高中数学三轮复习（直击痛点）：专题18隐圆问题
一、填空题
1．（2024高二上·南山期末）已知点，动点满足，记的轨迹为，以的最大值为长轴，且以分别为左 右焦点的椭圆为，则和的交点到轴的距离为 .
【答案】
【知识点】轨迹方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为动点P满足，则动点在以线段为弦的圆上，
因为点、关于轴对称，则圆心在轴上，设圆心为，
因为，所以，
在中，因为，
所以，，
所以圆心为或，
当时， 曲线的方程为；
当时， 曲线的方程为；显然，曲线关于轴对称，
所以动点到点距离的最大值为圆的直径，即，则长轴长为4，
所以椭圆：，则曲线与曲线的图象如下图所示：
因为曲线与曲线均关于轴对称，所以可只考虑轴上方形成的交点，
即联立，消去整理可得，解得或（舍），
故曲线和曲线的交点到轴的距离为.
故答案为：.
【分析】由动点P满足，则可得到动点在以线段为弦的圆上，由圆的性质可得圆心为或，半径为2，则动点P到点距离的最大值为4，即可得到椭圆的方程，联立部分曲线的方程与椭圆方程求解即可.
2．（2024高三上·绵阳高考模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，且点到直线的最小距离为，则实数的值是 ．
【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设
因为点，，点满足，
则，
所以点是以原点为圆心，半径的圆，
如图：
而到直线的距离，
因为点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减半径，即，
所以.
故答案为：1
【分析】根据可以求出点C的轨迹是圆，把点到直线的最小距离转化成圆心到直线的距离减半径即可求解.
3．（2024高二上·重庆市期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
【答案】13
【知识点】直线和圆的方程的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点
因为，所以MA=2MB，所以，所以，
所以点M的方程为，所以直线AC的方程为，
圆心(0，0)到直线AC的距离d为
设点M到边AC的高为h，，
所以的最大值为
故答案为：13.
【分析】根据题意求出点M的方程与边AC，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即求出边AC的高，进而求出三角形面积的最大值.
4．（2023高二上·绍兴期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】 【解答】解：由，
当t=0时，则需要a=b=0与矛盾，所以t=0（舍）；
当时，由得出点(a，b)到直线x+y+1=0的距离为
由得出点(a，b)在圆上，
因为对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式
等价于圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则需要圆的半径，
过O(0，0)作垂直于直线x+y+1=0于H，交圆于点P，
则
则要使圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则，所以所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和点与圆的位置关系，再结合几何法得出满足要求的实数t的值。
5．（2023高二上·宝安期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是 ；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是 .
【答案】；
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立如图平面直角坐标系，
则，，设成功点，由题意得，，
，化简得，
这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；
第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时，，，，
|AP|的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式得到点M的轨迹方程；第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时此时 |AP| 最小，进而求解 |AP|的取值范围 .
6．（2023高二上·上海市月考）已知M为抛物线C：上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意可知：焦点，准线l的方程为，
由可得，
令解得，即直线恒过定点，
设PF中点为E，则，
因为，则N的轨迹为以PF为直径的圆，所以N的轨迹方程为，
过M作于D，则，
当且仅当M运动到M′时，N运动到N′，即共线时，等号成立
所以 的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可知N的轨迹为以PF为直径的圆，结合圆的性质以及抛物线的定义分析求解，
7．（2023高二下·山西月考）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 ，该抛物线上一点A（非顶点）处的切线与圆相切，则 ．
【答案】3；
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意，抛物线的准线方程为，
设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，
则，当M，P，D三点共线时有最小值，
结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离，
可得抛物线，焦点，在抛物线上取一点，
设抛物线在点A的切线l的方程为，
联立抛物线方程，，解得
切线l的方程为，整理得，
又因为切线与圆相切，设切点为B，
由圆M的方程可知圆心，，
则，解得（舍去）或，所以，
同理，点A关于x轴的对称点， 也符合题意
则
故答案为：3；.
【分析】由题意结合抛物线得出准线方程，设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义和三点共线的方法可知，再结合图像可知的最小值得出点P到准线的距离，进而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出焦点坐标，在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，再利用直线与抛物线相交结合韦达定理得出k的值，再结合点斜式得出切线l的方程，再转化为直线的 一般式方程，再利用切线与圆相切，设切点为B，由圆M的方程可知圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式和已知条件得出a的值，从而得出点A的坐标，再利用点与点关于x轴对称的求解方法得出点A关于x轴的对称点，再结合两点距离公式得出AF的长。
二、解答题
8．（2023高二上·成都月考） 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设，由，
可得，因为，
所以，整理可得；
即曲线的方程为.
