备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：三角函数
一、解答题
1．（2019高一上·闵行月考）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 型槽上的横截面图，已知图中 为等腰梯形（ ∥ ），支点 与 相距8 ，罐底最低点到地面 距离为1 ，设油罐横截面圆心为 ，半径为5 ， ，求： 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据： ， ， ，结果保留整数）
【答案】解：连接 ，过 作 交 于 ，交劣弧 于 .过 作 交 于 ，过 作 交 于 .由于 ，
，所以 ，所以 ，在直角三角形 中， ，同理求得 ，所以 ，故梯形 的面积为 .在直角三角形 中 ，故 ，所以扇形 的面积为 ，而三角形 的面积为 ，所以弓形 的面积为 ，故阴影部分面积为 .
【知识点】扇形的弧长与面积；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用作辅助线的方法结合已知条件，用直角三角形的正切公式结合梯形的面积公式、扇形的面积公式和三角形面积公式求出弓形面积公式，用分割图形的方法求出阴影部分的面积。
2．（2019高一下·上海月考）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 和以 为直径的半圆弧 组成，其中 为2百米， 为 ．若在半圆弧 ，线段 ，线段 上各建一个观赏亭 ，再修两条栈道 ，使 . 记 ．
（1）试用 表示 的长；
（2）试确定点 的位置，使两条栈道长度之和最大.
【答案】（1）解：连结DC．
在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为 ，
所以∠CBA＝ ，AB＝4，BC＝ ．
因为BC为直径，所以∠BDC＝ ，
所以BD＝BCcosθ＝ cosθ
（2）解：在△BDF中，∠DBF＝θ＋ ，∠BFD＝ ，BD＝ cosθ，
所以 ，
所以DF＝4cosθsin( ＋θ)，
且BF＝4 ，所以DE＝AF=4－4 ，
所以DE＋DF＝4－4 ＋4 sin( ＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3
＝2sin(2θ－ )＋3．
因为 ≤θ＜ ，所以 ≤2θ－ ＜ ，
所以当2θ－ ＝ ，即θ＝ 时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．
答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；扇形的弧长与面积；运用诱导公式化简求值；正弦定理
【解析】【分析】（1）解直角三角形BDC用 表示 的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin( ＋θ)，再求出DE＝AF=4－4 ，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.
3．（2024高一上·中山期末）已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围.
（2）设是的两个零点，证明：
【答案】（1）解：.
由可得，
令，由，可得，故.
当或，即或时，无解，
所以不存在零点；
当，即时，有一解，
此时仅有一解，所以只存在一个零点；
当，即时，有两解，
此时在各有一解，故有两个零点.
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：函数有两个零点，
令，则为方程的两根，
则，所以，
两边平方得，因为，
所以，
所以，
由可得，所以，
则，因为在上单调递减，
所以，即.
【知识点】余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由可得，然后令，则，再分或，和讨论即可求得实数a的取值范围；
（2）函数有两个零点，，令，问题转化为，为方程的两根，再根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得，最后利用余弦函数的单调性可证得结论.
4．（2023高三上·安徽期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：．
【答案】（1）解：在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
（2）解：，，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】由，利用面积公式和余弦定理化简，结合同角三角函数的平方关系，求出与，进而得到 的值；
(2)由正弦定理和三角变换得转化为求三角函数值域，再结合角的取值范围求解.
5．（2023高二上·郫都月考）在中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】（1）解：由正弦定理得，
可化为：，
即
又由于，
所以
可得
即，
由于，所以，
化简为，因为，则，
所以，所以
（2）解：由正弦定理知，所以，
那么
，
又由，解得，
所以，即，
故的面积的取值范围为
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理边化角化简求得，结合求解角的大小；
(2)利用三角形面积公式结合正弦定理边化角可得 ， 结合 求角范围，进而求的取值范围.
6．（2023高二上·长沙开学考）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为.
（1）若两机器人运动方向的夹角为，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若，AD足够长，机器人乙挑战成功，求.
