备考2024年高考数学提升专题特训：数列
一、解答题
1．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
2．（2023高二上·鹤山月考）已知等差数列，前项和为，又．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
3．（2024高三上·重庆月考）记数列的前项和为，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求证：.
4．（2023高三上·浙江月考）已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，数列的前项和为，求的取值范围．
5．（2024高三下·济南模拟）假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米．求：
（1）截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？
（2）哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
6．（2024高三上·拉萨高考模拟）已知等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
7．（2024高三上·保定期末）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足_▲_，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．
8．（2024高三上·香坊期末） 已知在数列中，．
（1）令，证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：数列是等差数列．
9．（2024高三上·昌乐模拟）已知函数（为常数，且）.
（1）在下列条件中选择一个使数列是等比数列，说明理由；
①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为，公差为的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项构成的数列.
（2）设，当时，求数列的前项和，.
10．（2024·南宁模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+1＝2Sn+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
11．（2024高三上·海南高考模拟）已知数列是公比为2的等比数列.
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，证明：.
12．（2024高三上·牡丹江期末）已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、成等比数列，，，
（1）求数列和的通项公式
（2）若，求数列的前n项和．
13．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
14．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
15．（2022高二下·虹口期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
（1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
16．（2022高二下·玉林期中）
（1）请用分析法证明：；
（2）用数学归纳法证明不等式：．
17．（2022高二下·成都期中）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
18．（2023高三上·重庆市月考） 已知递增等比数列中，，成等差数列.
（1）求数列的前n项和；
（2）若设数列的前n项和为，求使得的最小正整数n的值.
19．（2023高三上·韶关模拟）已知数列的前项和满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，若成等比数列，求数列的前项和．
20．（2023高三上·遵义月考）已知数列的前项和为，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和.
21．（2023·吉林模拟）已知数列的前项和为，，．
（1）请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求；
（2）令，求数列的前项和，并证明．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当时，．
当时，由，
得，
则，
因为满足，所以．
当时，．
因为满足，所以．
（2）解：由（1）可知，，
则是以7为首项，2为公差的等差数列，则．
【知识点】等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题主要考查数列求通项公式、等差数列求和，
（1）利用与前n项和的关系，再检验n=1，时即可得出答案；
（2）由（1）知，再根据等差数列求和公式求和即可.
2．【答案】（1）解：设 等差数列 的公差为d，
则 ，解得，
所以 数列的通项公式 .
（2）解：由（1）可得 ， ，
令 ，解得；令 ，解得；
当，则
；
当，则
；
综上所述：
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】 (1) 设 等差数列 的公差为d，列式求，即可得通项公式；
(2) 由（1）可得 ， ，分和两种情况，利用分组求和运算求解.
3．【答案】（1）证明：（1）记数列的前项和为，且，（1）
所以
（1）-（2）得出
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，数列是以1为首项，公比为2的等比数列。
（2）证明：由（1）可知数列是以1为首项，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为即
所以所以
则
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式和等比数列的定义，进而由递推公式变形证出数列是等比数列.
（2）利用（1）中数列是等比数列结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再结合数列求和的方法和放缩法以及等比数列前n项和公式，进而证出不等式成立.
4．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
，
，
，
又，
，
，
是等差数列，
；
（2）解：，
（1），
（2），
由（1）-（2）得，
化简得，
若为偶数时，，
若为奇数时，
因此.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和公式，利用 列方程组，求出首项和公差；
(2)由(1)得，利用错位相减法求出前项和，分的奇偶性求的取值范围．
5．【答案】（1）解：设中、低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列
其中
则
所以
∴截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米
（2）解：设新建住房面积构成数列，由题意可知是等比数列
其中
则
由题意可知
经验证可得：满足上述不等式的最小正整数，
∴到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，设中、低价房面积构成等差数列，由已知条件可得首项和公差，再根据等差数列求和公式求解即可；
（2）设新建住房面积构成等比数列，由首项和公比求，再根据，解不等式即可求解.
6．【答案】（1）解：设的公差为，
由已知得解得．
故．
（2）解：，
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、列式相消求和，利用等差数列的通项公式，及已知条件可得：解出从而得数列的通项公式；
（2）由（1）知：，然后运用列式相消法求和即可.
7．【答案】（1）解：若选①且
由可得.
又，
所以数列是常数列，且，所以.
若选②
由已知可得，.
当时，有；
当时，有，
，
两式作差可得，，
所以.
又满足，所以.
若选③且，
由可得，，
所以，数列是等差数列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）解：由（1）知，，所以.
