备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：复数

备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：复数
一、解答题
1．（2021高二下·启东月考）设复数z的实部为正数，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
（1）求复数z；
（2）若有 ， ，对任意 均有 成立，试求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：设
， ①，
，且在一、三象限角平分线上，
②
由①、②得 或
， ， ，
；
（2）解： ， ， ，
，
均有 成立，
∴ ，即 对 恒成立，
① 时， 恒成立，
② ， ，解得 ，
综上所述，
【知识点】函数恒成立问题；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数求模公式，进而求出a,b的第一个方程，再利用复数的乘除法运算法则结合复数的几何意义，再结合已知条件复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，进而求出a,b的第二个方程，联立方程组求出a,b的值，从而求出复数z。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系和复数乘法运算法则，再结合复数求模公式和已知条件对任意 均有 成立，再结合分类讨论的方法，进而求出实数a的取值范围。
2．（2019高二下·徐汇月考）已知方程 ， ．
（1）设 ， 为虚数单位，且 是方程 的一个根，求 ；
（2）设 、 是方程 的两个根，若 ，求 的值．
【答案】（1）解： 是方程 的一个根，
所以 ，
所以
又 ， ，
则 ，解得 ，
故 的值为 ；
（2）解：因为 、 是方程 的两个根，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得： 或 ，
故 的值为 或 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数相等的充要条件
【解析】【分析】（1）将 代入方程 运算，由复数相等可得 ，求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合题意列出方程 ，解方程即可得解.
3．（2019高二下·徐汇月考）已知复数 ，其中 为虚数单位，对于任意复数 ，有 ， ．
（1）求 的值；
（2）若复数 满足 ，求 的取值范围；
（3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数 的点 和表示复数 的点 之间的一个变换，问是否存在一条直线 ，若点 在直线 上，则点 仍然在直线 上？如果存在，求出直线 的方程，否则，说明理由．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
又 ，
故
（2）解：由 ，得复数 的轨迹是点 ， 的中垂线，
又 ,
所以 ，
即 ，
故 的取值范围为
（3）解：设 ， ，
由 ，得 ，①
设存在直线 满足题意，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，②
由题意知：把①代入②可得 ，③
把②代入③可得 ，解得 ，
故存在直线 ，其方程为 .
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模；直线的斜截式方程
【解析】【分析】（1）利用复数的模的性质即可得解；（2）利用复数的几何意义即可得解；（3）设 ， ，由 ，得 ，①设存在直线 ，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，②，联立化简即可得解.
4．（2018高二下·上海月考）复数 所对应的点在点 及 为端点的线段上运动，复数 满足 ，求：
（1）复数 模的取值范围；
（2）复数 对应的点的轨迹方程.
【答案】（1）解：设 ，则 ；
（2）解： ；
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】(1)根据条件可设 ，由此可表示出 的模形式，进而得出 模的范围；（2）复数 对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，将 用（1）中的形式进行表示，转化为参数方程，即可解决轨迹方程．
5．（高中数学人教版选修2-2（理科） 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算（包括3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算） 同步练习）已知复数 满足: 求 的值.
【答案】解：设 . 即 ，
则 .
则
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】设出复数的代数形式,代入条件中,由复数相等得到关于a,b的方程组,再代入式子中,由复数的乘除运算求解.
6．（高中数学人教版选修2-2（理科） 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算（包括3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算） 同步练习）设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i.
求：
（1）f(z1－z2)的值；
（2）f(z1＋z2)的值．
【答案】（1）解：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i，
z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i＝1＋3i.
∵f(z)＝z－2i，
∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝5＋5i－2i＝5＋3i
（2）解：f(z1＋z2)＝z1＋z2－2i＝1＋3i－2i＝1＋i.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1(2))先计算复数的差与和,再由f(z)的表达式求得结果.
