备考2024年高考数学提升专题特训：函数的应用
一、解答题
1．（2024高一上·中山期末）函数的性质通常指函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 零点等.已知
（1）研究并证明函数的性质；
（2）根据函数的性质，画出函数的大致图象.
【答案】（1）解：①函数的定义域为，
②因为定义域关于原点对称，又，所以是偶函数；
③任取，且，
则，
因为，所以，
又因为，所以，所以，即，
所以函数在区间上单调递增，
同理可得在区间上单调递增，
又是偶函数，则在和上单调递减；
④令，则，所以；
⑤函数没有零点；
（2）解：根据函数的性质，作出其图象如图所示：
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域；利用奇偶性和单调性的定义，判断函数的奇偶性以及单调性；再求函数的值域、即可得函数的零点个数；
（2）根据函数的性质画出函数的大致图象即可．
2．（2023高一上·淮安期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）由图可知，．因为，所以，．
代入有，
∴，
又∵，∴，∴.
（2）由题意知变换后
当时，令，即，
函数在时单调递减，此时，
函数在时单调递增，此时，
等价于有两解．
所以当时符合题意，即a的取值范围为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）易得，再根据图象结合余弦函数的性质求，结合特殊点求解即可得函数的解析式；
（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
3．（2024·扬州模拟）已知且，函数.
（1）若且，求函数的最值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数，
故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
所以，
又因为，，
所以；
（2）解：因为函数有两个零点
故有两解，
所以方程有两个不同的解，
即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
如图所示
而，所以，所以，
令，
因为，，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求导利用导数判断函数得单调性，根据单调性求函数的最值即可；
（2）将函数零点转化为方程根的问题，参变分离转化图象的交点问题，令，求导利用导数判断函数得单调性，作出图象求得，再令，利用极限思想判断函数的零点个数.
4．（2024高三上·广州模拟） 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
，由切点为，
，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
（2）解：由，令
则，
故在上为减函数．
又，
①当时，，故在上为增函数，
所以恒成立，故符合题意；
②当时，由于，
由且当时，
根据零点存在定理，必存在，使得，
由于在上为减函数，
故当时，，时，
故在上为增函数，
在上为减函数
所以当时，，故在上不恒成立，
所以不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，函数，求导可得，再求切线的斜率，最后求曲线在处的切线方程即可；
（2）由，令，则，故在上为减函数，再讨论 和时函数的单调性，即可求解.
5．（2023高一上·成都月考） 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，
因为的定义域为的偶函数，所以，
所以，
所以
所以
所以，即．
（2）解：由（1）知
所以，
令，，
即，整理得，
其中，所以，
令，则得，
①当时，，即，
所以方程在区间上有唯一解，
则方程对应的二次函数，恒有，，，
所以当时，方程在区间上有唯一解．
②当时，，即，
方程在区间上有唯一解，
因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有，
，所以满足恒有，解得
综上所述，当或时，有唯一零点．
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；
（2）由（1）知，则，令，整理可得，令，可得，再分，讨论函数的零点，求出a的值，综合可得实数a的取值范围.
6．（2023高二上·青岛开学考）已知函数．
（1）求证函数的图象过定点，并写出该定点；
（2）设函数，且，试证明函数在上有唯一零点．
【答案】（1）解：函数，
可得，由，可得，
则当时，，所以函数的图象过定点，该定点为；
（2）解：函数，
可得，又，解得，
则，由函数和均在上单调递增，
所以在上单调递增，故函数在上最多有一个零点，
又，，
则，
由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】（1）先得到的解析式，根据指数函数图象恒过（0，1），得x+1=0，由x值代入得y值，得该定点.
（2）先由已知条件得方程解出a的值，判定g(x)单调区间，根据零点存在定理得证.