设等比数列公比为，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）若选①且，再利用递推公式变形和常数列的定义，进而证出数列是常数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式；
若选②，利用的关系式和分类讨论的方法以及检验法，进而得出数列的通项公式；
若选③且，，再利用递推公式变形和等差中项公式，进而判断出数列是等差数列，再利用已知条件结合等差数列的通项公式等差公差的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）由（1）得出的数列的通项公式得出数列的第二项的值，再利用正向=项等比数列得出公比的取值范围，再结合已知条件和等比数列的通项公式得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，进而得出数列的前项和。
8．【答案】（1）证明：因，所以，则，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由①，
可得②，①-②可得，
所以
，
又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由递推关系式，可得，再利用等比数列定义化简可得，从而证明数列是等比数列；
（2）由，可得，两式相减化简可得，再化简可得结论，从而证明数列是等差数列．
9．【答案】（1）解：①③不能使成等比数列.②可以：
由题意若选①：，即，得，所以常数，所以不成等比数列.
若选②：，即，得，且，，常数且，为非零常数，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
若选③：，即，所以，所以常数，所以不成等比数列.综上所述：选条件②.
（2）解：由（1）知，
当时，.，，
，
.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的应用
【解析】【分析】（1）分别验证条件①②③是否可以使成等比数列，从而可得①③不能使成等比数列.②可以，从而可求解.
(2)由（1）得，从而得，然后利用裂项求和从而可求解.
10．【答案】（1）：由an+1＝2Sn+2，可得an＝2Sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1＝3an（n≥2）
又a1＝2，a2＝2a1+2＝6＝3a1，所以，即，∴an≠0，
故数列{an}是公比为3的等比数列．所以．
（2）解：由（1）可知，．因为an+1＝an+（n+2﹣1）dn，所以
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得（*）
因为m，k，p成等差数列，所以m+p＝2k，从而（*）可以化简为k2＝mp．
联立，可得k＝m＝p，这与题设矛盾．
所以数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质；等比中项
【解析】【分析】(1)根据条件，得到，化简后得到，即可说明数列是公比为3的等比数列，再求出通项公式即可；
（2）根据条件，得到，假设在数列中存在三项(其中成等差数列)成等比数列，化简后得到，这与题设矛盾，从而说明不存在三项成等比数列.
11．【答案】（1）解：由，可得，
故，
所以数列的通项公式为.
则，
故，①
.②
由②-①可得，
.
（2）解：证明：若，则数列的通项公式为.
当时，；
当时，.
故.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)利用等比数列通项公式，求得出首项的值即可得，进而计算出数列的通项公式，利用错位相减法即可求出的前n项和.(2)将代入，由当时，；
当时，利用类比，结合等比数列求和公式，即可证明不等式.
12．【答案】（1）解：
递增，，，
（2）解：．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式以及等差数列的单调性，进而得出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式等差数列的通项公式，利用数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）由（1）得出的数列和的通项公式结合，进而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法，进而求出数列的前n项和。
13．【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
14．【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【知识点】数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
15．【答案】（1）解：令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
（2）解：当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ，的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明．
16．【答案】（1）解：要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
即证：，也就是证：42>40，
而42>40显然成立，
故原不等式得证．
（2）证明：①当时，左边，时成立
②假设当时成立，即
那么当时，左边
∴时也成立
根据①②可得不等式对所有的n>1都成立．
【知识点】分析法和综合法；数学归纳法的应用
【解析】【分析】 (1)利用分析法的证明步骤，转化证明即可；
(2)利用数学归纳法的证明步骤，证明即可.
17．【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
18．【答案】（1）解：由题，即，因为，
所以，解得或1，
又因为等比数列为递增数列，
所以，所以公比，所以，
.
（2）解：，
，
，
作差：，
所以，由，所以为单调递增数列.
又，
所以的最小值为8.
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的函数特性；等差数列的性质；等比数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列为等比数列，结合成等差数列，求出值，从而可得，最后利用等差数列前项和公式求解即可；
（2），利用错位相减法即可求得，再根据其单调性即可求解.
19．【答案】（1）解：由题可知
，
有，
相减得
综上可得，故是等差数列
（2）解：，故，解得，
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，当，求得，相减得到，即可得证；
（2）先求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
20．【答案】（1）解：因为当时，，且，
若，则，解得，
若，则，
两式相减可得：，整理得，
即，可得；
可知不符合上式，符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可得：，
当时，则；
当时，则；
可知符合上式，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据与之间的关系，分和，两种情况运算，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消去运算，即可求解.
