用勾股定理得出OC的长，则， 从而写出运输时间关于x的函数。
（2）利用函数的模型结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出当点C选在距B点68km时运输时间最短。
13．（2023高一上·钦州期末）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为产量的函数.
（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；
（3）产量为多少时，企业所得利润最大？
【答案】（1）解：设利润为y万元，当时，，当时，
综上可得 ；
（2）解：要使企业不亏本，则.
即或
得或，即.
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.
（3）解：显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合收入、利润和成本的关系和分类讨论的方法，进而把利润表示为产量的函数。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合并集的运算法则和解不等式得出年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本。
（3）利用已知条件结合函数的模型和二次函数的图象求最值的方法，进而得出年产量为475台时，企业所得利润最大。
14．（2023高一上·深圳月考） 已知函数.
（1）若，求在上的值域；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.
【答案】（1）解：时，
令，则.
，即，
而的对称轴为，
所以函数在上单调递增，
，即.
在上的值域为；
（2）解：
令，则
有解，
在上有解，
，解得，
的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数值域的求法，函数与方程的综合应用.
（1）对函数进行配方可得：，令，则，利用二次函数的性质可求出函数区间上的最值，进而得出函数的值域；
（2）令，则问题转化为在上有解，根据一元二次方程再定区间上有解，可得，解不等式可求出实数a的取值范围.
15．（2023高一上·佛山月考）对于实数和，定义运算“*”：，设．
（1）求的解析式；
（2）关于的方程恰有三个互不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：由可得，由可得，
所以根据题意得，
即
（2）解：作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
函数的图象和直线有三个不同的交点．
可得的取值氾围是．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查分段函数解析式的求法，函数与方程的综合应用.
（1）根据代数式和之间的大小关系，根题中所给的定义可列出式子，化简后可用分段函数的形式表示函数的解析式；
（2）画出函数的图象，方程的解的个数可转化为与的交点个数问题，观察函数图象可求出的取值范围．
16．（2022高一上·长沙） 已知函数的单调递减区间为，函数.
（参考数据：，，.）
（1）求实数的值，并写出函数的单调递增区间（不用写出求解过程）；
（2）证明：方程在内有且仅有一个根；
（3）在条件（2）下，证明：.
【答案】（1）解：函数的单调递减区间为，故，，
，，
函数定义域满足：，解得或，
在上单调递增，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为
（2）解：，即，即，
设，函数在上单调递增，
，，故在上有唯一零点，
即方程在内有且仅有一个根；
（3）证明：，要证，即，，
函数在上单调递增，
故，即，得证.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，函数的零点问题，函数的最值问题.
（1）根据单调区间得到，确定函数定义域，根据复合函数单调性得到答案.
（2）确定，构造函数，确定函数单调递增，计算，得到证明.
（3）变换，构造函数，确定函数单调递增，计算最值得到证明.
17．（2022高一上·湖南月考）如图，直角三角形是一个展览厅的俯视图，矩形是中心舞台，已知，．
（1）要使中心舞台的面积大于，求的取值范围．
（2）当的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．
【答案】（1）解：在直角三角形中，，所以，
设，依题意可得，
所以，所以，，
又，即，所以，
所以，
所以，解得，所以的取值范围为.
（2）解：因为，
所以当，即时，中心舞台的面积最大，最大的面积为；
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的应用
【解析】【分析】（1）设，根据，得到，，进而求得，得到，结合不等式 ， 即可求解.
（2）由（1），结合二次函数的性质，即可求解.
18．（2021高一上·郑州期中）某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足 ．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
【答案】（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，
此时两个合作社的总收益为： (万元).
（2）甲合作社的投入为 万元 ，则乙合作社的投人为 万元，
当 ，则 ，
，
令 ，得 ，
则总收益为 ，
显然当 时， ，
即此时甲投入 万元，乙投入 万元时，总收益最大，最大收益为 万元.
