高中数学三轮复习（直击痛点）：专题19离心率范围的求法

高中数学三轮复习（直击痛点）：专题19离心率范围的求法
一、选择题
1．（2023高二上·广州月考）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：，故在为直径的圆上，即，又知在圆在椭圆内部，故，，故.
故答案为：B.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知，根据直径所对的圆周角等于90°可得：在为直径的圆上，可得出圆的方程，又知在圆在椭圆内部，可推出，代入离心率公式可求出离心率的取值范围.
2．（2023高二上·石景山期末）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，
又因为，且渐近线的斜率小于，即；
所以，椭圆的离心率
即离心率e的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出a，b的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得椭圆的 离心率e的取值范围.
3．（2023高二上·鹤山月考）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知： ，，
可得，则，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，结合椭圆形状求离心率.
4．（2023高二上·浙江月考）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设M为椭圆短轴一端点，则由题意得即因为所以所以解得
故答案为：A.
【分析】当点P在椭圆短轴上时角APB最大，由椭圆的性质知得到关于a，c的齐次方程，即可求解。
5．（2023高二上·成都月考）已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得其中一条渐近线方程为，
因为直线与双曲线无公共交点，
所以 ，即 ，所以 ，又，所以.
的离心率的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】根据双曲线求出渐近线， 直线与双曲线无公共交点，得 ，将a、b关系转化为a、c关系，结合离心率即可求解.
6．（2023高二下·青浦期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题得，设，则， ，
， ，
又，，即在有解，
解得或，，，，
椭圆的离心率的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】利用向量坐标运算将 转化为在有解，进而求离心率范围.
7．（2023高二上·天津市期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，则有 ，即，
∵，且，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∵恒成立，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】设，，可以求出的最大值，借助恒成立，则可以得到椭圆C的离心率e的取值范围.
8．（2022高二上·河南期中）已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的焦点在轴上，
所以，，解得．
因为，
所以．
故答案为：A
【分析】根据双曲线的标准方程，列出不等式组，求得，结合离心率的公式，即可求解.
9．（2023高二上·长春期末）已知，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一动点，若，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，作图如下：
其中圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，，，，解得。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得出圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出，再结合椭圆的离心率公式变形，从而解一元二次不等式求解椭圆的离心率的取值范围。
10．（2023·广东模拟）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，，
由，代入不等式中，
化简，得恒成立，
则有，
解得，而，所以
故答案为：A
【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
11．（2023高二上·深圳期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：的面积为，因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，即，解得又因为点在椭圆上，所以，即，两边平方可得：，根据
代入整理得：，不等式两边同时除以，可得：，解得：，所以椭圆的离心率取值范围为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件先表示的面积，求得再由点在椭圆上，求得，两边同时平方，化简得关于的不等式，求解即可得椭圆的离心率取值范围.
12．（2023高三上·南京期中）已知双曲线，是直线上任意一点，若与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（1，] C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：直线是与渐近线平行的直线，
圆 的圆心P在直线上，半径为，
若圆与双曲线C的右支没有公共点，
则直线与渐近线的距离，
即有，即，则离心率为，
又因为，所以离心率的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据题意， 直线与渐近线的距离，结合，得到，结合双曲线的离心率的定义，即可求解.
13．（2023高二上·商丘期末）已知椭圆关于轴 轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故.
故答案为：B
【分析】设椭圆的方程为，由题意得到，进而得到，同除以，结合离心率的定义，即可求解.
14．（2022高二上·广丰月考）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故答案为：C．
【分析】设，可得，由，结合二次函数的性质即可求出 的离心率的取值范围 .
15．（2023高二上·鸡泽月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理知，，
把代入可得，
由双曲线的定义知，
解得所以
，即
又
故答案为：B．
【分析】利用正弦定理和双曲线的定义可得再利用三角形中两边之和大于第三边即可求解.
