备考2024年高考数学提升专题特训：一元函数导数及其应用
一、解答题
1．求函数 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2．在 赛车中，赛车位移与比赛时间 存在函数关系 （ 的单位为 ， 的单位为 ）．求：
（1） ， 时的 与 ；
（2） 时的瞬时速度．
3．已知曲线 .求：
（1）曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
（2）（1）中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
4．已知曲线 经过点 ，求：
（1）曲线在点 处的切线的方程；
（2）过点 的曲线C的切线方程．
5．（2024·九省高考模拟）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
6．（2023·吉林模拟）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若对，恒成立．求实数的取值范围．
7．（2023高三上·河北模拟）已知函数的部分图象如图所示， ω＞0，，且.
（1）求与的值；
（2）若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.
8．（2018高二下·黑龙江期中）设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数 满足 ， ，其中常数a，b∈R.
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设 ，求函数g（x）的极值.
9．（2017高二下·长春期中）已知函数 ．
（1）如果a＞0，函数在区间 上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
10．（2023高三上·重庆市月考） 已知函数
（1）当时， 求的极值；
（2）若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围.
11．（2023高二下·金华月考）求下列函数的导数：
（1）；
（2） ；
（3）．
12．（2023高三上·闵行月考）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知，．若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围．
13．（2023高三上·南部月考） 已知函数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若不等式对恒成立， 求的取值范围．
14．（2023高三上·北海模拟）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求证：.
15．（2023高三上·安徽开学考）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
16．（2022高二下·山东期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
17．（2024·宁德模拟）已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值.
18．（2023高三上·渝北月考）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.求他第一项测试“通过”的概率；
（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.
19．（2023高三上·唐县期中）已知函数，.
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的最大值.
20．（2023高三上·邵阳月考） 已知函数在处有极值2.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最值.
21．（2023高三上·彭州期中）已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）若存在极大值点，且，求的取值范围.
22．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
答案解析部分
1．【答案】解： .
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【分析】
利用平均变化率公式，即可求出函数f（x）=-x2+x在x=-1附近的平均变化率和导数.
2．【答案】（1）解： .
（2）解：
.
当 ， 时， .
答： ， 时的 为 ， 为 ，
在 时的瞬时速度为
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【分析】（1）根据函数的平均变化率即可求出；
（2）根据导数的物理意义，先求导，再代入值计算即可．
3．【答案】（1）解：将x=1代入曲线C的方程，得y=1，
∴切点为 ．
∵
，
∴
∴过P点的切线方程为 ，
即.3x-y-2=0
（2）解：由 可得 ，
解得 .
从而求得公共点为 和 ．
说明切线与曲线 的公共点除了切点外，还有另外的公共点
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；导数的概念
【解析】【分析】（1）将x=1代入曲线方程得到y=1，可以得到切点，再由导数的性质结合切点可以求出切线方程。
（2）通过 联立曲线与切线的方程可以得到 ( x 1 ) 2 ( x + 2 ) = 0，解得 x 1 = 1 ， x 2 = 2 .由此可以求出公共点。
4．【答案】（1）解：将 代入 中得t=1，
∴ .
∴
，
∴ ，
∴曲线在点P处切线的斜率为 ，
∴曲线在点P处的切线方程为 即x-y-3=0.
（2）解：点 不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点 ，则切线斜率 ，
由于 ，∴ ，∴切点为 ，切线斜率k=4，切线方程为
，即y=4x.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；导数的概念
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可以先求出斜率然后运用直线的点斜式可以求出方程。
（2）通过先设切点坐标再利用导数的几何意义可以求出斜率，再运用直线的点斜式求解。
5．【答案】（1）解：，则，
由题意可得，解得；
（2）解：由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.
6．【答案】（1）解：
所求切线斜率为，切点为
故所求切线方程为，即
（2）解：由得在恒成立
令，则
，
当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减
故当时，取最大值
故，即的取值范围是
【知识点】导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求得，得到斜率为，切点为，结合点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，转化为，求得，得出函数的单调性与最大值，即可求解.
