备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：一元函数导数及其应用
一、解答题
1．（2018高二上·陆川期末）已知函数 ， ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的单调递减区间；
（2）若对任意的 ， （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，
解得 或 ，
则函数 的单调递减区间为 ，
（2）解：对任意的 都有 成立等价于在定义域 内有 ．
当 时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 时， ，(仅在 且 时取等号)
∴函数 在 上是增函数，
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ 不合题意．
②当 时，
若 ，则 ，
若 ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ . 由 ，得 ，
又 ，∴ ．
③当 且 时， ，(仅在 且 时取等号)
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ ．
综上所述：
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数的概念
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于在定义域[1，e]内有f（x）min≥g（x）max，通过讨论a的范围分别求出f（x），g（x）的最值，求出a的范围即可．
2．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）解：因为，所以．
，
故曲线在处的切线方程为，即．
（2）证明：令，
则．
因为，所以．
令，则．
令，则．
当时，单调递增，故，即在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，则在上单调递增，
故，即．
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，运用导函数判定函数的单调性求最值，
（1）因为，先对求导，然后运用导数的几何意义可得，然后运用点斜式求解即可；
（2）令，对g(x)求导可得，根据不等式的性质可得当，．再构造新函数，通过求导利用导函数的正负判定出在上单调递增，从而得到，即在上恒成立，则在上单调递增，找到的最小值即可求解.
3．（2024高三上·贵阳月考）已知函数.
（1）若，求的单调区间与零点；
（2）若且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
因为.
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以有唯一零点.
（2）解：令，
则原不等式在恒成立，
①若，则，
先证明当时，.
事实上，令，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，所以.
由，得.
因为当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
所以.
因此当时，，
令，
因为的图象是开口向下的抛物线，
所以存在，使得，从而，
，不合题意.
②若，则，
令，
（i）当时，，
（ii）当时，，
所以在上单调递增，所以当时，，
由（i）（ii）知当时，，满足题意，
综上，的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式得到：，然后求导，判定导函数的正负，确定函数的单调区间，进而求出函数的零点；
（2）通过不等式，构造新函数：，通过证明在区间恒成立解决，然后分、通过导函数确定的单调性，找到的最小值，即可求解.
4．（2023高三上·牡丹江月考）已知曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）已知为整数，关于的不等式在时恒成立，求的最大值.
【答案】（1）解：由题知，，
在处的切线方程为.
（2）解：由（1）知，
在上是增函数，关于的不等式在时恒成立，
不等式，
即在时恒成立.
设，则.
设，则在区间是增函数，
存在，使，
当时，，当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，又为整数，的最大值为3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对函数求导得到：然后利用导数的几何意义得到：在处切线的斜率，再利用函数求出再结合切线的方程即可求解；
（2）由（1）得到函数的解析式：求导后，利用导数的正负判定出函数的单调性： 在上是增函数，即可将不等式中的对应法则去掉得到：，再利用分离参数的方法得到：在时恒成立. 再构造新函数，然后再求导，利用导函数求出其单调性，找到最小值即可求解.
5．（2023高三上·哈尔滨月考） 已知，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）证明存在唯一的极值点
（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：当时，可得，
即，所以切线斜率为，又，
所以切线方程为，即
（2）证明：易知，
令可得，
令，则在上恒成立，
即可得在单调递增，
当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于；
其图象如下图所示：
所以当时，与的图像仅有一个交点，
令，则当时，，即，在单调递减，
当时，，即，在单调递增，
所以可知为的极小值点，即存在唯一的极值点；
（3）解：由（2）可知，此时，
所以的最小值为，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
时，，即在上单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值
若存在a，使得对任意成立，
即存在a使得在成立，即，
所以实数b的取值范围为
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式求得函数的解析式，然后对函数求导后，利用导数的几何意义求出其在点处的切线方程 即可求解；
（2）对原函数求导后令，分离参数得到：，构造新函数：，然后求导利用导数的正负判定出单调区间，结合题意可知：当时，与的图像仅有一个交点，从而证明结论；
（3）将不等式转化为：恒成立问题，即求的最小值问题，构造函数，然后求导利用导数的正负判定出单调区间，找到其最小值即可求解.
