备考2024年高考数学提升专题特训：三角函数
一、解答题
1．（2023高一上·抚松月考） 已知一个扇形的周长为14，圆心角的弧度数为.
（1）求这个扇形的半径；
（2）求这个扇形的面积.
2．（2023高三上·广州月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若求的面积.
3．（2023高一下·钦州月考）若，，试确定，分别是第几象限角．
4．（2024高一上·南山期末）（1）已知点为角终边上一点，且，求的值；
（2）若，求的值.
5．（2023高一上·福州月考）观察以下等式：
①
②
③
④
⑤
（1） 对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；
（2） 根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
6．（2024高一上·泊头期末）已知．
（1）若，求的值；
（2）求的值域．
7．（2024高三上·海南高考模拟）已知的内角的对边分别为，面积为.
（1）求；
（2）若的周长为20，面积为，求.
8．（2023高一下·钦州月考）已知角的集合为，回答下列问题：
（1）集合M中有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M中的第二象限角．
9．（2024高三下·济南模拟）已知函数，其中向量，且函数的图象经过点．
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值及此时x的取值集合．
10．（2024高一上·泊头期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，是否存在实数，，，使得成立 若存在．求出的取值范围；若不存在，请说明理内．
11．（2024高一上·芦溪期末）在中，角 的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域.
12．（2024高一上·酒泉期末）已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
13．（2023高一上·福州月考）已知的三个内角分别为，，，且满足，.
（1）试判断的形状；
（2）已知函数，求的值．
14．（2024高三上·绵阳高考模拟） 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
15．（2024高三上·辽宁五校联考期末）的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，求.
16．（2023高一下·上饶期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.
（1）求函数的表达式；
（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；
（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）
17．（2023高一上·榆林期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）.
（1）写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）；
（2）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
18．（2023高一上·增城期末）如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求A，b，，；
（2）为响应国家节能减排的号召，建议室温室25℃以上才开空调，求在内，该地适宜开空调的时间段．
19．（2022高三上·苏州月考）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
20．（2022高一下·景德镇期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设这个扇形的半径为，弧长为，则，
且，
解得，
（2）解：这个扇形的面积.
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解；
（2）根据题意，利用扇形的面积公式，即可求解.
2．【答案】（1）解：由，得，即，
所以，
由正弦定理得，
因为0，
所以，
因为，
所以；
（2）解：在中，因为，a = 3 ， b = ，由余弦定理，得，
即，解得或 -6（舍去），
所以，
即的面积为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；终边相同的角；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）将已知条件切变弦，根据正弦定理边变角，化简可得cosB，进而求得角B.
（2）根据余弦定理，求得边c，然后代入三角形面积公式即可.
3．【答案】解：由 ，，得： ，，所以2α为第一象限角；
由得： ，
当k=2n，n∈Z时， ，则为第一象限角；
当k=2n+1，n∈Z时， ，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【分析】分别求得和，根据对k的取值的讨论可求得结果.
4．【答案】（1）解：由正切函数的定义可知，，
又，
由余弦函数的定义可知，，
.
（2）解：，
，
.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正切函数的定义，进而得出实数a的值，再结合余弦函数的定义和诱导公式得出的值；
（2）利用已知条件和两角和的正切公式得出角的正切值，再结合二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
5．【答案】（1）解：
猜想：
（2）证明：
=．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式结合特殊角的三角函数值计算即得；
（2）根据式子的特点可得等式，再利用和差角公式及同角三角函数基本关系式化简运算即可求值.
6．【答案】（1），，
．
（2）令，
因为，则，所以，即，
因为，即，所以，
所以，，
所以，即的值域为．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的关系、三角函数的换元法的运用，（1）根据题意可得：，在结合即可求解；
（2） 令 结合可得：，再根据同角三角函数的关系可得：，进而得到，结合二次函数的单调性即可求得原函数的值域.
7．【答案】（1）解：由题意可得，
所以，
因为，所以.
（2）解：由余弦定理可得，，
即.
因为，所以.
因为，
所以
整理得，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式、向量数量积定义，将展开，根据同角三角函数关系即可求解.
（2）利用余弦定理，结合三角形周长、面积，即可求解.
8．【答案】（1）解：集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）解：令-360°<30°+k·90°<360° ，得 ，
又k∈Z ，所以终边不相同的角，所以集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个，
分别是：－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）解：集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以 ， .
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】
【分析】(1)集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；
(2)取适当的整数即可得到指定范围内的角；
(3)找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.
9．【答案】（1）解：由题意，
∵函数的图象经过点
，即
（2）解：
∴当时，有最小值
此时
即
最小值为，此时x的取值东合为
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用向量数量积的坐标表示，求得，再根据图象经过点，代入求值即可 .