②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
【答案】（1）解：如图，在中，
由余弦定理得，，
所以，
所以，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）解：①在中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，
故，
由正弦定理可得，
所以，
②设，则，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得 ，当 仅当时等号成立 ，即可得出 ，可得两机器人运动路程和的最大值为6；
（2）①根据机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，可得，再根据正弦定理可得 以及 ，即可求出 ；
②根据题意可设，则，，再利用余弦定理可得，进而得出 ， 要使机器人乙挑战成功，则有 ，而 ，根据二次函数的性质以及，即可求出 AD的长度 .
7．（2024高一上·南山期末）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设，记在区间上的最大值为，求的解析式.
【答案】（1）解：由图可知，
，
最小正周期为，
，
，
又点在的图象上，，即，
，即，
又，且，
.
（2）解：（方法一）令，则，
的图象的对称轴方程为，
在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和
（方法二）的最小正周期为，
在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
的图象关于直线对称，
①若，则在区间上的最大值为，
②若，则在区间上的最大值为，
③若，则在区间上的最大值为，
综上所述，
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)利用余弦型函数的部分图象中函数的最大值得出A的值，再利用余弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合特殊点对应法，进而得出的值，从而得出函数f(x)的解析式；
（2）利用两种方法求解余弦型函数在给定区间的对称轴方程。方法一：利用换元法和正弦函数的对称性，进而得出在给定区间的余弦型函数的对称轴方程；方法二：利用已知条件结合余弦型函数的最小正周期得出给定区间的余弦型函数f(x)的对称轴方程；再利用函数的单调性和函数的对称性以及分类讨论的方法，从而得出函数在给定区间的最大值，进而得出分段函数的解析式.
8．（2024高一上·芦溪期末）若的最小值为.
（1）求的表达式；
（2）求能使 的的值，并求当取此值时，的最大值.
【答案】（1）解：由题意得，
令得，，
所以是开口向上的抛物线，对称轴，
当即时，在上单调递增，所以当时取最小值，
；
当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时取最小值，
；
当即时，在上单调递减，所以当时取最小值，
；
综上
（2）解：由（1）得当时，解得（舍去），
当时，解得或（舍去），
当时显然无解，
所以，，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时取得最大值，，即的最大值为5.
【知识点】函数的最大（小）值；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1) 令，可得，，分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解；
(2) 分、和三种情况，结合（1）中结论分析求解.
9．（2023高三上·金山模拟） 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
【答案】（1）解：过A，D作水平线，作如图，
当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
（2）解：延长与直角走廊的边相交于、，
则，，，
又，
则，．
设，
因为，所以，所以，
则 ，
再令，则，
易知，在上单调递增，
所以单调递减，
故当，即，时，取得最小值.
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．
【知识点】函数单调性的性质；两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据图形分别解直角三角形，求得DE、CF即可.
(2)先表示进而表示EF，设，利用和角正弦公式变形求得t的范围，再令，变形为 ，利用函数单调性，即可求得最小值.
10．（2023高三上·石家庄期中）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
（1）求角C的大小；
（2）若，的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值．
【答案】（1）解：
于是.
在中，由正弦定理得，
因为，则，即
因为，因此即又
所以
（2）解：由(1)知，，有
而与的平分线交于点I，即有
于是
设，则且
在中，由正弦定理得，．
所以，
所以的周长为
．．
由，得
则当，即时，的周长取得最大值
所以周长的最大值为
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和正弦定理，再结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180°的性质，从而由诱导公式和同角三角函数基本关系式，再由三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）由（1）得出的角C的值和三角形内角和为180°的性质，从而得出的值，而与的平分线交于点I，进而得出的值，从而得出的值，设，则且再利用正弦定理和三角形的周长公式以及辅助角公式，进而由三角型函数的图象求最值的方法，从而得出三角形周长的最大值。
11．（2024高一上·辽源期末）设函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值及此时的值．
【答案】（1）所以的最小正周期为，
由，
所以函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以当时，即当时，函数有最大值.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】本题主要考查三角恒等式的变形、函数的值域的求法，（1）运用三角函数的和差公式及辅助角公式对函数的解析式化简可得：然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调区间；
（2）根据x的取值范围求得，然后根据正弦函数的性质即可求出最值.
