备考2024年高考数学提升专题特训：微积分与极限
一、解答题
1．（2020高二下·吉林月考）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
2．（2018高二上·白城月考）求 的值
3．已知 ＝ ＝1， ＝ ，求下列定积分：
（1） ；
（2） .
4．（2023高三上·惠民期末）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足条件的正整数的最大值．
5．（2021高三上·济南期末）某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占.
附：
参考公式：，其中.
（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存关联？
满意 不满意 合计
上班族
非上班族
合计
（2）为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.
（i）若，写出的分布列和数学期望；
（ii）请写出的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明的数学期望的实际意义.
6．（2022·上海）已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
7．（2020高一下·上海期末）已知数列 满足： ，且 为等差数列，数列 的前n项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
8．（2020高一下·上海期末）已知等比数列 的前n项和为 ， ， ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求无穷数列 的各项和.
9．（2020高二下·五莲期中）已知函数 （ ， ，其中 为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 有两个不同的零点 ，当 时，求实数 的取值范围.
10．（2022高二下·玉林期中）一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：m/s）紧急刹车至停止．求：
（I）从开始紧急刹车到火车完全停止所经过的时间；
（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程．
11．（2021高二下·柳林期中）已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
12．（2020高二下·怀宁期中）已知 ，且 ， ， ，求a、b、c的值．
13．（2019高二下·滦平期中）已知函数f（x）=（2x-1）3，g（x）=f（x）-6x2+ax.
（1）求f'（x）；
（2）若a= ，求g（x）在（ ，+∞）上的单调区间与极值。
14．（2022高二下·河南月考）求由曲线和所围成的平面图形的面积.
15．（2021高二下·武功期中）设是二次函数，方程有两个相等的实根，且
（1）求的表达式；
（2）求的图像与两坐标轴所围成图形的面积
16．（2021高二下·昌吉期中）求抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积．
17．（2021高二下·宿州期中）如图，已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；若直线与函数的图象以及直线，与函数的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求阴影面积关于的函数的解析式；
（2）若过点，可作曲线，的三条切线，求实数的取值范围.
18．（2022高三上·湖北月考）已知数列的前n项和为，且是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式以及；
（2）证明：．
19．（2022高三上·浙江开学考）在数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，数列前项和为.
在①，②中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择________-.
20．（2022高二下·台州期末）已知数列满足.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题得
（2）解：令 ，
因为 等于 轴和曲线 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形 ，
扇形 的面积为 ，
所以 .
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）由题得 ，计算即得解；（2）如图，先求出扇形 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可.
2．【答案】解：∵ 为奇函数，
∴
∴
【知识点】微积分基本定理
【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.
3．【答案】（1）解： = + =2
（2）解： =
【知识点】微积分基本定理；定积分的简单应用
【解析】【分析】(1)由定积分的运算法则直接求解;
(2)由定积分的运算法则及微积分定理求解;
4．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，且，，成等比数列，
所以，，
即，解得
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，易得，
则，
所以．
，
因为，
所以，
解得，
所以正整数的最大值为674．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的极限
【解析】【分析】（1） 设等差数列的首项为，公差为， 然后根据题意列方程组 ，解得 ，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，则，从而可求出，再解不等式可得结果.
5．【答案】（1）解：由题意可知
满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
零假设为：市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为；
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）解：当时，的取值为1，2，3，4，5，
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为；
所以，，，，，
所以的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以；
（ⅱ）
当n趋向于正无穷大时，趋向于2，此时恰好为不满意度的倒数；
也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民.
【知识点】极限及其运算；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写出 列联表，再利用 列联表结合独立性检验的方法，从而 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 。
（2） （i） 利用n的值求出随机变量 的取值， 由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，再利用独立事件乘法求概率公式得出随机变量 的分布列，再利用随机变量 的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量 的数学期望。 （ii） 利用随机变量的数学期望公式求出 的数学期望的表达式，当n趋向于正无穷大时，趋向于2，此时恰好为不满意度的倒数；也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民。
6．【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时，d≤1；
当n≥2时，恒成立；
∵
∴d≥0
综上
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
7．【答案】（1）解： ，
，
两式相减得： ，
，
又 ，
，
（2）解：由（1）知 ，
，
【知识点】极限及其运算；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据递推关系求出数列的公差，再根据等差数列的通项公式求出通项即可；（2）求出等差数列的前n项和，化简 ，求极限即可.