7．【答案】（1）解：如图，过点向轴引垂线交于点，
由正弦曲线的性质知，
由射影定理知，而，∴，
∴，
∴，解得.
由，得，当时，.
（2）解：由（1）知，∴
令，∴，则，
∴或，且，
∴其切点坐标为或 .
【知识点】实际问题中导数的意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】本题考查根据函数图象求函数解析式，利用导函数求切线方程.
（1）过点向轴引垂线交于点，由正弦曲线的性质知.在中，由射影定理得，结合可求出长，即个周期，根据可求出.又因为在函数图象上，所以，代入解析式可求解，进而求出解析式；
（2）先求导可得：，又知 斜率为的直线与曲线相切 ，所以，即，则，解方程可求出切点的横坐标，切点的横坐标代入曲线方程可求出切点的纵坐标，进而得出切点坐标.
8．【答案】（1）解：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，则 解得
∴f（x）＝x3－ x2－3x＋1，∴f（1）＝－ ，f′（1）＝－3，
∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为
y－ ＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0
（2）解：由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，
∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，
令g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得x＝0或x＝3，
当x∈（－∞，0）时，g′（x）<0，
故g（x）在（－∞，0）上单调递减.
当x∈（0，3）时，g′（x）>0，故g（x）在（0，3）上单调递增.
当x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0，
故g（x）在（3，＋∞）上单调递减.
从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，
在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.
【知识点】利用导数研究函数的极值；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）掌握函数求导公式，明确在函数图象上某点处的导数值为该切线斜率，通过点斜式，即可得出答案。
（2）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可得出答案。
9．【答案】（1）解：因为 ，x＞0，则 ，（1分）
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，
所以 解得
（2）解：不等式 ，即为 ，记 ，
所以 =
令h（x）=x﹣lnx，
则 ，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，
所以k≤2
【知识点】函数在某点取得极值的条件；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）因为 ，x＞0，x＞0，则 ，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．（2）不等式 ，即为 ，构造函数 ，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
10．【答案】（1）解：当时，设，显然，
求导得，由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以在取得极大值，无极小值.
（2）解：设曲线上切点，则切线斜率为，方程为，
依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根，
而，则，且，即有，
由公切线有两条，得关于的方程：有两个不同的实数解，
令，则与的图象有两个交点，
由，求导得，由，得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
因此，函数的图象如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）把代入，设，求定义域，再求导，利用导数判断其单调性求出极值即可；
（2）设曲线上切点，则切线得斜率为，求出切线方程，与方程联立，借助判别式建立关系，转化为方程有两个解求解.
11．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
12．【答案】（1）证明：因为，，则，，
假设存在函数与存在“点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“点”．
（2）解：因为与，则与，
设“好点”为，满足，，所以．
（3）解：由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，，时，，且当时，，
所以，即．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先求导， 假设存在函数与存在“点”，解方程组即可得结论.
(2)先求导，根据函数与存在“点”，列出方程组即可求解.
（3）设存在“点”，根据表示出a、b，由求得范围，利用导数单调性求得b的范围.
13．【答案】（1）解：，
的定义域为．
①当 即时，在上递减，在上递增，
②即时，在和上递增， 在上递减.
（2）解：设，
设 ， 则
在上递增，的值域为，
①当 时，为上的增函数，
， 适合条件．
②当 时，不适合条件．
③当 时， 对于，
令， 存在，
使得 时，在上单调递减，
，
即在 时，不适合条件．
综上， 的取值范围为．
【知识点】函数的值域；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，求导利用导数分 和 判断函数的单调性即可；
（2） 设，求导，设 ，再利用导数与单调性最值的关系，分 ， ， 讨论求解即可.
14．【答案】（1）解：因为的定义域为，
所以，
令得或；
令得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：因为：
在上恒成立，
即在上恒成立，
设.