7．物理课上老师拿出长为1米的一根导线，此导线中有一处折断无法通电（表面看不出来），如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，较为麻烦．想一想，怎样工作最合理？要把折断处的范围缩小到3～4厘米左右，要查多少次？
【答案】解：运用“二分法”的原理进行查找．经过5次查找，就可将折断处的范围缩小到3～4厘米左右
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】运用“二分法”的原理进行查找，即可得出结论．
8．关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．
【答案】解：设f（x）=2x2﹣3x﹣2k，则
∵关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，
∴f（﹣1）f（1）＜0或f（1）=0或△=0，
即（2+3﹣2k）（2﹣3﹣2k）＜0或k=﹣或k=﹣．
∴（5﹣2k）（﹣1﹣2k）＜0
∴﹣≤k＜或k=﹣．
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】设f（x）=2x2﹣3x﹣2k，利用关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，可得f（﹣1）f（1）＜0或f（1）=0或△=0，解不等式，即可求实数k的取值范围．
9．（2019高二上·北京期中）对关于 的方程 有近似解，必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数，介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线 ，估计零点的值在 附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：
在 处作曲线的切线，交 轴于点 ；
在 处作曲线的切线，交 轴于点 ；
在 处作曲线的切线，交 轴于点 ；
得到一个数列 ，它的各项就是方程 的近似解，按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题：
（1）求 的值；
（2）设 ，求 的解析式（用 表示 ）；
（3）求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法’，哪一种更快？请给出你的判断和依据.（参照值：关于 的方程 有解 ）
【答案】（1）解：因为 ，故可得 ，
则 ，
故可得 在 处的切线方程为 ，
整理得 ，令 ，则 .
根据题意，则 .
（2）解：由（1）中所求，
可得 ，
故可得 在 处的切线方程为
，
又因为 满足切线方程，
故可得
解得 .
故 .
（3）解：根据（1）和（2）中所求，
用牛顿法经过1次运算，可得近似解 ，
用牛顿法经过 次运算，可得近似解
用牛顿法经过3次运算，可得近似解
经过3次运算，牛顿法求得的近似解精确到了 ；
若采用二分法，选定初始区间为 ，
因为 ，经过一次运算，近似解为 ，
因为 ，经过二次运算，近似解为 ，
因为 ，经过三次运算，近似解为 ，
经过3次运算，二分法求得的近似解才精确到 .
不难发现，牛顿法相对二分法要更加快速
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；二分法求方程近似解
【解析】【分析】（1）根据题意，求函数求导解得切线斜率，再结合点斜式求得切线方程，即可容易得到结果；（2）求出 在 处的切线方程，则 满足切线方程即可；（3）根据牛顿法和二分法的操作步骤，即可展开运算，从而进行比较.
10．已知函数 .
（1）证明 有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 .
【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x 6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2 2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取 ， ，
∴ .∴ 的零点 ．取 ，
则 .
∴ .∴ ．
∵ ，∴满足题意的区间为
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
11．（2022高一上·北海期中）若函数在区间上有最大值4和最小值1，设；
（1）求a、b的值；
（2）关于x的方程有且仅有两个不同的实根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：，对称轴，在上单调递增，
所以，解得.
（2）解：由(1)知，
所以，
整理得，
令时，是减函数，且时，是增函数且，则，
所以）时，有两个实数解，时，无实数解．
原问题转化为（*）
在上只有1个实根，
，或，
时，方程（*）的解为满足题意
时，方程（*）的解为，满足题意，
，即或时，方程（*）有两个不等的实根，不妨设，
则，
时，即时，方程（*）的解为，满足题意．
即时，满足题意．
综上，实数k的取值范围是．
【知识点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据二次函数的单调性及最值列出方程组即可求解出a、b的值；
(2)将方程化为 ，换元转化为一元二次方程 ，分类讨论方程根的个数即可求出实数k的取值范围．
12．（2022高一上·如皋期中）已知，函数.
（1）若，且对任意，任意，恒有，求的取值范围；
（2）若关于的方程的解集是单元素集，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为对任意，任意，恒有，
所以在上的最大值与最小值之差小于等于1.
时，在上单调递增，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为在上的最大值为，
所以的取值范围是.
