【精品解析】备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：微积分与极限

备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：微积分与极限
一、解答题
1．设f(a)＝|x2－a2|dx
（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
（2）当a≥0时，求f(a)的最小值．
【答案】（1）当0≤a≤1时，
当a>1时，
所以
（2）当a>1时，由于在上是增函数，
故f(a)在上的最小值是,
当时，f'(a)=4a2-2a=2a(2a-1),
由f(a)>0知，或a<0,
故f(a)在上递减 ，在上递增，
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为,
综上可知，f(a)在上的最小值为.
【知识点】定积分
【解析】【分析】因为f(a)＝|x2－a2|dx中带有绝对值，在计算的过程中首先要分类讨论去掉绝对值，本题考查了分类讨论求解问题的能力，难度较大
2．（2019高二下·海安月考）请先阅读：
在等式 （ ）的两边求导，得： ，
由求导法则，得 ，化简得等式： 。
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （ ，正整数 ），证明： 。
（2）对于正整数 ，求证：
（i） ； （ii） ； （iii） 。
【答案】（1）解：在等式 两边对 求导得
移项得 （*）
（2）解：（i）在（*）式中，令 ，整理得
所以
（ii）由（1）知
两边对 求导，得
在上式中，令
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式 两边在 上对 积分
由微积分基本定理，得
所以
【知识点】微积分基本定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知方法， 在等式 两边对 求导，移项整理即可证明结论；
（2） （i） 由（1） 令 ，整理得 ，即可证明结论；
（ii）由（1）可知 ，两边对 求导， 令 ，结合（i）整理即可证明结论；
（iii） 先将等式 两边在 上对 积分，利用微积分基本定理，即可证明结论.
3．（2019高三上·上海月考）已知数列 的前 项和为 ， 且满足:
（1）证明： 是等比数列，并求数列 的通项公式.
（2）设 ，若数列 是等差数列，求实数 的值；
（3）在(2)的条件下，设 记数列 的前 项和为 ，若对任意的 存在实数 ,使得 ,求实数 的最大值.
【答案】（1）解：因为 ，①
所以 ，②
②-①得： ，
由易得 ，即 ，
即 ， ，
即数列 的奇数项是以 为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以 为首项，4为公比的等比数列，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
综上可得 ，
又 ，
故 是等比数列，且数列 的通项公式
（2）解：因为 ，
所以 ，
因为数列 是等差数列，
所以 恒成立，
即有 恒成立，
即 ，
解得
（3）解：因为 = ，
即 ，
又对任意的 存在实数 ,使得 ,
即对任意的 恒成立，
又当 时， 取最小值3， 时， ，
即 ,
故实数 的最大值为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等差关系的确定；等比关系的确定；数列的求和；数列的极限
【解析】【分析】（1）由 ，再得出 ，两式作差，得出 ， ，再分奇数项，偶数项分别求通项公式即可得解；（2）由等差数列的等差中项可得 恒成立，可得 ，解得 ;（3）由已知有 ，由裂项求和法求数列前 项和得 ，由分离变量最值法可得 ，运算即可得解.
4．（2019高二上·上海月考）设数列 是等差数列，且公差为d，若数列 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若 ，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列 是否是“封闭数列”，为什么
（3）设 是数列 的前n项和，若公差 ，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使 ；若存在，求 的通项公式，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：因为数列 是等差数列， ，
所以 ，
对任意的 ，
有 ，
因为 ，于是令 ，
则有 ，
所以该数列是“封闭数列”
（2）解：因为 ，
所以 ， ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以数列 不是“封闭数列”
（3）解：假设存在这样的“封闭数列”，因为公差 ，则
则对于任意的 ，必存在 使 成立，
即 ，
即 为整数；
又 ，则 为正整数；
若 ，则 ，则 ，
所以
；
若 ，则 ，则 ，
所以
；
若 ，则 ，于是
所以 ；
综上所述， ，
所以 ， ，
显然，该数列是“封闭数列”.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的极限
【解析】【分析】（1）先由题意得到 ，只需验证 也是数列 中的项即可；（2）由通项公式，得到 ， ，验证 不是数列 中的项，即可判断出结果；（3）先假设存在这样的“封闭数列”，得到对于任意的 ，必存在 使 成立，求出 为整数；分别讨论 ， 和 三种情况，根据裂项相消法，以及数列的极限运算，即可得出结论.
5．（2022高三上·四川月考）已知函数，是的导函数．
（1）若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）
【答案】（1）解：，
关于的方程有两个不同的正实根，
即方程有两个不同的正实根，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，上递增，
所以，
又当时，，当时，，
所以，即，
所以；
（2）解：当时，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
令，
则
，
当时，，所以函数在上递增，
当时，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以当时，，即，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数， 关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数求极限的方法得出实数a的取值范围。
（2） 当时，恒成立，即恒成立，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
6．（2022高二下·浙江期中）已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求切线的方程；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数，可得，
则，
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
可得，解得，所以，
可得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即直线的方程为.