8．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，
由题可知：
或
又 ，可知
所以
（2）解：由（1）可知： ，则
可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
所以无穷数列 的各项和为
即
故答案为： ，
【知识点】极限及其运算；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）假设等比数列的公比，然后根据题意计算出公比，根据等比数列的通项公式的表示可得结果.（2）根据（1）的结论，以及极限的概念，简单计算可得结果.
9．【答案】（1）解：因为
所以 ，
令 ，得 ，∴函数 的单调递增区间为
（2）解：由（1）知，函数 在 递减，在 递增，
∴ 时， ； ， ，
∵函数 有两个零点 ，∴ ，又 ，
∴ ，
即
所以
所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间。
(2) 由（1）知，函数 在 递减，在 递增，再利用函数求极限的方法结合函数零点的求解方法，再结合已知条件函数 有两个不同的零点 ，所以 ，又因为 ，进而解对数不等式求出实数a的取值范围。
10．【答案】解：（Ⅰ）当火车的速度为0时，火车完全停止，
即，整理，得，
由t>0，解得t=10，
所以从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10s；
（Ⅱ）根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程
就是t从0到10对应函数的定积分，
所以
即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11米．
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】(1)令v (t) =0，解得t的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
(2)紧急刹车后火车运行的路程是t从0到10对函数v (t) 的定积分.
11．【答案】解：作出y＝x2－2x的图象如图．
（1）当a<0时，
S＝
＝(x3－x2)
＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a<0，∴a＝－1.
（2）当a＞0时，①0＜a≤2，
S=-=-( x3-x2) =a2- a3= ，
∴(a+1)(a-2)2=0.
∵a＞0，
∴a=2.
②当a>2时，
S＝－＋
＝－(x3－x2)＋(x3－x2)
＝－(－4)＋(a3－a2－＋4)
＝＋(a3－a2－＋4)＝
∴a3－a2＋＝0， ∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∴a>2无解．
综上a＝－1，或a＝2.
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】根据题意，将a 分成三类讨论围成区域，当 a<0 时， ；当 0＜a≤2 时， ；当 a>2 时， 三种情况分别求出a的值.
12．【答案】解：∵ ，∴ ．①
又∵ ，∴ ．②
而 ，
取 ，
则 ，
∴ .③
解①②③得 ， ，
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】 对f（x）进行积分运算和求导，利用f（-1）=2，f'（0）=0，，可得答案．
13．【答案】（1）解：f'（x）=6（2x-1）2
（2）解：因为a= =6，所以g（x）=（2x-1）4-6x2+6x
g'（x）=6（2x-1）2-6（2x-1）=6（2x-1）（2x-2）
当 1时，g（x）>0
于是g（x）在（1，-∞）上单调递增，在（ ，1）上单调递减
所以g（x）在（ ，+∞）上的楼小值为g（1）=1，无极大值
【知识点】定积分的简单应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用求导公式直接求导；
（2）利用定积分的公式得出的值，得出 g（x）=（2x-1）4-6x2+6x，然后对求导得出的单调区间以及极值。
14．【答案】解：曲线和所围成的平面图形的面积为：
.
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】利用定积分求平面图形的面积.
15．【答案】（1）解：由是二次函数且，则可设
方程由两个相等的实根，，得到
（2）解：由可知它的图像与轴交于，与轴交于
记图像与两坐标轴所围成图形的面积为，则
的图像与两坐标轴所围成图形的面积为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用定积分求封闭图形的面积；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则和判别式法，进而得出函数的解析式。
（2）利用函数的图象求出函数与坐标轴的交点坐标，再结合定积分求面积的方法，进而得出 的图像与两坐标轴所围成图形的面积 。
16．【答案】解：因为，
所以在点，处切线的斜率分别为和，
所以两直线方程分别为和，
由得两直线交点坐标为，
，
．
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用已知条件结合导数求曲线在切点处的切线的斜率的方法，再结合点斜式求出抛物线在切点A，B处的切线的方程，再利用两直线联立方程求交点的方法，进而得出交点C的坐标，再利用三角形的面积公式和定积分求面积方法，进而结合作差法得出抛物线 及其在点 和点 处的切线所围成图形的面积。
17．【答案】（1）解：由得
，∴，
∵，∴直线与的图象的交点横坐标分别为，，
由定积分的几何意义知：
，
（2）解：∵曲线方程为，，∴，
由题意，点，不在曲线上.设切点为，则点的坐标满足
，因，故切线的斜率为
，整理得.