（2）解：易知可化为，
可得圆的圆心为，半径；
又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然，
由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆，
又，所以可知到直线的距离，
即，解得；
所以直线方程的方程为
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】 (1)设，根据题意结合两点间距离公式运算求解即可；
(2) 由（1）可知可得圆的圆心为，半径，结合垂径定理可得知到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.
9．（2023高二上·绍兴期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）解：由（1）知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
【知识点】圆的切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出动点P的轨迹C的方程。
（2）由（1）得出点P的轨迹方程得出圆心坐标和半径长，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出满足要求的直线l的方程。
10．（2022高二上·芜湖期中）已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|．
（1）若点P的轨迹为曲线，求此曲线的方程；
（2）若点Q在直线l1： x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
【答案】（1）解：设点P的坐标为(x，y)，则 ＝2 化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．
（2）解：曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图．
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝ ，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝ ＝4 ，此时|QM|的最小值为 ＝4.
【知识点】轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设出点的坐标，结合|PA|=2|PB|，化简整理即可求出曲线的方程；
（2）作出图形，数形结合，即可求出相应的最小值.
11．（2023高三上·前郭尔罗斯月考）已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于2．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点的直线l被C所截得的线段的长为，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意可知，，.
整理，得，故点点轨迹方程为，.
其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆．
（2）解：由题意可知
①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
②当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，.
解得，.，所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）运用两点间的距离公式即题意可得：，然后化简可得点M的轨迹方程；
（2）分斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，斜率不存在时可得直线l的方程：，满足要求，斜率存在时，利用点斜式写出直线l的方程：，利用圆心到直线的距离公式得到圆心到直线l的距离d，，然后再利用垂径定理及勾股定理求解即可.
12．（2023高二上·常熟期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）解：设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）解：①设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
所以，且即，即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
②因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【知识点】直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式；恒过定点的直线；与直线有关的动点轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式，将M点坐标用A点坐标表示，代入M点满足的轨迹方程即可.
(2) ① 设直线l方程和E、F坐标，联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，将
代入化简得m=k，进而得直线方程，与k无关，直线过定点（-1，0）.
②假设存在，为定值，且为直角三角形，为斜边，可得点是的中点时，为定值．利用中点坐标公式即可求得Q的坐标，说明假设成立，从而得证.
三、选择题
13．（2024高三上·牡丹江期末）已知点，动点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】设由动点满足，得出，
所以
即动点P在圆上运动，同理可得动点Q也在上运动，
即P，Q的轨迹方程为，
设PQ的中点为D，则
连接CO并延长，与圆交于点E，F，
当P，Q重合且位于点E处时，P，Q，D重合，此时取得最小值5-2=3；
当P，Q重合且位于点F处时，P，Q，D重合，此时取得最大值5+2=7；
所以的取值范围为[6，14].
故答案为：B.
【分析】利用已知条件确定点P，Q的轨迹，设PQ的中点为D，再利用平行四边形法则得出结合圆的几何性质确定的最值，进而得出的取值范围.
14．（2023高二上·云浮月考）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：设，
因为，则，可得，
可知点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，
注意到，可得，
设，则，
可得，
当且仅当P，M，D三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】设，分析可知，整理可得，设，可得，
结合图象分析可得结果.
15．（2023高三上·东城月考）已知曲线上任意一点坐标为（为参数），.若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；圆锥曲线的轨迹问题；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：曲线化为普通方程为：，由，可得点在以为直径的圆上，又在曲线上，
即直线与圆存在公共点，故圆心到的距离小于等于半径，根据点到直线的距离公式有：，解得，
故答案为：C.
【分析】本题考查参数方程与普通方程的互化，轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系.先将曲线C的参数方程化为普通方程为：，再根据可求出点P的轨迹方程为：点在以为直径的圆上，利用点到直线的距离公式可列出不等式，解不等式可求出答案.
16．（2023高二上·东莞期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
因为几何体为 正方体，
所以⊥平面，平面，
所以⊥，
由于平面平面，
所以直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故答案为：B.
【分析】先证⊥，可得为直线BP与上底面所成角，从而得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度即可.