（2）解：由题意，函数的定义域为，
令，即，
当，可得，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，且当时，，时，，
要使得函数有两个零点，则和的图象有两个交点，
如图所示，结合图象，可得，
即实数的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值，再结合代入法得出切点坐标，再利用点斜式求出切线方程，再转化为切线的一般式方程。
（2） 由题意结合分式函数求定义域的方法得出函数的定义域，令，即，当时，可得，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，又由结合函数求极限的方法，得出当时，，时，，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，要使得函数有两个零点，则和的图象有两个交点，
再结合图象可得实数的取值范围 。
7．（2021高三上·台州期末）已知，设函数．
（1）当时，若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若对任意实数，函数均有零点，求实数的最大值；
（3）若函数有两个零点，证明：．
【答案】（1）解：当时，．．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，，在上不可能单调递增．．
所以在上单调递增，则．
（2）解：
（ⅰ）当时，，在上单调递增．有零点．
（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减．
又当x趋近于时，f(x)趋近于；x趋近于时，f(x)趋近于；
所以只要恒成立，则恒有零点．
即恒成立．
因为求的最大值，不妨设，．
设，则．
所以只要．
即，得．
所以的最大值为．
（3）解：由题意得：只要证．
设，．
则，是函数的两根．
．
当时，，与函数有两个零点矛盾．
所以．所以当时，．
所以函数在上递增，在上递减．
记函数有图象关于直线对称后是函数的图象．
有．
则．
．
所以时，．
所以，即．
所以．．
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 当时，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合已知条件得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合导数的运算法则求出导函数，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合函数求极限的方法和不等式恒成立问题求解方法和零点存在性定理，从而求出实数k的取值范围，进而得出实数的最大值。
（3）利用已知条件结合分析法证明方法，进而证出不等式 成立。
8．（2021高三上·金华期末）已知函数.
（1）判断的根的个数；
（2）若函数有两个零点，证明：.
【答案】（1）解：由得：，设
设，，则，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又当趋向，趋向于；，，当趋向，趋向于.
0 1
0
趋向于0 递增 1 递减 0 递增 趋向于
由上述，作出的草图：的根的个数即为与的交点个数
所以，当时，无根；
当时，有1个根；
当时，有3个根；
当时，有2个根；
当时，有1个根.
（2）证明：由和
设，则由向右平移个单位可得，
由（1）知：时递增，时递减，时递增，且，，.
，
，则成立，又，易得，
或.
1、当时，则，而，又，
，则.
2、当时，，
时，，则.
时，，则.
.
综上可知：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；反射、平衡和旋转变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法作出函数
的图像，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，得出方程
的根的个数即为
与
的交点个数，再结合分类讨论的方法判断出方程
的根的个数。
（2）利用已知条件结合函数的平移变换和函数的单调性，再结合分类讨论的方法结合不等式的基本性质证出不等式
成立。
9．（2021高三上·烟台期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上有零点，
①求a的取值范围；
②求证：．
【答案】（1）解：，．
当时，恒成立，在上单调递增．
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上，时，在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：①注意到，，
由（1）知，当时，在上单调递增，
对任意，恒有，不合题意；
同理，当时，在上单调递减，
又，所以对任意，恒有，不合题意；
当时，，由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，所以，
又当时，，
由零点存在定理知，存在唯一一点，使得，满足题意．
综上所述，a的取值范围为．
②由①知，当时，，
解得．要证，只需证．
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，即，即．
要证，只需证，即．
又因为，即证．
令，，则．
又，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
又，所以，即，不等式得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） ①利用代入法得出的值，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理，得出存在唯一一点，使得，满足题意，进而求出实数a的取值范围。
②由①知，当时，，从而求出，再利用分析法证出，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出不等式 成立。
10．（2019高二下·海东月考）如图：已知 通过点（1，2），与 有一个交点横坐标为 ，且 .
（1）求 与 所围的面积 与 的函数关系；
（2）当 为何值时， 取得最小值.
【答案】（1）解：由 通过点（1，2）可得，
由 与 联立方程组，解得
与 所围的面积S与a的函数关系
（2）解：求导可得
由 得 ，由 得 或 ，
所以当 时 取得极小值，即最小值，
此时 ，最小值 .
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）联立方程组，求出积分上下限，结合微积分基本定理，即可求出面积S与a的函数关系；
（2）求导数，根据导数确定函数的单调性，求出函数的最值即可.
