【精品解析】备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：函数的应用

备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：函数的应用
一、解答题
1．（2024·安徽模拟）已知，为正整数，。
（1）当时，设函数，，证明：有且仅有个零点；
（2）当时，证明：．
2．（2024·荆州市模拟） 已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）讨论函数在区间上的零点个数.
3．（2022高二下·房山期末）已知函数在处的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）在同一坐标系下画出的图象，以及切线l的图象；
（3）经过点做的切线，共有　 　条．（填空只需写出答案）
4．（2022高二下·汕尾期末）设函数.
（1）判断的单调性；
（2）若方程有两个相异实根，，求实数的取值范围，并证明：.
5．（2023高二下·丽水期末）已知函数.
（1）当时，求的零点；
（2）若关于的方程区间上有三个不同的解，且，求的取值范围；
（3）当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．
6．（2022高一上·龙岗期中）已知函数.
（1）若的两个零点为，，求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
7．（2022高三上·淮安期中）已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且
（3）求证：有唯一零点
8．（2023高一上·深圳月考）长江存储是我国唯一 一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
9．（2022高一上·长沙） 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
0 10 30 70
0 1150 2250 8050
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，求电动汽车在两段道路上分别以怎样的速度行驶时可以使总耗电量最少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
10．（2023·东莞期中） 某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？
11．（2023高三上·福州期中）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
12．（2021高三上·沈阳期中）四面体的一条棱长是，其余棱长都是．考虑满足题意四面体如图所示：取，其余棱长为1.
（1）把四面体的体积表示成的函数；
（2）求的值域和单调区间．
13．（2020高二上·河东期末）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 元（ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 元（ ）时，一年的销售量为 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值 ．
14．（2020高一下·湖北期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万件)，其中 为工厂工人的复工率（ ）.A公司生产 万件防护服还需投入成本 (万元).
（1）将A公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
15．（2023高一上·宁波期末）近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
16．（2023高一上·官渡期末）2022年10月31日下午，长征五号B运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）可用公式进行计算，其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位；吨）是推进剂和火箭质量的总和，称为总质比．已知X型火箭的喷流相对速度为2.
参考数据：，，.
（1）已知X型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进，X型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加1，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
17．（2023高一上·福田期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．（注：年平均盈利额）
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．
18．（2022高二上·福州月考）某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.
（1）经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？
19．（2022高一上·安阳期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为万吨，乙超市前个月的蔬菜总需求量为万吨，其中且，且前个月，乙超市的蔬菜总需求量为万吨．
（1）求第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式；
（2）若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定的取值范围．
20．（2022高一上·青岛期中）有一个农场计划用铁网栅栏建设一个矩形养殖棚，如图，养殖棚的后面是现成的土墙，其他三面用铁网栅栏，侧面长度为米．
（1）若铁网栅栏长共米且养殖棚内部两侧和前面都要留出宽米的投喂通道．
①求养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式，并求有效面积为（平方米）时的值；
②若后面现成的土墙足够长．求怎样设计，才能使有效养殖面积最大．
（2）若要使建设的养植棚面积为平方米，铁网栅栏建设费用为元/米，那么，当为何值时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：要证有且仅有个零点，即证仅有个实根，
即证，仅有个实根，
，
当时，，在区间上单调递增
又，， 所以在区间上有一个零点
当时，设
则，所以在区间上单调递增
又，，
所以存在，使得
所以，当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
又，，
所以在区间上无零点
综上所述，函数在内只有一个零点
（2）解：当时，，
要证，
只需证：，
令，则，所以在单调递减，
所以，所以
要证，只需证 ，
方法一，令，，则 ，
令，则 ，在单调递减，
，，
所以，，使，即 ，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
，所以原命题得证
方法二：令，则，
当时，当时，
在单调递减，在单调递增，
，
因为，，，
，
原命题得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对求导，判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可求证；
（2）根据题意，只需证，结合和同构函数，求证即可；
2．【答案】（1）证明：当时，，所以，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，，得证；
（2）解：由题意，，
所以，
当时，因为，
所以，所以在上单调递增；
.当时，设，
因为，
所以在上单调递增，
且
①当即时，
对恒成立，
所以在上单调递增，结合1可知，在上单调递增，
因为，所以在区间上的零点个数为1；
②当即时，
，使得，
结合可知：
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
所以存在和，使得，
即在区间上的零点个数为2.