（2）解：因为若关于的方程的解集中是单元素集，
所以只有一解，
即在上有且只有一解，
①当时即时，，，舍去；
②当时即时，
解得，
综上，的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)由题意可知 在上的最大值与最小值之差小于等于1，整理得 对任意恒成立， 即可求解出的取值范围；
(2)根据题意 只有一解，即在上有且只有一解，分 和 两种情况讨论，即可求出的取值范围.
13．（2023高一上·保山期末）已知函数，.
（1）判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；
（2）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设有零点，则方程有解，即有解，
设，，得（*），
，（*）方程无正解，
所以没有零点.
（2）解：，
设，恒成立，
，
因为，所以恒成立，
所以恒成立，
又，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点
【解析】【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在时是否有解即可；
（2）设，利用函数在 上为单调递增函数，得恒成立，常数分离后得的取值范围.
14．（2023高一上·朝阳期末）已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：的最大值为6；
条件②：的零点为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（1）求a的值；
（2）求的最小值，以及取得最小值时x的值．
【答案】（1）解：
.
若选条件①，
则.
若选条件②，
则.
（2）解：若选条件①，由（1）得，
则当时，取得最小值为.
若选条件②，由（1）得，
则当时，取得最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数。若选条件①，则进而得出a的值。若选条件②，再利用代入法和函数的解析式以及诱导公式得出a的值。
（2） 若选条件①，由（1）得，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出的最小值，进而得出此时对应的x的值；若选条件②，由（1）得，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出的最小值，进而得出此时对应的x的值。
15．（2023高一上·浙江期中）天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”。预估生产线建设等固定成本投入为万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价元并能全部销售完．
（1）求出利润万元关于年产量万个的函数解析式
（2）当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本
（3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大并求出最大利润．
【答案】（1）解：总销售额：万元，总成本：固定成本万元，利润
（2）解：时，取最小值即可，
仅需，万，取个
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当万个时，利润最大为万．
当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为410万．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；“直线上升”模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义求解即可；
（2）当时，取最小值，由，求解即可；
（3）利用一次函数，二次函数的性质以及基本不等式分段求解最值，比较大小可得答案.
16．（2023高一上·重庆市月考）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
第天 1 2 5 10
（万件） 14.01 12 10.8 10.38
（1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
（2）若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
【答案】（1）解：由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②
第（天） 10
（万件）
观察表格中的4组数据
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，即，解得，可以检验相对合理，从而
（2）解：由（1）可得
当，当且仅当时取到最小值；
当时，由单调性的性质可得在上单调递减，故在时，有最小值为万元；又，综上可知：当时取得最小值.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；幂函数模型
【解析】【分析】（1）根据数据的变化选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
（2）由（1）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，
比较即可确定取最小值时对应的.
17．（2023·） 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018
投资成本 3 5 9 17 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【答案】（1）解：由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）解：由题知，解得.
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，代入②，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，检验不符合题意；把，代入③，求出函数解析式，当时，，所以选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断.
18．（2023高二下·北海期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换．已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和．在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为.
（1）求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”．请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到（第一宇宙速度）？
【答案】（1）解：因为火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，
又时，时，，
所以解得，
所以；
（2）解：设且，则，又，
所以时，可得，
即，解得，
故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）由题意 、、以及 ，可根据当时， ， 当时，，求出解得 ，即可得出最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）可设，则有 ， 即可求出k.
19．（2023高一上·淮安期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
(人数) … 6 … 36 … 216 …
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】（1）若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意.
（2）设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）将数据代入函数模型进行验证判断哪个函数模型更合适；
（2）根据指数函数、对数函数互化以及对数运算求解即可.
20．（2023高一上·沙坪坝月考）塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度 湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
【答案】（1）解：由题可知，所以，
所以，
解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.
（2）解：根据题意当时，，，
，若残留量不超过初始量的，则，即
两边取常用对数，
解得，所以至少需要26年.
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【分析】本题考查幂函数模型的基本应用.
（1）由题意代入条件式运算得解；
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
21．（2023高三上·梅河口月考） 某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
（2）解：由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据条件，得到函数的解析式，再结合二次函数的性质和基本不等式求出最值即可；
（2）根据条件，分和两种情况，求出正数a的取值范围.