11．（2015高二下·淄博期中）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（4≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x2﹣3.2lnx+3，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利﹣亏损）
（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（II）当每台机器的日产量x（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
【答案】解：（I）由题意，所获得的利润为
y=10[2（x﹣p）﹣p]=10（2x﹣3p）=20x﹣30p=20x﹣3x2+96lnx﹣90（4≤x≤12）
（II）由（Ⅰ）得y'=20﹣6x+ = ，
令y'=0，得到x=6或x=﹣ （舍去）；
所以当4≤x＜6，y'＞0，函数在[4，6]为增函数，当6＜x＜12时，y'＜0，函数在（6，12）为减函数；
所以当x=6时，函数去极大值，即最大值，
所以当x=6时利润最大，为20×6﹣3×62+96ln6﹣90=96ln6﹣78（万元），
当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为96ln6﹣78万元．
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用利润=盈利﹣亏损，得到y与p的关系，将p代入整理即可；（Ⅱ）对（Ⅰ）的解析式求导，判定取最大值时的x值，求最大利润．
12．已知函数f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+ x3
（1）求f(x)的解析式及单调区间；
（2）若f(x)≥ x2+ax+b，求(a＋1)b的最大值.
【答案】（1）解： (1) ，
则 .
令 ，得 .
.
令 得 ，
.
.
设 ，
则 .
在 上单调递增.
x＜0
综上可知， 的解析式为 ，且单调递增区间为 ，单调递減区间为
（2）解： b≥0
①当 .
在 上单调递增，
此时当 时， 与 矛盾；
②当 时， ，
当 时， ，
.今 ，则 .
当 时， .
当 时， 的最大值为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的运算法则，从而求出导函数，再利用赋值法，从而求出函数的解析式；再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
(2)由 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而求出函数的最大值，进而求出当 时的函数 的最大值。
13．（2021高三上·湖州期中）已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数．
（1）若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
（2）若存在正数 ，使得对任意 均有 成立．
证明：（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【答案】（1）解： ，
当 时， ，显然不符合要求；
当 时， ，
令 ，则 ，
时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
时， ， ； 时， ， ； ．
因为 有两个极值点，所以 有两个变号零点，
故 ，解得 ，即
（2）解：当 时， 时， ，故不符合题意；
当 时，
由（1）得， ； 时 由函数零点存在定理可得，存在唯一的 ，使得 ，即 ．
当 时 ， ，函数 单调递增；当 时 ， ，函数 单调递减．故 为函数 的最大值，满足 ．
（i）由题意，可得 ，要证明 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
当 时函数 单调递减，故 ，命题得证；
（ii）因为 ，所以 ，令 ，由题意可得 ，
要证： ，只需证 ，即证 ，
令 ，
则 ， ， ；
， ；
因为 ， ，所以 恒成立，
所以 在 上单调递增，又因为 ，
故 恒成立，结合 ，
所以 恒成立，故命题得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而求出函数的极值点，再利用函数 有两个极值点，从而求出实数 的取值范围。
（2） （ⅰ） 利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用函数求极限的方法结合零点存在性定理，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用分析法的证明方法，进而证出不等式 成立。 （ⅱ） 利用已知条件结合分析法的证明方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出不等式 成立。
14．（2021高三上·杭州期中）已知 ，直线 为曲线 在 处的切线，直线 与曲线 相交于点 且 .
（1）求 的取值范围；
（2）（i）证明： ；
（ii）证明： .
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，则 ，
所以 在 处的切线为
，
令 ，
显然 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
若 ，当 时，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上无零点，舍去.
若 ，因为 ，
所以 时，当 时， 取得最小值 ；
又 时， ，
则存在 ，有 ，
当 时， ，当 时， ，
所以g（x）在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得极大值 ，
又 时， ，
所以存在 ，有
故 在 存在零点，
所以 的取值范围是
（2）证明：（i）令 ，
则 ， ， ， ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得最大值 ，
所以 ，则 递减，
又因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得最大值 ，
所以 ，即 ；
（ii）先证 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得最小值 ，
所以 ，则 递增，
又因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值 ，
又因为 ，
所以 ，
即得证.
因为 是 上的点，
所以 ，
所以 ，
，
，
，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)利用 ，再结合求导的方法求出函数在 处的切线为
，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，所以 ，所以 在 上无零点，舍去；再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合函数求极限的方法，从而求出函数的最值，再结合零点存在性定理，得出 函数 在 存在零点，从而求出实数 的取值范围。
15．（2021高三上·太原期中）已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以函数 为 上的单调递减函数
（2）解：若 恒成立，即 恒成立，
显然，当 时成立，
当 时，不等式等价于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，得 或 ，即函数 在 和 上单调递增，
当 时，得 ，即函数 在 上单调递减，
由于 时， 由正数趋近于 ，当 时，
所以函数 的草图如图，
所以 恒成立，只需
所以实数 的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断出函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 若 恒成立，即 恒成立，显然，当 时成立，当 时，不等式等价于 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而画出函数 的图象，所以 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 的取值范围。
16．（2021高三上·辽宁月考）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 只有1个零点 ，且 ，求 的取值范围；
（3）当 时，是否存在正整数k，使得关于x的方程 有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解： ，
当 时， ，所以 在 上是增函数；
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ，
所以 在 ， 和 ， 是增函数，在 ， 是减函数．
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ，
所以 在 ， 和 ， 是增函数，在 ， 是减函数；
（2）解：由（1）可知，当 时， 在 上是增函数，
因为 且 ， ，
所以 只有1个零点 ，且 ，符合题意；
当 时，需要满足：
，即 ，
解得 或 ；
当 时，需要满足：
即 解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ；
（3）解：当 时， ，
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以存在 ，使得关于 的方程 有解．
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 由（1）可知，当 时， 在 上是增函数，再结合代入法和函数求极限的方法，从而得出 且 ， ，所以 只有1个零点 且 ，符合题意，再利用分类讨论的方法结合已知条件，从而求出实数a的取值范围。
（3） 当 时，得出函数解析式为 ，再利用代入法得出 ，再利用 ，得出的取值范围 ，再利用 ，所以存在 ，使得关于 的方程 有解。
17．（2021高三上·南通开学考）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若曲线 与曲线 存在唯一的公切线，求实数 的值；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，
当 时，由 ，解得 ，
由于 时，导函数 单调递增，
故 ， 单调递减，
单调递增.