6．（2023高三上·长春期中）已知函数，其中a为实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.
【答案】（1）解：当时，，，
，又，
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）解：①当时，，则，故，
令，则，
令，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴当时，，∴，
∴在上单调递增，，∴．
②当时，，则，故．
由①知当时，，
在上单调递增，当时，，
∴，∴在上单调递增，
∴，∴．
综合①②得：.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）把a=2带入即可得函数的解析式，并得到的函数值，然后再对函数求导，根据导函数的几何意义可得点处切线的斜率，然后再由点斜式即可写出函数在处的切线方程；（2）根据题意分：和两种情况进行分类讨论，由
，①当时可变形为：，构造新函数：，然后对求导，利用导函数判定出在上单调递增，找出在（0，1）上的最大值，②当时，可变形为：，并结合①知道在上单调递增，找到在上的最小值，最后综合①②即可求解.
7．（2018高二下·佛山期中）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
【答案】（1）解：当 时， ， ， ，
所以函数在 处的切线方程为 ，化简可得
（2）解：函数定义域为 ，则 ，则 ， 是 的两个根，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，
令 ， ，
则 ， ，
所以 ，则 在 上为增函数，
所以， 所以
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）解决本题时，掌握导函数在某点处的数值为曲线上过该点的切线斜率，即可得出答案。
（2）首先求出导函数，根据题意可以确定的取值范围，同时通过参变分离，可以用表示出a，此时引入一个新的函数方程，令，此时问题便转化成求的最小值，即可得出答案。
8．（2024高三上·绵阳高考模拟）已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.
（1）当M的坐标为(0，-1)时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆恒过点M.
【答案】（1）解：解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，
由消得（1）.
令，解得.
代入方程(1)，解得A(2，1)，B(-2，1).
设圆心的坐标为，由，得，解得.
故过三点的圆的方程为．
（2）证明：设，由已知得，，设切点分别为，，所以，，
切线 的方程为即，
切线的方程为即．
又因为切线过点，所以得. ①
又因为切线也过点，所以得. ②
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得．
因为，，
所以
．
将代入，得.
所以以为直径的圆恒过点．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1)设过点的切线方程为，直线方程和抛物线方程联立即可求出，代入方程（1）可求出A，B坐标，再利用，即可求出a，从而求出圆的方程.
(2)设，设切点分别为，，把抛物线方程化求导即可求出切线，MB 的方程，又因为切线过点，切线也过点，这样可以发现，是一个关于的一元二次方程的两个根，由根与系数关系可得，算出=0，即可证明出以为直径的圆恒过点M.
9．（2023·诸暨模拟）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，证明：.
【答案】（1）解：当时，，其中，
所以，且，
因为函数和都是减函数，故也是减函数.
所以当时，单调递增，当时，，
单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：根据题意可知，，
设，则单调递减，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
（3）证明：法一：若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中.
当时，，故当时，，
当时，若，则，
若，则，故，
所以当时，成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
法二：
若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中，
.
成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
【知识点】导数的加法与减法法则；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，对求导，根据导数符号的正负即可确定单调区间；
（2）对求导，再对进行求导，根据导数符号的正负证明g(x)先增后减，g(x)有最大值，只需证明最大值小于0即可；
（3）由（2）可知，即可得到，可证明，对求导，可得在上单调递增，则，再证明即可得证.
10．（2023高三上·罗湖月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，由，在上单调递增，
当时，令，可得，令，可得，
单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）解：设，则，
①当时，，
令，则，
令，则，
在区间上单调递增，则，
在区间上单调递增，则，
，
在区间上单调递增，则恒成立，
②若时，则，，
，使得，
在区间上单调递减，则，与条件矛盾，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1)先对求导，再分，两种情况讨论分别求出的单调区间.
(2)令，对进行求导，①当时 令，对进行求导可得，再令进行求导，由导数与单调性与最值的关系可得 在区间上单调递增，则恒成立.
②若时 ， 在区间上单调递减，则，与条件矛盾，
11．讨论函数 的单调性.