22．（2019高一上·涪陵月考）某商品近一个月内（30天）预计日销量 （件）与时间t(天)的关系如图1所示，单价 （万元/件）与时间t(天)的函数关系如图2所示，（t为整数）
（1）试写出 与 的解析式；
（2）求此商品日销售额的最大值？
【答案】（1）解：由图象可知，
，
g(t)=
（2）解：设日销售额L（t）是天数t的函数，则有L(t)= f(t) ·g(t)=
当0≤t≤20时，L(t)= ，当t=11或12时，L(t)最大值为138万元，
当20答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）根据直线上的点可求 的解析式，根据分段函数以及一次函数可求 的解析式；（2）根据 ，可求求 的解析式，求出两段函数的值域，可得 的最值.
23．（2023高一上·定州期末）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由题意可得，由得，又，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
24．（2017·丰台模拟）某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
A 4 4 4.5 5 5.5 6 6
B 4.5 5 6 6.5 6.5 7 7 7.5
C 5 5 5.5 6 6 7 7 7.5 8 8
（1）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（2）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（3）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）．
【答案】（1）解：设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，
则购买的C品牌电动智能送风口罩为 台，
由题意得 ，所以x=800．
答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台
（2）解：设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P，
则 ．
答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为 .
（3）18．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，建立方程，即可求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出A品牌待机时长高于B品牌的概率；（3）根据平均数的定义，写出a+b+c的最小值．
25．（2022高一上·湖州期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．
（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．
（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．
依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；
当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.
所以P(x)＝；
（2）解：当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13，
当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；
当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.
由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)根据条件结合利润关系建立分段函数即可求出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)根据分段函数的解析式取出函数的单调性和最值进行求解即可得最大利润。
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：函数的应用
一、解答题
1．（2024高一上·中山期末）函数的性质通常指函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 零点等.已知
（1）研究并证明函数的性质；
（2）根据函数的性质，画出函数的大致图象.
2．（2023高一上·淮安期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
3．（2024·扬州模拟）已知且，函数.
（1）若且，求函数的最值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
4．（2024高三上·广州模拟） 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
5．（2023高一上·成都月考） 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．
6．（2023高二上·青岛开学考）已知函数．
（1）求证函数的图象过定点，并写出该定点；
（2）设函数，且，试证明函数在上有唯一零点．
7．物理课上老师拿出长为1米的一根导线，此导线中有一处折断无法通电（表面看不出来），如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，较为麻烦．想一想，怎样工作最合理？要把折断处的范围缩小到3～4厘米左右，要查多少次？
8．关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．
9．（2019高二上·北京期中）对关于 的方程 有近似解，必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数，介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线 ，估计零点的值在 附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：
在 处作曲线的切线，交 轴于点 ；
在 处作曲线的切线，交 轴于点 ；
在 处作曲线的切线，交 轴于点 ；
得到一个数列 ，它的各项就是方程 的近似解，按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题：
（1）求 的值；
（2）设 ，求 的解析式（用 表示 ）；
（3）求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法’，哪一种更快？请给出你的判断和依据.（参照值：关于 的方程 有解 ）
10．已知函数 .
（1）证明 有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 .
11．（2022高一上·北海期中）若函数在区间上有最大值4和最小值1，设；
（1）求a、b的值；
（2）关于x的方程有且仅有两个不同的实根，求实数k的取值范围．
12．（2022高一上·如皋期中）已知，函数.
（1）若，且对任意，任意，恒有，求的取值范围；
（2）若关于的方程的解集是单元素集，求的取值范围.
13．（2023高一上·保山期末）已知函数，.
（1）判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；
（2）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.
14．（2023高一上·朝阳期末）已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：的最大值为6；
条件②：的零点为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（1）求a的值；
（2）求的最小值，以及取得最小值时x的值．
15．（2023高一上·浙江期中）天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”。预估生产线建设等固定成本投入为万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价元并能全部销售完．
（1）求出利润万元关于年产量万个的函数解析式
（2）当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本
（3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大并求出最大利润．
16．（2023高一上·重庆市月考）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
第天 1 2 5 10
（万件） 14.01 12 10.8 10.38
（1）给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
（2）若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
17．（2023·） 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018
投资成本 3 5 9 17 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
18．（2023高二下·北海期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换．已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和．在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为.
