高中数学三轮复习（直击痛点）：专题17概率与统计的创新题型

高中数学三轮复习（直击痛点）：专题17概率与统计的创新题型
一、选择题
1．在区间上任意取两个实数a，b，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概型；概率与函数的综合
【解析】【分析】因为，是增函数，不难知道也是增函数，而且。如果函数在区间上有且仅有一个零点，则需，即所求事件对应不等式的平面区域，全部试验结合是边长为1的正方形区域。根据几何概型的公式，所求概率为.故选C。
2．在实数集R上随机取一个数x，事件A=“sinx≥0， x∈[0，2]”，事件B=“”，则P（B︱A）=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概型；条件概率与独立事件；概率与函数的综合
【解析】【解答】∵sinx≥0，x∈[0，2π]，∴x∈[0，π]，又∵=2sin（x+)≤1，∴sin（x+)≤，∴x+∈[，]
∴x∈[，π]，故P（B|A)==.
【分析】以几何概型为载体考查了三角函数的图象和性质，其中根据正弦函数的图象和性质求出所有基本事件和满足条件的基本事件的x的范围是解答的关键。属于中档题。
3．（2021高二下·眉山期末）从 中任取一个实数m，则直线 被圆 截得的弦长大于2的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率与函数的综合；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题知所给圆的圆心为坐标原点，半径为 ，
当弦长大于2时，圆心到直线 的距离小于1，即 ，所以 ，
故所求概率 ，
故答案为：A．
【分析】首先由已知条件求出圆心坐标以及半径，结合直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式即可求出m的取值范围，再由概率的定义代入数值计算出结果即可。
4．（2018高二下·保山期末）已知某随机变量 的概率密度函数为 则随机变量 落在区间 内在概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定积分的简单应用；概率与函数的综合
【解析】【解答】解：由随机变量X的概率密度函数的意义得 ，
故答案为：B．
【分析】根据随机变量X的概率密度函数的意义求（1，3）上的定积分即可.
5．（2020·蚌埠模拟）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率 ，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② ；③ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 .其中正确的是（　　）
A．②④ B．①②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】第1天小明选择了米饭套餐，根据题意小明同学第二天选择面食套餐的可能性为 ，不是100%，所以①不正确；
依题意 ， ，则 ，故②正确；
当第 天选择米饭套餐时，第 天选择米饭套餐的概率为 ；
当第 天选择面食套餐时，第 天选择米饭套餐的概率为 ，
故 ，故③正确；
设第 天小明同学午餐花费为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 ，故④正确.
故答案为：D
【分析】第二天选择面食套餐的可能性为 ,说明①不正确；通过计算可得 ，故②正确；根据第3天选择米饭套餐是第二天选择面食套餐和第二天选择米饭套餐这两个对立事件的和事件可知③正确；设第 天小明同学午餐花费为 ，则 ，再构造等比数列 可求得 ，可得 ，再利用等比数列的求和公式可知④正确.
二、多项选择题
6．（2023高三上·石家庄期中）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是（　　）
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率共
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，青蛙跳跃2次后位于B点的路线为和，
所以青蛙跳跃2次后位于B点的概率，所以A对；
对于B，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点B，C，D上的概率分别为
所以，，
所以，
，，
所以，
所以，则，
所以，所以，
所以数列是等比数列，所以B对；
对于C，
当n为奇数时，所以C对；
对于D，，因为由对称性可得，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理何分步乘法计数原理求出概率，从而判断出选项A；利用等比数列的定义和变形法结合已知条件判断出选项B；利用等比数列的通项公式和放缩法判断出选项C；利用已知条件和数列的通项公式以及对称性，从而判断出选项D。
三、填空题
7．（2021高一下·滨海期末）对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果 ，则P(AB)=　 　.
【答案】0.2
【知识点】概率与函数的综合
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：0.2.