则.
①若，则单调递增，的值域为，
故不能恒成立，故舍去；
②若，则当时，；
当时，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，
所以.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）在定义域范围内求导，解不等式即可得单调区间.
(2)将问题转化为在上恒成立，通过对a的讨论，利用导函数的单调性得g(x)最大值，即可证明.
15．【答案】（1）求导
①当时，在上递减；
②当时，
当时，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
（2）等价于有两个零点，
令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，
所以有两个零点
有两个零点
有两个不同的实数解
与有两个交点，
得得，所以在单调递增，在上单调递减。，当，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式进行求导，利用导数的性质，根据导数的正负性，求出函数的单调区间.
(2)首先代入的表达式，利用整体换元思想，得到新的表达式，再利用导数，求出单调性，从而得到极大值，最终得到a的取值范围.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
①若，则，在上单调递增；
②若，则由得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
③若，则由得，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：①若，则，所以，符合题意；
②若，
则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，
从而当且仅当，即时，；
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，
最小值为，
从而当且仅当，即时，；
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)对 求导，分a=0， a>0， a<0分别讨论得函数f (x)的单调性；
(2)分a=0， a>0， a<0分别解f(x)≥0，从而求解出a的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为，
所以
，
由得或.
①当时，因为，不满足题意，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为.
（2）解：函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有，，，
得，对称轴，故，.
且有，，
.
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先求出函数的导数，通过讨论a的范围判断其单调性，从而求出函数最小值，得到a的范围.
(2)根据 有两个极值点分别为， ，求出a的范围，及的解析式，通过导数研究函数单调性，进而求出函数最小值.
18．【答案】（1）解：记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，
“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，
由题意知，，，
，
又事件互斥，则，
即，
即居民甲第一项测试“通过”的概率是.
（2）解：由居民乙获一等奖的概率为，可知.
则获得二等奖的概率.
令，
，
当时，；当时，.
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以，所以的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再利用条件概率和互斥事件的概率加法公式计算即可；
（2）由居民乙获一等奖的概率为，可得，把获得二等奖的概率表示为的函数，利用导数研究单调性，并求最小值即可.
19．【答案】（1）解：因为，所以，，
于是，，
则函数在点处的切线方程为，
整理为
（2）解：因为在上恒成立，所以在上恒成立，
设，，则，
令，，则在上恒成立，
因此在上单调递减，于是，
因此在上恒成立，在上单调递减，
则，
由此可知，，于是实数的最大值为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先利用导数求出处的导数值即直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程即可求解.
(2)由 在上恒成立， 利用参数法分离可得在上恒成立，构造函数，则只需，利用导数求出在上的最小值即可求解.
20．【答案】（1）解：，.
∵函数在处取得极值2，
∴，，
解得，，
∴，
经验证在处取得极大值2，
故，.
（2）解：，
令，解得，
令，解得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
故函数的最小值是，
，故函数的最大值是2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】 (1) 由题意得 ，，代入求出，的值，并验证；
(2)求导分析在区间上的单调性求出其最值.
21．【答案】（1）当时，，
则，
当时，，
所以函数的在区间上单调递增，
即当时，函数在区间上的最大值为.
（2），
当时，令，得，
则 时，；时，，
所以函数仅有唯一极小值点，不合题意；
当时，令，得或，
若，即时，由（1）小题可知，不合题意；
若，即时，，；，，
所以函数的极大值点，则符合题意；
若，即时，，；，，
所以函数的极大值点，则，得；
综上所述，的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)代入，对 求导，得到在单调性，从而求出其最大值；
(2)分，，和四种情况讨论，求出函数的单调区间和极值，再由极大值点，且，求出的取值范围.
22．【答案】解：将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为 ，
∴si＝ ，
sn＝
＝ 3n＋ [02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋ [0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋ .
∴s＝ sn＝ ＝ .