（1）求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”．请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到（第一宇宙速度）？
19．（2023高一上·淮安期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
1 2 3 4 5 6 …
(人数) … 6 … 36 … 216 …
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
20．（2023高一上·沙坪坝月考）塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度 湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
21．（2023高三上·梅河口月考） 某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
22．（2019高一上·涪陵月考）某商品近一个月内（30天）预计日销量 （件）与时间t(天)的关系如图1所示，单价 （万元/件）与时间t(天)的函数关系如图2所示，（t为整数）
（1）试写出 与 的解析式；
（2）求此商品日销售额的最大值？
23．（2023高一上·定州期末）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
24．（2017·丰台模拟）某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
A 4 4 4.5 5 5.5 6 6
B 4.5 5 6 6.5 6.5 7 7 7.5
C 5 5 5.5 6 6 7 7 7.5 8 8
（1）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（2）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（3）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0．若μ0≤μ1，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）．
25．（2022高一上·湖州期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．
（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．
（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①函数的定义域为，
②因为定义域关于原点对称，又，所以是偶函数；
③任取，且，
则，
因为，所以，
又因为，所以，所以，即，
所以函数在区间上单调递增，
同理可得在区间上单调递增，
又是偶函数，则在和上单调递减；
④令，则，所以；
⑤函数没有零点；
（2）解：根据函数的性质，作出其图象如图所示：
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域；利用奇偶性和单调性的定义，判断函数的奇偶性以及单调性；再求函数的值域、即可得函数的零点个数；
（2）根据函数的性质画出函数的大致图象即可．
2．【答案】（1）由图可知，．因为，所以，．
代入有，
∴，
又∵，∴，∴.
（2）由题意知变换后
当时，令，即，
函数在时单调递减，此时，
函数在时单调递增，此时，
等价于有两解．
所以当时符合题意，即a的取值范围为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）易得，再根据图象结合余弦函数的性质求，结合特殊点求解即可得函数的解析式；
（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
3．【答案】（1）解：当时，函数，
故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
所以，
又因为，，
所以；
（2）解：因为函数有两个零点
故有两解，
所以方程有两个不同的解，
即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调减，
当时，，故在单调增，
如图所示
而，所以，所以，
令，
因为，，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求导利用导数判断函数得单调性，根据单调性求函数的最值即可；
（2）将函数零点转化为方程根的问题，参变分离转化图象的交点问题，令，求导利用导数判断函数得单调性，作出图象求得，再令，利用极限思想判断函数的零点个数.
4．【答案】（1）解：因为，所以，
，由切点为，
，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
（2）解：由，令
则，
故在上为减函数．
又，
①当时，，故在上为增函数，
所以恒成立，故符合题意；
②当时，由于，
由且当时，
根据零点存在定理，必存在，使得，
由于在上为减函数，
故当时，，时，
故在上为增函数，
在上为减函数
所以当时，，故在上不恒成立，
所以不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，函数，求导可得，再求切线的斜率，最后求曲线在处的切线方程即可；
（2）由，令，则，故在上为减函数，再讨论 和时函数的单调性，即可求解.
5．【答案】（1）解：依题意，
因为的定义域为的偶函数，所以，
所以，
所以
所以
所以，即．
（2）解：由（1）知
所以，
令，，
即，整理得，
其中，所以，
令，则得，
①当时，，即，
所以方程在区间上有唯一解，
则方程对应的二次函数，恒有，，，
所以当时，方程在区间上有唯一解．
②当时，，即，
方程在区间上有唯一解，
因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有，
，所以满足恒有，解得
综上所述，当或时，有唯一零点．
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；
（2）由（1）知，则，令，整理可得，令，可得，再分，讨论函数的零点，求出a的值，综合可得实数a的取值范围.