17．（2023高二上·长春期中）在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点因为所以即
要使直线上存在点，使得，则直线与有交点，则
即.
故答案为：B.
【分析】由已知得到点M的轨迹方程为圆，要使直线上存在点，使得，则必须直线与圆有交点，根据点到直线的距离公式即可求解。
18．（2023高二上·永嘉期末）已知点是双曲线右支上的动点，，两点满足，点，分别为双曲线的左，右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C．24 D．26
【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为，两点满足，
所以点，在以点为圆心，半径为1的圆上，
所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为射线与圆的交点时等号成立，
所以，又，
设，则，且，
设，则，，
所以，当且仅当，即时等号成立；
所以当且点在线段上，点在射线上，且时
取最小值24.
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得点，在以点为圆心，半径为1的圆上，，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，，当且仅当点为射线与圆的交点时等号成立，设，则，且，设，则，利用基本不等式可求出取最小值.
四、多项选择题
19．（2023高三上·重庆市月考） 已知向量满足，设，则（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．的最小值为
D．无最大值
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；轨迹方程；直线与圆的位置关系；平面向量的投影向量；平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，，
所以，即，则，故A错误；
又，，所以，
因为，所以在方向上的投影向量为，故B正确；
建立如图直角坐标系(如图)：
设，
因为，所以，整理得，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
则，则点在直线上运动，则，
设点到直线的距离为，
则，无最大值，故C、D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量的数量积运算即可得解即可判断AB；利用向量的几何意义建立直角坐标系，将问题转化为圆上点到直线的距离的问题，从而得解判断CD.
20．（2023·江西模拟）加斯帕尔·蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P，Q均在C的蒙日圆O上，PA，PB分别与C相切于A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．C的蒙日圆方程是
B．设，则的取值范围为
C．若点P在第一象服的角平分线上，则直线AB的方型为
D．若直线PQ过原点O，且与C的一个交点为G，，则
【答案】B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于A，分别过椭圆C的顶点(2，0)，作椭圆C的切线，
则两切线的交点在椭圆C的蒙日圆上，故该蒙日圆的半径即椭圆C的蒙日圆的方程为所以选项A错；
对于B，
由椭圆的定义得出
当且仅当点A在的延长线上时取等号，
所以，
当且仅当点A在的延长线上取等号，所以的取值范围为，所以B对；
对于C，设长方体的长为m，宽为n，则
所以长方体的面积等于当且仅当时等号成立，所以C对；
对于D，
所以
所以
由得出
由得出
（1）+（2）得出解得，
所以所以选项D对.
故答案为：BCD.
【分析】根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，从而判断出选项A；利用椭圆的定义求出的取值范围，从而判断出选项B；结合长方形的对角线长和基本不等式判断出选项C；根据椭圆的定义
以及平面向量的数量积的运算律可求出的值，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项。
21．（2023高二上·广州月考）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，
A、过作于，
则由抛物线的定义可得，A正确；
B、，则以PQ为直径的圆的半径，
线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，B正确；
C、抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，C正确；
D、当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立消去x，并整理得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，D错误．
故答案为：ABC.
【分析】本题考查抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.根据抛物线的定义可得抛物线的定义可得，代入数据可求出答案；因为以 以为直径的圆，所根据重点坐标公式可求出圆心，半径，进而推出线段PQ的中点到准线的距离等于半径；根据抛物线的定义可得，进而确定C选项；分
当直线斜率不存在时和直线斜率存在时两种情况进行讨论，写出直线方程与抛物线方程进行联立，进而判断直线与抛物线的位置关系.
22．（2023高二上·福州期中）在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A．轨迹的方程（）
B．存在点使得
C．点，则的最小值为
D．斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图，
对于A，设点的坐标为，且，
因为的斜率之积为，
所以，
化简得点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于C，当点 的坐标为时，此时.故C错误.
对于D，设，因为点为的中点，
所以设，因为在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，
则直线的斜率为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用直接法求轨迹方程，由斜率之积为列方程可判断A； 根据圆的直径所对圆周角为判断B；利用特值法令点P坐标为代入验证可判断C；设，利用椭圆的点相关代入法再结合斜率公式可求判断D.
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题18隐圆问题
一、填空题
1．（2024高二上·南山期末）已知点，动点满足，记的轨迹为，以的最大值为长轴，且以分别为左 右焦点的椭圆为，则和的交点到轴的距离为 .