【分析】由 得 ，可得答案。
8．（2019高二下·潍坊期中）羽毛球比赛中，采用三局二胜制，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为g，则q-p取得最大值时p=　 　
【答案】
【知识点】概率与函数的综合
【解析】【解答】解：若甲赢得比赛，则甲至多输1局，
此时有以下可能：甲三局全胜，甲仅在第一局输，甲仅在第二局输，甲仅在第三局输
故，
设，
令，
解得或
在上的最大值仅可能在极值点和端点处取到，
∵，，，
故取得最大值时
故答案为：
【分析】分情况讨论甲赢得的比赛的概率，转化为函数的最值问题，利用导数得出函数的单调性，进而得出答案。
9．（2021高一下·陈仓期中）甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】数列的应用；概率的应用
【解析】【解答】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：
当
，其出现的概率为
，
当
，其出现的概率为
，
当
，其出现的概率为
，
当
其出现的概率为
，
∵甲获胜的概率为
，即
的概率为
，
则满足
整理得
.
【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出a3的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.
10．（2021高二上·重庆月考）已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、2个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 次从与第 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】数列的递推公式；概率的应用
【解析】【解答】设第 次取出红球的概率为 ，则取出白球的概率为 ，考虑第 次取出红球的概率为 ，
①若第 次取出的球为红球，则第 次在红箱内取出红球的概率为 ；
②若第 次取出的球为白球，则第 次在白箱内取出红球的概率为 .
所以， ，且 ，
所以， ， ，
因此， 。
故答案为： 。
【分析】设第 次取出红球的概率为 ，则取出白球的概率为 ，考虑第 次取出红球的概率为 ，再利用分类讨论的方法结合递推关系，再结合代入法得出第4次取出的球是红球的概率。
四、解答题
11．（2022高三上·潍坊月考）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．
（1）求的值；
（2）证明：是等比数列；
（3）比较29号和30号投篮命中的概率大小．
【答案】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为；
1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为，
因此．
（2）证明：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为；
篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有，
可得，且，
所以是首先为，公比为的等比数列．
（3）解：，，，，
，，
由累加法，可得
，
所以，，
所以29号投篮命中的概率为
30号投篮命中的概率为，
因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
【知识点】数列与不等式的综合；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据题意得出三种途径：1号传2号传3号传4号、1号传2号传4号和1号传3号传4号，分别求得相应的概率，即可求解；
（2） 根据题意得到篮球传到第号，再传给号其概率为，求得，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解；
（3）根据题意，利用叠加法和等比数列的求和公式，求得 ， 分别求得的值，即可得到结论.
12．（2021·高州模拟）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
（2）若经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项公式．
【答案】（1）记一轮踢球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， ， 相互独立．
由题意 ， ，甲的得分 的可能取值为 ，0，1．
，
．
，
∴X的分布列为：
X -1 0 1
P
．
（2）①由（1） ，
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分．
∴ ，
②∵规定 ，且有 ，
∴ 代入得： ，
∴ ，∴数列 是等比数列，
公比为 ，首项为 ，∴ ．
∴
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】 （1）X的可能取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与期望；
(2) ① 由（1） ，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出P：.经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分，由此能求出P3； ② .推导出，代入得，，推导出，从而得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式由等比数列前n项和公式计算出答案即可。
13．（2021高二下·武汉期中）某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌，现取出瓶该规格溶液做实验，其中瓶含有细菌，实验需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.
参考数据：，，，.
（1）假设，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
（2）现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.
①若与的期望相等，试用表示；
②若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求的最大值.
【答案】（1）解：设“恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌”为事件，
“第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌”为事件，
“前三次中都不含细菌”为事件，
则，且、互斥，∴，
所以恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率为
（2）解：①由已知得，的所有可能取值为1，.
∴，，
∴，
若，则，
所以.
②∵，∴，由题意知，
∴，整理得到，
设函数，则，
∴当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
又，，
所以满足题设条件的的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）对可能的情况分类，①第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌②前三次中都不含细菌；
（2）①根据
，找到P与n的函数关系；②根据
得到关于n的不等式，构造函数解决问题即可.