6．【答案】（1）解：函数，
可得，由，可得，
则当时，，所以函数的图象过定点，该定点为；
（2）解：函数，
可得，又，解得，
则，由函数和均在上单调递增，
所以在上单调递增，故函数在上最多有一个零点，
又，，
则，
由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】（1）先得到的解析式，根据指数函数图象恒过（0，1），得x+1=0，由x值代入得y值，得该定点.
（2）先由已知条件得方程解出a的值，判定g(x)单调区间，根据零点存在定理得证.
7．【答案】解：运用“二分法”的原理进行查找．经过5次查找，就可将折断处的范围缩小到3～4厘米左右
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】运用“二分法”的原理进行查找，即可得出结论．
8．【答案】解：设f（x）=2x2﹣3x﹣2k，则
∵关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，
∴f（﹣1）f（1）＜0或f（1）=0或△=0，
即（2+3﹣2k）（2﹣3﹣2k）＜0或k=﹣或k=﹣．
∴（5﹣2k）（﹣1﹣2k）＜0
∴﹣≤k＜或k=﹣．
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】设f（x）=2x2﹣3x﹣2k，利用关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，可得f（﹣1）f（1）＜0或f（1）=0或△=0，解不等式，即可求实数k的取值范围．
9．【答案】（1）解：因为 ，故可得 ，
则 ，
故可得 在 处的切线方程为 ，
整理得 ，令 ，则 .
根据题意，则 .
（2）解：由（1）中所求，
可得 ，
故可得 在 处的切线方程为
，
又因为 满足切线方程，
故可得
解得 .
故 .
（3）解：根据（1）和（2）中所求，
用牛顿法经过1次运算，可得近似解 ，
用牛顿法经过 次运算，可得近似解
用牛顿法经过3次运算，可得近似解
经过3次运算，牛顿法求得的近似解精确到了 ；
若采用二分法，选定初始区间为 ，
因为 ，经过一次运算，近似解为 ，
因为 ，经过二次运算，近似解为 ，
因为 ，经过三次运算，近似解为 ，
经过3次运算，二分法求得的近似解才精确到 .
不难发现，牛顿法相对二分法要更加快速
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；二分法求方程近似解
【解析】【分析】（1）根据题意，求函数求导解得切线斜率，再结合点斜式求得切线方程，即可容易得到结果；（2）求出 在 处的切线方程，则 满足切线方程即可；（3）根据牛顿法和二分法的操作步骤，即可展开运算，从而进行比较.
10．【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x 6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2 2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取 ， ，
∴ .∴ 的零点 ．取 ，
则 .
∴ .∴ ．
∵ ，∴满足题意的区间为
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
11．【答案】（1）解：，对称轴，在上单调递增，
所以，解得.
（2）解：由(1)知，
所以，
整理得，
令时，是减函数，且时，是增函数且，则，
所以）时，有两个实数解，时，无实数解．
原问题转化为（*）
在上只有1个实根，
，或，
时，方程（*）的解为满足题意
时，方程（*）的解为，满足题意，
，即或时，方程（*）有两个不等的实根，不妨设，
则，
时，即时，方程（*）的解为，满足题意．
即时，满足题意．
综上，实数k的取值范围是．
【知识点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据二次函数的单调性及最值列出方程组即可求解出a、b的值；
(2)将方程化为 ，换元转化为一元二次方程 ，分类讨论方程根的个数即可求出实数k的取值范围．
12．【答案】（1）解：因为对任意，任意，恒有，
所以在上的最大值与最小值之差小于等于1.
时，在上单调递增，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为在上的最大值为，
所以的取值范围是.
（2）解：因为若关于的方程的解集中是单元素集，
所以只有一解，
即在上有且只有一解，
①当时即时，，，舍去；
②当时即时，
解得，
综上，的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)由题意可知 在上的最大值与最小值之差小于等于1，整理得 对任意恒成立， 即可求解出的取值范围；
(2)根据题意 只有一解，即在上有且只有一解，分 和 两种情况讨论，即可求出的取值范围.