综上，当 时 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）曲线 与曲线 存在唯一公切线，设该公切线与 分别切于点 ，显然 .
由于 ，
所以 ，
，
由于 ，故 ，且
因此 ，
此时 ，
设
问题等价于直线 与曲线 在 时有且只有一个公共点，
又 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递增， 上单调递减，
而 ，当 时，
所以 的值域为 .
故 .
（3）当 时， ，问题等价于不等式
，当 时恒成立.
设 ， ，
又设
则
而 .
(i)当 时，即 时，
由于 ，
此时 在 上单调递增.
所以
即 ，所以 在 上单调递增
所以 ，
即 ，
故 适合题意.
(ii)当 时， ，
由于 在 上单调递增，
令 ，
则 ，
故在 上存在唯一 ，使 ，
因此当 时， 单调递减，
所以 ，
即 在 上单调递减，
故 ，
亦即 ，
故 时不适合题意，
综上，所求 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 曲线 与曲线 存在唯一公切线，设该公切线与 分别切于点 ，显然 ，再利用求导的方法结合已知条件得出 ， 则
，由于 ，故 且 ，因此 ，此时 ，设 ，问题等价于直线 与曲线 在 时有且只有一个公共点，再利用求导的方法判断函数的单调性结合函数求极限的方法，进而求出函数的值域，从而求出a的值。
（3） 当 时， ，问题等价于不等式 ，当 时恒成立，设 ， ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数k的取值范围。
18．（2021高三上·定远开学考）已知函数 ．
（1）判断并证明 在 的单调性；
（2）已知a为正实数，且对于任意 ，都有 恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递减，证明如下：
的定义域为 ，则 ，
当 ，则 ，即 单调递减，故 在 上单调递减；
（2）∵ 对于任意 恒成立，即 对于任意 恒成立，
当 时， ，则有 对于任意 恒成立，即 ，
令 ，则 在 上单调递增，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
∴ ，即 ，故 对于任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
∴ 在 上单调递增，则 ，则 在 上单调递增，
∴ ，即 ，则 在 上单调递增，
∴ ，而 ，
∴ ，又 ，故正实数a的取值范围为 ．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断并证明出函数的单调性。
（2） 对于任意 恒成立，即 对于任意 恒成立，当 时， ，则有 对于任意 恒成立，即 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数m(x)的值域，进而得出 对于任意 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再结合函数求极限的分法，进而结合已知条件求出实数a的取值范围。
19．（2021高二下·昆明期末）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
由 得， ， 的增区间为 ，
由 得， ， 的减区间为 .
（2） 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 内单调递增.
因为 （ ）， （ ），
所以 ，使 ，
所以 ，即 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 ，
即 恒成立，
又因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以a的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（2）利用 恒成立，即 恒成立，令 ，再利用导数的运算法则求出函数g(x)的导函数，则 ，令 ，再利用求导方法判断函数的单调性，再结合函数极限的方法得出 ，使 ，所以 ，即 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值，所以 ，即 恒成立，再利用均值不等式求最值的方法，从而结合对数函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
20．（2021高二下·资阳期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）依题意得 ，
①若 ，则 ，函数 在区间 上单调递增；
②若 时，由 得 或 ，由 得 ，
可知函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）可知，
当 时， 在 上单调递增，
又 时， ； 时， ，
此时函数 仅有1个零点，满足条件．
若 时，由（1）可知， 在 时取极大值，在 时 取极小值．
又 时， ； 时， ，
因为函数 只有一个零点，
所以 或 ，
即 或 ，
解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数 的单调性。
（2） 由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，再利用函数极限的方法得出此时函数 仅有1个零点满足条件，若 时，由（1）可知， 在 时取极大值，在 时 取极小值，再结合函数极限的方法结合函数只有一个零点，从而得出 或 ，进而求出实数a的取值范围。
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：微积分与极限
一、解答题
1．设f(a)＝|x2－a2|dx
（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
（2）当a≥0时，求f(a)的最小值．
2．（2019高二下·海安月考）请先阅读：
在等式 （ ）的两边求导，得： ，
由求导法则，得 ，化简得等式： 。
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （ ，正整数 ），证明： 。
（2）对于正整数 ，求证：
（i） ； （ii） ； （iii） 。
3．（2019高三上·上海月考）已知数列 的前 项和为 ， 且满足:
（1）证明： 是等比数列，并求数列 的通项公式.