∴这段时间行驶的路程为
【知识点】极限及其运算；定积分的背景
【解析】【分析】由曲边梯形的面积,定积分的背景,结合极限知识求解.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：一元函数导数及其应用
一、解答题
1．求函数 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【答案】解： .
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【分析】
利用平均变化率公式，即可求出函数f（x）=-x2+x在x=-1附近的平均变化率和导数.
2．在 赛车中，赛车位移与比赛时间 存在函数关系 （ 的单位为 ， 的单位为 ）．求：
（1） ， 时的 与 ；
（2） 时的瞬时速度．
【答案】（1）解： .
（2）解：
.
当 ， 时， .
答： ， 时的 为 ， 为 ，
在 时的瞬时速度为
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【分析】（1）根据函数的平均变化率即可求出；
（2）根据导数的物理意义，先求导，再代入值计算即可．
3．已知曲线 .求：
（1）曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
（2）（1）中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【答案】（1）解：将x=1代入曲线C的方程，得y=1，
∴切点为 ．
∵
，
∴
∴过P点的切线方程为 ，
即.3x-y-2=0
（2）解：由 可得 ，
解得 .
从而求得公共点为 和 ．
说明切线与曲线 的公共点除了切点外，还有另外的公共点
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；导数的概念
【解析】【分析】（1）将x=1代入曲线方程得到y=1，可以得到切点，再由导数的性质结合切点可以求出切线方程。
（2）通过 联立曲线与切线的方程可以得到 ( x 1 ) 2 ( x + 2 ) = 0，解得 x 1 = 1 ， x 2 = 2 .由此可以求出公共点。
4．已知曲线 经过点 ，求：
（1）曲线在点 处的切线的方程；
（2）过点 的曲线C的切线方程．
【答案】（1）解：将 代入 中得t=1，
∴ .
∴
，
∴ ，
∴曲线在点P处切线的斜率为 ，
∴曲线在点P处的切线方程为 即x-y-3=0.
（2）解：点 不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点 ，则切线斜率 ，
由于 ，∴ ，∴切点为 ，切线斜率k=4，切线方程为
，即y=4x.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；导数的概念
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可以先求出斜率然后运用直线的点斜式可以求出方程。
（2）通过先设切点坐标再利用导数的几何意义可以求出斜率，再运用直线的点斜式求解。
5．（2024·九省高考模拟）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）解：，则，
由题意可得，解得；
（2）解：由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.
6．（2023·吉林模拟）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若对，恒成立．求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
所求切线斜率为，切点为
故所求切线方程为，即
（2）解：由得在恒成立
令，则
，
当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减
故当时，取最大值
故，即的取值范围是
【知识点】导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求得，得到斜率为，切点为，结合点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，转化为，求得，得出函数的单调性与最大值，即可求解.
7．（2023高三上·河北模拟）已知函数的部分图象如图所示， ω＞0，，且.
（1）求与的值；
（2）若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.
【答案】（1）解：如图，过点向轴引垂线交于点，
由正弦曲线的性质知，
由射影定理知，而，∴，
∴，
∴，解得.
由，得，当时，.
（2）解：由（1）知，∴
令，∴，则，
∴或，且，
∴其切点坐标为或 .
【知识点】实际问题中导数的意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】本题考查根据函数图象求函数解析式，利用导函数求切线方程.
（1）过点向轴引垂线交于点，由正弦曲线的性质知.在中，由射影定理得，结合可求出长，即个周期，根据可求出.又因为在函数图象上，所以，代入解析式可求解，进而求出解析式；
（2）先求导可得：，又知 斜率为的直线与曲线相切 ，所以，即，则，解方程可求出切点的横坐标，切点的横坐标代入曲线方程可求出切点的纵坐标，进而得出切点坐标.
8．（2018高二下·黑龙江期中）设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数 满足 ， ，其中常数a，b∈R.
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设 ，求函数g（x）的极值.