二、多项选择题
16．（2023·白山模拟）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（　　）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故答案为：AC
【分析】设为的中点，根据重心性质可得，再利用，再结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的取值范围，当直线斜率不存在时，的中点在轴上故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，再利用在双曲线上和代入法，所以，两式相减可得，再结合中点坐标公式和两点求斜率公式和不共线，所以，即，再结合双曲线的离心率公式得出，综上得出双曲线的离心率的取值范围，再利用两点求斜率公式和双曲线的离心率公式以及二次函数的图象求值域的方法得出直线 斜率的取值范围。
17．（2023高二上·朝阳月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则（　　）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：椭圆，长轴长为，点在椭圆外，
则，，解得，
所以椭圆的离心率，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，
由于，所以存在点使得，故C正确；
，当且仅当时，等号成立，
又，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据点与椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质、基本不等式的应用以及向量的数量积的应用对各个选项进行逐一判断即可得出结论.
18．（2023高三上·佳木斯期中）已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（　　）
A．
B．的离心率为
C．的短轴长的取值范围是
D．的值越小，的焦距越大
【答案】A,C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由 曲线：为焦点在轴上的椭圆，
可得，解得 ，所以A正确；
由，则，所以C的离心率为，所以B 错误；
由椭圆的短轴长为，因为，可得，所以C正确；
当的值越小，可得变小，且变大，所以此时椭圆的焦距变小，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
19．（2023高二下·衢州期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（　　）
A．当椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．对任意点都有
D．的最小值为2
【答案】A,B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据题意知，长轴长为4，
所以，
所以离心率，
又因为点在椭圆外，
所以
所以，
所以，
所以A选项正确，
当离心率时，
所以，
又因为，
所以，
所以B正确，
当点Q位置在时，，
所以C选项错误，
，
所以D选项错误，
故选：AB.
【分析】利用椭圆的性质，结合题意得到b的范围，根据离心率表达式，得到离心率范围，A正确；根据离心率求得b值，求得椭圆上一点到焦点的距离范围，B正确；取特殊值验证可知C错误；利用基本不等式，求出最小值.
20．（2023高二上·魏县期末）已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线过点
B．直线与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，A选项正确；
D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确；
C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，C选项正确，
B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，B选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合代入法得出双曲线过点点；再利用是锐角三角形，所以，再结合正切函数的定义得出，再利用双曲线中结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出，再结合一元二次不等式求解方法得出c的取值范围，再利用不等式的基本性质和，进而得出双曲线的离心率的取值范围；利用双曲线的一条渐近线为，进而得出渐近线的斜率，再结合和以及，进而得出，从而得出双曲线的一条渐近线的斜率小于 ；再利用已知条件结合直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出直线与双曲线有两个公共点，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
21．（2018·河北模拟）已知在等腰梯形 中， ， ， ，双曲线以 ， 为焦点，且与线段 ， （包含端点 ， ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】以线段 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线 ， .设双曲线方程为 ，只需 点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即 ，两边乘以 得 ，由于 ，所以上式化为 ，解得 ， ，故 .
【分析】根据题意建立直角坐标系即可求出双曲线的半焦距以及点C的坐标，由平面几何知识可得把点的坐标代入方程进而求出双曲线中关于a、b的关系式，再结合双曲线中a、b、c的关系由整体思想拼凑出离心率，计算出结果即可。
22．（2024高二上·重庆市期末）椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点，由得出
化简可得
依题意可得圆与椭圆有四个交点，所以
即即所以
所以
故答案为：
【分析】根据题意求出点P的轨迹方程，从而由圆与椭圆有四个交点得出b的取值范围，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的取值范围，再由椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的取值范围.
23．（2023高二上·深圳期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆的离心率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设点，，可得，又因为，所以，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点，根据对称性可知，即，所以，即，故椭圆离心率.
故答案为：.
【分析】设点，表示向量，由向量数量积得到点的轨迹，又因为点在椭圆上则两个曲线有交点，利用对称性求的关系，从而求得椭圆离心率取值范围.