（2）设 ，若数列 是等差数列，求实数 的值；
（3）在(2)的条件下，设 记数列 的前 项和为 ，若对任意的 存在实数 ,使得 ,求实数 的最大值.
4．（2019高二上·上海月考）设数列 是等差数列，且公差为d，若数列 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若 ，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列 是否是“封闭数列”，为什么
（3）设 是数列 的前n项和，若公差 ，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使 ；若存在，求 的通项公式，若不存在，说明理由.
5．（2022高三上·四川月考）已知函数，是的导函数．
（1）若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）
6．（2022高二下·浙江期中）已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求切线的方程；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
7．（2021高三上·台州期末）已知，设函数．
（1）当时，若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若对任意实数，函数均有零点，求实数的最大值；
（3）若函数有两个零点，证明：．
8．（2021高三上·金华期末）已知函数.
（1）判断的根的个数；
（2）若函数有两个零点，证明：.
9．（2021高三上·烟台期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上有零点，
①求a的取值范围；
②求证：．
10．（2019高二下·海东月考）如图：已知 通过点（1，2），与 有一个交点横坐标为 ，且 .
（1）求 与 所围的面积 与 的函数关系；
（2）当 为何值时， 取得最小值.
11．（2015高二下·淄博期中）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（4≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x2﹣3.2lnx+3，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利﹣亏损）
（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（II）当每台机器的日产量x（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
12．已知函数f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+ x3
（1）求f(x)的解析式及单调区间；
（2）若f(x)≥ x2+ax+b，求(a＋1)b的最大值.
13．（2021高三上·湖州期中）已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数．
（1）若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
（2）若存在正数 ，使得对任意 均有 成立．
证明：（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
14．（2021高三上·杭州期中）已知 ，直线 为曲线 在 处的切线，直线 与曲线 相交于点 且 .
（1）求 的取值范围；
（2）（i）证明： ；
（ii）证明： .
15．（2021高三上·太原期中）已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
16．（2021高三上·辽宁月考）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 只有1个零点 ，且 ，求 的取值范围；
（3）当 时，是否存在正整数k，使得关于x的方程 有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
17．（2021高三上·南通开学考）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若曲线 与曲线 存在唯一的公切线，求实数 的值；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18．（2021高三上·定远开学考）已知函数 ．
（1）判断并证明 在 的单调性；
（2）已知a为正实数，且对于任意 ，都有 恒成立，求正实数a的取值范围．
19．（2021高二下·昆明期末）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求a的取值范围.
20．（2021高二下·资阳期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 只有一个零点，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）当0≤a≤1时，
当a>1时，
所以
（2）当a>1时，由于在上是增函数，
故f(a)在上的最小值是,
当时，f'(a)=4a2-2a=2a(2a-1),
由f(a)>0知，或a<0,
故f(a)在上递减 ，在上递增，
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为,
综上可知，f(a)在上的最小值为.
【知识点】定积分
【解析】【分析】因为f(a)＝|x2－a2|dx中带有绝对值，在计算的过程中首先要分类讨论去掉绝对值，本题考查了分类讨论求解问题的能力，难度较大
2．【答案】（1）解：在等式 两边对 求导得
移项得 （*）
（2）解：（i）在（*）式中，令 ，整理得
所以
（ii）由（1）知
两边对 求导，得
在上式中，令
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式 两边在 上对 积分
由微积分基本定理，得
所以
【知识点】微积分基本定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知方法， 在等式 两边对 求导，移项整理即可证明结论；
（2） （i） 由（1） 令 ，整理得 ，即可证明结论；
（ii）由（1）可知 ，两边对 求导， 令 ，结合（i）整理即可证明结论；
（iii） 先将等式 两边在 上对 积分，利用微积分基本定理，即可证明结论.
3．【答案】（1）解：因为 ，①
所以 ，②
②-①得： ，
由易得 ，即 ，
即 ， ，
即数列 的奇数项是以 为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以 为首项，4为公比的等比数列，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
综上可得 ，
又 ，
故 是等比数列，且数列 的通项公式
（2）解：因为 ，
所以 ，
因为数列 是等差数列，
所以 恒成立，
即有 恒成立，
即 ，
解得
（3）解：因为 = ，
即 ，
又对任意的 存在实数 ,使得 ,
即对任意的 恒成立，
又当 时， 取最小值3， 时， ，
即 ,
故实数 的最大值为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等差关系的确定；等比关系的确定；数列的求和；数列的极限
【解析】【分析】（1）由 ，再得出 ，两式作差，得出 ， ，再分奇数项，偶数项分别求通项公式即可得解；（2）由等差数列的等差中项可得 恒成立，可得 ，解得 ;（3）由已知有 ，由裂项求和法求数列前 项和得 ，由分离变量最值法可得 ，运算即可得解.