综上：当时，在区间上的零点个数为1；
当时，在区间上的零点个数为2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断其单调性即可证明；
（2）由题意，，求导，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点个数.
3．【答案】（1）解：，，切点纵坐标为，切线斜率为：
故切线l的方程为：
（2）解：如下图所示：
（3）3
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：设切点坐标为，，
所以切线斜率为：
所以 ，故切线方程为：
又切线过点，所以，整理得：
令，，解得，
又，，且，
故有三个根.
此方程在实数上有三个不同的根，经过点做的切线有3条.
故答案为：3.
【分析】由已知条件对函数求导代入数值计算出切线的斜率，由此得出切线的方程，然后结合切线的性质，计算出结果从而得出方程根的个数以及切线的条数，进而得出答案。
4．【答案】（1）解：，令有，故在上单调递增；令有，故在上单调递减
（2）解：由得，
令，则，
设，则，因为，所以恒成立，
函数在单调递减，而，故在上，，
单调递增，在上，，单调递减，所以.且当趋近于0与正无穷大时，趋近于负无穷，故方程恰有两个相异的实根只需：，
所以实数的取值范围是；
下证：，不妨设，则，，
所以，因为，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
即，所以，所以.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2) 首先整理化简已知条件构造函数，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，解方程根的情况由函数单调性的额度，整理化简即可得证出结论。
5．【答案】（1）解：当时，令，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
所以的零点是
（2）解：令，
且，可得，
记，
作出的图像，如图所示，
由的图像得，且，
注意到是方程的两根，即方程的两根，可得，
所以.
（3）解：因为，
①当，即时，在上单调递减，
则，
可得
，
所以，得；
②当，即时，则在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，其中，
则，
可得
，
因为，所以，不满足条件；
所以实数的取值范围为．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】 (1)当a=1时， 令，分 和 两种情况求解可得 的零点；
(2)利用参数分离法分离参数可得 ， 构造函数 ，利用函数与方程的关系转化为 是方程的两根 ，利用根与系数的关系可求出 的取值范围；
(3)分 ， 两种情况讨论对称轴的位置，再利用放缩法进行求解，即可得实数的取值范围．
6．【答案】（1）解：因为的两个零点，，
则有，
解得：或（舍去）；
（2）解：由已知：，
当时，分解因式，
当时，，不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上可得：时，解集为；时，解集为；时，解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合韦达定理得出a，b的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和一元二次不等式求解方法以及根与系数的关系，进而得出关于的不等式的解集。
7．【答案】（1）解：由，则，将代入，可得，切线斜率，
则，整理可得.
（2）解：由，，，
设，，在递增，
，，知有，
且在小于0，在大于0，在递增，在递减，
在处取最大值，.
（3）证明：，，在上单调递减，
，又，所以，，
，故，且唯一，
故函数有唯一零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【分析】（1） 由，则，将代入，可得，切线斜率， 即可求出切线的方程；
（2） 由，，，判断的单调性，结合零点存在性定理证明存在实数使得 在处取最大值，且即可；
（3） ，，在上单调递减，结合零点存在性定理证明有唯一零点即可.
8．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
综上可知；
（2）解：当时，，
∴当时，利润取最大值700万元；
当时，，
∴当且仅当“”，即“”时，利润取最大值730万元，
综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，利用基本不等式求最值.
（1）根据利润=销售额-成本，分两种情况进行讨论可列出利润的函数解析式；
（2）根据（1）利润的函数解析式，当时，为二次函数，利用二次函数的性质可求出函数的最值；当时，，观察可得积为定值，利用基本不等式可求出函数的最值，最终比较得最大值可求出最大利润.
9．【答案】（1）解：因为函数是定义域上的减函数，又无意义，
所以函数和不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型，
由，解得，，
则，.
（2）解：由题意，高速路上的耗电量为：
，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，.
国道上的耗电量为：
，，
所以当时，.
综上所述，当高速路上速度为，国道上速度为时，总耗电最少，为.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，函数的单调性的应用，函数的最值问题.
（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③，再利用待定系数法即得；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得最小值，再由题可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质即得.
10．【答案】（1）解：由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，
又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态
（2）解：若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，
显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查基本不等式求最值，考查二次函数在闭区间上的最值
（1）首先列出平均成本后，根据基本不等式即可判断.
（2）分别算出两种方案的最大利润，进行比较可进行选择.