14．（2020·南通模拟）甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢 (常数 )次就获胜，而乙要再赢 (常数 )次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行 次抛币，游戏结束.
（1）若 ， ，求概率 ；
（2）若 ，求概率 的最大值(用 表示).
【答案】（1）解：依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，
.
（2）解：依题意， .
设
则 .
而 (*)
.(#)
因为 的判别式
(显然在 时恒成立)，
所以 .
又因为 ，所以(#)恒成立，从而(*)成立.
所以 ，即 (当且仅当 时，取“=”)，
所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
【知识点】函数单调性的性质；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；（2）先表示出 ，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值.
15．（2020高三上·潮州期末）心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 ；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 ，求该选手在前3局获胜局数 的分布列及数学期望；
（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 ，记 为锐角 的内角，求证：
【答案】（1）解：依题意，可知 可取：
∴
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
∴
（2）解：∵ 是锐角三角形，∴ ，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：
由概率的定义可知： ，故有：
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）依题意前3局获胜局数 可取 ，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望.（2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为： 且概率要小于 ，即可得证.
16．（2019高三上·珠海期末）某花卉经销商销售某种鲜花，售价为每支5元，成本为每支2元．销售宗旨是当天进货当天销售．当天未售出的当垃圾处理．根据以往的销售情况，按 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图计算该种鲜花日需求量的平均数 ，同一组中的数据用该组区间中点值代表；
（2）该经销商某天购进了400支这种鲜花，假设当天的需求量为x枝， ，利润为y元，求 关于 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 不小于800元的概率．
【答案】（1）x＝50×0.0010×100＋150×0.0015×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0020×100＝280．
（2）当日需求量不低于400支时，利润y＝(5-2)×400＝1200元；
当日需求量不足400支时，利润y＝(5－2)x－(400－x)×2＝5x－800元；
故
由 得， ，
所以
答：估计利润 不小于800元的概率为0.4
【知识点】众数、中位数、平均数；概率与函数的综合；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图结合已知条件求出样本数据的平均数。
(2)利用分段函数结合实际问题的已知条件和要求用满足要求的概率解决出满足实际问题的概率。
17．（2020高三上·四川月考）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值 为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．
质量指标值
产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好
（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值 的件数 的分布列及数学期望；
（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件 ．求事件 发生的概率；
（3）若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表所示；（ ）
质量指标值
利润
试确定 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值： ， ， ）
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，
的频率为 ；
的频率为 ；
的频率为 ．
故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中， 的有4件，
的有2件， 的有1件．
从这7件产品中任取3件，质量指标值 的件数 的所有可能取值为0，1，2，
则 ；
；
．
所以 的分布列为
0 1 2
故
（2）解：设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为 ，则根据频率分布直方图可得 ，
则
（3）解：由题意可得该产品的质量指标值 与对应概率如下表所示（ ）：
质量指标值
利润
0.3 0.4 0.15 0.1 0.05
故每件产品的利润 ，
则 ，令 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，
（元）．
所以当 时，每件产品的利润取得最大值为0.9元
电已知，该生产线的年产量为100万件，
所以该生产线的年盈利的最大值为 （万元）．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值 所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中求解即可；（3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润 取值的概率，建立利润 的函数模型，利用导数求函数的最值即可.
18．（2017高二下·临川期末）口袋中装有2个白球和n（n≥2，n N*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．
（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．
【答案】解：（I）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）= ，（II）由（I）得，若n=3，则1次摸球中奖的概率为p= = = ，所以3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）= ，（III）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=C p（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0【知识点】利用导数研究函数的极值；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；概率的应用
【解析】【分析】（I）根据题意结合排列组合再利用概率的定义求出即可。（II）利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率求出结果。（III）根据题意求出概率f（p）的解析式，对其求导利用导函数的性质得到原函数的单调性进而求出当f（p）取得最大值时，n的值为2。
19．（2019高三上·新洲月考）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第 站的概率为 .