【答案】解： 的定义域为 ，函数 是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性. ，当 时， ， 所以当 时， ，所以函数 在（0，1）上是减函数；当 时， ，所以函数 在 （0，1）上是增函数.又函数 是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，从而可知当 时， 在 上是减函数，当 时， 在 上是增函数
【知识点】奇函数与偶函数的性质；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】先判断函数为奇函数，利用奇函数的对称性可以之研究函数在（0，1）上的单调性，利用导函数讨论函数 f ( x ) 在区间（0，1）上的单调性，从而可以说明函数 f ( x ) 的单调性.
12．（2023高二上·福州期中）设f（x）=﹣x3+x2+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值.
【答案】（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为
∴在递减
∴
解得．
（2）解：当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式求一次导，得到导函数解析式，再结合题意在区间范围上存在单调递增区间，从而推出在区间上有解，然后再根据的对称轴与开口方向，可知在区间上单调递减，从而得到导函数的最大值，最后求出的取值范围.
(2)首先根据题目所给的取值范围，可知导函数根的判别式，令导函数为0，计算求得两个根的解，再结合两个根的取值范围，可知，进一步得到与时范围得到图像的单调性，然后再通过比较与大小，可知在区间里是最小值，求出a值，代入得到最大值.
13．（2024高三上·拉萨高考模拟）已知函数为函数的导函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以．
（2）解：即，
即，
设，则，
，设，则，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以方程有解即在上有解，
即有解，即有解，
设，则，
时，单调递增，时，单调递减，
所以，
当时，，
所以，即实数的取值范围是．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查利用导数的正负判定函数的单调区间，利用导数求最值、构造函数的能力，
（1）当时，，求导可得：，设，则，然后利用导数判断出的单调性即可求解；
（2）根据，构造出，然后利用导数的正负判定出的单调性，从而得到方程有解即在上有解，即有解，即有解，再构造出利用导函数求出其单调性即可求出值域即可求解.
14．（2024·巴南模拟）已知函数.
（1）当时，
（Ⅰ）求处的切线方程；
（Ⅱ）判断的单调性，并给出证明；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，可得.
（Ⅰ），
所以在处的切线方程为，即.
（Ⅱ），
设，则单调递增，
所以，即，
所以当时，单调递增.
（2）解：设，
由题意恒成立.
①当时，不恒成立，不合题意；
②当时，设，，
，，，
设，，，单调递增，
由零点存在定理得，使得.
在上，，即，
所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意；
③当时，，
则，
当时，，即，则，
所以当时，单调递增.
可得：，即，所以.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查利用导函数求切线方程，利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）由导数的几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由，令，求导判断单调性得，即可求解；
（2）当，取判断不成立；当时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即.
15．（2024高三上·辽源期末） 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减，无单调递增区间；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（2）解：
当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为不等式在上恒成立，所以，
设，则的定义域为，
且恒成立，
可知在上单调递增，
因为，所以，
即，可得，即，
综上可得，实数的取值范围时.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，求得的最小值为，把不等式在上恒成立，转化为，设，利用导数求得在上单调递增和最值，即可求解.
16．（2024高三上·辽宁五校联考期末）
（1）已知函数及其导函数的定义域均为，设是曲线在点处的切线的方程. 证明：当是增函数时，
（2）已知，设的最大值为，证明：.
（参考数据：，，）
【答案】（1）证明：由题意可知，
令，则，
显然，
易知，
由，且是增函数，
所以时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，故，
故；
（2）证明：设，则，
易知在上单调递增，，
故使得，即，
则时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即，
故，
在的切线方程，
由（1）的结论可知，当且时取得等号，
故，
又，所以单调递减，即，
注意到.
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用构造法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而证出当是增函数时，不等式成立.（2）利用构造法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合导数的方法求出切线的方法，再由（1）的结论和函数的单调性，进而证出成立.
17．（2024高三上·昌乐模拟）已知函数．
（1）当时，设函数的最小值为，证明：；
（2）若函数。有两个极值点，
证明：．
【答案】（1）解：
令，解得
当时，
当时，
令
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，.
（2）证明：
令
令，解得
当时，，
当时，，
又函数有两个极值点
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，
又
令
令
，
即
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意利用导数求出，然后构造函数，再利用导数求出 ，从而可求解.