24．（2022·石家庄模拟）已知椭圆和双曲线有公共的焦点 ，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，
由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，
联立可得，，
由余弦定理可得：
即，解得，
因为，所以，，可得，
故。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合椭圆和双曲线的离心率公式以及定义，再结合联立方程的方法和余弦定理以及椭圆的离心率，进而利用构造法得出双曲线离心率的取值范围。
25．（2023高三上·杭州期末）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设切线方程为代入得，易得，
由，由题意此方程有两个不等的实根，故，则，所以，即，
又代入得，所以，
故离心率e的取值范围为．
故答案为：．
【分析】设切线方程为代入得到，结合方程有两个不等的实根，得到，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
26．（2023高三上·丽水期末）已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同的两点使得，则该椭圆离心率的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，，
则，
因为，所以，可得，
由可得，两式相减可得，
因为上存在不同的两点，且，所以，解得，
又，所以.
故答案为：.
【分析】设设，则，根据可得，，把代入椭圆方程得，根据的取值范围可得答案.
27．（2023高二上·衡南期末）如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；双曲线的简单性质
【解析】【解答】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示：
设过点三点的双曲线方程为：，
根据题意可得：，设两点坐标分别为，
则，
由可得：，解得，
因为点的坐标都满足双曲线方程，故可得：
，则，将其代入，
整理化简可得：，即，
整理得：，又因为，
故可得，则.
故答案为：.
【分析】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点C、E满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数入之间的函数关系，进而求其值域，即可得双曲线离心率的取值范围 .
四、解答题
28．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
【答案】解：如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ，则四边形 为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率
【知识点】椭圆的简单性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】根据题意由正弦函数、余弦函数公式结合直角三角形以及椭圆的定义整理即可得出，由离心率公式整理得到结合正弦函数的性质即可得出最值即离心率的取值范围。
29．（2020高二下·怀化期末）如图，设椭圆 （a＞1）.
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得 ，
故 ， ．
因此 ．
（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足
．
记直线AP ，AQ的斜率分别为 ， ，且 ， ， ．
由（Ⅰ）知， ， ，
故 ，
所以 ．
由于 ， ， 得 ，
因此 ， ①
因为①式关于 ， 的方程有解的充要条件是 ，
所以 ．
因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为 ，
由 得，所求离心率的取值范围为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）先联立 和 ，可得 ， ，再利用弦长公式可得直线 被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
30．（2019高二上·保定月考）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1＝0有实数根，命题q：双曲线 的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】解：若命题p为真，则有△＝4m2﹣4≥0，解得m≤﹣1或m≥1，
当p为假时有﹣1＜m＜1．
若命题q为真，则有 ，即 解得0＜m＜15．
因为“﹁q”为假命题，“p∧q”为假命题，
所以q为真命题，p为假命题．…
于是由 解得0＜m＜1．
故所求实数m的取值范围是0＜m＜1
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】分别求出命题为真命题时的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解．
31．（2018高二上·南京月考）设双曲线 与直线 相交于两个不同的点 求双曲线 的离心率 的取值范围.
【答案】解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组 有两个不同的实数解.
消去y并整理得： ，所以 ，解得 且 .所以双曲线的离心率 .
因为 且 ，所以 且 .
故离心率e的取值范围为
【知识点】二次函数的性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】先由已知转化为方程组有两个不同的实数解，得到关于x的二次函数，再利用二次函数的性质得到a的范围，即可求出离心率e的取值范围.
32．（2017高二上·南宁月考）已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，求双曲线离心率 的范围.
【答案】解：联立 消去 得 ，由于直线与双曲线有两个不同的交点，则 且 ，解得 或
，
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】先把直线与双曲线的方程联立，得到关于x的二次方程，再由直线与双曲线有两个不同的交点计算Δ>0，得到a的范围，即可求出离心率 e 的范围.