（1）求 ， ， ；
（2）写出 与 、 的递推关系 ）；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
【答案】（1）解：依题意得 ， ，
（2）解：依题意知，棋子跳到第 站有两种情况：
第一种，棋子先到 站，又掷出反面，其概率为 ；
第二种，棋子先到 站，又掷出正面，其概率为 .
∴
（3）解：由（2）知， ，且
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列.
又 ∴ 或
∴玩该游戏获胜的概率为 .
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式；概率的应用
【解析】【分析】（1）结合题设条件能够求出 ， ， ；（2）依题意，棋子跳到第 站有两种可能：第一种，棋子先到 站，又掷出反面，其概率为 ；第二种，棋子先到 站，又掷出正面，其概率为 ，由此能够得到 与 的递推关系；（3）由 ，知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果.
20．（2024·潍坊期末）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝 软翅风筝 串式风筝 板式风筝 立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝 板式风筝 立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.
【答案】（1）解：的可能取值为，
则 3分
所以的分布列为
2 3 4
故
（2）解：当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，
所以，
则
因为，所以，
所以为等比数列，且首项为，公比为，
则
，
则，故当时，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
（2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，进而得出，再利用递推公式和等比数列的定义，进而证出数列为等比数列，且首项为，公比为，再利用等比数列的通项公式和累加法得出
当时的与n的关系式.
21．（2022高三上·湖北月考）甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.
（1）当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；
（2）求第次传球后球恰好在甲手上的概率.
【答案】（1）解：第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为： 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，
甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，
记球在乙手上次数为，则可能为：0，1，2；
；；；
的分布列为：
0 1 2
所以.
（2）解：n次传球后球恰好在甲手中的事件记为 ， 则有 ，
令 ，则 ，
于是得 ，
因此， ，则 ，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即 ， 则有 ，
数列 是以 为首项，为公比的等比数列，
， 整理得 ，
所以 次传球后球在甲手中的概率是 .
【知识点】等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再结合古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） 利用已知条件结合条件概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而得出 次传球后球在甲手中的概率。
22．（2021·马鞍山模拟）为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点 汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第 天选择汽修培训的概率是 ( ，2，3，…，7).
（1）求 ；
（2）证明： ( ，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望( 近似看作0).
【答案】（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，
所以 ， ， ；
（2）当第 天选择汽修培训时，第 天选择汽修培训的概率为 ，
当第 天选择面点培训时，第 天选择汽修培训的概率为 ，
则 ，而 ，
所以 是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；
（3）设第 天政府的补贴费为 ，则 ，
又因为 是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为 元.
【知识点】等比数列的通项公式；概率的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合概率的乘法公式和加法公式，计算出答案即可。
(2)由等比数列的性质结合概率的定义整理，即可得出数列为等比数列。
(3)首先由等比数列的通项公式结合题意计算出，由期望公式代入数值计算出结果即可。
23．（2020·海安模拟）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（2）求恰好得到 分的概率.
【答案】（1）解：所抛5次得分 的概率为 ，
其分布列如下
（2）解：令 表示恰好得到 分的概率，不出现 分的唯一情况是得到 分以后再掷出一次反面．
因为“不出现 分”的概率是 ，“恰好得到 分”的概率是 ，
因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 ，
即 ．
于是 是以 为首项，以 为公比的等比数列．
所以 ，即 ．
恰好得到 分的概率是 ．
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）抛掷5次的得分 可能为 ，且正面向上和反面向上的概率相等，都为 ，所以得分 的概率为 ，即可得分布列和数学期望；（2）令 表示恰好得到 分的概率，不出现 分的唯一情况是得到 分以后再掷出一次反面．，因为“不出现 分”的概率是 ，“恰好得到 分”的概率是 ，因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 ，即 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，即求得恰好得到 分的概率．
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题17概率与统计的创新题型
一、选择题
1．在区间上任意取两个实数a，b，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为(　　)
A． B． C． D．
2．在实数集R上随机取一个数x，事件A=“sinx≥0， x∈[0，2]”，事件B=“”，则P（B︱A）=（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二下·眉山期末）从 中任取一个实数m，则直线 被圆 截得的弦长大于2的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2018高二下·保山期末）已知某随机变量 的概率密度函数为 则随机变量 落在区间 内在概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·蚌埠模拟）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率 ，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② ；③ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 .其中正确的是（　　）
A．②④ B．①②③ C．③④ D．②③④
二、多项选择题
6．（2023高三上·石家庄期中）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是（　　）
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率共
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
三、填空题
7．（2021高一下·滨海期末）对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果 ，则P(AB)=　 　.