11．【答案】（1）解：由正弦定理得，则，即，①
又，由余弦定理得，即，②
由①②得，则有，所以，
由余弦定理逆定理得，
又，所以
（2）解：由（1）得，，，
，
由三角形三边关系可得，代入化简可得，
令，，，
，
，的取值范围是.
【知识点】函数的值域；正弦定理；余弦定理；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理及余弦定理的逆定理，从而结合角的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合（1）和三角形三边的关系，进而得出c，b的不等关系式，再结合换元法构造二次函数，再由二次函数图象求值域的方法，进而得出的取值范围。
12．【答案】（1）解：考虑满足题意四面体如图所示：取，其余棱长为1，
取的中点，的中点，连接，根据等边三角形三线合一，
，是平面内两条相交直线，
故平面，分别是点到平面的距离，
又，所以
则，
所以，，
即，.
（2）解：因为
由得：或，
由得：，定义域：
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
，，
函数的值域为.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质，结合三角形的几何性质即可得出线面垂直，然后由点到平面距离的定义，结合三棱锥的体积公式代入数值即可得出函数的解析式。
(2)由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间，结合函数的单调性即可得出函数的最值从而得出函数的值域。
13．【答案】解：（Ⅰ）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令 得 或 （不合题意，舍去）．
， ．
在 两侧 的值由正变负．
所以⑴当 即 时，
．
⑵当 即 时，
，
所以
答：若 ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）．
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由已知条件即可得出函数的解析式。
（Ⅱ） 根据题意对函数求导，结合导函数的性质以及a的取值范围即可得出原函数在不同区间上的单调性以及最值，由此即可求出函数在不同区间上的最值。
14．【答案】（1）由题意， ，
即 ， ， .
（2） ，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 ，
故政府补贴为 万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为 万元.
（3）对任意的 (万元)，A公司都不产生亏损，则 在 上恒成立，
不等式整理得， ，
令 ，则 ，则 ，
由函数 在 上单调递增，可得 ，
所以 ，即 .
所以当复工率 达到 时，对任意的 (万元)，A公司都不产生亏损.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 （1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；
（2）由y的解析式得到 根据x的范围得到 ，根据基本不等式，即可求得答案；
（3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到 在 上恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．
15．【答案】（1）解：因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得.
（2）解：由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
（3）解：由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合表中数据和代入法，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件结合函数建模的方法，进而得出函数的解析式。
（3） 由（2）知，所以，再利用分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法或函数的单调性求最值的方法，进而结合比较法得出函数 的最小值。
16．【答案】（1）解：由题意，，，，
所以，
所以X型火箭的最大速度约为4.
（2）解：由题意，经过材料更新和技术改进后，X型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，
要使火箭的最大速度至少增加1，则需，
所以，整理得，
所以，则，
由参考数据知，，所以，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为27.
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数函数的模型和代入法，进而得出X型火箭的最大速度。
（2） 由题意，经过材料更新和技术改进后，X型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加1，则需，所以，再结合指数与对数的互化公式得出 ， 从而得出材料更新和技术改进前总质比的最小整数值。
17．【答案】（1）解：设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立二次函数的模型，进而结合一元二次不等式求解方法和n的取值范围，从而得出该设备从第年开始实现总盈利。
(2) 方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，再利用二次函数的图象求最值的方法得出
当时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，再结合均值不等式求最值的方法得出当时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元，综上所述，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适。
18．【答案】（1）解：如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），
经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时.
（2）解：依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），
台风B影响A市的时间为小时.
【知识点】一元二次不等式及其解法；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，依题意得：，再利用两点距离公式得出，再结合一元二次不等式求解方法和作差法得出经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时。
（2） 依题意得：，整理得：，再利用一元二次不等式求解方法和作差法，进而得出台风B影响A市的时间为小时。
19．【答案】（1）解：由题意知：，解得：；
（且）.
（2）解：由题意得：，即；
对任意且恒成立；
设，则，
当，即时，；当，即时，；
，则，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数建模的方法得出第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式。
（2） 由题意得：，即，所以对任意且恒成立，设，则，再利用二次函数的图象求最值的方法得出实数m的取值范围。
20．【答案】（1）解：①由图可知，，
由，解得，
故养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式为，其中，
由，可得，解得或；
②当时，取最大值，即（平方米），
即当垂直与墙的一边边长为米时，有效养殖面积最大.