当 时，则 ， ，
显然 在 上单调递减，所以 ，
即此时甲、乙总收益小于87万元. ，
该公司在甲合作社投人16万元，在乙合作社投人56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的应用
【解析】【分析】利用已知条件，直接代入数据算出总收益即可；
（2）由于甲的收益是一个分段函数，所以再求总收益时要进行分类讨论，分别表示出总收益的函数表达式，再借助函数的单调性求最大值比较即可。
19．（2021高一上·新乡期中）如图，某动物园要建造两间一样大小的长方形动物居室，可供建造围墙的材料总长为 ，设每间动物居室的宽为 ，面积为 ．
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）当动物居室的宽为多少时，才能使所建的每间动物居室面积最大，并求最大面积．
【答案】（1）由题意得，每间居室的长为 ，则面积 ．
由 得 ，故 ， ；
（2）方法一： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 有最大值，且最大值为75．
故当动物居室的宽为 时，所建的每间动物居室面积最大，且最大面积为 ．
方法二：由（1）得： ，当 时， 有最大值，且最大值为75．
故当动物居室的宽为 时，所建的每间动物居室面积最大，且最大面积为 ．
【知识点】二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用；函数的应用
【解析】【分析】（1）直接根据已知条件，建立y关于x的函数；
（2）解法一：配系数满足和为定值，再利用基本不等式进行求解；解法二：将y看成关于x的二次函数，利用二次函数的性质求最值。
20．（2021高二下·房山期中）某公同销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.
（1）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】（1）解：由题意可得产品每千克的利润为
（2）解：
，（）
（3）解：由（2）可得，
令，解得或，
令，解得或，
令，解得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
所以当，（元）
故销售价格为4元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的应用
【解析】【分析】（1）根据利润等于每千克的售价减去每千克的成本，即可解出；
（2）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系；
（3）根据（2）的函数，利用导数判断函数的单调性从而求得最大值即可.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：幂函数、指数函数、对数函数
一、解答题
1．（2022高一上·丰城期末）已知函数是指数函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式
2．（2022高一上·丰城期末）已知幂函数为偶函数，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．
3．（2023高一上·鹤山月考）已知函数的幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
4．（2024高一上·南山期末）计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
5．（2024高一上·吉林期末）已知函数（为常数且）的图象经过点
（1）试求的值；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
6．（2024高一上·泊头期末）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
7．（2024高一上·闵行期末）已知.
（1）解不等式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性，并严格证明.
8．（2023高二下·浙江月考）已知函数满足，其中.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.
9．（2023高一下·浙江期中） 在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.
10．（2023高一下·湖南期中）已知函数的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
11．（2023高二下·玉林期中）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.
每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 5
（1）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；
（2）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.
12．（2023高二下·合肥期中）如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数据：．）
（1）写出运输时间关于x的函数；
（2）当C选在何处时运输时间最短？
13．（2023高一上·钦州期末）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为产量的函数.
（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；
（3）产量为多少时，企业所得利润最大？
14．（2023高一上·深圳月考） 已知函数.
（1）若，求在上的值域；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.
15．（2023高一上·佛山月考）对于实数和，定义运算“*”：，设．
（1）求的解析式；
（2）关于的方程恰有三个互不相等的实数根，求的取值范围．
16．（2022高一上·长沙） 已知函数的单调递减区间为，函数.
（参考数据：，，.）
（1）求实数的值，并写出函数的单调递增区间（不用写出求解过程）；
（2）证明：方程在内有且仅有一个根；
（3）在条件（2）下，证明：.
17．（2022高一上·湖南月考）如图，直角三角形是一个展览厅的俯视图，矩形是中心舞台，已知，．
（1）要使中心舞台的面积大于，求的取值范围．
（2）当的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．
18．（2021高一上·郑州期中）某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足 ．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
19．（2021高一上·新乡期中）如图，某动物园要建造两间一样大小的长方形动物居室，可供建造围墙的材料总长为 ，设每间动物居室的宽为 ，面积为 ．
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）当动物居室的宽为多少时，才能使所建的每间动物居室面积最大，并求最大面积．
20．（2021高二下·房山期中）某公同销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.
（1）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题可知解得
（2）解：由（1）得
∵在上单调递增，
∴，解得，
故原不等式的解集为
【知识点】指数函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意可得，求解即可得实数的值；
（2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案.
2．【答案】（1）解：因为为幂函数，
所以，解得或
因为为偶函数，
所以，故的解析式；
（2）解：由（1）知，对称轴为，开口向上，
当即时，，即；
当即时，，即；
综上所述：或．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数，即可求得解析式；
（2）由（1）得的解析式，再求对称轴，分和讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值.
3．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
所以；
（2）解：由（1）可得，
则函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间[上 单调递减，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，函数在区间上单调递增，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，则的最大值为，
解得，不符题意；
综上所述：存在实数满足题意.