12．（2023高三上·黄冈） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2），，点为线段的中点，点、分别在线段和上，满足，求面积的最小值．
【答案】（1）解：因为，所以，
即，
由正弦定理，可得，
因为，可得且，
所以，则，所以，
因为，所以，则.
（2）解：
.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换及正弦定理，可得，，再根据，求解即可；
（2）设则有，，求出，令，求出的最大值，即可得面积的最小值．
13．（2023高二上·上海市期中）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
①用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
②当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
【答案】（1）解：根据题意知蜂房是由三个菱形及六个直角梯形组成，故根据题目中对曲率的定义知：蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，又每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和，故度量值等于减去三个菱形的内角和，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，即：蜂房 曲顶空间的弯曲度 等于：；
（2）解：①如图所示，连接AC，SH，在中由余弦定理得：，设点S在平面ACE内的射影为O，由题意可得点S的射影即为点E在平面ABCDEF内的射影，由正六边形的性质得：OB=1，故由勾股定理得：
则菱形SAHC的面积为，侧面积为：.
下底正六边形的面积为：（正六边形可以分成6个等边三角形，设等边三角形的变成为a，则等边三角形的面积为：），所以蜂房的表面积为：；
② 由①知道，则对求导可得：令得：所以当，，，故在上单调递减，在单调递增，故在出取得极小值，也就是最小值，
此时，在中，由余弦定理得：，
令，由题意得顶点S的曲率为，所以：
.
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；空间几何体的直观图；斜二测画法直观图；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】（1）根据题意得出弯曲度、曲率的定义，然后带值进行计算即可求解；
（2） ①先计算出侧面积为：，下底正六边形的面积为，菱形SAHC的面积为，再结合多面体的表面积求法表示出即可；②对①求出的进行求导，确定出函数的单调性，找到最小值，从而求出BH，在利用余弦定理求出，然后结合三角恒等变换求出顶点S的曲率即可.
14．（2023高二上·长沙开学考）定义：为实数，，…，对的“正弦方差”.
（1）若，，，证明：实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，，，，，若实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求，值.
【答案】（1）解：因为，，，
所以
，
所以“正弦方差”的值是与无关的定值.
（2）解：因为，，，，，
所以
，
因为实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，
所以，
因为，，
所以，，
由，得或，
即或，
由，
得，
又因为，
所以或或，
即或或，
当时，解得，经检验不符合题意；
当时，解得，经检验符合题意；
当时，解得，经检验符合题意.
综上可知：或.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据正弦方差的定义，将 ，， 代入可得，所以实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）根据定义将 ，，代入正弦方差公式 ，可得 ，再根据，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，可知 ， 结合 ，， 即可求出 ，值.
15．（2024高一上·泊头期末）如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设.
（1）表示绿地的面积；
（2）若铺设绿地每平分米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值．
【答案】（1）如图，分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形．因为，则，，
，
由于，所以，
则，
设四边形EFPQ的面积为，
所以
，
所以，．
（2）要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，
因为，则，所以，则，
因此，即，此时，即，
，
所以当时，取得最小值元．
【知识点】三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查三角函数的实际运用，（1） 分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形 ，利用及三角函数的定义表示出，，即可得到扇形的面积：根据四边形的面积等于底乘高，求得四边形EFPQ的面积，再根据绿地面积等于扇形面积减去平行四边形的面积，求出表达式即可；
（2）根据绿地的铺装费等于单价乘以面积，则面积最小，即铺装费最低，根据，求得，即 四边形EFPQ的面积为，进而求得绿化面积的最小值，即可求解.
16．（2022高一下·马山月考）如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°.