4．【答案】（1）解：因为数列 是等差数列， ，
所以 ，
对任意的 ，
有 ，
因为 ，于是令 ，
则有 ，
所以该数列是“封闭数列”
（2）解：因为 ，
所以 ， ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以数列 不是“封闭数列”
（3）解：假设存在这样的“封闭数列”，因为公差 ，则
则对于任意的 ，必存在 使 成立，
即 ，
即 为整数；
又 ，则 为正整数；
若 ，则 ，则 ，
所以
；
若 ，则 ，则 ，
所以
；
若 ，则 ，于是
所以 ；
综上所述， ，
所以 ， ，
显然，该数列是“封闭数列”.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的极限
【解析】【分析】（1）先由题意得到 ，只需验证 也是数列 中的项即可；（2）由通项公式，得到 ， ，验证 不是数列 中的项，即可判断出结果；（3）先假设存在这样的“封闭数列”，得到对于任意的 ，必存在 使 成立，求出 为整数；分别讨论 ， 和 三种情况，根据裂项相消法，以及数列的极限运算，即可得出结论.
5．【答案】（1）解：，
关于的方程有两个不同的正实根，
即方程有两个不同的正实根，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，上递增，
所以，
又当时，，当时，，
所以，即，
所以；
（2）解：当时，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
令，
则
，
当时，，所以函数在上递增，
当时，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以当时，，即，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数， 关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数求极限的方法得出实数a的取值范围。
（2） 当时，恒成立，即恒成立，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
6．【答案】（1）解：由题意，函数，可得，
则，
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
可得，解得，所以，
可得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即直线的方程为.
（2）解：由题意，函数的定义域为，
令，即，
当，可得，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，且当时，，时，，
要使得函数有两个零点，则和的图象有两个交点，
如图所示，结合图象，可得，
即实数的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值，再结合代入法得出切点坐标，再利用点斜式求出切线方程，再转化为切线的一般式方程。
（2） 由题意结合分式函数求定义域的方法得出函数的定义域，令，即，当时，可得，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，又由结合函数求极限的方法，得出当时，，时，，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，要使得函数有两个零点，则和的图象有两个交点，
再结合图象可得实数的取值范围 。
7．【答案】（1）解：当时，．．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，，在上不可能单调递增．．
所以在上单调递增，则．
（2）解：
（ⅰ）当时，，在上单调递增．有零点．
（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减．
又当x趋近于时，f(x)趋近于；x趋近于时，f(x)趋近于；
所以只要恒成立，则恒有零点．
即恒成立．
因为求的最大值，不妨设，．
设，则．
所以只要．
即，得．
所以的最大值为．
（3）解：由题意得：只要证．
设，．
则，是函数的两根．
．
当时，，与函数有两个零点矛盾．
所以．所以当时，．
所以函数在上递增，在上递减．
记函数有图象关于直线对称后是函数的图象．
有．
则．
．
所以时，．
所以，即．
所以．．
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 当时，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合已知条件得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合导数的运算法则求出导函数，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合函数求极限的方法和不等式恒成立问题求解方法和零点存在性定理，从而求出实数k的取值范围，进而得出实数的最大值。
（3）利用已知条件结合分析法证明方法，进而证出不等式 成立。
8．【答案】（1）解：由得：，设
设，，则，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又当趋向，趋向于；，，当趋向，趋向于.
0 1
0
趋向于0 递增 1 递减 0 递增 趋向于
由上述，作出的草图：的根的个数即为与的交点个数
所以，当时，无根；
当时，有1个根；
当时，有3个根；
当时，有2个根；
当时，有1个根.
（2）证明：由和
设，则由向右平移个单位可得，
由（1）知：时递增，时递减，时递增，且，，.
，
，则成立，又，易得，
或.
1、当时，则，而，又，
，则.
2、当时，，
时，，则.
时，，则.
.
综上可知：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；反射、平衡和旋转变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法作出函数
的图像，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，得出方程
的根的个数即为
与
的交点个数，再结合分类讨论的方法判断出方程
的根的个数。
（2）利用已知条件结合函数的平移变换和函数的单调性，再结合分类讨论的方法结合不等式的基本性质证出不等式
成立。
9．【答案】（1）解：，．
当时，恒成立，在上单调递增．
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上，时，在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：①注意到，，
由（1）知，当时，在上单调递增，
对任意，恒有，不合题意；
同理，当时，在上单调递减，
又，所以对任意，恒有，不合题意；
当时，，由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，所以，
又当时，，
由零点存在定理知，存在唯一一点，使得，满足题意．
综上所述，a的取值范围为．
②由①知，当时，，
解得．要证，只需证．
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，即，即．
要证，只需证，即．
又因为，即证．
令，，则．
又，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
又，所以，即，不等式得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） ①利用代入法得出的值，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理，得出存在唯一一点，使得，满足题意，进而求出实数a的取值范围。
②由①知，当时，，从而求出，再利用分析法证出，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出不等式 成立。
10．【答案】（1）解：由 通过点（1，2）可得，
由 与 联立方程组，解得
与 所围的面积S与a的函数关系
（2）解：求导可得
由 得 ，由 得 或 ，
所以当 时 取得极小值，即最小值，
此时 ，最小值 .