7．（复数代数形式的混合运算+++++）设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…；
（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+
（2）已知 ，且 （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求 |+…．
【答案】（1）证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ），
左边=右边，即n=1等式成立；
假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=rk（coskθ+isinkθ），
则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ）
=rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+isinθ）
=rk+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]
=rk+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，
即当n=k+1时，等式成立；
综上，对n∈N+，zn=rn（cosnα+isinnα）
（2）解： = =1，
且 （cosα+isinα）（α为实常数），
∴数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q= （cosα+isinα）的等比数列，
∴该数列的通项公式为Zn=Z1 qn﹣1= [cos（n﹣1）α+isin（n﹣1）α]
（3）解：在（2）的条件下， = ﹣ =（ cosα﹣1， sinα）
∴| |= ．
= [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，
= = ．
|+…= × =
【知识点】复数代数形式的混合运算；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）按照数学归纳法的基本步骤即可证明等式成立；（2） = =1，且 （cosα+isinα）（α为实常数），可得数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q= （cosα+isinα）的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．（3）在（2）的条件下， = [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，再利用数列极限求和公式即可得出．
8．（2015高二下·咸阳期中）已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3 ﹣4，求|ω|；
（2）若 ，求a，b的值．
【答案】（1）解：因为ω=z2+3 ﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|= = ；
（2）解：由条件 ，得 ，
即 ，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴ ，解得
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】 【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．
9．（人教新课标A版选修1-2数学3.2复数代数形式的四则运算同步检测）设复数z满足，．求z的值和|z－ω|的取值范围．
【答案】【解答】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi，代入4z＋2 ＝3 ＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 ＋i.∴解得 ，∴|z－ω|＝ ＝ ∵，∴.∴0≤|z－ω|≤2.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设z＝a＋bi(a，b∈R)，可得 ＝a－bi，代入4z＋2 ＝3 ＋i化简整理根据复数相等得到a，b的值，求得|z－ω|，根据三角函数性质求解其值域得到所求复数模的范围即可.
10．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ，，，（其中 为原点）．已知点 对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 ，．
【答案】解：由复数运算的几何意义知
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的三角形式；复数运算的几何意义；复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【分析】此题考核了复数运算的几何意义以及乘除法。
11．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）已知复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．
（1）z是纯虚数；
（2）z对应的点在复平面的第二象限．
【答案】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3
（2）根据题意得 ，
由此得 ，
即
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3(2)根据题意得 ，
由此得 ，
即
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质、复数的基本概念，解决问题的关键是(1)因为是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0；（2）因为对应的点在第二象限，所以实部小于0，虚部大于0，解出 的取值范围．
12． 把复数 与 对应的向量 ， 分别按逆时针方向旋转 和 后，与向量 重合且模相等，已知 ，求复数 的代数式和它的辐角主值．
【答案】解：由复数乘法的几何意义得
，
又
所以
所以 的辐角主值为 ．
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的三角形式；复数运算的几何意义；复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【分析】利用乘除法的几何意义可得以及 ，可化简的 ，所以辐角主值为。
13．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
14．（2023高一下·沈阳期末）已知复数，．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）当时，求．
【答案】（1）解：因为复数为纯虚数，
所以，解得
（2）解：当时，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【分析】(1)根据实部为0，虚部不为0得到方程(不等式)组 ，解得即可；
(2)首先求出z，再求出z的共轭复数，据复数代数形式的运算法则计算可得.
15．（2023高一下·静安期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.
（1）已知，求实数的值；
（2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：
①；
②若，则或.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
【答案】（1）解：由定义，有，
即，，整理得，，
所以，或.
（2）解：①.所以，①是真命题.
②，所以，②是假命题.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据复数新定义的运算 得 再由模长运算即可得结论.
(2)根据复数新定义结合共轭复数的定义逐个求证即可.
16．（2023高三上·深圳月考）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
（1）若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
（2）求；
（3）若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【答案】（1）解：因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）解：由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）解：由（1）可知是关于x的方程的一个根，所以把，代入得
化简得
即，解得：，
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）由共轭复数以及纯虚数的概念和复数的模进行列式求解的值，结合复数在复平面内对应点在第一象限进一步求得复数z；
（2）由（1）知，把代入原式，由复数代数形式的乘除运算化简即可求解；
（3）由（1）知， 复数是方程的一个根，可把代入方程，化简得，再由恒等思想即可求解 m，n的值 .
17．（2023高一下·闵行期末）欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.
（1）求，；
（2）若复数是纯虚数，求的值.
【答案】（1）解：；
（2）解：且，
复数是纯虚数，
.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】(1)根据复数的模和共轭复数的概念直接计算；
(2)先求出 ，再根据复数的除法运算求z，由复数z是纯虚数得出的值.
18．（2023高一下·渭源期末）已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数及其模.
【答案】（1）解：将代入
得，
∵为纯虚数，∴，
解得，
所以复数.
（2）解：由（1）知，
，
.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)将复数z表达式代入，进行混合运算化简，再根据纯虚数的定义，求出a.
(2)将复数z表达式代入ω，并对分母进行有理化，化简ω，并根据复数的模的定义，求得模长.