【答案】（1）解：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，则 解得
∴f（x）＝x3－ x2－3x＋1，∴f（1）＝－ ，f′（1）＝－3，
∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为
y－ ＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0
（2）解：由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，
∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，
令g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得x＝0或x＝3，
当x∈（－∞，0）时，g′（x）<0，
故g（x）在（－∞，0）上单调递减.
当x∈（0，3）时，g′（x）>0，故g（x）在（0，3）上单调递增.
当x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0，
故g（x）在（3，＋∞）上单调递减.
从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，
在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.
【知识点】利用导数研究函数的极值；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）掌握函数求导公式，明确在函数图象上某点处的导数值为该切线斜率，通过点斜式，即可得出答案。
（2）求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可得出答案。
9．（2017高二下·长春期中）已知函数 ．
（1）如果a＞0，函数在区间 上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：因为 ，x＞0，则 ，（1分）
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，
所以 解得
（2）解：不等式 ，即为 ，记 ，
所以 =
令h（x）=x﹣lnx，
则 ，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，
所以k≤2
【知识点】函数在某点取得极值的条件；实际问题中导数的意义
【解析】【分析】（1）因为 ，x＞0，x＞0，则 ，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+ ）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．（2）不等式 ，即为 ，构造函数 ，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
10．（2023高三上·重庆市月考） 已知函数
（1）当时， 求的极值；
（2）若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，设，显然，
求导得，由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以在取得极大值，无极小值.
（2）解：设曲线上切点，则切线斜率为，方程为，
依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根，
而，则，且，即有，
由公切线有两条，得关于的方程：有两个不同的实数解，
令，则与的图象有两个交点，
由，求导得，由，得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
因此，函数的图象如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）把代入，设，求定义域，再求导，利用导数判断其单调性求出极值即可；
（2）设曲线上切点，则切线得斜率为，求出切线方程，与方程联立，借助判别式建立关系，转化为方程有两个解求解.
11．（2023高二下·金华月考）求下列函数的导数：
（1）；
（2） ；
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
12．（2023高三上·闵行月考）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知，．若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：因为，，则，，
假设存在函数与存在“点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“点”．
（2）解：因为与，则与，
设“好点”为，满足，，所以．
（3）解：由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，，时，，且当时，，
所以，即．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先求导， 假设存在函数与存在“点”，解方程组即可得结论.
(2)先求导，根据函数与存在“点”，列出方程组即可求解.
（3）设存在“点”，根据表示出a、b，由求得范围，利用导数单调性求得b的范围.
13．（2023高三上·南部月考） 已知函数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若不等式对恒成立， 求的取值范围．
【答案】（1）解：，
的定义域为．
①当 即时，在上递减，在上递增，
②即时，在和上递增， 在上递减.
（2）解：设，
设 ， 则
在上递增，的值域为，
①当 时，为上的增函数，
， 适合条件．
②当 时，不适合条件．
③当 时， 对于，
令， 存在，
使得 时，在上单调递减，
，
即在 时，不适合条件．
综上， 的取值范围为．
【知识点】函数的值域；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，求导利用导数分 和 判断函数的单调性即可；
（2） 设，求导，设 ，再利用导数与单调性最值的关系，分 ， ， 讨论求解即可.
14．（2023高三上·北海模拟）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求证：.
【答案】（1）解：因为的定义域为，
所以，
令得或；
令得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：因为：
在上恒成立，
即在上恒成立，
设.
则.
①若，则单调递增，的值域为，
故不能恒成立，故舍去；
②若，则当时，；
当时，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，
所以.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）在定义域范围内求导，解不等式即可得单调区间.
(2)将问题转化为在上恒成立，通过对a的讨论，利用导函数的单调性得g(x)最大值，即可证明.