又SA=，故在Rt△SAB中，可求得AB==3，
即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.
在Rt△SCO中，SC=3，∠CSO=30°，OC=SC·tan 30°=，
又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度OB为2米.
（2）解：如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系，连接SM，SN，
设M(cosα，sinα)，α∈[0，2π)，
则N(-cosα，-sinα)，由(1)知S(3，-).
故=(cosα-3，sinα+)，
=(-cosα-3，-sinα+)，
∵·=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+)·(-sinα+)=11.
=
=
=
=
由α∈[0，2π)知||·||∈[11，13].
所以cos∠MSN=∈[，1]，易知∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，cosθ=.
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合三角函数的定义和直角三角形的结构特征，进而得出摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB 的长。
（2） 以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系，连接SM，SN，设M(cosα，sinα)，α∈[0，2π)，再利用点与点关于原点对称求解方法，进而得出N(-cosα，-sinα)，由(1)知S(3，-)，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和α∈[0，2π)以及三角型函数的图象求值域和二次函数的图象求值域的方法，进而得出||·||的取值范围，再结合数量积求向量夹角公式得出cos∠MSN的取值范围，易知∠MSN为锐角，故当视角∠MSN取最大值时，进而得出cosθ的值。
17．（2022高一上·信阳期末）整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.
（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
【答案】（1）解：设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
（2）解：过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；三角函数模型的简单应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 设MN与AB相交于点E，再利用正弦函数的定义得出ME的长，再结合求和法得出的长 。
（2） 过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，再利用三角形的面积公式得出三角形区域面积为，设，再利用结合不等式的性质，所以，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法，得出t的取值范围，再结合，则，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形区域面积的最大值。
18．（2021高三上·邹城期中）某城市公园有一如图所示的绿化带，其形状由一个直径为 的半圆 和矩形 组成，其中 .管理部门规划在圆心 处建造一个亭子，为了方便游客到亭子游玩，决定从A地出发修建一条经过亭子 处到达 的公路，具体路线是：在半圆 上选点 (异于 ， 点)，从点 沿圆弧到点 ，再从点 经过亭子 的直线到达 边上的点 处.已知从点 到点 的修路费用每千米需要 元，从点 到点 的修路费用每千米需要 元，设 弧度，从 地经点 ， 到 地修路所需费用为 元.
（1）试将 表示为 的函数 ，并写出定义域；
（2）当 取何值时，修路所需费用最少
【答案】（1）解：由 弧度，则 .
如图，过 作 交 于点 ，
则 ， ，
∴ ，则 ，且定义域
（2）解：由（1）知， ， ，
∴ ，
由 ，得 且 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增.
∴当 时，有 ，此时修路所需要费用最少.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】 (1)求出EF的长度，即可得出f (θ)的解析式及定义域；
(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值，及cosθ的值即可.
19．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为 ；②函数 的图象可由 的图象平移得到；③若对任意 ， 恒成立，且 的最小值为 .
（1）请写出这两个条件序号，并求出 的解析式；
（2）求方程 在区间 上所有解的和.
【答案】（1）函数 满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数 满足的条件之一，
由③可知，函数 的最小正周期为 ，所以 ，故②不合题意，
所以函数 满足的条件为①③；
由①可知 ，所以
（2）因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或
又因为 ，所以 的取值为 、 、 、 、 ，
所以方程 在区间 上所有的解的和为 .