13．【答案】（1）解：设有零点，则方程有解，即有解，
设，，得（*），
，（*）方程无正解，
所以没有零点.
（2）解：，
设，恒成立，
，
因为，所以恒成立，
所以恒成立，
又，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点
【解析】【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在时是否有解即可；
（2）设，利用函数在 上为单调递增函数，得恒成立，常数分离后得的取值范围.
14．【答案】（1）解：
.
若选条件①，
则.
若选条件②，
则.
（2）解：若选条件①，由（1）得，
则当时，取得最小值为.
若选条件②，由（1）得，
则当时，取得最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数。若选条件①，则进而得出a的值。若选条件②，再利用代入法和函数的解析式以及诱导公式得出a的值。
（2） 若选条件①，由（1）得，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出的最小值，进而得出此时对应的x的值；若选条件②，由（1）得，再利用正弦型函数的图象求最值的方法得出的最小值，进而得出此时对应的x的值。
15．【答案】（1）解：总销售额：万元，总成本：固定成本万元，利润
（2）解：时，取最小值即可，
仅需，万，取个
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当万个时，利润最大为万．
当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为410万．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；“直线上升”模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义求解即可；
（2）当时，取最小值，由，求解即可；
（3）利用一次函数，二次函数的性质以及基本不等式分段求解最值，比较大小可得答案.
16．【答案】（1）解：由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②
第（天） 10
（万件）
观察表格中的4组数据
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，即，解得，可以检验相对合理，从而
（2）解：由（1）可得
当，当且仅当时取到最小值；
当时，由单调性的性质可得在上单调递减，故在时，有最小值为万元；又，综上可知：当时取得最小值.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；幂函数模型
【解析】【分析】（1）根据数据的变化选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
（2）由（1）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，
比较即可确定取最小值时对应的.
17．【答案】（1）解：由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）解：由题知，解得.
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，代入②，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，检验不符合题意；把，代入③，求出函数解析式，当时，，所以选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断.
18．【答案】（1）解：因为火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，
又时，时，，
所以解得，
所以；
（2）解：设且，则，又，
所以时，可得，
即，解得，
故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）由题意 、、以及 ，可根据当时， ， 当时，，求出解得 ，即可得出最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）可设，则有 ， 即可求出k.
19．【答案】（1）若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意.
（2）设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）将数据代入函数模型进行验证判断哪个函数模型更合适；
（2）根据指数函数、对数函数互化以及对数运算求解即可.
20．【答案】（1）解：由题可知，所以，
所以，
解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.
（2）解：根据题意当时，，，
，若残留量不超过初始量的，则，即
两边取常用对数，
解得，所以至少需要26年.
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【分析】本题考查幂函数模型的基本应用.
（1）由题意代入条件式运算得解；
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
21．【答案】（1）解：当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
（2）解：由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据条件，得到函数的解析式，再结合二次函数的性质和基本不等式求出最值即可；
（2）根据条件，分和两种情况，求出正数a的取值范围.
22．【答案】（1）解：由图象可知，
，
g(t)=
（2）解：设日销售额L（t）是天数t的函数，则有L(t)= f(t) ·g(t)=
当0≤t≤20时，L(t)= ，当t=11或12时，L(t)最大值为138万元，
当20答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）根据直线上的点可求 的解析式，根据分段函数以及一次函数可求 的解析式；（2）根据 ，可求求 的解析式，求出两段函数的值域，可得 的最值.
23．【答案】（1）解：由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由题意可得，由得，又，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
24．【答案】（1）解：设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台，
则购买的C品牌电动智能送风口罩为 台，
由题意得 ，所以x=800．
答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台
（2）解：设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P，
则 ．
答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为 .
（3）18．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，建立方程，即可求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出A品牌待机时长高于B品牌的概率；（3）根据平均数的定义，写出a+b+c的最小值．
25．【答案】（1）解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．
依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；
当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.
所以P(x)＝；
（2）解：当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13，
当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；
当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.
由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)根据条件结合利润关系建立分段函数即可求出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)根据分段函数的解析式取出函数的单调性和最值进行求解即可得最大利润。
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