2．（2024高三上·绵阳高考模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，且点到直线的最小距离为，则实数的值是 ．
3．（2024高二上·重庆市期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为 .
4．（2023高二上·绍兴期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 .
5．（2023高二上·宝安期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是 ；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是 .
6．（2023高二上·上海市月考）已知M为抛物线C：上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为 ．
7．（2023高二下·山西月考）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 ，该抛物线上一点A（非顶点）处的切线与圆相切，则 ．
二、解答题
8．（2023高二上·成都月考） 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程.
9．（2023高二上·绍兴期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.
10．（2022高二上·芜湖期中）已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|．
（1）若点P的轨迹为曲线，求此曲线的方程；
（2）若点Q在直线l1： x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
11．（2023高三上·前郭尔罗斯月考）已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于2．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点的直线l被C所截得的线段的长为，求直线l的方程．
12．（2023高二上·常熟期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
三、选择题
13．（2024高三上·牡丹江期末）已知点，动点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023高二上·云浮月考）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
15．（2023高三上·东城月考）已知曲线上任意一点坐标为（为参数），.若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023高二上·东莞期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023高二上·长春期中）在平面直角坐标系中，点，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023高二上·永嘉期末）已知点是双曲线右支上的动点，，两点满足，点，分别为双曲线的左，右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C．24 D．26
四、多项选择题
19．（2023高三上·重庆市月考） 已知向量满足，设，则（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．的最小值为
D．无最大值
20．（2023·江西模拟）加斯帕尔·蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P，Q均在C的蒙日圆O上，PA，PB分别与C相切于A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．C的蒙日圆方程是
B．设，则的取值范围为
C．若点P在第一象服的角平分线上，则直线AB的方型为
D．若直线PQ过原点O，且与C的一个交点为G，，则
21．（2023高二上·广州月考）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
22．（2023高二上·福州期中）在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A．轨迹的方程（）
B．存在点使得
C．点，则的最小值为
D．斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】轨迹方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为动点P满足，则动点在以线段为弦的圆上，
因为点、关于轴对称，则圆心在轴上，设圆心为，
因为，所以，
在中，因为，
所以，，
所以圆心为或，
当时， 曲线的方程为；
当时， 曲线的方程为；显然，曲线关于轴对称，
所以动点到点距离的最大值为圆的直径，即，则长轴长为4，
所以椭圆：，则曲线与曲线的图象如下图所示：
因为曲线与曲线均关于轴对称，所以可只考虑轴上方形成的交点，
即联立，消去整理可得，解得或（舍），
故曲线和曲线的交点到轴的距离为.
故答案为：.
【分析】由动点P满足，则可得到动点在以线段为弦的圆上，由圆的性质可得圆心为或，半径为2，则动点P到点距离的最大值为4，即可得到椭圆的方程，联立部分曲线的方程与椭圆方程求解即可.
2．【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设
因为点，，点满足，
则，
所以点是以原点为圆心，半径的圆，
如图：
而到直线的距离，
因为点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减半径，即，
所以.
故答案为：1
【分析】根据可以求出点C的轨迹是圆，把点到直线的最小距离转化成圆心到直线的距离减半径即可求解.
3．【答案】13
【知识点】直线和圆的方程的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点
因为，所以MA=2MB，所以，所以，
所以点M的方程为，所以直线AC的方程为，
圆心(0，0)到直线AC的距离d为
设点M到边AC的高为h，，
所以的最大值为
故答案为：13.
【分析】根据题意求出点M的方程与边AC，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即求出边AC的高，进而求出三角形面积的最大值.
4．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】 【解答】解：由，
当t=0时，则需要a=b=0与矛盾，所以t=0（舍）；
当时，由得出点(a，b)到直线x+y+1=0的距离为
由得出点(a，b)在圆上，
因为对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式
等价于圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则需要圆的半径，
过O(0，0)作垂直于直线x+y+1=0于H，交圆于点P，
则
则要使圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为，
则，所以所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和点与圆的位置关系，再结合几何法得出满足要求的实数t的值。
5．【答案】；
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立如图平面直角坐标系，
则，，设成功点，由题意得，，
，化简得，
这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；
第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时，，，，
|AP|的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式得到点M的轨迹方程；第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时此时 |AP| 最小，进而求解 |AP|的取值范围 .