（2）由题意知，求导后得，令，利用导数求得，又由函数有两个极值点，从而得，二次构造函数，从而求得，从而求解.
18．（2024高三上·天津市月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因为，所以切点为(1，-1)，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：当时，，其定义域为，
从而方程，可化为令
则
由
所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
且
又当时，当时，
所以关于的方程有唯一实数解时，则实数的取值范围为{b|或}；
（3）解：因为函数f(x)的定义域为，，
令
又因为函数有两个极值点，，
所以有两个不等实根，，所以
从而，
由不等式恒成立，所以恒成立，
因为
令，所以
当时恒成立，所以函数h(t)在上单调递减，所以，
即，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再由点斜式得出切线方程；
（2）原方程等价于对函数g(x)求导得出函数的单调区间，可知当时，当时，再结合单调性得出实数的取值范围；
（3）对函数求导，可得由不等式恒成立，所以恒成立，将用替换，并构造函数，对函数h(x)求导可求出函数h(t)在上的最小值，从而得出实数m的取值范围.
19．（2023高三上·昌邑模拟）已知函数f（x）＝2xex﹣a（x+lnx）（a∈R）．
（1）若a＝1，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x0是函数f（x）的极值点，且f（x0）＞0，求证：f（x）＞4x0﹣4x03．
【答案】（1）解：若a＝1，则f（x）＝2xex﹣x﹣lnx，
∴f′（x）＝2ex+2xex﹣1﹣，
又f′（1）＝4e﹣2，f（1）＝2e﹣1，
∴切线的方程为y﹣2e+1＝（4e﹣2）（x﹣1），
即y＝（4e﹣2）x﹣2e+1；
（2）证明：f′（x）＝2ex（x+1）﹣a（1+）＝（x+1）（2ex﹣），
∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴x+1＞0，
令g（x）＝2ex﹣，x∈（0，+∞），
①当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，不符合题意；
②当a＞0时，g′（x）＝2ex+＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x→0时，g（x0）→﹣∞，g（a）＝2ea﹣1＞0，
∴存在x0∈（0，a），使得g（x0）＝0，即a＝2x0e，
当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x＝x0时，f（x）极小值＝f（x0）＝2x0e﹣a（x0+lnx0）
＝2x0e﹣2x0e（x0+lnx0）＝2x0e（1﹣x0﹣lnx0）＞0，
令h（x）＝1﹣x﹣lnx＞0，则h′（x）＝﹣1﹣＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又∵h（1）＝0，
∴0＜x0＜1，
利用导数可得当0＜x＜1时，有ex＞x+1，x﹣1＞lnx，
∴f（x0）＝2x0e（1﹣x0﹣lnx0）＞2x0（x0+1）（2﹣2x0）＝﹣4x03+4x0．
则f（x）≥f（x0）＞4x0﹣4x03．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法和函数的解析式得出切点坐标，再利用点斜式得出函数在切点处的切线方程.
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出函数的极值点，从而得出函数的最值，由此证出不等式ffx>4x0-4x03
20．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线 围成的图形的面积S.
【答案】解：⑴分割：
在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
，则第i个区间为 (i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝ ，
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝ .
⑵近似代替：
记f(x)＝ .当n很大，即Δx很小时，在区间 上，可以认为f(x)＝ 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 ．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间 上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝ Δx＝ ＝ (i＝1，2，…，n)．
⑶求和：
小曲边梯形的面积和Sn＝ Si≈ Si′＝ ＝
＝
= = .从而得到S的近似值S≈Sn＝ .
⑷取极限：
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，Sn越来越趋向于S，
从而有S＝ Sn＝ .
∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝ 围成的图形的面积S为
【知识点】极限及其运算；定积分的背景
【解析】【分析】由曲边梯形的面积，定积分的背景，结合极限知识求解.
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：一元函数导数及其应用
一、解答题
1．（2018高二上·陆川期末）已知函数 ， ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的单调递减区间；
（2）若对任意的 ， （ 为自然对数的底数）都有 成立，求实数 的取值范围.
