高中数学三轮复习（直击痛点）：专题15空间几何体的外接球
一、选择题
1．（2023高三上·重庆市月考） 在三棱锥中，，平面， D为BC 的中点且 当为正三角形时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·江汉开学考）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·和平月考）下列物体不能被半径为2(单位：)的球体完全容纳的有（ ）
A．所有棱长均为的四面体
B．底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱
C．上、下底面的边长分别为1m，2m，高为3m的正四棱台
D．底面棱长为1m，高为3.8m的正六棱雉
4．（2023高二上·东阳开学考）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·）五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=3，，△ADE与都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·阳江开学考）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·河南月考）在五面体中，底面为矩形，，和均为等边三角形，，，则该五面体的外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·丽水期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·从化模拟）在三棱锥中，，，，二面角的大小为．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高一下·安徽月考）在边长为6的菱形中，，现将菱形沿对角线BD折起，当时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·柯桥模拟）如图，平面四边形ABCD中，，为正三角形，以AC为折痕将折起，使D点达到P点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·嵊州模拟）在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2024高三上·海南高考模拟）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球表面积为 .
14．（2024高三上·广州模拟） 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为 .
15．（2023高二上·鹤山月考）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
16．（2024高三上·成都模拟）已知侧面积为的圆锥内接于球O，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为，则球O的表面积为 .
17．（2023高三上·渝北月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
18．（2023·全国乙卷）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
19．（2023高二上·阳江期中）已知三棱锥的体积为，其外接球的表面积为，若，，，，则为 .
三、多项选择题
20．（2024·荆州市模拟） 下列物体，能够被半径为的球体完全容纳的有（ ）
A．所有棱长均为的四面体
B．底面棱长为，高为的正六棱锥
C．底面直径为，高为的圆柱
D．上 下底面的边长分别为，高为的正四棱台
21．（2023高三上·松滋月考）如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
22．（2023高三上·顺德月考）如图，在棱长为的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）个
A．点在平面的射影为的中心；
B．直线平面；
C．异面直线与所成角不可能为；
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为．
23．（2023高三上·广州月考）已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A．正四面体的外接球表面积为
B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
24．（2023·浙江模拟）已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球直径为4
B．正方体的外接球直径为
C．若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是
D．若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是
25．（2023高二上·常熟开学考）如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．四棱锥外接球的半径为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
四、解答题
26．（2023高二上·南宁月考）如图，在正四棱柱中，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积.
27．（2023高一下·成都期末）如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．
（1）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积；
（2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
28．（2023高一下·余姚期末）如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1，的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；
（2）将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．
29．（2023高一下·浙江期中）如图，在三棱推中，高（底面），．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求三棱锥外接球的表面积．
30．
（1）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，求此棱锥的体积.
（2）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为36，求球的表面积.
31．已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.
32．（2022高一下·湖北期中）已知长方体，，其外接球的表面积为，过 B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
（1）求棱的长：
（2）求几何体的表面积.
33．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
34．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥A′﹣BC′D的体积．
（2）若球O1使得其与三棱锥A′﹣BC′D的六条棱都相切，三棱锥A′﹣BC′D外接球为O2，内切球为O3，求球O1，O2，O3半径的比值．
35．正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设三棱锥外接球的球心为，正三角形的中心为，的中点为，如图：
根据正三角形和球的性质可知，，
因为平面，平面，所以，，
因为，所以，
所以，在平面中，，则为矩形，所以，
又因为，所以，所以，即外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：B.
【分析】设三棱锥外接球的球心为，正三角形的中心为，的中点为，根据球心与正三角形中心连线垂直于平面，结合线面垂直性质确定球心位置，再利用已知求出半径即可求得外接球的表面积.
2．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接，
因为，则，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面PAC，且平面PAC，可得，
且，，平面ABC，所以平面ABC.
设，由题意可得：.
设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，
由正弦定理可知，则.
连接，则，则，
因为平面ABC，则，可知平面PAC，
所以点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离.
又因为点Q到平面PAC的距离的最大值为 ，
所以，解得得，
所以，球O的表面积为．
故答案为：C.
【分析】取AC的中点M，连接，可得平面ABC，设，取外接圆的圆心为，根据球的性质分析可知平面PAC，点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离，进而可得，解得，，即可得球的表面积.
3．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：对于A，将所有棱长均为的四面体补成正方体，则该正方体的棱长为2m，该正方体的外接球也是该四面体的外接球，所以其外接球的直径为正方体对角线长又因为所以A对；
对于B，底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱的外接球的半径为因为所以B对；
对于C，正四棱台中，上底面的对角线长为下底面的对角线的长为
易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方，
设球心到上底面的距离为d，球的半径为R，
当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为3-d(），
则
(1)，(2)联立得出
当球心在下底面上或下底面下方时，球心到下底面的距离为d-3()，
则解得
所以所以C对；
对于D，易知底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆的半径为1m，设球心O到底面的距离为d，则由球的性质可知，解得，此时正六棱锥的高的最大值为所以D错；
故答案为：D.
【分析】对于选项A，B，C中的几何体，可直接求出其外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断，对于选项D，可假设正六棱锥的外接球半径为2m，底面棱长为1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给的高进行比较即可，从而找出答案.
4．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
在中，由余弦定理可得，即，
设的外心为，连接，且，连接PH，
因为，则，
可得的外接圆半径，即，
则，
又因为，且为的中点，则，可得，
因为，可知为等边三角形，设的外接圆圆心为D，，
则，可知，
由，可得平面ABC，
设O为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，
因为，可得，
所以 该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：A.
【分析】在中，利用余弦定理可得，可得，的外接圆圆心和半径，结合球的性质分析求解.
5．【答案】A
【知识点】简单组合体的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点N，因为四边形ABCD为矩形，则点N为矩形ABCD的外接圆圆心，
连接ON，则平面ABCD，可知，
取AD，BC的中点分别为G，H，连接EG，FH，
则，可得，
因为为等边三角形，则，
且，所以平面EFHG，
设，
又因为，则，
所以EF到平面ABCD的距离为，
设，外接球的半径为R，则，，
因为，即，解得，
则，
所以球O的表面积为.
故答案为：A.
【分析】根据结题意找到球心及球心O在平面ABCD上的投影，可知，求相应的各边长，设出，利用半径列出方程，求出x，进而求出半径R以及外接球表面积.