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）联立方程组，求出积分上下限，结合微积分基本定理，即可求出面积S与a的函数关系；
（2）求导数，根据导数确定函数的单调性，求出函数的最值即可.
11．【答案】解：（I）由题意，所获得的利润为
y=10[2（x﹣p）﹣p]=10（2x﹣3p）=20x﹣30p=20x﹣3x2+96lnx﹣90（4≤x≤12）
（II）由（Ⅰ）得y'=20﹣6x+ = ，
令y'=0，得到x=6或x=﹣ （舍去）；
所以当4≤x＜6，y'＞0，函数在[4，6]为增函数，当6＜x＜12时，y'＜0，函数在（6，12）为减函数；
所以当x=6时，函数去极大值，即最大值，
所以当x=6时利润最大，为20×6﹣3×62+96ln6﹣90=96ln6﹣78（万元），
当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为96ln6﹣78万元．
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用利润=盈利﹣亏损，得到y与p的关系，将p代入整理即可；（Ⅱ）对（Ⅰ）的解析式求导，判定取最大值时的x值，求最大利润．
12．【答案】（1）解： (1) ，
则 .
令 ，得 .
.
令 得 ，
.
.
设 ，
则 .
在 上单调递增.
x＜0
综上可知， 的解析式为 ，且单调递增区间为 ，单调递減区间为
（2）解： b≥0
①当 .
在 上单调递增，
此时当 时， 与 矛盾；
②当 时， ，
当 时， ，
.今 ，则 .
当 时， .
当 时， 的最大值为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的运算法则，从而求出导函数，再利用赋值法，从而求出函数的解析式；再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
(2)由 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而求出函数的最大值，进而求出当 时的函数 的最大值。
13．【答案】（1）解： ，
当 时， ，显然不符合要求；
当 时， ，
令 ，则 ，
时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
时， ， ； 时， ， ； ．
因为 有两个极值点，所以 有两个变号零点，
故 ，解得 ，即
（2）解：当 时， 时， ，故不符合题意；
当 时，
由（1）得， ； 时 由函数零点存在定理可得，存在唯一的 ，使得 ，即 ．
当 时 ， ，函数 单调递增；当 时 ， ，函数 单调递减．故 为函数 的最大值，满足 ．
（i）由题意，可得 ，要证明 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
当 时函数 单调递减，故 ，命题得证；
（ii）因为 ，所以 ，令 ，由题意可得 ，
要证： ，只需证 ，即证 ，
令 ，
则 ， ， ；
， ；
因为 ， ，所以 恒成立，
所以 在 上单调递增，又因为 ，
故 恒成立，结合 ，
所以 恒成立，故命题得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而求出函数的极值点，再利用函数 有两个极值点，从而求出实数 的取值范围。
（2） （ⅰ） 利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用函数求极限的方法结合零点存在性定理，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用分析法的证明方法，进而证出不等式 成立。 （ⅱ） 利用已知条件结合分析法的证明方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出不等式 成立。
14．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，则 ，
所以 在 处的切线为
，
令 ，
显然 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
若 ，当 时，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上无零点，舍去.
若 ，因为 ，
所以 时，当 时， 取得最小值 ；
又 时， ，
则存在 ，有 ，
当 时， ，当 时， ，
所以g（x）在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得极大值 ，
又 时， ，
所以存在 ，有
故 在 存在零点，
所以 的取值范围是
（2）证明：（i）令 ，
则 ， ， ， ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得最大值 ，
所以 ，则 递减，
又因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得最大值 ，
所以 ，即 ；
（ii）先证 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得最小值 ，
所以 ，则 递增，
又因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值 ，
又因为 ，
所以 ，
即得证.