（2）由（1）结合辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即可.
10．【答案】（1）由图可知，则，得，
所以，又，所以，，
所以，，因为，所以，所以．
（2）因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，，使得成立，
所以，即解得，
所以存在满足题意．
【知识点】余弦函数的图象；余弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】本题主要考查余弦函数解析式求法、函数值域的求法及集合之间的关系，（1）根据函数图象可得函数的周期为根据周期公式求得：，再带入点结合求得：，即可求得函数的解析式；
（2）根据三角函数的性质可得：，，再根据集合之间的关系可得：解出即可求解.
11．【答案】（1）解：（1）∵，而，
∴，
∴，
又∵，∴，∴.
（2）解：
，
∵，∴，
∴的值域为.
【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理可得，结合三角恒等变换分析求解；
(2) 利用三角恒等变换整理可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
12．【答案】（1）解：由得
又因为当时，的最小值为，
所以，即
所以故.
（2）解：由，得，于是，则，
令，不等式恒成立，即恒成立，
设，
因此解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据结合求，再已知条件 时，的最小值为.求周期，从而可得，即可得解析式；
（2）根据已知条件，先求函数的范围，令，不等式转化为恒成立，设，根据函数的单调性列方程组求解即可得实数m的取值范围.
13．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
又，
得，
化简得，解得，
又，∴，
∴，∴，∴，
∴为等边三角形．
（2）解： ∵
，
∴ .
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的余弦公式；三角形的形状判断；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据结合三角形内角关系求得，再由求得，从而判断三角形的形状；
（2）利用辅助角公式化简函数，再代入求值即可；
14．【答案】（1）解：因为，，且，
，
，
又∵为内角，，
（2）解：由余弦定理，得，
解得或（舍去），
故，所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用向量的数量积运算，结合三角恒等变化即可求解.
(2)先利用余弦定理求出c，再利用三角形的面积公式即可求解.
15．【答案】（1）解：由题设及正弦边角关系可得：，则，
而，且，则.
（2）解：由题设，且，，
所以，则，
所以，则，即.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角的取值范围，进而得出角A的值.
（2）利用已知条件结合正弦定理和(1)中角A的值以及三角形内角和为180°的性质，进而得出角C与角B的关系式，再利用三角形中角的取值范围得出角B的取值范围，再结合两角差的正弦公式和辅助角公式，从而得出的值，再由角B的取值范围和三角函数的值得出角B的值.
16．【答案】（1）解：由已知可得，
∵盛水筒运动的角速度，
∴秒后盛水筒转过的角度为，
此时可得以为终边的角
∴
（2）解：当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），
相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），
（3）解：完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，
所需时间为秒，约为13.9小时.
所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.
【知识点】三角函数模型的简单应用；任意角三角函数的定义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意结合任意角三角函数的定义分析求解；
(2)结合三角函数的周期运算求解；
(3)根据题意运算求解即可.
17．【答案】（1）解：如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则.
又因为，，所以，
则.
，，
即，.
（2）解：不妨设，由题意得，
故，
①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立，
②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为.
综上，的最小值为40.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】 （1）过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM，根据已知条件易知，又因为，，得，根据即可求得函数的解析式；
（2） 不妨设，由题意得， 即分两种情况讨论，计算即可.
18．【答案】（1）解：根据图象，，，
∵，∴，
由当，，解得.
（2）解：由（1）得，，
∵，则，由，即，得.
故.
∴适宜开空调的时间段为
【知识点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦型函数的部分图象，再结合函数的最高点的纵坐标和对称轴的位置，进而得出 A，b的值，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用五点对应法和的取值范围，进而得出的值。
（2）利用（1）求出函数的解析式，再利用余弦型函数的图象额已知条件，进而得出适宜开空调的时间段。
19．【答案】（1）解：由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
故函数
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为-2，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）解：由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解时，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
从而
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用正弦的和差角和二倍角公式对f（x）进行化简，再根据对称轴推出周期，进而求出，写出函数解析式。
（2）利用y=Asin（wx+φ）的图像变换性质，求出g（x）的解析式，在根据题目给定的x的定义域结合三角函数的性质求出值域。
（3）利用函数图象，利用三角函数的对称性分析几个根之间的关系，得出要求的值域。
20．【答案】（1）解：由题意，函数，
根据正弦型函数的性质，可得，
所以，可得，
所以实验室这一天的最大温差为℃.
（2）解：由题意，令，即，即，
因为，可得，
所以，解得，
即在6时至22时这段时间内大棚需要降温
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的解析式画出正弦型函数的图象，进而求出正弦型函数的最值，再结合作差法得出实验室这一天的最大温差。
（2）利用已知条件得出 ， 再结合正弦型函数的解析式，进而结合正弦型函数的图象和 ， 进而得出实数t的取值范围，从而得出在6时至22时这段时间内大棚需要降温。
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：三角函数
一、解答题
1．（2023高一上·抚松月考） 已知一个扇形的周长为14，圆心角的弧度数为.