（2）解：由题意可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合函数建模的方法求出养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式，再利用代入法求出有效面积为（平方米）时的值。
（2）利用已知条件结合函数的模型 和均值不等式求最值的方法，进而得出当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元。
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：函数的应用
一、解答题
1．（2024·安徽模拟）已知，为正整数，。
（1）当时，设函数，，证明：有且仅有个零点；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）证明：要证有且仅有个零点，即证仅有个实根，
即证，仅有个实根，
，
当时，，在区间上单调递增
又，， 所以在区间上有一个零点
当时，设
则，所以在区间上单调递增
又，，
所以存在，使得
所以，当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
又，，
所以在区间上无零点
综上所述，函数在内只有一个零点
（2）解：当时，，
要证，
只需证：，
令，则，所以在单调递减，
所以，所以
要证，只需证 ，
方法一，令，，则 ，
令，则 ，在单调递减，
，，
所以，，使，即 ，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
，所以原命题得证
方法二：令，则，
当时，当时，
在单调递减，在单调递增，
，
因为，，，
，
原命题得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对求导，判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可求证；
（2）根据题意，只需证，结合和同构函数，求证即可；
2．（2024·荆州市模拟） 已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）讨论函数在区间上的零点个数.
【答案】（1）证明：当时，，所以，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，，得证；
（2）解：由题意，，
所以，
当时，因为，
所以，所以在上单调递增；
.当时，设，
因为，
所以在上单调递增，
且
①当即时，
对恒成立，
所以在上单调递增，结合1可知，在上单调递增，
因为，所以在区间上的零点个数为1；
②当即时，
，使得，
结合可知：
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
所以存在和，使得，
即在区间上的零点个数为2.
综上：当时，在区间上的零点个数为1；
当时，在区间上的零点个数为2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断其单调性即可证明；
（2）由题意，，求导，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点个数.
3．（2022高二下·房山期末）已知函数在处的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）在同一坐标系下画出的图象，以及切线l的图象；
（3）经过点做的切线，共有　 　条．（填空只需写出答案）
【答案】（1）解：，，切点纵坐标为，切线斜率为：
故切线l的方程为：
（2）解：如下图所示：
（3）3
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：设切点坐标为，，
所以切线斜率为：
所以 ，故切线方程为：
又切线过点，所以，整理得：
令，，解得，
又，，且，
故有三个根.
此方程在实数上有三个不同的根，经过点做的切线有3条.
故答案为：3.
【分析】由已知条件对函数求导代入数值计算出切线的斜率，由此得出切线的方程，然后结合切线的性质，计算出结果从而得出方程根的个数以及切线的条数，进而得出答案。
4．（2022高二下·汕尾期末）设函数.
（1）判断的单调性；
（2）若方程有两个相异实根，，求实数的取值范围，并证明：.
【答案】（1）解：，令有，故在上单调递增；令有，故在上单调递减
（2）解：由得，
令，则，
设，则，因为，所以恒成立，
函数在单调递减，而，故在上，，
单调递增，在上，，单调递减，所以.且当趋近于0与正无穷大时，趋近于负无穷，故方程恰有两个相异的实根只需：，
所以实数的取值范围是；
下证：，不妨设，则，，
所以，因为，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
即，所以，所以.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2) 首先整理化简已知条件构造函数，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，解方程根的情况由函数单调性的额度，整理化简即可得证出结论。
5．（2023高二下·丽水期末）已知函数.
（1）当时，求的零点；
（2）若关于的方程区间上有三个不同的解，且，求的取值范围；
（3）当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，令，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
所以的零点是
（2）解：令，
且，可得，
记，
作出的图像，如图所示，
由的图像得，且，
注意到是方程的两根，即方程的两根，可得，
所以.
（3）解：因为，
①当，即时，在上单调递减，
则，
可得
，
所以，得；
②当，即时，则在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，其中，
则，
可得
，
因为，所以，不满足条件；
所以实数的取值范围为．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】 (1)当a=1时， 令，分 和 两种情况求解可得 的零点；
(2)利用参数分离法分离参数可得 ， 构造函数 ，利用函数与方程的关系转化为 是方程的两根 ，利用根与系数的关系可求出 的取值范围；
(3)分 ， 两种情况讨论对称轴的位置，再利用放缩法进行求解，即可得实数的取值范围．
6．（2022高一上·龙岗期中）已知函数.