因为 是 上的点，
所以 ，
所以 ，
，
，
，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)利用 ，再结合求导的方法求出函数在 处的切线为
，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，所以 ，所以 在 上无零点，舍去；再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合函数求极限的方法，从而求出函数的最值，再结合零点存在性定理，得出 函数 在 存在零点，从而求出实数 的取值范围。
15．【答案】（1）解：当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以函数 为 上的单调递减函数
（2）解：若 恒成立，即 恒成立，
显然，当 时成立，
当 时，不等式等价于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，得 或 ，即函数 在 和 上单调递增，
当 时，得 ，即函数 在 上单调递减，
由于 时， 由正数趋近于 ，当 时，
所以函数 的草图如图，
所以 恒成立，只需
所以实数 的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断出函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 若 恒成立，即 恒成立，显然，当 时成立，当 时，不等式等价于 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而画出函数 的图象，所以 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 的取值范围。
16．【答案】（1）解： ，
当 时， ，所以 在 上是增函数；
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ，
所以 在 ， 和 ， 是增函数，在 ， 是减函数．
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ，
所以 在 ， 和 ， 是增函数，在 ， 是减函数；
（2）解：由（1）可知，当 时， 在 上是增函数，
因为 且 ， ，
所以 只有1个零点 ，且 ，符合题意；
当 时，需要满足：
，即 ，
解得 或 ；
当 时，需要满足：
即 解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ；
（3）解：当 时， ，
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以存在 ，使得关于 的方程 有解．
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 由（1）可知，当 时， 在 上是增函数，再结合代入法和函数求极限的方法，从而得出 且 ， ，所以 只有1个零点 且 ，符合题意，再利用分类讨论的方法结合已知条件，从而求出实数a的取值范围。
（3） 当 时，得出函数解析式为 ，再利用代入法得出 ，再利用 ，得出的取值范围 ，再利用 ，所以存在 ，使得关于 的方程 有解。
17．【答案】（1）解： ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，
当 时，由 ，解得 ，
由于 时，导函数 单调递增，
故 ， 单调递减，
单调递增.
综上，当 时 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）曲线 与曲线 存在唯一公切线，设该公切线与 分别切于点 ，显然 .
由于 ，
所以 ，
，
由于 ，故 ，且
因此 ，
此时 ，
设
问题等价于直线 与曲线 在 时有且只有一个公共点，
又 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递增， 上单调递减，
而 ，当 时，
所以 的值域为 .
故 .
（3）当 时， ，问题等价于不等式
，当 时恒成立.
设 ， ，
又设
则
而 .
(i)当 时，即 时，
由于 ，
此时 在 上单调递增.
所以
即 ，所以 在 上单调递增
所以 ，
即 ，
故 适合题意.
(ii)当 时， ，
由于 在 上单调递增，
令 ，
则 ，
故在 上存在唯一 ，使 ，
因此当 时， 单调递减，
所以 ，
即 在 上单调递减，
故 ，
亦即 ，
故 时不适合题意，
综上，所求 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 曲线 与曲线 存在唯一公切线，设该公切线与 分别切于点 ，显然 ，再利用求导的方法结合已知条件得出 ， 则
，由于 ，故 且 ，因此 ，此时 ，设 ，问题等价于直线 与曲线 在 时有且只有一个公共点，再利用求导的方法判断函数的单调性结合函数求极限的方法，进而求出函数的值域，从而求出a的值。
（3） 当 时， ，问题等价于不等式 ，当 时恒成立，设 ， ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数k的取值范围。
18．【答案】（1） 在 上单调递减，证明如下：
的定义域为 ，则 ，
当 ，则 ，即 单调递减，故 在 上单调递减；
（2）∵ 对于任意 恒成立，即 对于任意 恒成立，
当 时， ，则有 对于任意 恒成立，即 ，
令 ，则 在 上单调递增，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
∴ ，即 ，故 对于任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
∴ 在 上单调递增，则 ，则 在 上单调递增，
∴ ，即 ，则 在 上单调递增，
∴ ，而 ，
∴ ，又 ，故正实数a的取值范围为 ．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断并证明出函数的单调性。
（2） 对于任意 恒成立，即 对于任意 恒成立，当 时， ，则有 对于任意 恒成立，即 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数m(x)的值域，进而得出 对于任意 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再结合函数求极限的分法，进而结合已知条件求出实数a的取值范围。
19．【答案】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
由 得， ， 的增区间为 ，
由 得， ， 的减区间为 .
（2） 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 内单调递增.
因为 （ ）， （ ），
所以 ，使 ，
所以 ，即 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 ，
即 恒成立，
又因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以a的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（2）利用 恒成立，即 恒成立，令 ，再利用导数的运算法则求出函数g(x)的导函数，则 ，令 ，再利用求导方法判断函数的单调性，再结合函数极限的方法得出 ，使 ，所以 ，即 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值，所以 ，即 恒成立，再利用均值不等式求最值的方法，从而结合对数函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
20．【答案】（1）依题意得 ，
①若 ，则 ，函数 在区间 上单调递增；
②若 时，由 得 或 ，由 得 ，
可知函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）可知，
当 时， 在 上单调递增，
又 时， ； 时， ，
此时函数 仅有1个零点，满足条件．
若 时，由（1）可知， 在 时取极大值，在 时 取极小值．
又 时， ； 时， ，
因为函数 只有一个零点，
所以 或 ，
即 或 ，
解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；极限及其运算；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数 的单调性。
（2） 由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，再利用函数极限的方法得出此时函数 仅有1个零点满足条件，若 时，由（1）可知， 在 时取极大值，在 时 取极小值，再结合函数极限的方法结合函数只有一个零点，从而得出 或 ，进而求出实数a的取值范围。
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