（1）求这个扇形的半径；
（2）求这个扇形的面积.
【答案】（1）解：设这个扇形的半径为，弧长为，则，
且，
解得，
（2）解：这个扇形的面积.
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解；
（2）根据题意，利用扇形的面积公式，即可求解.
2．（2023高三上·广州月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若求的面积.
【答案】（1）解：由，得，即，
所以，
由正弦定理得，
因为0，
所以，
因为，
所以；
（2）解：在中，因为，a = 3 ， b = ，由余弦定理，得，
即，解得或 -6（舍去），
所以，
即的面积为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；终边相同的角；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）将已知条件切变弦，根据正弦定理边变角，化简可得cosB，进而求得角B.
（2）根据余弦定理，求得边c，然后代入三角形面积公式即可.
3．（2023高一下·钦州月考）若，，试确定，分别是第几象限角．
【答案】解：由 ，，得： ，，所以2α为第一象限角；
由得： ，
当k=2n，n∈Z时， ，则为第一象限角；
当k=2n+1，n∈Z时， ，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【分析】分别求得和，根据对k的取值的讨论可求得结果.
4．（2024高一上·南山期末）（1）已知点为角终边上一点，且，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：由正切函数的定义可知，，
又，
由余弦函数的定义可知，，
.
（2）解：，
，
.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正切函数的定义，进而得出实数a的值，再结合余弦函数的定义和诱导公式得出的值；
（2）利用已知条件和两角和的正切公式得出角的正切值，再结合二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
5．（2023高一上·福州月考）观察以下等式：
①
②
③
④
⑤
（1） 对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；
（2） 根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【答案】（1）解：
猜想：
（2）证明：
=．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式结合特殊角的三角函数值计算即得；
（2）根据式子的特点可得等式，再利用和差角公式及同角三角函数基本关系式化简运算即可求值.
6．（2024高一上·泊头期末）已知．
（1）若，求的值；
（2）求的值域．
【答案】（1），，
．
（2）令，
因为，则，所以，即，
因为，即，所以，
所以，，
所以，即的值域为．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的关系、三角函数的换元法的运用，（1）根据题意可得：，在结合即可求解；
（2） 令 结合可得：，再根据同角三角函数的关系可得：，进而得到，结合二次函数的单调性即可求得原函数的值域.
7．（2024高三上·海南高考模拟）已知的内角的对边分别为，面积为.
（1）求；
（2）若的周长为20，面积为，求.
【答案】（1）解：由题意可得，
所以，
因为，所以.
（2）解：由余弦定理可得，，
即.
因为，所以.
因为，
所以
整理得，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式、向量数量积定义，将展开，根据同角三角函数关系即可求解.
（2）利用余弦定理，结合三角形周长、面积，即可求解.
8．（2023高一下·钦州月考）已知角的集合为，回答下列问题：
（1）集合M中有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M中的第二象限角．
【答案】（1）解：集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）解：令-360°<30°+k·90°<360° ，得 ，
又k∈Z ，所以终边不相同的角，所以集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个，
分别是：－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）解：集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以 ， .
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】
【分析】(1)集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；
(2)取适当的整数即可得到指定范围内的角；
(3)找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.
9．（2024高三下·济南模拟）已知函数，其中向量，且函数的图象经过点．
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值及此时x的取值集合．
【答案】（1）解：由题意，
∵函数的图象经过点
，即
（2）解：
∴当时，有最小值
此时
即
最小值为，此时x的取值东合为
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用向量数量积的坐标表示，求得，再根据图象经过点，代入求值即可 .
（2）由（1）结合辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即可.
10．（2024高一上·泊头期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，是否存在实数，，，使得成立 若存在．求出的取值范围；若不存在，请说明理内．
【答案】（1）由图可知，则，得，
所以，又，所以，，
所以，，因为，所以，所以．
（2）因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，，使得成立，
所以，即解得，
所以存在满足题意．
【知识点】余弦函数的图象；余弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】本题主要考查余弦函数解析式求法、函数值域的求法及集合之间的关系，（1）根据函数图象可得函数的周期为根据周期公式求得：，再带入点结合求得：，即可求得函数的解析式；
（2）根据三角函数的性质可得：，，再根据集合之间的关系可得：解出即可求解.
11．（2024高一上·芦溪期末）在中，角 的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）解：（1）∵，而，
∴，
∴，
又∵，∴，∴.
（2）解：
，
∵，∴，
∴的值域为.