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为 ，则的外接圆圆心为AC的中点M，连接，
所以当D在的外接圆上移动时，该三棱锥的外接球不变，
不妨令，
因为，则，
所以二面角的平面角为，
设的外心为，过作平面ABC的垂线，过M作平面ACD的垂线，
两条垂线均在平面BMD内，它们的交点即为三棱锥的外接球的球心O，如图所示：
在中，设，的外接圆半径为，
则，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
所以，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可得三棱锥外接球表面积，即最小值为.
故答案为：B.
【分析】取AC的中点M，根据题意可知二面角的平面角为，的外心为，过O1作平面ABC的垂线，过的外心M作平面ACD的垂线，根据球的性质可知它们的交点就是球心O，设，用表示，进而可求外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案.
7．【答案】A
【知识点】球面距离及相关计算；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点M，取EF的中点O，
因为，平面ABCD，可知O在平面ABCD的投影为M，
连接OM，则平面ABCD，
取BC中点G，连接FG，作，垂足为H，
如图所示：五面体有外接球，则几何体有对称性(球心与某个面的中心连线为相关点的对称轴)，
根据对称性可知：，
在中，则，
可得且，所以四边形OMGH为矩形，故，
连接OA，又因为，所以，
底面ABCD为矩形，平面ABCD，
外接球球心在直线OM上，且到多边形各顶点距离相等，
若球心在线段MO上，设，则，
，即，解得(舍去)；
若球心在MO延长线上，设，外接球的半径为R，连接，
显然，则，
即，解得，
所以该五面体的外接球的半径.
故答案为：A.
【分析】连接AC，BD交于点M，取EF的中点O，计算各线段长度，确定外接球球心在直线OM上，分球心在线段MO上和球心在MO延长线上的两种情况，根据球的性质利用勾股定理计算得到答案.
8．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由 ， ，可得△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且AO1=BO1=，
取A1B1的中点E，连接O1E，则O1E// AA1，可得O1E⊥平面ABC，
设三棱锥 的外接球的球心为O，则O在O1E上，
设，球半径为r，即OA=OD=r，
则，即
由可得
故
即外接球半径的最大值为
故三棱锥的外接球的体积的最大值为
故答案为： C.
【分析】 先确定球心的位置，结合勾股定理得出外接球半径，进而求出外接球半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.
9．【答案】D
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】设点在平面内的投影为，连接，则平面，二面角的平面角为
二面角的大小为 ，点与点在直线的两侧，二面角的大小为，即，
又 ，，三棱锥的体积，
当即时，三棱锥的体积最大，
以点，，为长方体顶点补成如图所示长方体，为长方体对角线，
以为坐标原点建立空间直角如图所示，则，，，
，三棱锥外接球的球心在底面内的投影在的中点，设，
由，得，求得，三棱锥外接球的半径，球O的体积为.
故答案为：D
【分析】设点在平面内的投影为，连接，由题意可得二面角是二面角的补角大小为，求得三棱锥的高，再根据时，三棱锥的体积最大，建立坐标系求出球心位置得到球的半径，进而求球O的体积.
10．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：在边长为6的菱形ABCD中，，现将菱形ABCD沿对角线BD折起，可知：
△ABD和△BCD是等边三角形，如图所示：
取BD的中点E，连接CE、AE，则AE⊥BD，，
同理可得：，
又因为，所以AE2+CE2=AC2，所以AE⊥CE，所以AE⊥平面CBD，
球心O在平面BCD内的投影为△BCD的外心O1，
过O作OH⊥AE于H，则H为△ABD的外心，所以OO1∥HE，OH∥O1E，
所以在Rt△OHA中，，
所以，即外接球的半径为，
所以外接球的表面积，
故选：C.
【分析】根据已知条件画出图形，找到球心所在位置，求得球的半径，进而求得表面积.
11．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】过点P作，垂足为E，过点E作交AC于点D，连接PD，
则为二面角 的平面角的补角，则有，
所以易证所以，而三角形PAC为等边三角形，所以D为AC的中点，
设AB=a，BC=b，，所以，
故三棱锥 的体积为，当且仅当时，，
则，所以B，D，E三点共线，
设三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R，
过点O作于F，所以四边形ODEF为矩形，则
在中，，所以，
所以三棱锥外接球的体积为 。
故答案选：D。
【分析】利用已知条件，过点P作，垂足为E，过点E作交AC于点D，连接PD，则为二面角 的平面角的补角，再利用两角互补的关系结合线面垂直证出线线垂直和等边三角形三线合一，进而得出D为AC的中点，再结合正弦函数的定义和三棱锥的体积公式以及均值不等式求最值的方法得出a，b，c的值，再根据三点共线判断方法判断出B，D，E三点共线，设三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R，过点O作于F，所以四边形ODEF为矩形，再由勾股定理和余弦函数的定义以及勾股定理，进而得出三棱锥外接球的半径，再利用球的体积公式得出三棱锥外接球的体积。
12．【答案】D
【知识点】球内接多面体；直线与平面所成的角；正弦定理
【解析】【解答】因为，所以，又D为AC中点，
所以，则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为G，的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接，
因为，，可得，即外接圆半径为1，
又因为四面体的外接球半径为1，则O为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，且平面，可得，
因为，，所有；
设点到平面ABD的距离为d，
由得：，
又因为与均为边长为1的等边三角形，则，
直线与平面ABD所成角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心O即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面ABD的距离，由此可求得线面角的正弦值.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，，解得，
所以圆锥的高为，设 三棱锥的外接球的球心为，则一定在线段 上，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，即，
解得， 所以三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：.
【分析】由轴截面面积、展开图弧长列方程组，解得圆锥的母线长、底面半径以及高，进而求得 三棱锥的外接球 半径，即可利用球的表面积公式求解.
14．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：根据题意，因为平面，与平面所成角的为，则，
又因为，，所以，则，
又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，
取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，
其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取BC中点G，连接AG，DG，则，
因为平面平面，可知平面，平面，则，
分别取与的外心E，F，
分别过E，F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体 的球心，
因为，则，
可知正方形OEGF的边长为，则，
可得四面体的外接球的半径，
所以球O的表面积为．
故答案为：.