【知识点】函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据幂函数的定义和性质分析求解；
(2) 由（1）可得，分、和三种情况，结合二次函数单调性分析求解.
4．【答案】（1）解：.
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合对数的运算法则，从而化简求值；（2）利用根式与指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，进而化简求值.
5．【答案】（1）解：由于函数图像经过，
所以，解得，
故的值为，的值为
（2）解：原不等式为，
即在时恒成立，
而在时单调递减，
故在时，有最小值为2，
故．
所以实数的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】1）用待定系数法，将两点代入，解方程组即可.
（2）利用函数在时单调递减，得在时恒成立时，x的取值，即可得实数的取值范围．
6．【答案】（1）
（2）
．
【知识点】对数的性质与运算法则；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】本题主要考查对数的加减运算，三角函数的诱导公式，（1）根据对数的加减运算规则进行计算即可求解；（2）根据三角函数的诱导公式求解即可.
7．【答案】（1）解：不等式等价于，
因为在上是严格增函数，
所以，解得，
因此不等式的解集为.
（2）解：在定义域上是严格增函数.
证明：设是定义域上任意给定的两个实数，且，
则，
因为在上是严格增函数，
所以，
即，
即证函数在其定义域上是严格增函数.
另解
在定义域上是严格增函数.
证明：令，
设是定义域上任意给定的两个实数，且，
，
因为，所以，则，
所以，
即证函数在其定义域上是严格增函数.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性、单调性的证明，不等式等价于，然后利用在上是严格增函数，去掉对应法则f，变为一元一次不等式，再结合定义域即可求解；
（2）设是定义域上任意给定的两个实数，且，则，利用在上是严格增函数即可证明结论.
8．【答案】（1）因为，即，
可得，
若，则，不恒成立，不合题意；
若，则；
综上所述：.
（2）当时，不等式显然成立；
当时，等价于，
设，
（ⅰ）当，即时，
当时，；
当时，；
所以，故；
（ⅱ）当，即时，
当时，；
当时，；
因为，即。
所以；
综上所述：，可得.
所以实数的取值范围.
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题目所给的等式，代入求解方程即可；
（2）将绝对值打开，以a=1为分界点，分成、两段进行讨论.
9．【答案】（1）解：释放的去污剂浓度为，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，即；
故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天
（2）解：设从第一次喷洒起，经天，则浓度，
，当且仅当即等号成立.
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据分段函数的特性，两段函数都要进行列式求解，并将解集进行合并整合；
(2)综合考虑去污剂的两次影响，在第九天去污剂的浓度最低，即若持续去污则要求第九天的浓度大于4，第九天的去污剂由两部分组成，第一次两个单位的去污剂，第二次a个单位的去污剂，从而得出关于a的函数解析式或不等式，进而列式求解。
10．【答案】（1）解：函数，对称轴为，
当即时，函数在上单调递增，
所以，即；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即；
当即时，函数在上单调递减，
所以，即，
故.
（2）解：由（1）知，当时，，函数单调递减，
当时，，对称轴为，函数在上单调递减，
当时，，函数单调递减，
注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减.
由，得，解得，
故实数m的取值范围为.
【知识点】二次函数的性质；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知二次函数对称轴为，分类讨论当、、时函数的单调性，求出对应的最小值即可；
（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.
11．【答案】（1）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的数学期望.
（2）解：购进350千克时利润的期望值：，
购进400千克时利润的期望值：
，
由解得，，因，，因此，
所以的最小值是17.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；函数最值的应用
【解析】【分析】（1） 依题意结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式得出1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，从而得出随机变量的可能值，再结合二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） 利用已知条件结合数学期望的公式得出购进350千克时利润的期望值和购进400千克时利润的期望值，再结合，进而得出s的取值范围，再利用，，进而得出s的取值范围，从而得出的最小值。
12．【答案】（1）解：
由题意知，OB⊥AB，则，
∴.
（2）解：，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以时，取最小值.
所以当点C选在距B点68km时运输时间最短.
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由题意知，OB⊥AB，再利用勾股定理得出OC的长，则， 从而写出运输时间关于x的函数。
（2）利用函数的模型结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出当点C选在距B点68km时运输时间最短。
13．【答案】（1）解：设利润为y万元，当时，，当时，
综上可得 ；
（2）解：要使企业不亏本，则.