【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理可得，结合三角恒等变换分析求解；
(2) 利用三角恒等变换整理可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
12．（2024高一上·酒泉期末）已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由得
又因为当时，的最小值为，
所以，即
所以故.
（2）解：由，得，于是，则，
令，不等式恒成立，即恒成立，
设，
因此解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据结合求，再已知条件 时，的最小值为.求周期，从而可得，即可得解析式；
（2）根据已知条件，先求函数的范围，令，不等式转化为恒成立，设，根据函数的单调性列方程组求解即可得实数m的取值范围.
13．（2023高一上·福州月考）已知的三个内角分别为，，，且满足，.
（1）试判断的形状；
（2）已知函数，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
又，
得，
化简得，解得，
又，∴，
∴，∴，∴，
∴为等边三角形．
（2）解： ∵
，
∴ .
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的余弦公式；三角形的形状判断；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据结合三角形内角关系求得，再由求得，从而判断三角形的形状；
（2）利用辅助角公式化简函数，再代入求值即可；
14．（2024高三上·绵阳高考模拟） 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：因为，，且，
，
，
又∵为内角，，
（2）解：由余弦定理，得，
解得或（舍去），
故，所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用向量的数量积运算，结合三角恒等变化即可求解.
(2)先利用余弦定理求出c，再利用三角形的面积公式即可求解.
15．（2024高三上·辽宁五校联考期末）的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）解：由题设及正弦边角关系可得：，则，
而，且，则.
（2）解：由题设，且，，
所以，则，
所以，则，即.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角的取值范围，进而得出角A的值.
（2）利用已知条件结合正弦定理和(1)中角A的值以及三角形内角和为180°的性质，进而得出角C与角B的关系式，再利用三角形中角的取值范围得出角B的取值范围，再结合两角差的正弦公式和辅助角公式，从而得出的值，再由角B的取值范围和三角函数的值得出角B的值.
16．（2023高一下·上饶期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.
（1）求函数的表达式；
（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；
（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）
【答案】（1）解：由已知可得，
∵盛水筒运动的角速度，
∴秒后盛水筒转过的角度为，
此时可得以为终边的角
∴
（2）解：当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），
相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），
（3）解：完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，
所需时间为秒，约为13.9小时.
所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.
【知识点】三角函数模型的简单应用；任意角三角函数的定义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意结合任意角三角函数的定义分析求解；
(2)结合三角函数的周期运算求解；
(3)根据题意运算求解即可.
17．（2023高一上·榆林期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）.
（1）写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）；
（2）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
【答案】（1）解：如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则.
又因为，，所以，
则.
，，
即，.
（2）解：不妨设，由题意得，
故，
①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立，
②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为.
综上，的最小值为40.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】 （1）过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM，根据已知条件易知，又因为，，得，根据即可求得函数的解析式；
（2） 不妨设，由题意得， 即分两种情况讨论，计算即可.
18．（2023高一上·增城期末）如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求A，b，，；
（2）为响应国家节能减排的号召，建议室温室25℃以上才开空调，求在内，该地适宜开空调的时间段．
【答案】（1）解：根据图象，，，
∵，∴，
由当，，解得.
（2）解：由（1）得，，
∵，则，由，即，得.
故.
∴适宜开空调的时间段为
【知识点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦型函数的部分图象，再结合函数的最高点的纵坐标和对称轴的位置，进而得出 A，b的值，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用五点对应法和的取值范围，进而得出的值。
（2）利用（1）求出函数的解析式，再利用余弦型函数的图象额已知条件，进而得出适宜开空调的时间段。
19．（2022高三上·苏州月考）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
【答案】（1）解：由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
故函数
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为-2，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）解：由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解时，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
从而
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用正弦的和差角和二倍角公式对f（x）进行化简，再根据对称轴推出周期，进而求出，写出函数解析式。
（2）利用y=Asin（wx+φ）的图像变换性质，求出g（x）的解析式，在根据题目给定的x的定义域结合三角函数的性质求出值域。
（3）利用函数图象，利用三角函数的对称性分析几个根之间的关系，得出要求的值域。
20．（2022高一下·景德镇期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
【答案】（1）解：由题意，函数，
根据正弦型函数的性质，可得，
所以，可得，
所以实验室这一天的最大温差为℃.
（2）解：由题意，令，即，即，
因为，可得，
所以，解得，
即在6时至22时这段时间内大棚需要降温
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的解析式画出正弦型函数的图象，进而求出正弦型函数的最值，再结合作差法得出实验室这一天的最大温差。
（2）利用已知条件得出 ， 再结合正弦型函数的解析式，进而结合正弦型函数的图象和 ， 进而得出实数t的取值范围，从而得出在6时至22时这段时间内大棚需要降温。
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