【分析】取BC中点G，连接AG，DG，取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体 的球心，结合球的性质可得半径，即可球的表面积.
16．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的高为h，
由题意可得：底面半径为，母线为，
由侧面积为 ，解得，
作出圆锥的轴截面，如下图所示：
则球的半径为，解得
则球O的表面积为.
故答案为：100π
【分析】设圆锥的高为h，由圆锥的侧面积可得，在根据球的性质列式运算求解即可.
17．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
根据余弦定理可得，则，，
所以中斜边AB中点，到各点的距离相等，即为三棱锥 外接球得球心，
故三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合余弦定理，求得，再由勾股定理可得，则三棱锥的外接球球心为中点，即为外接圆的直径，进而求出外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
18．【答案】2
【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，设外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理得，解得：
设直三棱锥外接球球心为，连接，，
，
易得
又，
∴，
.
故答案为：2
【分析】先利用正弦定理求外接圆半径，再利用直三棱锥外接球性质求.
19．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，，满足，所以，则，又因为三棱锥的体积为，设该三棱锥的高为，所以，解得，所以点到平面距离为3，即点的轨迹为球的一个截面圆上的点，因为外接球的表面积为，，所以，所以球心到平面的距离为，故球心到的所在截面的距离为2，点所在截面的半径为，故的最小值为，最大值为，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意可求得三棱锥的高为3，即可得点到平面的距离为3，故点的轨迹为球的一个截面圆上的点，进而可得截面圆的半径为1，计算求得最大值和最小值，从而可得.
20．【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、设四面体的外接球的球心为，顶点在底面的射影为，外接球的半径为，则，，
因为，所以，解得，故A正确；
B、底面棱长为的正六棱锥的底面外接圆的半径为，外接球的半径为，设球心到底面的距离为，则由球的性质可知，解得或（舍去），此时正六棱锥的高的最大值为，故B正确；
C、圆柱的底面半径为，高的一半为，设其外接球的半径为，
所以，故C错误；
D、正四棱台中，上底面的对角线长为，上底面外接圆的半径长为，下底面的对角线长为，下底面外接圆的半径长为，易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方，设球心到上底面的距离为，球的半径为，当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为，则，解得，符合题意；
当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离为，
则，解得，不符合题意，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求出正四面体外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断A；可假设正六棱锥的外接球半径为2m，底面棱长为1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较可判断B；求出底面直径为，高为的圆柱外接球的半径可判断C；求出上 下底面的边长分别为，外接球的半径为正四棱台的高可判断D.
21．【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，由题意可得，
所以
在中，PA=PC=，AC边上的高为
所以所以A错；
对于B，在中，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，所以B对；
对于C，设点A到平面PBC的距离为d，
由
所以直线与平面所成角的正弦值为所以C错；
对于D，由选项B可知
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为R，又因为
则所以，
则三棱锥外接球的半径为
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再结合三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积，从而判断出选项A；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出直线与直线所成角的余弦值，从而判断出选项B；利用已知条件结合线面角的作法，从而找出直线与平面所成角，再结合三角函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值，从而判断出选项C；利用已知条件结合正弦定理得出三角形外接圆的半径，再结合三棱锥与球的位置关系和勾股定理得出三棱锥外接球的半径，从而判断出选项D，进而找出正确的选项。
22．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、连接、，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，平面，，
同理可证，因为，平面，
因为，，故三棱锥为正三棱锥，
因此，点在平面的射影为的中心，A正确；
B、连接、，
且，故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
平面，因此，平面，B正确；
C、因为平面，平面平面，平面，
平面，，C正确；
D、设分别交平面、平面于点、，
则平面，平面，
，，
，可得，同理可得，
，则.
、的外接圆半径均为，
易知、分别为、的中心，
当点与点或点重合时，取最大值，
当点为线段的中点时，取最小值，即，
因为为等边三角形，且平面，垂足为的中心，
所以，三棱锥的外接球球心在线段上，设，球的半径为，
则，
（i）当球心在线段上时，，
因为，
所以，，可得，可得，
此时，；
（ii）当球心在线段上时，，
因为，
所以，，可得，可得，
此时，；
（iii）若球心在线段上时，，
因为，
所以，，可得，不合乎题意.
所以，，故三棱锥的外接球的表面积，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，平面与平面平行的性质，空间几何体的外接球.利用线面垂直的判定定理可判断A；利用面面平行的性质可判断B；由线面垂直的性质可判断C；求出三棱锥的外接球表面积的取值范围，可判断D.
23．【答案】A,B,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体
【解析】【解答】解：对于A：因为正四面体的棱长为2，如图将正四面体转化为正方体，
可知正四面体的棱长即为正方体的面对角线长，所以正方体的棱长为，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，设半径为R，可得，
所以外接球的表面积，故A正确.
对于B：设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为，正四面体的高为，每个面的面积为，
由等体积法可得：，解得为定值，故B正确；
对于C：设BC中点为D，连接PD，AD，
因为，则，
可知为所求二面角的平面角，且，
可得，
所以所成二面角的正弦值为，故C错误.
对于D：要使正四面体在四面体的内部，且可以任意转动，
则正四面体的外接球在四面体内切球内部或相同，
显然当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时，正四面体的体积最大值，
则正四面体的外接球半径，
设正四面体的边长为a，由选项A的思路可得，解得，
所以正四面体的最大体积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对A：将正四面体转化为正方体，结合正方体的外接球运算求解；对B：利用等体积法分析运算；对C：设BC中点为D，连接PD，AD，分析可知为所求二面角的平面角，利用余弦定理运算求解；对D：分析可知正四面体的外接球恰好为四面体内切球时，正四面体的体积最大值，结合选项A的思路运算求解.
24．【答案】A,C,D
【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体
【解析】【解答】解：对于A，正方体的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；
对于B，正方体的外接球直径即其体对角线，所以直径为，B错误；
正四面体的棱长为a，
因为正四面体的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，
所以O在平面 BCD内的射影，到点F、G、H的距离相等，
又因为在正四面体中是正三角形，
所以是的中心，进而在正四面体中，
有平面，所以球心O在高线上，
同理：球心O也在其它面的高线上，
又正四面体中各面上的高都相等，
所以由得，
点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体的内切球的球心，
这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
记正四面体的高为h，则R+r=h.
因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.