33．（2017高二上·安阳开学考）双曲线 =1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和 ．求双曲线的离心率e的取值范围．
【答案】解：直线l的方程为 ，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离 ，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离 ．由 ，即 ．于是得 ，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得 ．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【分析】由已知知直线l的方程为bx+ay﹣ab=0。点（1，0）到直线l的距离 d 1，点（﹣1，0）到直线l的距离 d 2可求出。=c即可求出e的范围。
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题19离心率范围的求法
一、选择题
1．（2023高二上·广州月考）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·石景山期末）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·鹤山月考）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·浙江月考）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·成都月考）已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·青浦期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·天津市期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·河南期中）已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高二上·长春期末）已知，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一动点，若，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·广东模拟）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高二上·深圳期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高三上·南京期中）已知双曲线，是直线上任意一点，若与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（1，] C． D．
13．（2023高二上·商丘期末）已知椭圆关于轴 轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
14．（2022高二上·广丰月考）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
15．（2023高二上·鸡泽月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
16．（2023·白山模拟）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（　　）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
17．（2023高二上·朝阳月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则（　　）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为
18．（2023高三上·佳木斯期中）已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（　　）
A．
B．的离心率为
C．的短轴长的取值范围是
D．的值越小，的焦距越大
19．（2023高二下·衢州期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（　　）
A．当椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．对任意点都有
D．的最小值为2
20．（2023高二上·魏县期末）已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线过点
B．直线与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
三、填空题
21．（2018·河北模拟）已知在等腰梯形 中， ， ， ，双曲线以 ， 为焦点，且与线段 ， （包含端点 ， ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　 　．
22．（2024高二上·重庆市期末）椭圆上有且仅有4个不同的点满足，其中，则椭圆C的离心率的取值范围为　 　．
23．（2023高二上·深圳期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆的离心率的取值范围是　 　．
24．（2022·石家庄模拟）已知椭圆和双曲线有公共的焦点 ，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是　 　.
25．（2023高三上·杭州期末）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为　 　．
26．（2023高三上·丽水期末）已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同的两点使得，则该椭圆离心率的取值范围为　 　.
27．（2023高二上·衡南期末）如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是　 　．
四、解答题
28．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
29．（2020高二下·怀化期末）如图，设椭圆 （a＞1）.
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
30．（2019高二上·保定月考）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1＝0有实数根，命题q：双曲线 的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．
31．（2018高二上·南京月考）设双曲线 与直线 相交于两个不同的点 求双曲线 的离心率 的取值范围.
32．（2017高二上·南宁月考）已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，求双曲线离心率 的范围.
33．（2017高二上·安阳开学考）双曲线 =1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和 ．求双曲线的离心率e的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：，故在为直径的圆上，即，又知在圆在椭圆内部，故，，故.
故答案为：B.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知，根据直径所对的圆周角等于90°可得：在为直径的圆上，可得出圆的方程，又知在圆在椭圆内部，可推出，代入离心率公式可求出离心率的取值范围.
2．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，
又因为，且渐近线的斜率小于，即；
所以，椭圆的离心率
即离心率e的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出a，b的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得椭圆的 离心率e的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知： ，，
可得，则，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，结合椭圆形状求离心率.
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设M为椭圆短轴一端点，则由题意得即因为所以所以解得
故答案为：A.
【分析】当点P在椭圆短轴上时角APB最大，由椭圆的性质知得到关于a，c的齐次方程，即可求解。
5．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得其中一条渐近线方程为，
因为直线与双曲线无公共交点，
所以 ，即 ，所以 ，又，所以.
的离心率的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】根据双曲线求出渐近线， 直线与双曲线无公共交点，得 ，将a、b关系转化为a、c关系，结合离心率即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题得，设，则， ，
， ，
又，，即在有解，
解得或，，，，
椭圆的离心率的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】利用向量坐标运算将 转化为在有解，进而求离心率范围.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，则有 ，即，
∵，且，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∵恒成立，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】设，，可以求出的最大值，借助恒成立，则可以得到椭圆C的离心率e的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的焦点在轴上，
所以，，解得．
因为，
所以．
故答案为：A
【分析】根据双曲线的标准方程，列出不等式组，求得，结合离心率的公式，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，作图如下：
其中圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，，，，解得。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得出圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出，再结合椭圆的离心率公式变形，从而解一元二次不等式求解椭圆的离心率的取值范围。
10．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，，
由，代入不等式中，
化简，得恒成立，
则有，
解得，而，所以
故答案为：A
【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
11．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：的面积为，因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，即，解得又因为点在椭圆上，所以，即，两边平方可得：，根据
代入整理得：，不等式两边同时除以，可得：，解得：，所以椭圆的离心率取值范围为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件先表示的面积，求得再由点在椭圆上，求得，两边同时平方，化简得关于的不等式，求解即可得椭圆的离心率取值范围.