【知识点】三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的周期；三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）条件①意味着。条件②意味着，因为只是平移变换没有伸缩。条件③意味着最高点与最低点的横坐标距离最小值是，即周期为π，进而得到=2。显然，①②矛盾，②③，所以满足的必然是①③，A=2，。
（2）翻译题目：求令f(x)=1且属于[-π，π]的所有x的值之和。所以，取合适的k值使x满足定义域要求，再求和即可。
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：三角函数
一、解答题
1．（2019高一上·闵行月考）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 型槽上的横截面图，已知图中 为等腰梯形（ ∥ ），支点 与 相距8 ，罐底最低点到地面 距离为1 ，设油罐横截面圆心为 ，半径为5 ， ，求： 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据： ， ， ，结果保留整数）
2．（2019高一下·上海月考）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 和以 为直径的半圆弧 组成，其中 为2百米， 为 ．若在半圆弧 ，线段 ，线段 上各建一个观赏亭 ，再修两条栈道 ，使 . 记 ．
（1）试用 表示 的长；
（2）试确定点 的位置，使两条栈道长度之和最大.
3．（2024高一上·中山期末）已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围.
（2）设是的两个零点，证明：
4．（2023高三上·安徽期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：．
5．（2023高二上·郫都月考）在中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围．
6．（2023高二上·长沙开学考）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为.
（1）若两机器人运动方向的夹角为，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若，AD足够长，机器人乙挑战成功，求.
②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
7．（2024高一上·南山期末）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设，记在区间上的最大值为，求的解析式.
8．（2024高一上·芦溪期末）若的最小值为.
（1）求的表达式；
（2）求能使 的的值，并求当取此值时，的最大值.
9．（2023高三上·金山模拟） 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
10．（2023高三上·石家庄期中）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
（1）求角C的大小；
（2）若，的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值．
11．（2024高一上·辽源期末）设函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值及此时的值．
12．（2023高三上·黄冈） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2），，点为线段的中点，点、分别在线段和上，满足，求面积的最小值．
13．（2023高二上·上海市期中）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
①用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
②当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
14．（2023高二上·长沙开学考）定义：为实数，，…，对的“正弦方差”.
（1）若，，，证明：实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，，，，，若实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求，值.
15．（2024高一上·泊头期末）如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设.
（1）表示绿地的面积；
（2）若铺设绿地每平分米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值．
16．（2022高一下·马山月考）如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．
17．（2022高一上·信阳期末）整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.
（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
18．（2021高三上·邹城期中）某城市公园有一如图所示的绿化带，其形状由一个直径为 的半圆 和矩形 组成，其中 .管理部门规划在圆心 处建造一个亭子，为了方便游客到亭子游玩，决定从A地出发修建一条经过亭子 处到达 的公路，具体路线是：在半圆 上选点 (异于 ， 点)，从点 沿圆弧到点 ，再从点 经过亭子 的直线到达 边上的点 处.已知从点 到点 的修路费用每千米需要 元，从点 到点 的修路费用每千米需要 元，设 弧度，从 地经点 ， 到 地修路所需费用为 元.
（1）试将 表示为 的函数 ，并写出定义域；
（2）当 取何值时，修路所需费用最少
19．（2021高一下·如皋开学考）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为 ；②函数 的图象可由 的图象平移得到；③若对任意 ， 恒成立，且 的最小值为 .
（1）请写出这两个条件序号，并求出 的解析式；
（2）求方程 在区间 上所有解的和.
答案解析部分
1．【答案】解：连接 ，过 作 交 于 ，交劣弧 于 .过 作 交 于 ，过 作 交 于 .由于 ，
，所以 ，所以 ，在直角三角形 中， ，同理求得 ，所以 ，故梯形 的面积为 .在直角三角形 中 ，故 ，所以扇形 的面积为 ，而三角形 的面积为 ，所以弓形 的面积为 ，故阴影部分面积为 .