因为在正四面体中，是正三角形，是其中心，
所以，因为平面，平面，
所以，在中，由勾股定理，
得，所以，
解得，，
故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为.
对于C，若正四面体可以放入正方体内自由旋转，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径，，C正确；
对于D，正方体可以放入正四面体内自由旋转，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A、B，对于C，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球；对于D，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球.
25．【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；棱锥的结构特征；球内接多面体；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、点是正方体在侧面上的一个动点，又平面平面，点到平面的距离为定值2，
又为定值，是定值，A正确；
B、设，连接，由正方体的性质知平面，四棱锥外接球球心在直线上，
连接，
，，
设外接球半径为，则，求得，B正确；
CD、如图，以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
， ， ，
， ，得，又，，
，
的最大值为， 的最小值为 ，C错误；D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A即可判断；B设，连接，由正方体的性质知四棱锥外接球球心在直线上，进而分析求解外接球半径；CD以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，设，由得求得，进而求解 的最大值和最小值.
26．【答案】（1）解：连接交于，连接；
分别是的中点，
平面平面，
平面.
（2）解：设，正四棱柱的外接球的半径为，
因为正四棱柱的外接球的表面积，解得，
由题意为正四棱柱的外接球的直径，
由，得，
解得或（舍），即.
【知识点】球内接多面体；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据中位线定理得出线线平行，再得出线面平行；
（2）根据正四棱柱的外接球的表面积求出四棱柱棱长，再根据三棱锥体积公式求解.
27．【答案】（1）解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接.
高为，则，所以，
所以，圆柱的底面积为，侧面积为，
圆柱的表面积为，圆柱的体积为.
（2）解：由（1）知，圆柱的侧面积为，
则，
当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【分析】（1） 取中点，连接 ，即为圆柱高的一半. 利用圆柱的表面积和体积公式求解即可；
（2）利用圆柱的侧面积公式 ， 将侧面积表示为仅含r的单变量函数，利用基本不等式即可求解.
28．【答案】（1）证明：在正方体中，平而，而平面，则
连接，如图，在中，分别为的中点，即，在正方形中，，于是得
又因平面平面，从而得平面
又平面，所以平面平面；
（2）解：设正方体的棱长为，由（1）知，四面体的体积为，
因此所得多面体的体积为，解得，
所以该正方体的棱长为4．
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】本题主要考查空间立体几何的相关知识，考查学生的空间想象能力以及对知识的综合运用，
（1）若想证明两个平面垂直，要先证明空间中直线和平面垂直，先证明平面，因为平面，因此可以证明两平面垂直；
（2）根据球内接多面体知识点，以及多面体体积求解，首先根据题①可以表示出四面体的体积，再根据题目中给出的多面体的体积是 即可求出棱长.
29．【答案】（1）解：由题意知，底面，
故，
故；
（2）解：由，可得，
设的外接圆半径为r，则，
设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，
则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，
则四边形为矩形，
O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，
则，
故三棱锥外接球的表面积为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】（1） 由题意知，底面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再由三角形的面积公式得出的值，再根据三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积。
（2） 由，再利用等腰三角形内角和定理可得的值，设的外接圆半径为r，再结合正弦定理的性质，进而得出r的值，设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，则四边形为矩形，所以O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，再根据勾股定理得出R的值，再由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积。
30．【答案】（1）解：根据题意作出图形：
设球心为 ，过 三点的小圆的圆心为 ，则 平面 ，
延长 交球于点 ，则 平面
，
，
高 ，
是边长为 的正三角形，
，
（2）解：如图所示，
当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，
此时 ，
故 ，则球 的表面积为 ；
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】（1）设球心为 ，过 三点的小圆的圆心为 ，得到 平面 ，延长 交球于点 ，得到 平面 ，求得高 ，结合三棱锥的体积公式，即可求解；
（2）当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，结合三棱锥的最大体积为6，列出方程求得 ，进而求得球 的表面积.
31．【答案】解：解：如图所示，过点 作 平面 于 ，连接并延长 交 于 ，连接 ，
三角形 是正三角形，
所以 是 边上的高和中线， 为三角形 的中心，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即棱锥的高 ，
故其体积
而 ，
，
故棱锥的表面积 ，
从而其内切球半径
故内切球的表面积为 ；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】 过点 作 平面 于 ，连接并延长 交 于 ，连接 ，得到 为三角形 的中心，求得 ，得出棱锥的高 ，得出体积 ，再求得棱锥的表面积 ，结合 ，即可求解.
32．【答案】（1）解：设，，，又（R为长方体外接球半径），
∴①.
又，∴.②
由①②，解得∴棱长为2
（2）解：由（1）知，
若，，则
∴
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】(1)设，，，利用已知条件列出方程组求解即可.
(2)求出，然后求解表面积即可.
33．【答案】解：设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为 ，表面积依次为 ．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a， ，所以 ．
②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r2＝ a， ，所以 ．
③正方体的各个顶点在球面上，则有2r3＝ a， ，所以 ．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】分析一个球与正方体的关系,得到三个半径与棱长的关系,从而求得其表面活性剂积的比.
34．【答案】（1）解：三棱锥A′﹣BC′D的体积=a3﹣4× = ；
（2）解：设三棱锥A′﹣BC′D的六条棱长为1个单位，则棱锥的高为 ，O2，O3半径为 ， ，O2与O3半径比为3：1，
三棱锥对棱的距离为 = ，所以球O1半径为 ，
∴球O1，O2，O3半径的比值为 ：3：1．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【分析】（1）利用割补法，求三棱锥A′﹣BC′D的体积．（2）分别求出球O1，O2，O3半径，即可求球O1，O2，O3半径的比值．
35．【答案】解：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为O1，O2，连结AO2与BO1并延长，必交于CD的中点E，
又BE=，O2E=，连接BO2，在Rt△BO2E中，BO2=，连结AO1与BO2交于O3，
由Rt△AO2O3≌Rt△BO1O2，
∴O3O2=O3O1，O3A=O3B，
同理可证O3C=O3D=O3A，O3到另二面的距离也等O3O1，
∴O3为四面体外接球与内接球的球心，由△BO1O3∽△BO2E，
∴O1O3=，
∴R外=，S外=，r内=，S内=．
【知识点】球内接多面体
【解析】【分析】由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用三角形相似求出R的值r的值，可求外接球的表面积以及内切球的表面积．
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题15空间几何体的外接球
一、选择题
1．（2023高三上·重庆市月考） 在三棱锥中，，平面， D为BC 的中点且 当为正三角形时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设三棱锥外接球的球心为，正三角形的中心为，的中点为，如图：
根据正三角形和球的性质可知，，
因为平面，平面，所以，，
因为，所以，
所以，在平面中，，则为矩形，所以，
又因为，所以，所以，即外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：B.