8．（2019高二下·潍坊期中）羽毛球比赛中，采用三局二胜制，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为g，则q-p取得最大值时p=　 　
9．（2021高一下·陈仓期中）甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是　 　．
10．（2021高二上·重庆月考）已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、2个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 次从与第 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为　 　．
四、解答题
11．（2022高三上·潍坊月考）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．
（1）求的值；
（2）证明：是等比数列；
（3）比较29号和30号投篮命中的概率大小．
12．（2021·高州模拟）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
（2）若经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项公式．
13．（2021高二下·武汉期中）某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌，现取出瓶该规格溶液做实验，其中瓶含有细菌，实验需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.
参考数据：，，，.
（1）假设，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
（2）现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.
①若与的期望相等，试用表示；
②若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求的最大值.
14．（2020·南通模拟）甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢 (常数 )次就获胜，而乙要再赢 (常数 )次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行 次抛币，游戏结束.
（1）若 ， ，求概率 ；
（2）若 ，求概率 的最大值(用 表示).
15．（2020高三上·潮州期末）心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 ；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 ，求该选手在前3局获胜局数 的分布列及数学期望；
（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 ，记 为锐角 的内角，求证：
16．（2019高三上·珠海期末）某花卉经销商销售某种鲜花，售价为每支5元，成本为每支2元．销售宗旨是当天进货当天销售．当天未售出的当垃圾处理．根据以往的销售情况，按 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图计算该种鲜花日需求量的平均数 ，同一组中的数据用该组区间中点值代表；
（2）该经销商某天购进了400支这种鲜花，假设当天的需求量为x枝， ，利润为y元，求 关于 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 不小于800元的概率．
17．（2020高三上·四川月考）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值 为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．
质量指标值
产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好
（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值 的件数 的分布列及数学期望；
（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件 ．求事件 发生的概率；
（3）若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表所示；（ ）
质量指标值
利润
试确定 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值： ， ， ）
18．（2017高二下·临川期末）口袋中装有2个白球和n（n≥2，n N*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．
（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．
19．（2019高三上·新洲月考）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第 站的概率为 .
（1）求 ， ， ；
（2）写出 与 、 的递推关系 ）；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
20．（2024·潍坊期末）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝 软翅风筝 串式风筝 板式风筝 立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝 板式风筝 立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.
21．（2022高三上·湖北月考）甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.
（1）当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；
（2）求第次传球后球恰好在甲手上的概率.
22．（2021·马鞍山模拟）为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点 汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第 天选择汽修培训的概率是 ( ，2，3，…，7).
（1）求 ；
（2）证明： ( ，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望( 近似看作0).
23．（2020·海安模拟）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（2）求恰好得到 分的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】几何概型；概率与函数的综合
【解析】【分析】因为，是增函数，不难知道也是增函数，而且。如果函数在区间上有且仅有一个零点，则需，即所求事件对应不等式的平面区域，全部试验结合是边长为1的正方形区域。根据几何概型的公式，所求概率为.故选C。
2．【答案】C
【知识点】几何概型；条件概率与独立事件；概率与函数的综合
【解析】【解答】∵sinx≥0，x∈[0，2π]，∴x∈[0，π]，又∵=2sin（x+)≤1，∴sin（x+)≤，∴x+∈[，]
∴x∈[，π]，故P（B|A)==.