【知识点】扇形的弧长与面积；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用作辅助线的方法结合已知条件，用直角三角形的正切公式结合梯形的面积公式、扇形的面积公式和三角形面积公式求出弓形面积公式，用分割图形的方法求出阴影部分的面积。
2．【答案】（1）解：连结DC．
在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为 ，
所以∠CBA＝ ，AB＝4，BC＝ ．
因为BC为直径，所以∠BDC＝ ，
所以BD＝BCcosθ＝ cosθ
（2）解：在△BDF中，∠DBF＝θ＋ ，∠BFD＝ ，BD＝ cosθ，
所以 ，
所以DF＝4cosθsin( ＋θ)，
且BF＝4 ，所以DE＝AF=4－4 ，
所以DE＋DF＝4－4 ＋4 sin( ＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3
＝2sin(2θ－ )＋3．
因为 ≤θ＜ ，所以 ≤2θ－ ＜ ，
所以当2θ－ ＝ ，即θ＝ 时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．
答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；扇形的弧长与面积；运用诱导公式化简求值；正弦定理
【解析】【分析】（1）解直角三角形BDC用 表示 的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin( ＋θ)，再求出DE＝AF=4－4 ，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.
3．【答案】（1）解：.
由可得，
令，由，可得，故.
当或，即或时，无解，
所以不存在零点；
当，即时，有一解，
此时仅有一解，所以只存在一个零点；
当，即时，有两解，
此时在各有一解，故有两个零点.
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：函数有两个零点，
令，则为方程的两根，
则，所以，
两边平方得，因为，
所以，
所以，
由可得，所以，
则，因为在上单调递减，
所以，即.
【知识点】余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由可得，然后令，则，再分或，和讨论即可求得实数a的取值范围；
（2）函数有两个零点，，令，问题转化为，为方程的两根，再根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得，最后利用余弦函数的单调性可证得结论.
4．【答案】（1）解：在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
（2）解：，，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】由，利用面积公式和余弦定理化简，结合同角三角函数的平方关系，求出与，进而得到 的值；
(2)由正弦定理和三角变换得转化为求三角函数值域，再结合角的取值范围求解.
5．【答案】（1）解：由正弦定理得，
可化为：，
即
又由于，
所以
可得
即，
由于，所以，
化简为，因为，则，
所以，所以
（2）解：由正弦定理知，所以，
那么
，
又由，解得，
所以，即，
故的面积的取值范围为
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理边化角化简求得，结合求解角的大小；
(2)利用三角形面积公式结合正弦定理边化角可得 ， 结合 求角范围，进而求的取值范围.
6．【答案】（1）解：如图，在中，
由余弦定理得，，
所以，
所以，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）解：①在中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，
故，
由正弦定理可得，
所以，
②设，则，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得 ，当 仅当时等号成立 ，即可得出 ，可得两机器人运动路程和的最大值为6；
（2）①根据机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，可得，再根据正弦定理可得 以及 ，即可求出 ；
②根据题意可设，则，，再利用余弦定理可得，进而得出 ， 要使机器人乙挑战成功，则有 ，而 ，根据二次函数的性质以及，即可求出 AD的长度 .
7．【答案】（1）解：由图可知，
，
最小正周期为，
，
，
又点在的图象上，，即，
，即，
又，且，
.
（2）解：（方法一）令，则，
的图象的对称轴方程为，
在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和
（方法二）的最小正周期为，
在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
的图象关于直线对称，
①若，则在区间上的最大值为，
②若，则在区间上的最大值为，
③若，则在区间上的最大值为，
综上所述，
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)利用余弦型函数的部分图象中函数的最大值得出A的值，再利用余弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合特殊点对应法，进而得出的值，从而得出函数f(x)的解析式；
（2）利用两种方法求解余弦型函数在给定区间的对称轴方程。方法一：利用换元法和正弦函数的对称性，进而得出在给定区间的余弦型函数的对称轴方程；方法二：利用已知条件结合余弦型函数的最小正周期得出给定区间的余弦型函数f(x)的对称轴方程；再利用函数的单调性和函数的对称性以及分类讨论的方法，从而得出函数在给定区间的最大值，进而得出分段函数的解析式.
8．【答案】（1）解：由题意得，
令得，，
所以是开口向上的抛物线，对称轴，
当即时，在上单调递增，所以当时取最小值，
；
当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时取最小值，
；
当即时，在上单调递减，所以当时取最小值，
；
综上
（2）解：由（1）得当时，解得（舍去），
当时，解得或（舍去），
当时显然无解，
所以，，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时取得最大值，，即的最大值为5.