【分析】设三棱锥外接球的球心为，正三角形的中心为，的中点为，根据球心与正三角形中心连线垂直于平面，结合线面垂直性质确定球心位置，再利用已知求出半径即可求得外接球的表面积.
2．（2023高二上·江汉开学考）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接，
因为，则，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面PAC，且平面PAC，可得，
且，，平面ABC，所以平面ABC.
设，由题意可得：.
设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，
由正弦定理可知，则.
连接，则，则，
因为平面ABC，则，可知平面PAC，
所以点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离.
又因为点Q到平面PAC的距离的最大值为 ，
所以，解得得，
所以，球O的表面积为．
故答案为：C.
【分析】取AC的中点M，连接，可得平面ABC，设，取外接圆的圆心为，根据球的性质分析可知平面PAC，点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离，进而可得，解得，，即可得球的表面积.
3．（2023高三上·和平月考）下列物体不能被半径为2(单位：)的球体完全容纳的有（ ）
A．所有棱长均为的四面体
B．底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱
C．上、下底面的边长分别为1m，2m，高为3m的正四棱台
D．底面棱长为1m，高为3.8m的正六棱雉
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：对于A，将所有棱长均为的四面体补成正方体，则该正方体的棱长为2m，该正方体的外接球也是该四面体的外接球，所以其外接球的直径为正方体对角线长又因为所以A对；
对于B，底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱的外接球的半径为因为所以B对；
对于C，正四棱台中，上底面的对角线长为下底面的对角线的长为
易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方，
设球心到上底面的距离为d，球的半径为R，
当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为3-d(），
则
(1)，(2)联立得出
当球心在下底面上或下底面下方时，球心到下底面的距离为d-3()，
则解得
所以所以C对；
对于D，易知底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆的半径为1m，设球心O到底面的距离为d，则由球的性质可知，解得，此时正六棱锥的高的最大值为所以D错；
故答案为：D.
【分析】对于选项A，B，C中的几何体，可直接求出其外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断，对于选项D，可假设正六棱锥的外接球半径为2m，底面棱长为1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给的高进行比较即可，从而找出答案.
4．（2023高二上·东阳开学考）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
在中，由余弦定理可得，即，
设的外心为，连接，且，连接PH，
因为，则，
可得的外接圆半径，即，
则，
又因为，且为的中点，则，可得，
因为，可知为等边三角形，设的外接圆圆心为D，，
则，可知，
由，可得平面ABC，
设O为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，
因为，可得，
所以 该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：A.
【分析】在中，利用余弦定理可得，可得，的外接圆圆心和半径，结合球的性质分析求解.
5．（2023·）五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=3，，△ADE与都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点N，因为四边形ABCD为矩形，则点N为矩形ABCD的外接圆圆心，
连接ON，则平面ABCD，可知，
取AD，BC的中点分别为G，H，连接EG，FH，
则，可得，
因为为等边三角形，则，
且，所以平面EFHG，
设，
又因为，则，
所以EF到平面ABCD的距离为，
设，外接球的半径为R，则，，
因为，即，解得，
则，
所以球O的表面积为.
故答案为：A.
【分析】根据结题意找到球心及球心O在平面ABCD上的投影，可知，求相应的各边长，设出，利用半径列出方程，求出x，进而求出半径R以及外接球表面积.
6．（2023高三上·阳江开学考）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为 ，则的外接圆圆心为AC的中点M，连接，
所以当D在的外接圆上移动时，该三棱锥的外接球不变，
不妨令，
因为，则，
所以二面角的平面角为，
设的外心为，过作平面ABC的垂线，过M作平面ACD的垂线，
两条垂线均在平面BMD内，它们的交点即为三棱锥的外接球的球心O，如图所示：
在中，设，的外接圆半径为，
则，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
所以，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可得三棱锥外接球表面积，即最小值为.
故答案为：B.
【分析】取AC的中点M，根据题意可知二面角的平面角为，的外心为，过O1作平面ABC的垂线，过的外心M作平面ACD的垂线，根据球的性质可知它们的交点就是球心O，设，用表示，进而可求外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案.
7．（2023高一下·河南月考）在五面体中，底面为矩形，，和均为等边三角形，，，则该五面体的外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球面距离及相关计算；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点M，取EF的中点O，
因为，平面ABCD，可知O在平面ABCD的投影为M，
连接OM，则平面ABCD，
取BC中点G，连接FG，作，垂足为H，
如图所示：五面体有外接球，则几何体有对称性(球心与某个面的中心连线为相关点的对称轴)，
根据对称性可知：，
在中，则，
可得且，所以四边形OMGH为矩形，故，
连接OA，又因为，所以，
底面ABCD为矩形，平面ABCD，
外接球球心在直线OM上，且到多边形各顶点距离相等，
若球心在线段MO上，设，则，
，即，解得(舍去)；
若球心在MO延长线上，设，外接球的半径为R，连接，
显然，则，
即，解得，
所以该五面体的外接球的半径.
故答案为：A.
【分析】连接AC，BD交于点M，取EF的中点O，计算各线段长度，确定外接球球心在直线OM上，分球心在线段MO上和球心在MO延长线上的两种情况，根据球的性质利用勾股定理计算得到答案.
8．（2023高二下·丽水期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由 ， ，可得△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且AO1=BO1=，
取A1B1的中点E，连接O1E，则O1E// AA1，可得O1E⊥平面ABC，
设三棱锥 的外接球的球心为O，则O在O1E上，
设，球半径为r，即OA=OD=r，
则，即
由可得
故
即外接球半径的最大值为
故三棱锥的外接球的体积的最大值为
故答案为： C.
【分析】 先确定球心的位置，结合勾股定理得出外接球半径，进而求出外接球半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.