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：复数
一、解答题
1．（2021高二下·启东月考）设复数z的实部为正数，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
（1）求复数z；
（2）若有 ， ，对任意 均有 成立，试求实数a的取值范围.
2．（2019高二下·徐汇月考）已知方程 ， ．
（1）设 ， 为虚数单位，且 是方程 的一个根，求 ；
（2）设 、 是方程 的两个根，若 ，求 的值．
3．（2019高二下·徐汇月考）已知复数 ，其中 为虚数单位，对于任意复数 ，有 ， ．
（1）求 的值；
（2）若复数 满足 ，求 的取值范围；
（3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数 的点 和表示复数 的点 之间的一个变换，问是否存在一条直线 ，若点 在直线 上，则点 仍然在直线 上？如果存在，求出直线 的方程，否则，说明理由．
4．（2018高二下·上海月考）复数 所对应的点在点 及 为端点的线段上运动，复数 满足 ，求：
（1）复数 模的取值范围；
（2）复数 对应的点的轨迹方程.
5．（高中数学人教版选修2-2（理科） 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算（包括3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算） 同步练习）已知复数 满足: 求 的值.
6．（高中数学人教版选修2-2（理科） 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算（包括3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算） 同步练习）设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i.
求：
（1）f(z1－z2)的值；
（2）f(z1＋z2)的值．
7．（复数代数形式的混合运算+++++）设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…；
（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+
（2）已知 ，且 （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求 |+…．
8．（2015高二下·咸阳期中）已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3 ﹣4，求|ω|；
（2）若 ，求a，b的值．
9．（人教新课标A版选修1-2数学3.2复数代数形式的四则运算同步检测）设复数z满足，．求z的值和|z－ω|的取值范围．
10．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ，，，（其中 为原点）．已知点 对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 ，．
11．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）已知复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．
（1）z是纯虚数；
（2）z对应的点在复平面的第二象限．
12． 把复数 与 对应的向量 ， 分别按逆时针方向旋转 和 后，与向量 重合且模相等，已知 ，求复数 的代数式和它的辐角主值．
13．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
14．（2023高一下·沈阳期末）已知复数，．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）当时，求．
15．（2023高一下·静安期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.
（1）已知，求实数的值；
（2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：
①；
②若，则或.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
16．（2023高三上·深圳月考）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
（1）若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
（2）求；
（3）若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
17．（2023高一下·闵行期末）欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.
（1）求，；
（2）若复数是纯虚数，求的值.
18．（2023高一下·渭源期末）已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数及其模.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设
， ①，
，且在一、三象限角平分线上，
②
由①、②得 或
， ， ，
；
（2）解： ， ， ，
，
均有 成立，
∴ ，即 对 恒成立，
① 时， 恒成立，
② ， ，解得 ，
综上所述，
【知识点】函数恒成立问题；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数求模公式，进而求出a,b的第一个方程，再利用复数的乘除法运算法则结合复数的几何意义，再结合已知条件复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，进而求出a,b的第二个方程，联立方程组求出a,b的值，从而求出复数z。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系和复数乘法运算法则，再结合复数求模公式和已知条件对任意 均有 成立，再结合分类讨论的方法，进而求出实数a的取值范围。
2．【答案】（1）解： 是方程 的一个根，
所以 ，
所以
又 ， ，
则 ，解得 ，
故 的值为 ；
（2）解：因为 、 是方程 的两个根，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得： 或 ，
故 的值为 或 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数相等的充要条件
【解析】【分析】（1）将 代入方程 运算，由复数相等可得 ，求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合题意列出方程 ，解方程即可得解.
3．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
又 ，
故
（2）解：由 ，得复数 的轨迹是点 ， 的中垂线，
又 ,
所以 ，
即 ，
故 的取值范围为
（3）解：设 ， ，
由 ，得 ，①
设存在直线 满足题意，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，②
由题意知：把①代入②可得 ，③
把②代入③可得 ，解得 ，
故存在直线 ，其方程为 .
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模；直线的斜截式方程
【解析】【分析】（1）利用复数的模的性质即可得解；（2）利用复数的几何意义即可得解；（3）设 ， ，由 ，得 ，①设存在直线 ，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，②，联立化简即可得解.
4．【答案】（1）解：设 ，则 ；
（2）解： ；
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】(1)根据条件可设 ，由此可表示出 的模形式，进而得出 模的范围；（2）复数 对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，将 用（1）中的形式进行表示，转化为参数方程，即可解决轨迹方程．
5．【答案】解：设 . 即 ，
则 .