【知识点】函数的最大（小）值；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1) 令，可得，，分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解；
(2) 分、和三种情况，结合（1）中结论分析求解.
9．【答案】（1）解：过A，D作水平线，作如图，
当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
（2）解：延长与直角走廊的边相交于、，
则，，，
又，
则，．
设，
因为，所以，所以，
则 ，
再令，则，
易知，在上单调递增，
所以单调递减，
故当，即，时，取得最小值.
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．
【知识点】函数单调性的性质；两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据图形分别解直角三角形，求得DE、CF即可.
(2)先表示进而表示EF，设，利用和角正弦公式变形求得t的范围，再令，变形为 ，利用函数单调性，即可求得最小值.
10．【答案】（1）解：
于是.
在中，由正弦定理得，
因为，则，即
因为，因此即又
所以
（2）解：由(1)知，，有
而与的平分线交于点I，即有
于是
设，则且
在中，由正弦定理得，．
所以，
所以的周长为
．．
由，得
则当，即时，的周长取得最大值
所以周长的最大值为
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和正弦定理，再结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180°的性质，从而由诱导公式和同角三角函数基本关系式，再由三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）由（1）得出的角C的值和三角形内角和为180°的性质，从而得出的值，而与的平分线交于点I，进而得出的值，从而得出的值，设，则且再利用正弦定理和三角形的周长公式以及辅助角公式，进而由三角型函数的图象求最值的方法，从而得出三角形周长的最大值。
11．【答案】（1）所以的最小正周期为，
由，
所以函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以当时，即当时，函数有最大值.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】本题主要考查三角恒等式的变形、函数的值域的求法，（1）运用三角函数的和差公式及辅助角公式对函数的解析式化简可得：然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调区间；
（2）根据x的取值范围求得，然后根据正弦函数的性质即可求出最值.
12．【答案】（1）解：因为，所以，
即，
由正弦定理，可得，
因为，可得且，
所以，则，所以，
因为，所以，则.
（2）解：
.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换及正弦定理，可得，，再根据，求解即可；
（2）设则有，，求出，令，求出的最大值，即可得面积的最小值．
13．【答案】（1）解：根据题意知蜂房是由三个菱形及六个直角梯形组成，故根据题目中对曲率的定义知：蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，又每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和，故度量值等于减去三个菱形的内角和，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，即：蜂房 曲顶空间的弯曲度 等于：；
（2）解：①如图所示，连接AC，SH，在中由余弦定理得：，设点S在平面ACE内的射影为O，由题意可得点S的射影即为点E在平面ABCDEF内的射影，由正六边形的性质得：OB=1，故由勾股定理得：
则菱形SAHC的面积为，侧面积为：.
下底正六边形的面积为：（正六边形可以分成6个等边三角形，设等边三角形的变成为a，则等边三角形的面积为：），所以蜂房的表面积为：；
② 由①知道，则对求导可得：令得：所以当，，，故在上单调递减，在单调递增，故在出取得极小值，也就是最小值，
此时，在中，由余弦定理得：，
令，由题意得顶点S的曲率为，所以：
.
【知识点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；空间几何体的直观图；斜二测画法直观图；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】（1）根据题意得出弯曲度、曲率的定义，然后带值进行计算即可求解；
（2） ①先计算出侧面积为：，下底正六边形的面积为，菱形SAHC的面积为，再结合多面体的表面积求法表示出即可；②对①求出的进行求导，确定出函数的单调性，找到最小值，从而求出BH，在利用余弦定理求出，然后结合三角恒等变换求出顶点S的曲率即可.
14．【答案】（1）解：因为，，，
所以
，
所以“正弦方差”的值是与无关的定值.
（2）解：因为，，，，，
所以
，
因为实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，
所以，
因为，，
所以，，
由，得或，
即或，
由，
得，
又因为，
所以或或，
即或或，
当时，解得，经检验不符合题意；
当时，解得，经检验符合题意；
当时，解得，经检验符合题意.