即或
得或，即.
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.
（3）解：显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合收入、利润和成本的关系和分类讨论的方法，进而把利润表示为产量的函数。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合并集的运算法则和解不等式得出年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本。
（3）利用已知条件结合函数的模型和二次函数的图象求最值的方法，进而得出年产量为475台时，企业所得利润最大。
14．【答案】（1）解：时，
令，则.
，即，
而的对称轴为，
所以函数在上单调递增，
，即.
在上的值域为；
（2）解：
令，则
有解，
在上有解，
，解得，
的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数值域的求法，函数与方程的综合应用.
（1）对函数进行配方可得：，令，则，利用二次函数的性质可求出函数区间上的最值，进而得出函数的值域；
（2）令，则问题转化为在上有解，根据一元二次方程再定区间上有解，可得，解不等式可求出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：由可得，由可得，
所以根据题意得，
即
（2）解：作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
函数的图象和直线有三个不同的交点．
可得的取值氾围是．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查分段函数解析式的求法，函数与方程的综合应用.
（1）根据代数式和之间的大小关系，根题中所给的定义可列出式子，化简后可用分段函数的形式表示函数的解析式；
（2）画出函数的图象，方程的解的个数可转化为与的交点个数问题，观察函数图象可求出的取值范围．
16．【答案】（1）解：函数的单调递减区间为，故，，
，，
函数定义域满足：，解得或，
在上单调递增，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为
（2）解：，即，即，
设，函数在上单调递增，
，，故在上有唯一零点，
即方程在内有且仅有一个根；
（3）证明：，要证，即，，
函数在上单调递增，
故，即，得证.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，函数的零点问题，函数的最值问题.
（1）根据单调区间得到，确定函数定义域，根据复合函数单调性得到答案.
（2）确定，构造函数，确定函数单调递增，计算，得到证明.
（3）变换，构造函数，确定函数单调递增，计算最值得到证明.
17．【答案】（1）解：在直角三角形中，，所以，
设，依题意可得，
所以，所以，，
又，即，所以，
所以，
所以，解得，所以的取值范围为.
（2）解：因为，
所以当，即时，中心舞台的面积最大，最大的面积为；
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的应用
【解析】【分析】（1）设，根据，得到，，进而求得，得到，结合不等式 ， 即可求解.
（2）由（1），结合二次函数的性质，即可求解.
18．【答案】（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，
此时两个合作社的总收益为： (万元).
（2）甲合作社的投入为 万元 ，则乙合作社的投人为 万元，
当 ，则 ，
，
令 ，得 ，
则总收益为 ，
显然当 时， ，
即此时甲投入 万元，乙投入 万元时，总收益最大，最大收益为 万元.
当 时，则 ， ，
显然 在 上单调递减，所以 ，
即此时甲、乙总收益小于87万元. ，
该公司在甲合作社投人16万元，在乙合作社投人56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的应用
【解析】【分析】利用已知条件，直接代入数据算出总收益即可；
（2）由于甲的收益是一个分段函数，所以再求总收益时要进行分类讨论，分别表示出总收益的函数表达式，再借助函数的单调性求最大值比较即可。
19．【答案】（1）由题意得，每间居室的长为 ，则面积 ．
由 得 ，故 ， ；
（2）方法一： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 有最大值，且最大值为75．
故当动物居室的宽为 时，所建的每间动物居室面积最大，且最大面积为 ．
方法二：由（1）得： ，当 时， 有最大值，且最大值为75．
故当动物居室的宽为 时，所建的每间动物居室面积最大，且最大面积为 ．
【知识点】二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用；函数的应用
【解析】【分析】（1）直接根据已知条件，建立y关于x的函数；
（2）解法一：配系数满足和为定值，再利用基本不等式进行求解；解法二：将y看成关于x的二次函数，利用二次函数的性质求最值。
20．【答案】（1）解：由题意可得产品每千克的利润为
（2）解：
，（）
（3）解：由（2）可得，
令，解得或，
令，解得或，
令，解得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
所以当，（元）
故销售价格为4元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的应用
【解析】【分析】（1）根据利润等于每千克的售价减去每千克的成本，即可解出；
（2）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系；
（3）根据（2）的函数，利用导数判断函数的单调性从而求得最大值即可.
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