9．（2023·从化模拟）在三棱锥中，，，，二面角的大小为．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】设点在平面内的投影为，连接，则平面，二面角的平面角为
二面角的大小为 ，点与点在直线的两侧，二面角的大小为，即，
又 ，，三棱锥的体积，
当即时，三棱锥的体积最大，
以点，，为长方体顶点补成如图所示长方体，为长方体对角线，
以为坐标原点建立空间直角如图所示，则，，，
，三棱锥外接球的球心在底面内的投影在的中点，设，
由，得，求得，三棱锥外接球的半径，球O的体积为.
故答案为：D
【分析】设点在平面内的投影为，连接，由题意可得二面角是二面角的补角大小为，求得三棱锥的高，再根据时，三棱锥的体积最大，建立坐标系求出球心位置得到球的半径，进而求球O的体积.
10．（2023高一下·安徽月考）在边长为6的菱形中，，现将菱形沿对角线BD折起，当时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：在边长为6的菱形ABCD中，，现将菱形ABCD沿对角线BD折起，可知：
△ABD和△BCD是等边三角形，如图所示：
取BD的中点E，连接CE、AE，则AE⊥BD，，
同理可得：，
又因为，所以AE2+CE2=AC2，所以AE⊥CE，所以AE⊥平面CBD，
球心O在平面BCD内的投影为△BCD的外心O1，
过O作OH⊥AE于H，则H为△ABD的外心，所以OO1∥HE，OH∥O1E，
所以在Rt△OHA中，，
所以，即外接球的半径为，
所以外接球的表面积，
故选：C.
【分析】根据已知条件画出图形，找到球心所在位置，求得球的半径，进而求得表面积.
11．（2023·柯桥模拟）如图，平面四边形ABCD中，，为正三角形，以AC为折痕将折起，使D点达到P点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】过点P作，垂足为E，过点E作交AC于点D，连接PD，
则为二面角 的平面角的补角，则有，
所以易证所以，而三角形PAC为等边三角形，所以D为AC的中点，
设AB=a，BC=b，，所以，
故三棱锥 的体积为，当且仅当时，，
则，所以B，D，E三点共线，
设三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R，
过点O作于F，所以四边形ODEF为矩形，则
在中，，所以，
所以三棱锥外接球的体积为 。
故答案选：D。
【分析】利用已知条件，过点P作，垂足为E，过点E作交AC于点D，连接PD，则为二面角 的平面角的补角，再利用两角互补的关系结合线面垂直证出线线垂直和等边三角形三线合一，进而得出D为AC的中点，再结合正弦函数的定义和三棱锥的体积公式以及均值不等式求最值的方法得出a，b，c的值，再根据三点共线判断方法判断出B，D，E三点共线，设三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R，过点O作于F，所以四边形ODEF为矩形，再由勾股定理和余弦函数的定义以及勾股定理，进而得出三棱锥外接球的半径，再利用球的体积公式得出三棱锥外接球的体积。
12．（2023·嵊州模拟）在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球内接多面体；直线与平面所成的角；正弦定理
【解析】【解答】因为，所以，又D为AC中点，
所以，则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为G，的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接，
因为，，可得，即外接圆半径为1，
又因为四面体的外接球半径为1，则O为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，且平面，可得，
因为，，所有；
设点到平面ABD的距离为d，
由得：，
又因为与均为边长为1的等边三角形，则，
直线与平面ABD所成角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心O即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面ABD的距离，由此可求得线面角的正弦值.
二、填空题
13．（2024高三上·海南高考模拟）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，，解得，
所以圆锥的高为，设 三棱锥的外接球的球心为，则一定在线段 上，
设三棱锥的外接球的半径为R，则，即，
解得， 所以三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：.
【分析】由轴截面面积、展开图弧长列方程组，解得圆锥的母线长、底面半径以及高，进而求得 三棱锥的外接球 半径，即可利用球的表面积公式求解.
14．（2024高三上·广州模拟） 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：根据题意，因为平面，与平面所成角的为，则，
又因为，，所以，则，
又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，
取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，
其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.
15．（2023高二上·鹤山月考）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取BC中点G，连接AG，DG，则，
因为平面平面，可知平面，平面，则，
分别取与的外心E，F，
分别过E，F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体 的球心，
因为，则，
可知正方形OEGF的边长为，则，
可得四面体的外接球的半径，
所以球O的表面积为．
故答案为：.
【分析】取BC中点G，连接AG，DG，取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体 的球心，结合球的性质可得半径，即可球的表面积.
16．（2024高三上·成都模拟）已知侧面积为的圆锥内接于球O，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为，则球O的表面积为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的高为h，
由题意可得：底面半径为，母线为，
由侧面积为 ，解得，
作出圆锥的轴截面，如下图所示：
则球的半径为，解得
则球O的表面积为.
故答案为：100π
【分析】设圆锥的高为h，由圆锥的侧面积可得，在根据球的性质列式运算求解即可.
17．（2023高三上·渝北月考）在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
根据余弦定理可得，则，，
所以中斜边AB中点，到各点的距离相等，即为三棱锥 外接球得球心，
故三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合余弦定理，求得，再由勾股定理可得，则三棱锥的外接球球心为中点，即为外接圆的直径，进而求出外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
18．（2023·全国乙卷）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，设外接圆圆心为，半径为，
由正弦定理得，解得：
设直三棱锥外接球球心为，连接，，
，
易得
又，
∴，
.
故答案为：2
【分析】先利用正弦定理求外接圆半径，再利用直三棱锥外接球性质求.
19．（2023高二上·阳江期中）已知三棱锥的体积为，其外接球的表面积为，若，，，，则为 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，，，满足，所以，则，又因为三棱锥的体积为，设该三棱锥的高为，所以，解得，所以点到平面距离为3，即点的轨迹为球的一个截面圆上的点，因为外接球的表面积为，，所以，所以球心到平面的距离为，故球心到的所在截面的距离为2，点所在截面的半径为，故的最小值为，最大值为，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意可求得三棱锥的高为3，即可得点到平面的距离为3，故点的轨迹为球的一个截面圆上的点，进而可得截面圆的半径为1，计算求得最大值和最小值，从而可得.