2．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，证明：．
3．（2024高三上·贵阳月考）已知函数.
（1）若，求的单调区间与零点；
（2）若且恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023高三上·牡丹江月考）已知曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）已知为整数，关于的不等式在时恒成立，求的最大值.
5．（2023高三上·哈尔滨月考） 已知，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）证明存在唯一的极值点
（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
6．（2023高三上·长春期中）已知函数，其中a为实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.
7．（2018高二下·佛山期中）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
8．（2024高三上·绵阳高考模拟）已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.
（1）当M的坐标为(0，-1)时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆恒过点M.
9．（2023·诸暨模拟）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，证明：.
10．（2023高三上·罗湖月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
11．讨论函数 的单调性.
12．（2023高二上·福州期中）设f（x）=﹣x3+x2+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值.
13．（2024高三上·拉萨高考模拟）已知函数为函数的导函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
14．（2024·巴南模拟）已知函数.
（1）当时，
（Ⅰ）求处的切线方程；
（Ⅱ）判断的单调性，并给出证明；
（2）若恒成立，求的取值范围.
15．（2024高三上·辽源期末） 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
16．（2024高三上·辽宁五校联考期末）
（1）已知函数及其导函数的定义域均为，设是曲线在点处的切线的方程. 证明：当是增函数时，
（2）已知，设的最大值为，证明：.
（参考数据：，，）
17．（2024高三上·昌乐模拟）已知函数．
（1）当时，设函数的最小值为，证明：；
（2）若函数。有两个极值点，
证明：．
18．（2024高三上·天津市月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
19．（2023高三上·昌邑模拟）已知函数f（x）＝2xex﹣a（x+lnx）（a∈R）．
（1）若a＝1，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x0是函数f（x）的极值点，且f（x0）＞0，求证：f（x）＞4x0﹣4x03．
20．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线 围成的图形的面积S.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当 时，
解得 或 ，
则函数 的单调递减区间为 ，
（2）解：对任意的 都有 成立等价于在定义域 内有 ．
当 时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 时， ，(仅在 且 时取等号)
∴函数 在 上是增函数，
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ 不合题意．
②当 时，
若 ，则 ，
若 ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ . 由 ，得 ，
又 ，∴ ．
③当 且 时， ，(仅在 且 时取等号)
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ，得 ，
又 ，∴ ．
综上所述：
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数的概念
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于在定义域[1，e]内有f（x）min≥g（x）max，通过讨论a的范围分别求出f（x），g（x）的最值，求出a的范围即可．
2．【答案】（1）解：因为，所以．
，
故曲线在处的切线方程为，即．
（2）证明：令，
则．
因为，所以．
令，则．
令，则．
当时，单调递增，故，即在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，则在上单调递增，
故，即．
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，运用导函数判定函数的单调性求最值，
（1）因为，先对求导，然后运用导数的几何意义可得，然后运用点斜式求解即可；
（2）令，对g(x)求导可得，根据不等式的性质可得当，．再构造新函数，通过求导利用导函数的正负判定出在上单调递增，从而得到，即在上恒成立，则在上单调递增，找到的最小值即可求解.
3．【答案】（1）解：当时，，
因为.
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以有唯一零点.
（2）解：令，
则原不等式在恒成立，
①若，则，
先证明当时，.
事实上，令，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，所以.
由，得.
因为当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
所以.
因此当时，，
令，
因为的图象是开口向下的抛物线，
所以存在，使得，从而，
，不合题意.
②若，则，
令，
（i）当时，，
（ii）当时，，
所以在上单调递增，所以当时，，
由（i）（ii）知当时，，满足题意，
综上，的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式得到：，然后求导，判定导函数的正负，确定函数的单调区间，进而求出函数的零点；
（2）通过不等式，构造新函数：，通过证明在区间恒成立解决，然后分、通过导函数确定的单调性，找到的最小值，即可求解.
4．【答案】（1）解：由题知，，
在处的切线方程为.
（2）解：由（1）知，
在上是增函数，关于的不等式在时恒成立，
不等式，
即在时恒成立.
设，则.