21．【答案】（1）解：选择①
由已知可得：
当时，
当且时，
即
又不符合上式
选择②
即．
又
是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可知，
，，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】
（1）选择①，分类条例和，利用作差法得到，从而根据等比数列的定义，求得的通项公式；选择②：由，转化为，得到，从而根据等比数列的定义，求得的通项公式；
（2）利用裂项相消求和，得到，再利用放缩法，得以证明.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：数列
一、解答题
1．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解：当时，．
当时，由，
得，
则，
因为满足，所以．
当时，．
因为满足，所以．
（2）解：由（1）可知，，
则是以7为首项，2为公差的等差数列，则．
【知识点】等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题主要考查数列求通项公式、等差数列求和，
（1）利用与前n项和的关系，再检验n=1，时即可得出答案；
（2）由（1）知，再根据等差数列求和公式求和即可.
2．（2023高二上·鹤山月考）已知等差数列，前项和为，又．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设 等差数列 的公差为d，
则 ，解得，
所以 数列的通项公式 .
（2）解：由（1）可得 ， ，
令 ，解得；令 ，解得；
当，则
；
当，则
；
综上所述：
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】 (1) 设 等差数列 的公差为d，列式求，即可得通项公式；
(2) 由（1）可得 ， ，分和两种情况，利用分组求和运算求解.
3．（2024高三上·重庆月考）记数列的前项和为，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：（1）记数列的前项和为，且，（1）
所以
（1）-（2）得出
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，数列是以1为首项，公比为2的等比数列。
（2）证明：由（1）可知数列是以1为首项，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为即
所以所以
则
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式和等比数列的定义，进而由递推公式变形证出数列是等比数列.
（2）利用（1）中数列是等比数列结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再结合数列求和的方法和放缩法以及等比数列前n项和公式，进而证出不等式成立.
4．（2023高三上·浙江月考）已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，数列的前项和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
，
，
，
又，
，
，
是等差数列，
；
（2）解：，
（1），
（2），
由（1）-（2）得，
化简得，
若为偶数时，，
若为奇数时，
因此.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和公式，利用 列方程组，求出首项和公差；
(2)由(1)得，利用错位相减法求出前项和，分的奇偶性求的取值范围．
5．（2024高三下·济南模拟）假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米．求：
（1）截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？
（2）哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
【答案】（1）解：设中、低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列
其中
则
所以
∴截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米
（2）解：设新建住房面积构成数列，由题意可知是等比数列
其中
则
由题意可知
经验证可得：满足上述不等式的最小正整数，
∴到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，设中、低价房面积构成等差数列，由已知条件可得首项和公差，再根据等差数列求和公式求解即可；
（2）设新建住房面积构成等比数列，由首项和公比求，再根据，解不等式即可求解.
6．（2024高三上·拉萨高考模拟）已知等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
【答案】（1）解：设的公差为，
由已知得解得．
故．
（2）解：，
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、列式相消求和，利用等差数列的通项公式，及已知条件可得：解出从而得数列的通项公式；
（2）由（1）知：，然后运用列式相消法求和即可.
7．（2024高三上·保定期末）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足_▲_，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．
【答案】（1）解：若选①且
由可得.
又，
所以数列是常数列，且，所以.
若选②
由已知可得，.
当时，有；
当时，有，
，
两式作差可得，，
所以.
又满足，所以.
若选③且，
由可得，，
所以，数列是等差数列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）解：由（1）知，，所以.
设等比数列公比为，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）若选①且，再利用递推公式变形和常数列的定义，进而证出数列是常数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式；
若选②，利用的关系式和分类讨论的方法以及检验法，进而得出数列的通项公式；
若选③且，，再利用递推公式变形和等差中项公式，进而判断出数列是等差数列，再利用已知条件结合等差数列的通项公式等差公差的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）由（1）得出的数列的通项公式得出数列的第二项的值，再利用正向=项等比数列得出公比的取值范围，再结合已知条件和等比数列的通项公式得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，进而得出数列的前项和。
8．（2024高三上·香坊期末） 已知在数列中，．
（1）令，证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：数列是等差数列．
【答案】（1）证明：因，所以，则，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由①，
可得②，①-②可得，
所以
，
又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由递推关系式，可得，再利用等比数列定义化简可得，从而证明数列是等比数列；
（2）由，可得，两式相减化简可得，再化简可得结论，从而证明数列是等差数列．
9．（2024高三上·昌乐模拟）已知函数（为常数，且）.
（1）在下列条件中选择一个使数列是等比数列，说明理由；
①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为，公差为的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项构成的数列.
（2）设，当时，求数列的前项和，.
【答案】（1）解：①③不能使成等比数列.②可以：
由题意若选①：，即，得，所以常数，所以不成等比数列.
若选②：，即，得，且，，常数且，为非零常数，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
若选③：，即，所以，所以常数，所以不成等比数列.综上所述：选条件②.