三、多项选择题
20．（2024·荆州市模拟） 下列物体，能够被半径为的球体完全容纳的有（ ）
A．所有棱长均为的四面体
B．底面棱长为，高为的正六棱锥
C．底面直径为，高为的圆柱
D．上 下底面的边长分别为，高为的正四棱台
【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、设四面体的外接球的球心为，顶点在底面的射影为，外接球的半径为，则，，
因为，所以，解得，故A正确；
B、底面棱长为的正六棱锥的底面外接圆的半径为，外接球的半径为，设球心到底面的距离为，则由球的性质可知，解得或（舍去），此时正六棱锥的高的最大值为，故B正确；
C、圆柱的底面半径为，高的一半为，设其外接球的半径为，
所以，故C错误；
D、正四棱台中，上底面的对角线长为，上底面外接圆的半径长为，下底面的对角线长为，下底面外接圆的半径长为，易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方，设球心到上底面的距离为，球的半径为，当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为，则，解得，符合题意；
当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离为，
则，解得，不符合题意，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求出正四面体外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断A；可假设正六棱锥的外接球半径为2m，底面棱长为1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较可判断B；求出底面直径为，高为的圆柱外接球的半径可判断C；求出上 下底面的边长分别为，外接球的半径为正四棱台的高可判断D.
21．（2023高三上·松滋月考）如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，由题意可得，
所以
在中，PA=PC=，AC边上的高为
所以所以A错；
对于B，在中，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，所以B对；
对于C，设点A到平面PBC的距离为d，
由
所以直线与平面所成角的正弦值为所以C错；
对于D，由选项B可知
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为R，又因为
则所以，
则三棱锥外接球的半径为
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再结合三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积，从而判断出选项A；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出直线与直线所成角的余弦值，从而判断出选项B；利用已知条件结合线面角的作法，从而找出直线与平面所成角，再结合三角函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值，从而判断出选项C；利用已知条件结合正弦定理得出三角形外接圆的半径，再结合三棱锥与球的位置关系和勾股定理得出三棱锥外接球的半径，从而判断出选项D，进而找出正确的选项。
22．（2023高三上·顺德月考）如图，在棱长为的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）个
A．点在平面的射影为的中心；
B．直线平面；
C．异面直线与所成角不可能为；
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为．
【答案】A,B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、连接、，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，平面，，
同理可证，因为，平面，
因为，，故三棱锥为正三棱锥，
因此，点在平面的射影为的中心，A正确；
B、连接、，
且，故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
平面，因此，平面，B正确；
C、因为平面，平面平面，平面，
平面，，C正确；
D、设分别交平面、平面于点、，
则平面，平面，
，，
，可得，同理可得，
，则.
、的外接圆半径均为，
易知、分别为、的中心，
当点与点或点重合时，取最大值，
当点为线段的中点时，取最小值，即，
因为为等边三角形，且平面，垂足为的中心，
所以，三棱锥的外接球球心在线段上，设，球的半径为，
则，
（i）当球心在线段上时，，
因为，
所以，，可得，可得，
此时，；
（ii）当球心在线段上时，，
因为，
所以，，可得，可得，
此时，；
（iii）若球心在线段上时，，
因为，
所以，，可得，不合乎题意.
所以，，故三棱锥的外接球的表面积，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，平面与平面平行的性质，空间几何体的外接球.利用线面垂直的判定定理可判断A；利用面面平行的性质可判断B；由线面垂直的性质可判断C；求出三棱锥的外接球表面积的取值范围，可判断D.
23．（2023高三上·广州月考）已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A．正四面体的外接球表面积为
B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体
【解析】【解答】解：对于A：因为正四面体的棱长为2，如图将正四面体转化为正方体，
可知正四面体的棱长即为正方体的面对角线长，所以正方体的棱长为，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，设半径为R，可得，
所以外接球的表面积，故A正确.
对于B：设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为，正四面体的高为，每个面的面积为，
由等体积法可得：，解得为定值，故B正确；
对于C：设BC中点为D，连接PD，AD，
因为，则，
可知为所求二面角的平面角，且，
可得，
所以所成二面角的正弦值为，故C错误.
对于D：要使正四面体在四面体的内部，且可以任意转动，
则正四面体的外接球在四面体内切球内部或相同，
显然当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时，正四面体的体积最大值，
则正四面体的外接球半径，
设正四面体的边长为a，由选项A的思路可得，解得，
所以正四面体的最大体积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对A：将正四面体转化为正方体，结合正方体的外接球运算求解；对B：利用等体积法分析运算；对C：设BC中点为D，连接PD，AD，分析可知为所求二面角的平面角，利用余弦定理运算求解；对D：分析可知正四面体的外接球恰好为四面体内切球时，正四面体的体积最大值，结合选项A的思路运算求解.
24．（2023·浙江模拟）已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球直径为4
B．正方体的外接球直径为
C．若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是
D．若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是
【答案】A,C,D
【知识点】球面距离及相关计算；球内接多面体
【解析】【解答】解：对于A，正方体的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；
对于B，正方体的外接球直径即其体对角线，所以直径为，B错误；
正四面体的棱长为a，
因为正四面体的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，
所以O在平面 BCD内的射影，到点F、G、H的距离相等，
又因为在正四面体中是正三角形，
所以是的中心，进而在正四面体中，
有平面，所以球心O在高线上，
同理：球心O也在其它面的高线上，
又正四面体中各面上的高都相等，
所以由得，
点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体的内切球的球心，
这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
记正四面体的高为h，则R+r=h.
因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.
因为在正四面体中，是正三角形，是其中心，
所以，因为平面，平面，
所以，在中，由勾股定理，
得，所以，
解得，，
故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为.
对于C，若正四面体可以放入正方体内自由旋转，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径，，C正确；
对于D，正方体可以放入正四面体内自由旋转，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A、B，对于C，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球；对于D，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球.
25．（2023高二上·常熟开学考）如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．四棱锥外接球的半径为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；棱锥的结构特征；球内接多面体；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、点是正方体在侧面上的一个动点，又平面平面，点到平面的距离为定值2，
又为定值，是定值，A正确；
B、设，连接，由正方体的性质知平面，四棱锥外接球球心在直线上，
连接，
，，
设外接球半径为，则，求得，B正确；
CD、如图，以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
， ， ，
， ，得，又，，
，
的最大值为， 的最小值为 ，C错误；D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A即可判断；B设，连接，由正方体的性质知四棱锥外接球球心在直线上，进而分析求解外接球半径；CD以原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，设，由得求得，进而求解 的最大值和最小值.