【分析】以几何概型为载体考查了三角函数的图象和性质，其中根据正弦函数的图象和性质求出所有基本事件和满足条件的基本事件的x的范围是解答的关键。属于中档题。
3．【答案】A
【知识点】概率与函数的综合；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题知所给圆的圆心为坐标原点，半径为 ，
当弦长大于2时，圆心到直线 的距离小于1，即 ，所以 ，
故所求概率 ，
故答案为：A．
【分析】首先由已知条件求出圆心坐标以及半径，结合直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式即可求出m的取值范围，再由概率的定义代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】定积分的简单应用；概率与函数的综合
【解析】【解答】解：由随机变量X的概率密度函数的意义得 ，
故答案为：B．
【分析】根据随机变量X的概率密度函数的意义求（1，3）上的定积分即可.
5．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】第1天小明选择了米饭套餐，根据题意小明同学第二天选择面食套餐的可能性为 ，不是100%，所以①不正确；
依题意 ， ，则 ，故②正确；
当第 天选择米饭套餐时，第 天选择米饭套餐的概率为 ；
当第 天选择面食套餐时，第 天选择米饭套餐的概率为 ，
故 ，故③正确；
设第 天小明同学午餐花费为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 ，故④正确.
故答案为：D
【分析】第二天选择面食套餐的可能性为 ,说明①不正确；通过计算可得 ，故②正确；根据第3天选择米饭套餐是第二天选择面食套餐和第二天选择米饭套餐这两个对立事件的和事件可知③正确；设第 天小明同学午餐花费为 ，则 ，再构造等比数列 可求得 ，可得 ，再利用等比数列的求和公式可知④正确.
6．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，青蛙跳跃2次后位于B点的路线为和，
所以青蛙跳跃2次后位于B点的概率，所以A对；
对于B，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点B，C，D上的概率分别为
所以，，
所以，
，，
所以，
所以，则，
所以，所以，
所以数列是等比数列，所以B对；
对于C，
当n为奇数时，所以C对；
对于D，，因为由对称性可得，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理何分步乘法计数原理求出概率，从而判断出选项A；利用等比数列的定义和变形法结合已知条件判断出选项B；利用等比数列的通项公式和放缩法判断出选项C；利用已知条件和数列的通项公式以及对称性，从而判断出选项D。
7．【答案】0.2
【知识点】概率与函数的综合
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：0.2.
【分析】由 得 ，可得答案。
8．【答案】
【知识点】概率与函数的综合
【解析】【解答】解：若甲赢得比赛，则甲至多输1局，
此时有以下可能：甲三局全胜，甲仅在第一局输，甲仅在第二局输，甲仅在第三局输
故，
设，
令，
解得或
在上的最大值仅可能在极值点和端点处取到，
∵，，，
故取得最大值时
故答案为：
【分析】分情况讨论甲赢得的比赛的概率，转化为函数的最值问题，利用导数得出函数的单调性，进而得出答案。
9．【答案】
【知识点】数列的应用；概率的应用
【解析】【解答】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：
当
，其出现的概率为
，
当
，其出现的概率为
，
当
，其出现的概率为
，
当
其出现的概率为
，
∵甲获胜的概率为
，即
的概率为
，
则满足
整理得
.
【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出a3的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.
10．【答案】
【知识点】数列的递推公式；概率的应用
【解析】【解答】设第 次取出红球的概率为 ，则取出白球的概率为 ，考虑第 次取出红球的概率为 ，
①若第 次取出的球为红球，则第 次在红箱内取出红球的概率为 ；
②若第 次取出的球为白球，则第 次在白箱内取出红球的概率为 .