6．【答案】
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由题意可知：焦点，准线l的方程为，
由可得，
令解得，即直线恒过定点，
设PF中点为E，则，
因为，则N的轨迹为以PF为直径的圆，所以N的轨迹方程为，
过M作于D，则，
当且仅当M运动到M′时，N运动到N′，即共线时，等号成立
所以 的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可知N的轨迹为以PF为直径的圆，结合圆的性质以及抛物线的定义分析求解，
7．【答案】3；
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意，抛物线的准线方程为，
设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，
则，当M，P，D三点共线时有最小值，
结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离，
可得抛物线，焦点，在抛物线上取一点，
设抛物线在点A的切线l的方程为，
联立抛物线方程，，解得
切线l的方程为，整理得，
又因为切线与圆相切，设切点为B，
由圆M的方程可知圆心，，
则，解得（舍去）或，所以，
同理，点A关于x轴的对称点， 也符合题意
则
故答案为：3；.
【分析】由题意结合抛物线得出准线方程，设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义和三点共线的方法可知，再结合图像可知的最小值得出点P到准线的距离，进而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，进而得出焦点坐标，在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线l的方程为，再利用直线与抛物线相交结合韦达定理得出k的值，再结合点斜式得出切线l的方程，再转化为直线的 一般式方程，再利用切线与圆相切，设切点为B，由圆M的方程可知圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式和已知条件得出a的值，从而得出点A的坐标，再利用点与点关于x轴对称的求解方法得出点A关于x轴的对称点，再结合两点距离公式得出AF的长。
8．【答案】（1）解：设，由，
可得，因为，
所以，整理可得；
即曲线的方程为.
（2）解：易知可化为，
可得圆的圆心为，半径；
又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然，
由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆，
又，所以可知到直线的距离，
即，解得；
所以直线方程的方程为
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】 (1)设，根据题意结合两点间距离公式运算求解即可；
(2) 由（1）可知可得圆的圆心为，半径，结合垂径定理可得知到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.
9．【答案】（1）解：设，由，得，
化简得，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）解：由（1）知轨迹C：表示圆心为，半径为2的圆．
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l与圆C相切．
当直线l的斜率存在时，设，即，
于是有，解得，因此直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为或．
【知识点】圆的切线方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出动点P的轨迹C的方程。
（2）由（1）得出点P的轨迹方程得出圆心坐标和半径长，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而得出满足要求的直线l的方程。
10．【答案】（1）解：设点P的坐标为(x，y)，则 ＝2 化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．
（2）解：曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图．
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝ ，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝ ＝4 ，此时|QM|的最小值为 ＝4.
【知识点】轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设出点的坐标，结合|PA|=2|PB|，化简整理即可求出曲线的方程；
（2）作出图形，数形结合，即可求出相应的最小值.
11．【答案】（1）解：由题意可知，，.
整理，得，故点点轨迹方程为，.
其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆．
（2）解：由题意可知
①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
②当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，.
解得，.，所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）运用两点间的距离公式即题意可得：，然后化简可得点M的轨迹方程；
（2）分斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，斜率不存在时可得直线l的方程：，满足要求，斜率存在时，利用点斜式写出直线l的方程：，利用圆心到直线的距离公式得到圆心到直线l的距离d，，然后再利用垂径定理及勾股定理求解即可.
12．【答案】（1）解：设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）解：①设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
所以，且即，即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
②因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【知识点】直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式；恒过定点的直线；与直线有关的动点轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式，将M点坐标用A点坐标表示，代入M点满足的轨迹方程即可.
(2) ① 设直线l方程和E、F坐标，联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，将
代入化简得m=k，进而得直线方程，与k无关，直线过定点（-1，0）.
②假设存在，为定值，且为直角三角形，为斜边，可得点是的中点时，为定值．利用中点坐标公式即可求得Q的坐标，说明假设成立，从而得证.
13．【答案】B
【知识点】两向量的和或差的模的最值；轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】设由动点满足，得出，
所以
即动点P在圆上运动，同理可得动点Q也在上运动，
即P，Q的轨迹方程为，
设PQ的中点为D，则
连接CO并延长，与圆交于点E，F，
当P，Q重合且位于点E处时，P，Q，D重合，此时取得最小值5-2=3；
当P，Q重合且位于点F处时，P，Q，D重合，此时取得最大值5+2=7；
所以的取值范围为[6，14].
故答案为：B.
【分析】利用已知条件确定点P，Q的轨迹，设PQ的中点为D，再利用平行四边形法则得出结合圆的几何性质确定的最值，进而得出的取值范围.