∵过点可作曲线的三条切线，
∴关于方程有三个实根.
设，则，由得
∵当时，∴在，上单调递增，
∵当时，，∴在上单调递减.
∴函数的极值点为，
∴关于方程有三个实根的充要条件是，
解得，故所求的实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用定积分求封闭图形的面积；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由定积分的几何意义可得 ，由微积分基本定理即可求解；
（2） 设切点为 ，由题意可得 . 因为 过点可作曲线的三条切线， 构造函数 ，函数图象与x轴由三个交点，确定函数单调性即可得： ， 即可求得m范围。
18．【答案】（1）解：由题意可知，
整理可得，①
则，②
由②-①可得，
整理可得，因为，
所以，
因为，所以，
．
（2）证明：当时，成立．
当时，
．
综上，得证．
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1） 由题意可得，①，②，两式相减整理，再利用累乘法可求得，再合并求和即可；
（2） 当时，成立，再证明当时，由利用放缩法证明不等式成立即可.
19．【答案】（1）解：由得，
即，因为，所以时，，
得，因此；
（2）解：因为，得，
所以
，
选择①：因为
，因为，所以，所以，
所以单调递增，因为，所以；
选择②因为，，
所以.
【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1）由得，再利用等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出，再利用裂项相消可得，选择①，判断出单调性可得答案；
选择②利用放缩法可得答案.
20．【答案】（1）证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，
所以
（2）证明：由（1）得，
因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
因为，
所以
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1）根据题意推出， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 再根据等比数列得通项公式，即可得解；
（2）由已知推出数列 是以为首项，为公比的等比数列， 再根据等比数列前项和公式即可得出结论.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：微积分与极限
一、解答题
1．（2020高二下·吉林月考）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：由题得
（2）解：令 ，
因为 等于 轴和曲线 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形 ，
扇形 的面积为 ，
所以 .
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）由题得 ，计算即得解；（2）如图，先求出扇形 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可.
2．（2018高二上·白城月考）求 的值
【答案】解：∵ 为奇函数，
∴
∴
【知识点】微积分基本定理
【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.
3．已知 ＝ ＝1， ＝ ，求下列定积分：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解： = + =2
（2）解： =
【知识点】微积分基本定理；定积分的简单应用
【解析】【分析】(1)由定积分的运算法则直接求解;
(2)由定积分的运算法则及微积分定理求解;
4．（2023高三上·惠民期末）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足条件的正整数的最大值．
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，且，，成等比数列，
所以，，
即，解得
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，易得，
则，
所以．
，
因为，
所以，
解得，
所以正整数的最大值为674．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的极限
【解析】【分析】（1） 设等差数列的首项为，公差为， 然后根据题意列方程组 ，解得 ，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，则，从而可求出，再解不等式可得结果.
5．（2021高三上·济南期末）某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占.
附：
参考公式：，其中.
（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存关联？
满意 不满意 合计
上班族
非上班族
合计
（2）为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.
（i）若，写出的分布列和数学期望；
（ii）请写出的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明的数学期望的实际意义.
【答案】（1）解：由题意可知
满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
零假设为：市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为；
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）解：当时，的取值为1，2，3，4，5，
由（1）可知市民的满意度和不满意度均为；
所以，，，，，
所以的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以；
（ⅱ）
当n趋向于正无穷大时，趋向于2，此时恰好为不满意度的倒数；
也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民.