所以， ，且 ，
所以， ， ，
因此， 。
故答案为： 。
【分析】设第 次取出红球的概率为 ，则取出白球的概率为 ，考虑第 次取出红球的概率为 ，再利用分类讨论的方法结合递推关系，再结合代入法得出第4次取出的球是红球的概率。
11．【答案】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为；
1号传2号传4号其概率为；1号传3号传4号其概率为，
因此．
（2）证明：依题意篮球传到第号，再传给号其概率为；
篮球传到第号，再传给号其概率为，因此有，
可得，且，
所以是首先为，公比为的等比数列．
（3）解：，，，，
，，
由累加法，可得
，
所以，，
所以29号投篮命中的概率为
30号投篮命中的概率为，
因为，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率．
【知识点】数列与不等式的综合；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据题意得出三种途径：1号传2号传3号传4号、1号传2号传4号和1号传3号传4号，分别求得相应的概率，即可求解；
（2） 根据题意得到篮球传到第号，再传给号其概率为，求得，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解；
（3）根据题意，利用叠加法和等比数列的求和公式，求得 ， 分别求得的值，即可得到结论.
12．【答案】（1）记一轮踢球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， ， 相互独立．
由题意 ， ，甲的得分 的可能取值为 ，0，1．
，
．
，
∴X的分布列为：
X -1 0 1
P
．
（2）①由（1） ，
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分．
∴ ，
②∵规定 ，且有 ，
∴ 代入得： ，
∴ ，∴数列 是等比数列，
公比为 ，首项为 ，∴ ．
∴
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】 （1）X的可能取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与期望；
(2) ① 由（1） ，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出P：.经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分，由此能求出P3； ② .推导出，代入得，，推导出，从而得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式由等比数列前n项和公式计算出答案即可。
13．【答案】（1）解：设“恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌”为事件，
“第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌”为事件，
“前三次中都不含细菌”为事件，
则，且、互斥，∴，
所以恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率为
（2）解：①由已知得，的所有可能取值为1，.
∴，，
∴，
若，则，
所以.
②∵，∴，由题意知，
∴，整理得到，
设函数，则，
∴当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
又，，
所以满足题设条件的的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）对可能的情况分类，①第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌②前三次中都不含细菌；
（2）①根据
，找到P与n的函数关系；②根据
得到关于n的不等式，构造函数解决问题即可.
14．【答案】（1）解：依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，
.
（2）解：依题意， .
设
则 .
而 (*)
.(#)
因为 的判别式
(显然在 时恒成立)，
所以 .
又因为 ，所以(#)恒成立，从而(*)成立.
所以 ，即 (当且仅当 时，取“=”)，
所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
【知识点】函数单调性的性质；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；（2）先表示出 ，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值.
15．【答案】（1）解：依题意，可知 可取：
∴
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
∴
（2）解：∵ 是锐角三角形，∴ ，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：
由概率的定义可知： ，故有：
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）依题意前3局获胜局数 可取 ，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望.（2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为： 且概率要小于 ，即可得证.
16．【答案】（1）x＝50×0.0010×100＋150×0.0015×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0020×100＝280．
（2）当日需求量不低于400支时，利润y＝(5-2)×400＝1200元；
当日需求量不足400支时，利润y＝(5－2)x－(400－x)×2＝5x－800元；
故
由 得， ，
所以
答：估计利润 不小于800元的概率为0.4
【知识点】众数、中位数、平均数；概率与函数的综合；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图结合已知条件求出样本数据的平均数。
(2)利用分段函数结合实际问题的已知条件和要求用满足要求的概率解决出满足实际问题的概率。
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，
的频率为 ；
的频率为 ；
的频率为 ．
故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中， 的有4件，
的有2件， 的有1件．
从这7件产品中任取3件，质量指标值 的件数 的所有可能取值为0，1，2，
则 ；
；
．
所以 的分布列为
0 1 2
故
（2）解：设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为 ，则根据频率分布直方图可得 ，
则
（3）解：由题意可得该产品的质量指标值 与对应概率如下表所示（ ）：
质量指标值
利润
0.3 0.4 0.15 0.1 0.05
故每件产品的利润 ，
则 ，令 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，
（元）．
所以当 时，每件产品的利润取得最大值为0.9元
电已知，该生产线的年产量为100万件，
所以该生产线的年盈利的最大值为 （万元）．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值 所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中求解即可；（3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润 取值的概率，建立利润 的函数模型，利用导数求函数的最值即可.