则
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】设出复数的代数形式,代入条件中,由复数相等得到关于a,b的方程组,再代入式子中,由复数的乘除运算求解.
6．【答案】（1）解：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i，
z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i＝1＋3i.
∵f(z)＝z－2i，
∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝5＋5i－2i＝5＋3i
（2）解：f(z1＋z2)＝z1＋z2－2i＝1＋3i－2i＝1＋i.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1(2))先计算复数的差与和,再由f(z)的表达式求得结果.
7．【答案】（1）证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ），
左边=右边，即n=1等式成立；
假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=rk（coskθ+isinkθ），
则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ）
=rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+isinθ）
=rk+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]
=rk+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，
即当n=k+1时，等式成立；
综上，对n∈N+，zn=rn（cosnα+isinnα）
（2）解： = =1，
且 （cosα+isinα）（α为实常数），
∴数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q= （cosα+isinα）的等比数列，
∴该数列的通项公式为Zn=Z1 qn﹣1= [cos（n﹣1）α+isin（n﹣1）α]
（3）解：在（2）的条件下， = ﹣ =（ cosα﹣1， sinα）
∴| |= ．
= [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，
= = ．
|+…= × =
【知识点】复数代数形式的混合运算；数学归纳法的原理；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）按照数学归纳法的基本步骤即可证明等式成立；（2） = =1，且 （cosα+isinα）（α为实常数），可得数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q= （cosα+isinα）的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．（3）在（2）的条件下， = [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，再利用数列极限求和公式即可得出．
8．【答案】（1）解：因为ω=z2+3 ﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|= = ；
（2）解：由条件 ，得 ，
即 ，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴ ，解得
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】 【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．
9．【答案】【解答】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi，代入4z＋2 ＝3 ＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 ＋i.∴解得 ，∴|z－ω|＝ ＝ ∵，∴.∴0≤|z－ω|≤2.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算、复数求模，解决问题的关键是设z＝a＋bi(a，b∈R)，可得 ＝a－bi，代入4z＋2 ＝3 ＋i化简整理根据复数相等得到a，b的值，求得|z－ω|，根据三角函数性质求解其值域得到所求复数模的范围即可.
10．【答案】解：由复数运算的几何意义知
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的三角形式；复数运算的几何意义；复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【分析】此题考核了复数运算的几何意义以及乘除法。
11．【答案】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3
（2）根据题意得 ，
由此得 ，
即
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3(2)根据题意得 ，
由此得 ，
即
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质、复数的基本概念，解决问题的关键是(1)因为是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0；（2）因为对应的点在第二象限，所以实部小于0，虚部大于0，解出 的取值范围．
12．【答案】解：由复数乘法的几何意义得
，
又
所以
所以 的辐角主值为 ．
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的三角形式；复数运算的几何意义；复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【分析】利用乘除法的几何意义可得以及 ，可化简的 ，所以辐角主值为。
13．【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
14．【答案】（1）解：因为复数为纯虚数，
所以，解得
（2）解：当时，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【分析】(1)根据实部为0，虚部不为0得到方程(不等式)组 ，解得即可；
(2)首先求出z，再求出z的共轭复数，据复数代数形式的运算法则计算可得.
15．【答案】（1）解：由定义，有，
即，，整理得，，
所以，或.
（2）解：①.所以，①是真命题.
②，所以，②是假命题.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据复数新定义的运算 得 再由模长运算即可得结论.
(2)根据复数新定义结合共轭复数的定义逐个求证即可.
16．【答案】（1）解：因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）解：由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）解：由（1）可知是关于x的方程的一个根，所以把，代入得
化简得
即，解得：，
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）由共轭复数以及纯虚数的概念和复数的模进行列式求解的值，结合复数在复平面内对应点在第一象限进一步求得复数z；
（2）由（1）知，把代入原式，由复数代数形式的乘除运算化简即可求解；
（3）由（1）知， 复数是方程的一个根，可把代入方程，化简得，再由恒等思想即可求解 m，n的值 .
17．【答案】（1）解：；
（2）解：且，
复数是纯虚数，
.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】(1)根据复数的模和共轭复数的概念直接计算；
(2)先求出 ，再根据复数的除法运算求z，由复数z是纯虚数得出的值.
18．【答案】（1）解：将代入
得，
∵为纯虚数，∴，
解得，
所以复数.
（2）解：由（1）知，
，
.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)将复数z表达式代入，进行混合运算化简，再根据纯虚数的定义，求出a.
(2)将复数z表达式代入ω，并对分母进行有理化，化简ω，并根据复数的模的定义，求得模长.
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