14．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】解：设，
因为，则，可得，
可知点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，
注意到，可得，
设，则，
可得，
当且仅当P，M，D三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】设，分析可知，整理可得，设，可得，
结合图象分析可得结果.
15．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；圆锥曲线的轨迹问题；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：曲线化为普通方程为：，由，可得点在以为直径的圆上，又在曲线上，
即直线与圆存在公共点，故圆心到的距离小于等于半径，根据点到直线的距离公式有：，解得，
故答案为：C.
【分析】本题考查参数方程与普通方程的互化，轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系.先将曲线C的参数方程化为普通方程为：，再根据可求出点P的轨迹方程为：点在以为直径的圆上，利用点到直线的距离公式可列出不等式，解不等式可求出答案.
16．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
因为几何体为 正方体，
所以⊥平面，平面，
所以⊥，
由于平面平面，
所以直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故答案为：B.
【分析】先证⊥，可得为直线BP与上底面所成角，从而得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度即可.
17．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设点因为所以即
要使直线上存在点，使得，则直线与有交点，则
即.
故答案为：B.
【分析】由已知得到点M的轨迹方程为圆，要使直线上存在点，使得，则必须直线与圆有交点，根据点到直线的距离公式即可求解。
18．【答案】C
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为，两点满足，
所以点，在以点为圆心，半径为1的圆上，
所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为射线与圆的交点时等号成立，
所以，又，
设，则，且，
设，则，，
所以，当且仅当，即时等号成立；
所以当且点在线段上，点在射线上，且时
取最小值24.
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得点，在以点为圆心，半径为1的圆上，，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，，当且仅当点为射线与圆的交点时等号成立，设，则，且，设，则，利用基本不等式可求出取最小值.
19．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；轨迹方程；直线与圆的位置关系；平面向量的投影向量；平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，，
所以，即，则，故A错误；
又，，所以，
因为，所以在方向上的投影向量为，故B正确；
建立如图直角坐标系(如图)：
设，
因为，所以，整理得，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
则，则点在直线上运动，则，
设点到直线的距离为，
则，无最大值，故C、D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量的数量积运算即可得解即可判断AB；利用向量的几何意义建立直角坐标系，将问题转化为圆上点到直线的距离的问题，从而得解判断CD.
20．【答案】B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于A，分别过椭圆C的顶点(2，0)，作椭圆C的切线，
则两切线的交点在椭圆C的蒙日圆上，故该蒙日圆的半径即椭圆C的蒙日圆的方程为所以选项A错；
对于B，
由椭圆的定义得出
当且仅当点A在的延长线上时取等号，
所以，
当且仅当点A在的延长线上取等号，所以的取值范围为，所以B对；
对于C，设长方体的长为m，宽为n，则
所以长方体的面积等于当且仅当时等号成立，所以C对；
对于D，
所以
所以
由得出
由得出
（1）+（2）得出解得，
所以所以选项D对.
故答案为：BCD.
【分析】根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，从而判断出选项A；利用椭圆的定义求出的取值范围，从而判断出选项B；结合长方形的对角线长和基本不等式判断出选项C；根据椭圆的定义
以及平面向量的数量积的运算律可求出的值，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项。
21．【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，
A、过作于，
则由抛物线的定义可得，A正确；
B、，则以PQ为直径的圆的半径，
线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，B正确；
C、抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，C正确；
D、当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立消去x，并整理得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，D错误．
故答案为：ABC.
【分析】本题考查抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.根据抛物线的定义可得抛物线的定义可得，代入数据可求出答案；因为以 以为直径的圆，所根据重点坐标公式可求出圆心，半径，进而推出线段PQ的中点到准线的距离等于半径；根据抛物线的定义可得，进而确定C选项；分
当直线斜率不存在时和直线斜率存在时两种情况进行讨论，写出直线方程与抛物线方程进行联立，进而判断直线与抛物线的位置关系.
22．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的应用；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图，
对于A，设点的坐标为，且，
因为的斜率之积为，
所以，
化简得点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于C，当点 的坐标为时，此时.故C错误.
对于D，设，因为点为的中点，
所以设，因为在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，
则直线的斜率为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用直接法求轨迹方程，由斜率之积为列方程可判断A； 根据圆的直径所对圆周角为判断B；利用特值法令点P坐标为代入验证可判断C；设，利用椭圆的点相关代入法再结合斜率公式可求判断D.
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