综上可知：或.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据正弦方差的定义，将 ，， 代入可得，所以实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）根据定义将 ，，代入正弦方差公式 ，可得 ，再根据，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，可知 ， 结合 ，， 即可求出 ，值.
15．【答案】（1）如图，分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形．因为，则，，
，
由于，所以，
则，
设四边形EFPQ的面积为，
所以
，
所以，．
（2）要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，
因为，则，所以，则，
因此，即，此时，即，
，
所以当时，取得最小值元．
【知识点】三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查三角函数的实际运用，（1） 分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形 ，利用及三角函数的定义表示出，，即可得到扇形的面积：根据四边形的面积等于底乘高，求得四边形EFPQ的面积，再根据绿地面积等于扇形面积减去平行四边形的面积，求出表达式即可；
（2）根据绿地的铺装费等于单价乘以面积，则面积最小，即铺装费最低，根据，求得，即 四边形EFPQ的面积为，进而求得绿化面积的最小值，即可求解.
16．【答案】（1）解：如图，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°.
又SA=，故在Rt△SAB中，可求得AB==3，
即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.
在Rt△SCO中，SC=3，∠CSO=30°，OC=SC·tan 30°=，
又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度OB为2米.
（2）解：如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系，连接SM，SN，
设M(cosα，sinα)，α∈[0，2π)，
则N(-cosα，-sinα)，由(1)知S(3，-).
故=(cosα-3，sinα+)，
=(-cosα-3，-sinα+)，
∵·=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+)·(-sinα+)=11.
=
=
=
=
由α∈[0，2π)知||·||∈[11，13].
所以cos∠MSN=∈[，1]，易知∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，cosθ=.
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合三角函数的定义和直角三角形的结构特征，进而得出摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB 的长。
（2） 以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系，连接SM，SN，设M(cosα，sinα)，α∈[0，2π)，再利用点与点关于原点对称求解方法，进而得出N(-cosα，-sinα)，由(1)知S(3，-)，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和α∈[0，2π)以及三角型函数的图象求值域和二次函数的图象求值域的方法，进而得出||·||的取值范围，再结合数量积求向量夹角公式得出cos∠MSN的取值范围，易知∠MSN为锐角，故当视角∠MSN取最大值时，进而得出cosθ的值。
17．【答案】（1）解：设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
（2）解：过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；三角函数模型的简单应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 设MN与AB相交于点E，再利用正弦函数的定义得出ME的长，再结合求和法得出的长 。
（2） 过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，再利用三角形的面积公式得出三角形区域面积为，设，再利用结合不等式的性质，所以，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法，得出t的取值范围，再结合，则，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形区域面积的最大值。
18．【答案】（1）解：由 弧度，则 .
如图，过 作 交 于点 ，
则 ， ，
∴ ，则 ，且定义域
（2）解：由（1）知， ， ，
∴ ，
由 ，得 且 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增.
∴当 时，有 ，此时修路所需要费用最少.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】 (1)求出EF的长度，即可得出f (θ)的解析式及定义域；
(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值，及cosθ的值即可.
19．【答案】（1）函数 满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数 满足的条件之一，
由③可知，函数 的最小正周期为 ，所以 ，故②不合题意，
所以函数 满足的条件为①③；
由①可知 ，所以
（2）因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或
又因为 ，所以 的取值为 、 、 、 、 ，
所以方程 在区间 上所有的解的和为 .
【知识点】三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的周期；三角函数模型的简单应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）条件①意味着。条件②意味着，因为只是平移变换没有伸缩。条件③意味着最高点与最低点的横坐标距离最小值是，即周期为π，进而得到=2。显然，①②矛盾，②③，所以满足的必然是①③，A=2，。
（2）翻译题目：求令f(x)=1且属于[-π，π]的所有x的值之和。所以，取合适的k值使x满足定义域要求，再求和即可。
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