12．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：直线是与渐近线平行的直线，
圆 的圆心P在直线上，半径为，
若圆与双曲线C的右支没有公共点，
则直线与渐近线的距离，
即有，即，则离心率为，
又因为，所以离心率的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据题意， 直线与渐近线的距离，结合，得到，结合双曲线的离心率的定义，即可求解.
13．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故.
故答案为：B
【分析】设椭圆的方程为，由题意得到，进而得到，同除以，结合离心率的定义，即可求解.
14．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故答案为：C．
【分析】设，可得，由，结合二次函数的性质即可求出 的离心率的取值范围 .
15．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理知，，
把代入可得，
由双曲线的定义知，
解得所以
，即
又
故答案为：B．
【分析】利用正弦定理和双曲线的定义可得再利用三角形中两边之和大于第三边即可求解.
16．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故答案为：AC
【分析】设为的中点，根据重心性质可得，再利用，再结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的取值范围，当直线斜率不存在时，的中点在轴上故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，再利用在双曲线上和代入法，所以，两式相减可得，再结合中点坐标公式和两点求斜率公式和不共线，所以，即，再结合双曲线的离心率公式得出，综上得出双曲线的离心率的取值范围，再利用两点求斜率公式和双曲线的离心率公式以及二次函数的图象求值域的方法得出直线 斜率的取值范围。
17．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：椭圆，长轴长为，点在椭圆外，
则，，解得，
所以椭圆的离心率，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，
由于，所以存在点使得，故C正确；
，当且仅当时，等号成立，
又，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据点与椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质、基本不等式的应用以及向量的数量积的应用对各个选项进行逐一判断即可得出结论.
18．【答案】A,C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由 曲线：为焦点在轴上的椭圆，
可得，解得 ，所以A正确；
由，则，所以C的离心率为，所以B 错误；
由椭圆的短轴长为，因为，可得，所以C正确；
当的值越小，可得变小，且变大，所以此时椭圆的焦距变小，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
19．【答案】A,B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据题意知，长轴长为4，
所以，
所以离心率，
又因为点在椭圆外，
所以
所以，
所以，
所以A选项正确，
当离心率时，
所以，
又因为，
所以，
所以B正确，
当点Q位置在时，，
所以C选项错误，
，
所以D选项错误，
故选：AB.
【分析】利用椭圆的性质，结合题意得到b的范围，根据离心率表达式，得到离心率范围，A正确；根据离心率求得b值，求得椭圆上一点到焦点的距离范围，B正确；取特殊值验证可知C错误；利用基本不等式，求出最小值.
20．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，A选项正确；
D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确；
C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，C选项正确，
B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，B选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合代入法得出双曲线过点点；再利用是锐角三角形，所以，再结合正切函数的定义得出，再利用双曲线中结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出，再结合一元二次不等式求解方法得出c的取值范围，再利用不等式的基本性质和，进而得出双曲线的离心率的取值范围；利用双曲线的一条渐近线为，进而得出渐近线的斜率，再结合和以及，进而得出，从而得出双曲线的一条渐近线的斜率小于 ；再利用已知条件结合直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出直线与双曲线有两个公共点，进而找出说法正确的选项。
21．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】以线段 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线 ， .设双曲线方程为 ，只需 点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即 ，两边乘以 得 ，由于 ，所以上式化为 ，解得 ， ，故 .
【分析】根据题意建立直角坐标系即可求出双曲线的半焦距以及点C的坐标，由平面几何知识可得把点的坐标代入方程进而求出双曲线中关于a、b的关系式，再结合双曲线中a、b、c的关系由整体思想拼凑出离心率，计算出结果即可。
22．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点，由得出
化简可得
依题意可得圆与椭圆有四个交点，所以
即即所以
所以
故答案为：
【分析】根据题意求出点P的轨迹方程，从而由圆与椭圆有四个交点得出b的取值范围，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的取值范围，再由椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的取值范围.