（1）若的两个零点为，，求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：因为的两个零点，，
则有，
解得：或（舍去）；
（2）解：由已知：，
当时，分解因式，
当时，，不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上可得：时，解集为；时，解集为；时，解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合韦达定理得出a，b的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和一元二次不等式求解方法以及根与系数的关系，进而得出关于的不等式的解集。
7．（2022高三上·淮安期中）已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且
（3）求证：有唯一零点
【答案】（1）解：由，则，将代入，可得，切线斜率，
则，整理可得.
（2）解：由，，，
设，，在递增，
，，知有，
且在小于0，在大于0，在递增，在递减，
在处取最大值，.
（3）证明：，，在上单调递减，
，又，所以，，
，故，且唯一，
故函数有唯一零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【分析】（1） 由，则，将代入，可得，切线斜率， 即可求出切线的方程；
（2） 由，，，判断的单调性，结合零点存在性定理证明存在实数使得 在处取最大值，且即可；
（3） ，，在上单调递减，结合零点存在性定理证明有唯一零点即可.
8．（2023高一上·深圳月考）长江存储是我国唯一 一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
综上可知；
（2）解：当时，，
∴当时，利润取最大值700万元；
当时，，
∴当且仅当“”，即“”时，利润取最大值730万元，
综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，利用基本不等式求最值.
（1）根据利润=销售额-成本，分两种情况进行讨论可列出利润的函数解析式；
（2）根据（1）利润的函数解析式，当时，为二次函数，利用二次函数的性质可求出函数的最值；当时，，观察可得积为定值，利用基本不等式可求出函数的最值，最终比较得最大值可求出最大利润.
9．（2022高一上·长沙） 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
0 10 30 70
0 1150 2250 8050
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，求电动汽车在两段道路上分别以怎样的速度行驶时可以使总耗电量最少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
【答案】（1）解：因为函数是定义域上的减函数，又无意义，
所以函数和不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型，
由，解得，，
则，.
（2）解：由题意，高速路上的耗电量为：
，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，.
国道上的耗电量为：
，，
所以当时，.
综上所述，当高速路上速度为，国道上速度为时，总耗电最少，为.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，函数的单调性的应用，函数的最值问题.
（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③，再利用待定系数法即得；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得最小值，再由题可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质即得.
10．（2023·东莞期中） 某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？
【答案】（1）解：由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，
又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态
（2）解：若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，
显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查基本不等式求最值，考查二次函数在闭区间上的最值
（1）首先列出平均成本后，根据基本不等式即可判断.
（2）分别算出两种方案的最大利润，进行比较可进行选择.
11．（2023高三上·福州期中）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理得，则，即，①
又，由余弦定理得，即，②
由①②得，则有，所以，
由余弦定理逆定理得，
又，所以
（2）解：由（1）得，，，
，
由三角形三边关系可得，代入化简可得，
令，，，
，
，的取值范围是.
【知识点】函数的值域；正弦定理；余弦定理；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理及余弦定理的逆定理，从而结合角的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合（1）和三角形三边的关系，进而得出c，b的不等关系式，再结合换元法构造二次函数，再由二次函数图象求值域的方法，进而得出的取值范围。
12．（2021高三上·沈阳期中）四面体的一条棱长是，其余棱长都是．考虑满足题意四面体如图所示：取，其余棱长为1.
（1）把四面体的体积表示成的函数；
（2）求的值域和单调区间．
【答案】（1）解：考虑满足题意四面体如图所示：取，其余棱长为1，
取的中点，的中点，连接，根据等边三角形三线合一，
，是平面内两条相交直线，
故平面，分别是点到平面的距离，
又，所以
则，
所以，，
即，.
（2）解：因为
由得：或，
由得：，定义域：
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
，，
函数的值域为.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质，结合三角形的几何性质即可得出线面垂直，然后由点到平面距离的定义，结合三棱锥的体积公式代入数值即可得出函数的解析式。
(2)由已知条件对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间，结合函数的单调性即可得出函数的最值从而得出函数的值域。
13．（2020高二上·河东期末）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 元（ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 元（ ）时，一年的销售量为 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值 ．
【答案】解：（Ⅰ）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令 得 或 （不合题意，舍去）．
， ．
在 两侧 的值由正变负．
所以⑴当 即 时，
．
⑵当 即 时，
，
所以
答：若 ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大值 （万元）．
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由已知条件即可得出函数的解析式。
（Ⅱ） 根据题意对函数求导，结合导函数的性质以及a的取值范围即可得出原函数在不同区间上的单调性以及最值，由此即可求出函数在不同区间上的最值。
14．（2020高一下·湖北期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万件)，其中 为工厂工人的复工率（ ）.A公司生产 万件防护服还需投入成本 (万元).