【知识点】极限及其运算；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写出 列联表，再利用 列联表结合独立性检验的方法，从而 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 。
（2） （i） 利用n的值求出随机变量 的取值， 由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，再利用独立事件乘法求概率公式得出随机变量 的分布列，再利用随机变量 的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量 的数学期望。 （ii） 利用随机变量的数学期望公式求出 的数学期望的表达式，当n趋向于正无穷大时，趋向于2，此时恰好为不满意度的倒数；也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民。
6．（2022·上海）已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时，d≤1；
当n≥2时，恒成立；
∵
∴d≥0
综上
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
7．（2020高一下·上海期末）已知数列 满足： ，且 为等差数列，数列 的前n项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1）解： ，
，
两式相减得： ，
，
又 ，
，
（2）解：由（1）知 ，
，
【知识点】极限及其运算；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据递推关系求出数列的公差，再根据等差数列的通项公式求出通项即可；（2）求出等差数列的前n项和，化简 ，求极限即可.
8．（2020高一下·上海期末）已知等比数列 的前n项和为 ， ， ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求无穷数列 的各项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，
由题可知：
或
又 ，可知
所以
（2）解：由（1）可知： ，则
可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
所以无穷数列 的各项和为
即
故答案为： ，
【知识点】极限及其运算；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）假设等比数列的公比，然后根据题意计算出公比，根据等比数列的通项公式的表示可得结果.（2）根据（1）的结论，以及极限的概念，简单计算可得结果.
9．（2020高二下·五莲期中）已知函数 （ ， ，其中 为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 有两个不同的零点 ，当 时，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为
所以 ，
令 ，得 ，∴函数 的单调递增区间为
（2）解：由（1）知，函数 在 递减，在 递增，
∴ 时， ； ， ，
∵函数 有两个零点 ，∴ ，又 ，
∴ ，
即
所以
所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间。
(2) 由（1）知，函数 在 递减，在 递增，再利用函数求极限的方法结合函数零点的求解方法，再结合已知条件函数 有两个不同的零点 ，所以 ，又因为 ，进而解对数不等式求出实数a的取值范围。
10．（2022高二下·玉林期中）一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：m/s）紧急刹车至停止．求：
（I）从开始紧急刹车到火车完全停止所经过的时间；
（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程．
【答案】解：（Ⅰ）当火车的速度为0时，火车完全停止，
即，整理，得，
由t>0，解得t=10，
所以从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10s；
（Ⅱ）根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程
就是t从0到10对应函数的定积分，
所以
即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11米．
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】(1)令v (t) =0，解得t的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
(2)紧急刹车后火车运行的路程是t从0到10对函数v (t) 的定积分.
11．（2021高二下·柳林期中）已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
【答案】解：作出y＝x2－2x的图象如图．
（1）当a<0时，
S＝
＝(x3－x2)
＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a<0，∴a＝－1.
（2）当a＞0时，①0＜a≤2，
S=-=-( x3-x2) =a2- a3= ，
∴(a+1)(a-2)2=0.
∵a＞0，
∴a=2.
②当a>2时，
S＝－＋
＝－(x3－x2)＋(x3－x2)
＝－(－4)＋(a3－a2－＋4)
＝＋(a3－a2－＋4)＝
∴a3－a2＋＝0， ∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∴a>2无解．
综上a＝－1，或a＝2.
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】根据题意，将a 分成三类讨论围成区域，当 a<0 时， ；当 0＜a≤2 时， ；当 a>2 时， 三种情况分别求出a的值.
12．（2020高二下·怀宁期中）已知 ，且 ， ， ，求a、b、c的值．
【答案】解：∵ ，∴ ．①
又∵ ，∴ ．②
而 ，
取 ，
则 ，
∴ .③
解①②③得 ， ，
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】 对f（x）进行积分运算和求导，利用f（-1）=2，f'（0）=0，，可得答案．
13．（2019高二下·滦平期中）已知函数f（x）=（2x-1）3，g（x）=f（x）-6x2+ax.