23．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设点，，可得，又因为，所以，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点，根据对称性可知，即，所以，即，故椭圆离心率.
故答案为：.
【分析】设点，表示向量，由向量数量积得到点的轨迹，又因为点在椭圆上则两个曲线有交点，利用对称性求的关系，从而求得椭圆离心率取值范围.
24．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，
由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，
联立可得，，
由余弦定理可得：
即，解得，
因为，所以，，可得，
故。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合椭圆和双曲线的离心率公式以及定义，再结合联立方程的方法和余弦定理以及椭圆的离心率，进而利用构造法得出双曲线离心率的取值范围。
25．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设切线方程为代入得，易得，
由，由题意此方程有两个不等的实根，故，则，所以，即，
又代入得，所以，
故离心率e的取值范围为．
故答案为：．
【分析】设切线方程为代入得到，结合方程有两个不等的实根，得到，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
26．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，，
则，
因为，所以，可得，
由可得，两式相减可得，
因为上存在不同的两点，且，所以，解得，
又，所以.
故答案为：.
【分析】设设，则，根据可得，，把代入椭圆方程得，根据的取值范围可得答案.
27．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；双曲线的简单性质
【解析】【解答】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示：
设过点三点的双曲线方程为：，
根据题意可得：，设两点坐标分别为，
则，
由可得：，解得，
因为点的坐标都满足双曲线方程，故可得：
，则，将其代入，
整理化简可得：，即，
整理得：，又因为，
故可得，则.
故答案为：.
【分析】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点C、E满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数入之间的函数关系，进而求其值域，即可得双曲线离心率的取值范围 .
28．【答案】解：如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ，则四边形 为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率
【知识点】椭圆的简单性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】根据题意由正弦函数、余弦函数公式结合直角三角形以及椭圆的定义整理即可得出，由离心率公式整理得到结合正弦函数的性质即可得出最值即离心率的取值范围。
29．【答案】解：（Ⅰ）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得 ，
故 ， ．
因此 ．
（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足
．
记直线AP ，AQ的斜率分别为 ， ，且 ， ， ．
由（Ⅰ）知， ， ，
故 ，
所以 ．
由于 ， ， 得 ，
因此 ， ①
因为①式关于 ， 的方程有解的充要条件是 ，
所以 ．
因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为 ，
由 得，所求离心率的取值范围为 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）先联立 和 ，可得 ， ，再利用弦长公式可得直线 被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．
30．【答案】解：若命题p为真，则有△＝4m2﹣4≥0，解得m≤﹣1或m≥1，
当p为假时有﹣1＜m＜1．
若命题q为真，则有 ，即 解得0＜m＜15．
因为“﹁q”为假命题，“p∧q”为假命题，
所以q为真命题，p为假命题．…
于是由 解得0＜m＜1．
故所求实数m的取值范围是0＜m＜1
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】分别求出命题为真命题时的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解．
31．【答案】解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组 有两个不同的实数解.
消去y并整理得： ，所以 ，解得 且 .所以双曲线的离心率 .
因为 且 ，所以 且 .
故离心率e的取值范围为
【知识点】二次函数的性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】先由已知转化为方程组有两个不同的实数解，得到关于x的二次函数，再利用二次函数的性质得到a的范围，即可求出离心率e的取值范围.
32．【答案】解：联立 消去 得 ，由于直线与双曲线有两个不同的交点，则 且 ，解得 或
，
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】先把直线与双曲线的方程联立，得到关于x的二次方程，再由直线与双曲线有两个不同的交点计算Δ>0，得到a的范围，即可求出离心率 e 的范围.
33．【答案】解：直线l的方程为 ，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离 ，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离 ．由 ，即 ．于是得 ，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得 ．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【分析】由已知知直线l的方程为bx+ay﹣ab=0。点（1，0）到直线l的距离 d 1，点（﹣1，0）到直线l的距离 d 2可求出。=c即可求出e的范围。
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