（1）将A公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
【答案】（1）由题意， ，
即 ， ， .
（2） ，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 ，
故政府补贴为 万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为 万元.
（3）对任意的 (万元)，A公司都不产生亏损，则 在 上恒成立，
不等式整理得， ，
令 ，则 ，则 ，
由函数 在 上单调递增，可得 ，
所以 ，即 .
所以当复工率 达到 时，对任意的 (万元)，A公司都不产生亏损.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 （1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；
（2）由y的解析式得到 根据x的范围得到 ，根据基本不等式，即可求得答案；
（3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到 在 上恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．
15．（2023高一上·宁波期末）近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
【答案】（1）解：因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得.
（2）解：由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
（3）解：由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合表中数据和代入法，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件结合函数建模的方法，进而得出函数的解析式。
（3） 由（2）知，所以，再利用分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法或函数的单调性求最值的方法，进而结合比较法得出函数 的最小值。
16．（2023高一上·官渡期末）2022年10月31日下午，长征五号B运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）可用公式进行计算，其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位；吨）是推进剂和火箭质量的总和，称为总质比．已知X型火箭的喷流相对速度为2.
参考数据：，，.
（1）已知X型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进，X型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加1，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
【答案】（1）解：由题意，，，，
所以，
所以X型火箭的最大速度约为4.
（2）解：由题意，经过材料更新和技术改进后，X型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，
要使火箭的最大速度至少增加1，则需，
所以，整理得，
所以，则，
由参考数据知，，所以，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为27.
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数函数的模型和代入法，进而得出X型火箭的最大速度。
（2） 由题意，经过材料更新和技术改进后，X型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加1，则需，所以，再结合指数与对数的互化公式得出 ， 从而得出材料更新和技术改进前总质比的最小整数值。
17．（2023高一上·福田期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．（注：年平均盈利额）
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】（1）解：设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立二次函数的模型，进而结合一元二次不等式求解方法和n的取值范围，从而得出该设备从第年开始实现总盈利。
(2) 方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，再利用二次函数的图象求最值的方法得出
当时，取得最大值，此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，再结合均值不等式求最值的方法得出当时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元，综上所述，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适。
18．（2022高二上·福州月考）某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.
（1）经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？
【答案】（1）解：如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），
经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时.
（2）解：依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），
台风B影响A市的时间为小时.
【知识点】一元二次不等式及其解法；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，依题意得：，再利用两点距离公式得出，再结合一元二次不等式求解方法和作差法得出经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时。
（2） 依题意得：，整理得：，再利用一元二次不等式求解方法和作差法，进而得出台风B影响A市的时间为小时。
19．（2022高一上·安阳期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为万吨，乙超市前个月的蔬菜总需求量为万吨，其中且，且前个月，乙超市的蔬菜总需求量为万吨．
（1）求第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式；
（2）若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知：，解得：；
（且）.
（2）解：由题意得：，即；
对任意且恒成立；
设，则，
当，即时，；当，即时，；
，则，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数建模的方法得出第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式。
（2） 由题意得：，即，所以对任意且恒成立，设，则，再利用二次函数的图象求最值的方法得出实数m的取值范围。
20．（2022高一上·青岛期中）有一个农场计划用铁网栅栏建设一个矩形养殖棚，如图，养殖棚的后面是现成的土墙，其他三面用铁网栅栏，侧面长度为米．
（1）若铁网栅栏长共米且养殖棚内部两侧和前面都要留出宽米的投喂通道．
①求养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式，并求有效面积为（平方米）时的值；
②若后面现成的土墙足够长．求怎样设计，才能使有效养殖面积最大．
（2）若要使建设的养植棚面积为平方米，铁网栅栏建设费用为元/米，那么，当为何值时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值．
【答案】（1）解：①由图可知，，
由，解得，
故养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式为，其中，
由，可得，解得或；
②当时，取最大值，即（平方米），
即当垂直与墙的一边边长为米时，有效养殖面积最大.
（2）解：由题意可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合函数建模的方法求出养植棚的有效养殖面积（平方米）与（米）之间的函数关系式，再利用代入法求出有效面积为（平方米）时的值。
（2）利用已知条件结合函数的模型 和均值不等式求最值的方法，进而得出当米时，铁网栅栏的总建设费用最小，并求出的最小值为元。
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