设，则在区间是增函数，
存在，使，
当时，，当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，又为整数，的最大值为3.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对函数求导得到：然后利用导数的几何意义得到：在处切线的斜率，再利用函数求出再结合切线的方程即可求解；
（2）由（1）得到函数的解析式：求导后，利用导数的正负判定出函数的单调性： 在上是增函数，即可将不等式中的对应法则去掉得到：，再利用分离参数的方法得到：在时恒成立. 再构造新函数，然后再求导，利用导函数求出其单调性，找到最小值即可求解.
5．【答案】（1）解：当时，可得，
即，所以切线斜率为，又，
所以切线方程为，即
（2）证明：易知，
令可得，
令，则在上恒成立，
即可得在单调递增，
当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于；
其图象如下图所示：
所以当时，与的图像仅有一个交点，
令，则当时，，即，在单调递减，
当时，，即，在单调递增，
所以可知为的极小值点，即存在唯一的极值点；
（3）解：由（2）可知，此时，
所以的最小值为，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
时，，即在上单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值
若存在a，使得对任意成立，
即存在a使得在成立，即，
所以实数b的取值范围为
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式求得函数的解析式，然后对函数求导后，利用导数的几何意义求出其在点处的切线方程 即可求解；
（2）对原函数求导后令，分离参数得到：，构造新函数：，然后求导利用导数的正负判定出单调区间，结合题意可知：当时，与的图像仅有一个交点，从而证明结论；
（3）将不等式转化为：恒成立问题，即求的最小值问题，构造函数，然后求导利用导数的正负判定出单调区间，找到其最小值即可求解.
6．【答案】（1）解：当时，，，
，又，
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）解：①当时，，则，故，
令，则，
令，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴当时，，∴，
∴在上单调递增，，∴．
②当时，，则，故．
由①知当时，，
在上单调递增，当时，，
∴，∴在上单调递增，
∴，∴．
综合①②得：.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）把a=2带入即可得函数的解析式，并得到的函数值，然后再对函数求导，根据导函数的几何意义可得点处切线的斜率，然后再由点斜式即可写出函数在处的切线方程；（2）根据题意分：和两种情况进行分类讨论，由
，①当时可变形为：，构造新函数：，然后对求导，利用导函数判定出在上单调递增，找出在（0，1）上的最大值，②当时，可变形为：，并结合①知道在上单调递增，找到在上的最小值，最后综合①②即可求解.
7．【答案】（1）解：当 时， ， ， ，
所以函数在 处的切线方程为 ，化简可得
（2）解：函数定义域为 ，则 ，则 ， 是 的两个根，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，
令 ， ，
则 ， ，
所以 ，则 在 上为增函数，
所以， 所以
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）解决本题时，掌握导函数在某点处的数值为曲线上过该点的切线斜率，即可得出答案。
（2）首先求出导函数，根据题意可以确定的取值范围，同时通过参变分离，可以用表示出a，此时引入一个新的函数方程，令，此时问题便转化成求的最小值，即可得出答案。
8．【答案】（1）解：解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，
由消得（1）.
令，解得.
代入方程(1)，解得A(2，1)，B(-2，1).
设圆心的坐标为，由，得，解得.
故过三点的圆的方程为．
（2）证明：设，由已知得，，设切点分别为，，所以，，
切线 的方程为即，
切线的方程为即．
又因为切线过点，所以得. ①
又因为切线也过点，所以得. ②
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得．
因为，，
所以
．
将代入，得.
所以以为直径的圆恒过点．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1)设过点的切线方程为，直线方程和抛物线方程联立即可求出，代入方程（1）可求出A，B坐标，再利用，即可求出a，从而求出圆的方程.
(2)设，设切点分别为，，把抛物线方程化求导即可求出切线，MB 的方程，又因为切线过点，切线也过点，这样可以发现，是一个关于的一元二次方程的两个根，由根与系数关系可得，算出=0，即可证明出以为直径的圆恒过点M.
9．【答案】（1）解：当时，，其中，
所以，且，
因为函数和都是减函数，故也是减函数.
所以当时，单调递增，当时，，
单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：根据题意可知，，
设，则单调递减，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
（3）证明：法一：若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中.