（2）解：由（1）知，
当时，.，，
，
.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的应用
【解析】【分析】（1）分别验证条件①②③是否可以使成等比数列，从而可得①③不能使成等比数列.②可以，从而可求解.
(2)由（1）得，从而得，然后利用裂项求和从而可求解.
10．（2024·南宁模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+1＝2Sn+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）：由an+1＝2Sn+2，可得an＝2Sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1＝3an（n≥2）
又a1＝2，a2＝2a1+2＝6＝3a1，所以，即，∴an≠0，
故数列{an}是公比为3的等比数列．所以．
（2）解：由（1）可知，．因为an+1＝an+（n+2﹣1）dn，所以
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得（*）
因为m，k，p成等差数列，所以m+p＝2k，从而（*）可以化简为k2＝mp．
联立，可得k＝m＝p，这与题设矛盾．
所以数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质；等比中项
【解析】【分析】(1)根据条件，得到，化简后得到，即可说明数列是公比为3的等比数列，再求出通项公式即可；
（2）根据条件，得到，假设在数列中存在三项(其中成等差数列)成等比数列，化简后得到，这与题设矛盾，从而说明不存在三项成等比数列.
11．（2024高三上·海南高考模拟）已知数列是公比为2的等比数列.
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：由，可得，
故，
所以数列的通项公式为.
则，
故，①
.②
由②-①可得，
.
（2）解：证明：若，则数列的通项公式为.
当时，；
当时，.
故.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)利用等比数列通项公式，求得出首项的值即可得，进而计算出数列的通项公式，利用错位相减法即可求出的前n项和.(2)将代入，由当时，；
当时，利用类比，结合等比数列求和公式，即可证明不等式.
12．（2024高三上·牡丹江期末）已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、成等比数列，，，
（1）求数列和的通项公式
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：
递增，，，
（2）解：．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式以及等差数列的单调性，进而得出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式等差数列的通项公式，利用数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）由（1）得出的数列和的通项公式结合，进而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法，进而求出数列的前n项和。
13．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
14．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【知识点】数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
15．（2022高二下·虹口期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
（1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
【答案】（1）解：令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
（2）解：当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ，的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明．
16．（2022高二下·玉林期中）
（1）请用分析法证明：；
（2）用数学归纳法证明不等式：．
【答案】（1）解：要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
即证：，也就是证：42>40，
而42>40显然成立，
故原不等式得证．
（2）证明：①当时，左边，时成立
②假设当时成立，即
那么当时，左边
∴时也成立
根据①②可得不等式对所有的n>1都成立．
【知识点】分析法和综合法；数学归纳法的应用
【解析】【分析】 (1)利用分析法的证明步骤，转化证明即可；
(2)利用数学归纳法的证明步骤，证明即可.
17．（2022高二下·成都期中）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数学归纳法的原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
18．（2023高三上·重庆市月考） 已知递增等比数列中，，成等差数列.
（1）求数列的前n项和；
（2）若设数列的前n项和为，求使得的最小正整数n的值.
【答案】（1）解：由题，即，因为，
所以，解得或1，
又因为等比数列为递增数列，
所以，所以公比，所以，
.
（2）解：，
，
，
作差：，
所以，由，所以为单调递增数列.
又，
所以的最小值为8.
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的函数特性；等差数列的性质；等比数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列为等比数列，结合成等差数列，求出值，从而可得，最后利用等差数列前项和公式求解即可；
（2），利用错位相减法即可求得，再根据其单调性即可求解.
19．（2023高三上·韶关模拟）已知数列的前项和满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，若成等比数列，求数列的前项和．
【答案】（1）解：由题可知
，
有，
相减得
综上可得，故是等差数列
（2）解：，故，解得，
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，当，求得，相减得到，即可得证；
（2）先求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
20．（2023高三上·遵义月考）已知数列的前项和为，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和.
【答案】（1）解：因为当时，，且，
若，则，解得，
若，则，
两式相减可得：，整理得，
即，可得；
可知不符合上式，符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可得：，
当时，则；
当时，则；
可知符合上式，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据与之间的关系，分和，两种情况运算，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消去运算，即可求解.
21．（2023·吉林模拟）已知数列的前项和为，，．
（1）请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求；
（2）令，求数列的前项和，并证明．
【答案】（1）解：选择①
由已知可得：
当时，
当且时，
即
又不符合上式
选择②
即．
又
是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可知，
，，
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】
（1）选择①，分类条例和，利用作差法得到，从而根据等比数列的定义，求得的通项公式；选择②：由，转化为，得到，从而根据等比数列的定义，求得的通项公式；
（2）利用裂项相消求和，得到，再利用放缩法，得以证明.
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