18．【答案】解：（I）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）= ，（II）由（I）得，若n=3，则1次摸球中奖的概率为p= = = ，所以3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）= ，（III）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=C p（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0【知识点】利用导数研究函数的极值；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；概率的应用
【解析】【分析】（I）根据题意结合排列组合再利用概率的定义求出即可。（II）利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率求出结果。（III）根据题意求出概率f（p）的解析式，对其求导利用导函数的性质得到原函数的单调性进而求出当f（p）取得最大值时，n的值为2。
19．【答案】（1）解：依题意得 ， ，
（2）解：依题意知，棋子跳到第 站有两种情况：
第一种，棋子先到 站，又掷出反面，其概率为 ；
第二种，棋子先到 站，又掷出正面，其概率为 .
∴
（3）解：由（2）知， ，且
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列.
又 ∴ 或
∴玩该游戏获胜的概率为 .
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式；概率的应用
【解析】【分析】（1）结合题设条件能够求出 ， ， ；（2）依题意，棋子跳到第 站有两种可能：第一种，棋子先到 站，又掷出反面，其概率为 ；第二种，棋子先到 站，又掷出正面，其概率为 ，由此能够得到 与 的递推关系；（3）由 ，知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果.
20．【答案】（1）解：的可能取值为，
则 3分
所以的分布列为
2 3 4
故
（2）解：当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，
所以，
则
因为，所以，
所以为等比数列，且首项为，公比为，
则
，
则，故当时，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
（2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，进而得出，再利用递推公式和等比数列的定义，进而证出数列为等比数列，且首项为，公比为，再利用等比数列的通项公式和累加法得出
当时的与n的关系式.
21．【答案】（1）解：第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为： 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，
甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，
记球在乙手上次数为，则可能为：0，1，2；
；；；
的分布列为：
0 1 2
所以.
（2）解：n次传球后球恰好在甲手中的事件记为 ， 则有 ，
令 ，则 ，
于是得 ，
因此， ，则 ，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即 ， 则有 ，
数列 是以 为首项，为公比的等比数列，
， 整理得 ，
所以 次传球后球在甲手中的概率是 .
【知识点】等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再结合古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） 利用已知条件结合条件概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而得出 次传球后球在甲手中的概率。
22．【答案】（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，
所以 ， ， ；
（2）当第 天选择汽修培训时，第 天选择汽修培训的概率为 ，
当第 天选择面点培训时，第 天选择汽修培训的概率为 ，
则 ，而 ，
所以 是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；
（3）设第 天政府的补贴费为 ，则 ，
又因为 是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为 元.
【知识点】等比数列的通项公式；概率的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合概率的乘法公式和加法公式，计算出答案即可。
(2)由等比数列的性质结合概率的定义整理，即可得出数列为等比数列。
(3)首先由等比数列的通项公式结合题意计算出，由期望公式代入数值计算出结果即可。
23．【答案】（1）解：所抛5次得分 的概率为 ，
其分布列如下
（2）解：令 表示恰好得到 分的概率，不出现 分的唯一情况是得到 分以后再掷出一次反面．
因为“不出现 分”的概率是 ，“恰好得到 分”的概率是 ，
因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 ，
即 ．
于是 是以 为首项，以 为公比的等比数列．
所以 ，即 ．
恰好得到 分的概率是 ．
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）抛掷5次的得分 可能为 ，且正面向上和反面向上的概率相等，都为 ，所以得分 的概率为 ，即可得分布列和数学期望；（2）令 表示恰好得到 分的概率，不出现 分的唯一情况是得到 分以后再掷出一次反面．，因为“不出现 分”的概率是 ，“恰好得到 分”的概率是 ，因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 ，即 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，即求得恰好得到 分的概率．
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