当时，，故当时，，
当时，若，则，
若，则，故，
所以当时，成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
法二：
若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中，
.
成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
【知识点】导数的加法与减法法则；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，对求导，根据导数符号的正负即可确定单调区间；
（2）对求导，再对进行求导，根据导数符号的正负证明g(x)先增后减，g(x)有最大值，只需证明最大值小于0即可；
（3）由（2）可知，即可得到，可证明，对求导，可得在上单调递增，则，再证明即可得证.
10．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，由，在上单调递增，
当时，令，可得，令，可得，
单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）解：设，则，
①当时，，
令，则，
令，则，
在区间上单调递增，则，
在区间上单调递增，则，
，
在区间上单调递增，则恒成立，
②若时，则，，
，使得，
在区间上单调递减，则，与条件矛盾，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1)先对求导，再分，两种情况讨论分别求出的单调区间.
(2)令，对进行求导，①当时 令，对进行求导可得，再令进行求导，由导数与单调性与最值的关系可得 在区间上单调递增，则恒成立.
②若时 ， 在区间上单调递减，则，与条件矛盾，
11．【答案】解： 的定义域为 ，函数 是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性. ，当 时， ， 所以当 时， ，所以函数 在（0，1）上是减函数；当 时， ，所以函数 在 （0，1）上是增函数.又函数 是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，从而可知当 时， 在 上是减函数，当 时， 在 上是增函数
【知识点】奇函数与偶函数的性质；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】先判断函数为奇函数，利用奇函数的对称性可以之研究函数在（0，1）上的单调性，利用导函数讨论函数 f ( x ) 在区间（0，1）上的单调性，从而可以说明函数 f ( x ) 的单调性.
12．【答案】（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为
∴在递减
∴
解得．
（2）解：当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式求一次导，得到导函数解析式，再结合题意在区间范围上存在单调递增区间，从而推出在区间上有解，然后再根据的对称轴与开口方向，可知在区间上单调递减，从而得到导函数的最大值，最后求出的取值范围.
(2)首先根据题目所给的取值范围，可知导函数根的判别式，令导函数为0，计算求得两个根的解，再结合两个根的取值范围，可知，进一步得到与时范围得到图像的单调性，然后再通过比较与大小，可知在区间里是最小值，求出a值，代入得到最大值.
13．【答案】（1）解：当时，，
，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以．
（2）解：即，
即，
设，则，
，设，则，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以方程有解即在上有解，
即有解，即有解，
设，则，
时，单调递增，时，单调递减，
所以，
当时，，
所以，即实数的取值范围是．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查利用导数的正负判定函数的单调区间，利用导数求最值、构造函数的能力，
（1）当时，，求导可得：，设，则，然后利用导数判断出的单调性即可求解；
（2）根据，构造出，然后利用导数的正负判定出的单调性，从而得到方程有解即在上有解，即有解，即有解，再构造出利用导函数求出其单调性即可求出值域即可求解.
14．【答案】（1）解：当时，，可得.
（Ⅰ），
所以在处的切线方程为，即.
（Ⅱ），
设，则单调递增，
所以，即，
所以当时，单调递增.
（2）解：设，
由题意恒成立.
①当时，不恒成立，不合题意；
②当时，设，，
，，，
设，，，单调递增，
由零点存在定理得，使得.
在上，，即，
所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意；
③当时，，
则，
当时，，即，则，
所以当时，单调递增.
可得：，即，所以.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查利用导函数求切线方程，利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）由导数的几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由，令，求导判断单调性得，即可求解；
（2）当，取判断不成立；当时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即.
15．【答案】（1）解：由题意知，函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减，无单调递增区间；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（2）解：
当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为不等式在上恒成立，所以，
设，则的定义域为，
且恒成立，
可知在上单调递增，
因为，所以，
即，可得，即，
综上可得，实数的取值范围时.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，求得的最小值为，把不等式在上恒成立，转化为，设，利用导数求得在上单调递增和最值，即可求解.
16．【答案】（1）证明：由题意可知，
令，则，
显然，
易知，
由，且是增函数，
所以时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，故，
故；
（2）证明：设，则，
易知在上单调递增，，
故使得，即，
则时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即，
故，
在的切线方程，
由（1）的结论可知，当且时取得等号，
故，
又，所以单调递减，即，
注意到.