（1）求f'（x）；
（2）若a= ，求g（x）在（ ，+∞）上的单调区间与极值。
【答案】（1）解：f'（x）=6（2x-1）2
（2）解：因为a= =6，所以g（x）=（2x-1）4-6x2+6x
g'（x）=6（2x-1）2-6（2x-1）=6（2x-1）（2x-2）
当 1时，g（x）>0
于是g（x）在（1，-∞）上单调递增，在（ ，1）上单调递减
所以g（x）在（ ，+∞）上的楼小值为g（1）=1，无极大值
【知识点】定积分的简单应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用求导公式直接求导；
（2）利用定积分的公式得出的值，得出 g（x）=（2x-1）4-6x2+6x，然后对求导得出的单调区间以及极值。
14．（2022高二下·河南月考）求由曲线和所围成的平面图形的面积.
【答案】解：曲线和所围成的平面图形的面积为：
.
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】利用定积分求平面图形的面积.
15．（2021高二下·武功期中）设是二次函数，方程有两个相等的实根，且
（1）求的表达式；
（2）求的图像与两坐标轴所围成图形的面积
【答案】（1）解：由是二次函数且，则可设
方程由两个相等的实根，，得到
（2）解：由可知它的图像与轴交于，与轴交于
记图像与两坐标轴所围成图形的面积为，则
的图像与两坐标轴所围成图形的面积为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用定积分求封闭图形的面积；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则和判别式法，进而得出函数的解析式。
（2）利用函数的图象求出函数与坐标轴的交点坐标，再结合定积分求面积的方法，进而得出 的图像与两坐标轴所围成图形的面积 。
16．（2021高二下·昌吉期中）求抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积．
【答案】解：因为，
所以在点，处切线的斜率分别为和，
所以两直线方程分别为和，
由得两直线交点坐标为，
，
．
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用已知条件结合导数求曲线在切点处的切线的斜率的方法，再结合点斜式求出抛物线在切点A，B处的切线的方程，再利用两直线联立方程求交点的方法，进而得出交点C的坐标，再利用三角形的面积公式和定积分求面积方法，进而结合作差法得出抛物线 及其在点 和点 处的切线所围成图形的面积。
17．（2021高二下·宿州期中）如图，已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；若直线与函数的图象以及直线，与函数的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求阴影面积关于的函数的解析式；
（2）若过点，可作曲线，的三条切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由得
，∴，
∵，∴直线与的图象的交点横坐标分别为，，
由定积分的几何意义知：
，
（2）解：∵曲线方程为，，∴，
由题意，点，不在曲线上.设切点为，则点的坐标满足
，因，故切线的斜率为
，整理得.
∵过点可作曲线的三条切线，
∴关于方程有三个实根.
设，则，由得
∵当时，∴在，上单调递增，
∵当时，，∴在上单调递减.
∴函数的极值点为，
∴关于方程有三个实根的充要条件是，
解得，故所求的实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用定积分求封闭图形的面积；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由定积分的几何意义可得 ，由微积分基本定理即可求解；
（2） 设切点为 ，由题意可得 . 因为 过点可作曲线的三条切线， 构造函数 ，函数图象与x轴由三个交点，确定函数单调性即可得： ， 即可求得m范围。
18．（2022高三上·湖北月考）已知数列的前n项和为，且是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式以及；
（2）证明：．
【答案】（1）解：由题意可知，
整理可得，①
则，②
由②-①可得，
整理可得，因为，
所以，
因为，所以，
．
（2）证明：当时，成立．
当时，
．
综上，得证．
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1） 由题意可得，①，②，两式相减整理，再利用累乘法可求得，再合并求和即可；
（2） 当时，成立，再证明当时，由利用放缩法证明不等式成立即可.
19．（2022高三上·浙江开学考）在数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，数列前项和为.
在①，②中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择________-.
【答案】（1）解：由得，
即，因为，所以时，，
得，因此；
（2）解：因为，得，
所以
，
选择①：因为
，因为，所以，所以，
所以单调递增，因为，所以；
选择②因为，，
所以.
【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1）由得，再利用等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出，再利用裂项相消可得，选择①，判断出单调性可得答案；
选择②利用放缩法可得答案.
20．（2022高二下·台州期末）已知数列满足.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明.
【答案】（1）证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，
所以
（2）证明：由（1）得，
因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
因为，
所以
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1）根据题意推出， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 再根据等比数列得通项公式，即可得解；
（2）由已知推出数列 是以为首项，为公比的等比数列， 再根据等比数列前项和公式即可得出结论.
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