四、解答题
26．（2023高二上·南宁月考）如图，在正四棱柱中，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积.
【答案】（1）解：连接交于，连接；
分别是的中点，
平面平面，
平面.
（2）解：设，正四棱柱的外接球的半径为，
因为正四棱柱的外接球的表面积，解得，
由题意为正四棱柱的外接球的直径，
由，得，
解得或（舍），即.
【知识点】球内接多面体；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据中位线定理得出线线平行，再得出线面平行；
（2）根据正四棱柱的外接球的表面积求出四棱柱棱长，再根据三棱锥体积公式求解.
27．（2023高一下·成都期末）如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．
（1）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积；
（2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接.
高为，则，所以，
所以，圆柱的底面积为，侧面积为，
圆柱的表面积为，圆柱的体积为.
（2）解：由（1）知，圆柱的侧面积为，
则，
当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【分析】（1） 取中点，连接 ，即为圆柱高的一半. 利用圆柱的表面积和体积公式求解即可；
（2）利用圆柱的侧面积公式 ， 将侧面积表示为仅含r的单变量函数，利用基本不等式即可求解.
28．（2023高一下·余姚期末）如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1，的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；
（2）将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长．
【答案】（1）证明：在正方体中，平而，而平面，则
连接，如图，在中，分别为的中点，即，在正方形中，，于是得
又因平面平面，从而得平面
又平面，所以平面平面；
（2）解：设正方体的棱长为，由（1）知，四面体的体积为，
因此所得多面体的体积为，解得，
所以该正方体的棱长为4．
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】本题主要考查空间立体几何的相关知识，考查学生的空间想象能力以及对知识的综合运用，
（1）若想证明两个平面垂直，要先证明空间中直线和平面垂直，先证明平面，因为平面，因此可以证明两平面垂直；
（2）根据球内接多面体知识点，以及多面体体积求解，首先根据题①可以表示出四面体的体积，再根据题目中给出的多面体的体积是 即可求出棱长.
29．（2023高一下·浙江期中）如图，在三棱推中，高（底面），．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求三棱锥外接球的表面积．
【答案】（1）解：由题意知，底面，
故，
故；
（2）解：由，可得，
设的外接圆半径为r，则，
设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，
则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，
则四边形为矩形，
O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，
则，
故三棱锥外接球的表面积为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】（1） 由题意知，底面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再由三角形的面积公式得出的值，再根据三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积。
（2） 由，再利用等腰三角形内角和定理可得的值，设的外接圆半径为r，再结合正弦定理的性质，进而得出r的值，设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，则四边形为矩形，所以O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，再根据勾股定理得出R的值，再由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积。
30．
（1）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，求此棱锥的体积.
（2）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为36，求球的表面积.
【答案】（1）解：根据题意作出图形：
设球心为 ，过 三点的小圆的圆心为 ，则 平面 ，
延长 交球于点 ，则 平面
，
，
高 ，
是边长为 的正三角形，
，
（2）解：如图所示，
当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，
此时 ，
故 ，则球 的表面积为 ；
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】（1）设球心为 ，过 三点的小圆的圆心为 ，得到 平面 ，延长 交球于点 ，得到 平面 ，求得高 ，结合三棱锥的体积公式，即可求解；
（2）当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，结合三棱锥的最大体积为6，列出方程求得 ，进而求得球 的表面积.
31．已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.
【答案】解：解：如图所示，过点 作 平面 于 ，连接并延长 交 于 ，连接 ，
三角形 是正三角形，
所以 是 边上的高和中线， 为三角形 的中心，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即棱锥的高 ，
故其体积
而 ，
，
故棱锥的表面积 ，
从而其内切球半径
故内切球的表面积为 ；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】 过点 作 平面 于 ，连接并延长 交 于 ，连接 ，得到 为三角形 的中心，求得 ，得出棱锥的高 ，得出体积 ，再求得棱锥的表面积 ，结合 ，即可求解.
32．（2022高一下·湖北期中）已知长方体，，其外接球的表面积为，过 B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
（1）求棱的长：
（2）求几何体的表面积.
【答案】（1）解：设，，，又（R为长方体外接球半径），
∴①.
又，∴.②
由①②，解得∴棱长为2
（2）解：由（1）知，
若，，则
∴
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】(1)设，，，利用已知条件列出方程组求解即可.
(2)求出，然后求解表面积即可.
33．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
【答案】解：设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为 ，表面积依次为 ．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a， ，所以 ．
②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r2＝ a， ，所以 ．
③正方体的各个顶点在球面上，则有2r3＝ a， ，所以 ．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】分析一个球与正方体的关系,得到三个半径与棱长的关系,从而求得其表面活性剂积的比.
34．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥A′﹣BC′D的体积．
（2）若球O1使得其与三棱锥A′﹣BC′D的六条棱都相切，三棱锥A′﹣BC′D外接球为O2，内切球为O3，求球O1，O2，O3半径的比值．
【答案】（1）解：三棱锥A′﹣BC′D的体积=a3﹣4× = ；
（2）解：设三棱锥A′﹣BC′D的六条棱长为1个单位，则棱锥的高为 ，O2，O3半径为 ， ，O2与O3半径比为3：1，
三棱锥对棱的距离为 = ，所以球O1半径为 ，
∴球O1，O2，O3半径的比值为 ：3：1．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【分析】（1）利用割补法，求三棱锥A′﹣BC′D的体积．（2）分别求出球O1，O2，O3半径，即可求球O1，O2，O3半径的比值．
35．正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．
【答案】解：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为O1，O2，连结AO2与BO1并延长，必交于CD的中点E，
又BE=，O2E=，连接BO2，在Rt△BO2E中，BO2=，连结AO1与BO2交于O3，
由Rt△AO2O3≌Rt△BO1O2，
∴O3O2=O3O1，O3A=O3B，
同理可证O3C=O3D=O3A，O3到另二面的距离也等O3O1，
∴O3为四面体外接球与内接球的球心，由△BO1O3∽△BO2E，
∴O1O3=，
∴R外=，S外=，r内=，S内=．
【知识点】球内接多面体
【解析】【分析】由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用三角形相似求出R的值r的值，可求外接球的表面积以及内切球的表面积．
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