15．（2023高三上·安徽开学考）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）求导
①当时，在上递减；
②当时，
当时，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
（2）等价于有两个零点，
令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，
所以有两个零点
有两个零点
有两个不同的实数解
与有两个交点，
得得，所以在单调递增，在上单调递减。，当，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式进行求导，利用导数的性质，根据导数的正负性，求出函数的单调区间.
(2)首先代入的表达式，利用整体换元思想，得到新的表达式，再利用导数，求出单调性，从而得到极大值，最终得到a的取值范围.
16．（2022高二下·山东期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
①若，则，在上单调递增；
②若，则由得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
③若，则由得，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：①若，则，所以，符合题意；
②若，
则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，
从而当且仅当，即时，；
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，
最小值为，
从而当且仅当，即时，；
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)对 求导，分a=0， a>0， a<0分别讨论得函数f (x)的单调性；
(2)分a=0， a>0， a<0分别解f(x)≥0，从而求解出a的取值范围.
17．（2024·宁德模拟）已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，
所以
，
由得或.
①当时，因为，不满足题意，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为.
（2）解：函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有，，，
得，对称轴，故，.
且有，，
.
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先求出函数的导数，通过讨论a的范围判断其单调性，从而求出函数最小值，得到a的范围.
(2)根据 有两个极值点分别为， ，求出a的范围，及的解析式，通过导数研究函数单调性，进而求出函数最小值.
18．（2023高三上·渝北月考）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.求他第一项测试“通过”的概率；
（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.
【答案】（1）解：记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，
“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，
由题意知，，，
，
又事件互斥，则，
即，
即居民甲第一项测试“通过”的概率是.
（2）解：由居民乙获一等奖的概率为，可知.
则获得二等奖的概率.
令，
，
当时，；当时，.
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以，所以的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再利用条件概率和互斥事件的概率加法公式计算即可；
（2）由居民乙获一等奖的概率为，可得，把获得二等奖的概率表示为的函数，利用导数研究单调性，并求最小值即可.
19．（2023高三上·唐县期中）已知函数，.
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）解：因为，所以，，
于是，，
则函数在点处的切线方程为，
整理为
（2）解：因为在上恒成立，所以在上恒成立，
设，，则，
令，，则在上恒成立，
因此在上单调递减，于是，
因此在上恒成立，在上单调递减，
则，
由此可知，，于是实数的最大值为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先利用导数求出处的导数值即直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程即可求解.
(2)由 在上恒成立， 利用参数法分离可得在上恒成立，构造函数，则只需，利用导数求出在上的最小值即可求解.
20．（2023高三上·邵阳月考） 已知函数在处有极值2.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：，.
∵函数在处取得极值2，
∴，，
解得，，
∴，
经验证在处取得极大值2，
故，.
（2）解：，
令，解得，
令，解得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
故函数的最小值是，
，故函数的最大值是2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】 (1) 由题意得 ，，代入求出，的值，并验证；
(2)求导分析在区间上的单调性求出其最值.
21．（2023高三上·彭州期中）已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）若存在极大值点，且，求的取值范围.
【答案】（1）当时，，
则，
当时，，
所以函数的在区间上单调递增，
即当时，函数在区间上的最大值为.
（2），
当时，令，得，
则 时，；时，，
所以函数仅有唯一极小值点，不合题意；
当时，令，得或，
若，即时，由（1）小题可知，不合题意；
若，即时，，；，，
所以函数的极大值点，则符合题意；
若，即时，，；，，
所以函数的极大值点，则，得；
综上所述，的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)代入，对 求导，得到在单调性，从而求出其最大值；
(2)分，，和四种情况讨论，求出函数的单调区间和极值，再由极大值点，且，求出的取值范围.
22．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
【答案】解：将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为 ，
∴si＝ ，
sn＝
＝ 3n＋ [02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋ [0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋ .
∴s＝ sn＝ ＝ .
∴这段时间行驶的路程为
【知识点】极限及其运算；定积分的背景
【解析】【分析】由曲边梯形的面积,定积分的背景,结合极限知识求解.
1 / 1