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用构造法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而证出当是增函数时，不等式成立.（2）利用构造法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合导数的方法求出切线的方法，再由（1）的结论和函数的单调性，进而证出成立.
17．【答案】（1）解：
令，解得
当时，
当时，
令
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，.
（2）证明：
令
令，解得
当时，，
当时，，
又函数有两个极值点
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，
又
令
令
，
即
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意利用导数求出，然后构造函数，再利用导数求出 ，从而可求解.
（2）由题意知，求导后得，令，利用导数求得，又由函数有两个极值点，从而得，二次构造函数，从而求得，从而求解.
18．【答案】（1）解：当时，，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因为，所以切点为(1，-1)，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：当时，，其定义域为，
从而方程，可化为令
则
由
所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
且
又当时，当时，
所以关于的方程有唯一实数解时，则实数的取值范围为{b|或}；
（3）解：因为函数f(x)的定义域为，，
令
又因为函数有两个极值点，，
所以有两个不等实根，，所以
从而，
由不等式恒成立，所以恒成立，
因为
令，所以
当时恒成立，所以函数h(t)在上单调递减，所以，
即，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再由点斜式得出切线方程；
（2）原方程等价于对函数g(x)求导得出函数的单调区间，可知当时，当时，再结合单调性得出实数的取值范围；
（3）对函数求导，可得由不等式恒成立，所以恒成立，将用替换，并构造函数，对函数h(x)求导可求出函数h(t)在上的最小值，从而得出实数m的取值范围.
19．【答案】（1）解：若a＝1，则f（x）＝2xex﹣x﹣lnx，
∴f′（x）＝2ex+2xex﹣1﹣，
又f′（1）＝4e﹣2，f（1）＝2e﹣1，
∴切线的方程为y﹣2e+1＝（4e﹣2）（x﹣1），
即y＝（4e﹣2）x﹣2e+1；
（2）证明：f′（x）＝2ex（x+1）﹣a（1+）＝（x+1）（2ex﹣），
∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴x+1＞0，
令g（x）＝2ex﹣，x∈（0，+∞），
①当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，不符合题意；
②当a＞0时，g′（x）＝2ex+＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x→0时，g（x0）→﹣∞，g（a）＝2ea﹣1＞0，
∴存在x0∈（0，a），使得g（x0）＝0，即a＝2x0e，
当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x＝x0时，f（x）极小值＝f（x0）＝2x0e﹣a（x0+lnx0）
＝2x0e﹣2x0e（x0+lnx0）＝2x0e（1﹣x0﹣lnx0）＞0，
令h（x）＝1﹣x﹣lnx＞0，则h′（x）＝﹣1﹣＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又∵h（1）＝0，
∴0＜x0＜1，
利用导数可得当0＜x＜1时，有ex＞x+1，x﹣1＞lnx，
∴f（x0）＝2x0e（1﹣x0﹣lnx0）＞2x0（x0+1）（2﹣2x0）＝﹣4x03+4x0．
则f（x）≥f（x0）＞4x0﹣4x03．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法和函数的解析式得出切点坐标，再利用点斜式得出函数在切点处的切线方程.
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出函数的极值点，从而得出函数的最值，由此证出不等式ffx>4x0-4x03
20．【答案】解：⑴分割：
在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
，则第i个区间为 (i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝ ，
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝ .
⑵近似代替：
记f(x)＝ .当n很大，即Δx很小时，在区间 上，可以认为f(x)＝ 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 ．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间 上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝ Δx＝ ＝ (i＝1，2，…，n)．
⑶求和：
小曲边梯形的面积和Sn＝ Si≈ Si′＝ ＝
＝
= = .从而得到S的近似值S≈Sn＝ .
⑷取极限：
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，Sn越来越趋向于S，
从而有S＝ Sn＝ .
∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝ 围成的图形的面积S为
【知识点】极限及其运算；定积分的背景
【解析】【分析】由曲边梯形的面积，定积分的背景，结合极限知识求解.
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