高中数学三轮复习（直击痛点）：专题20抛物线的焦点弦问题
一、选择题
1．（2024高二上·邢台期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·绵阳高考模拟） 若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2024高三上·拉萨高考模拟）已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
4．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．（2024·大湾区模拟）已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·辽源期末） 已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2023高二上·武汉月考） 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·黔东南模拟）是抛物线上异于坐标原点的一点，点在轴上，，为该抛物线的焦点，则（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
9．（2023高二上·云浮月考）已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、多项选择题
10．（2023高二上·成都月考）已知抛物线过点的焦点为.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点重合），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．两点的纵坐标之积为-64 D．直线恒过点
11．（2024高三上·海南高考模拟）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线和的斜率之和为0
C．内切圆圆心不可能在轴上
D．当直线的斜率为1时，
12．（2024高三上·辽源期末） 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
13．（2023高二上·武汉月考） 已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A．有可能为锐角
B．以为直径的圆与相切
C．的最小值为32
D．和面积之和最小值为32
14．（2023高三上·重庆市月考）设抛物线C： 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A．
B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值
D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
15．（2023高三上·梅河口月考） 已知抛物线，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设的中点为M，过M作的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．最小值为p D．
三、填空题
16．（2020高二下·海安月考）已知抛物线 的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p= ， 的最小值为 ．
17．（2024·南宁模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝ ．
18．（2024高三上·台州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
19．（2024高三上·广州模拟） 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 .
20．（2023高二上·丰台月考）已知点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值为 ；点，则的最小值为 .
21．（2023高三上·广州月考）已知抛物线C：y =2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF⊥x轴，若△OFM(O为坐标原点)的面积为2，则P= .
四、解答题
22．（2024·九省高考模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
23．（2024高二上·重庆市期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
24．（2024·大湾区模拟）设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值．
25．（2024高二上·邢台期末） 已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.
（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；
（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.
26．（2024高三上·成都模拟）在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：因为|FP|=5，
所以，解得p=2，
则F(0，1)，，
所以直线FP的斜率为.
故答案为：D
【分析】直接利用抛物线定义即可求p的值，得出焦点坐标和，即可得出结果.
2．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点，准线，(如图)
设是点F关于准线的对称点，
，则，不妨设，
由于，所以当三点共线时最小，即最小，
所以的最小值为.
故答案为：A
【分析】利用对称性把转化为求的最小值即可求解.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的方程为，则设点M的坐标为，因为
则根据抛物线的定义可得：解得再将点M的坐标带入抛物线的解析式可得：
解得所以M，则
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线的几何形状，根据抛物的定义求得M的坐标，在运用两点间的距离公式求得
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C的方程为：，则即
根据抛物线的定义及性质可得：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查抛物的定义及几何性质，根据抛物的方程求得再利用抛物线的弦长公式及几何性质即可求解.
5．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 解：因为直线tx-y-t=0恒过C的焦点F，
所以F(1，0)，
则p=2，抛物线C：，把y=tx-t代入C的方程，
得，设，，
则，，
所以，
所以，，
则
，
，
所以，
因为0得.
故答案为：B.
【分析】首先根据直线tx-y-t=0恒过C的焦点F，求出抛物线的方程，然后将直线与方程联立，利用韦达定理和三点共线计即可求解此题.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】解：因为点是抛物线的焦点，所以，可得，
所以抛物线方程为，
由抛物线的定义知，点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，
的最小值是点到准线的距离，所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据题意，求得抛物线的标准方程，结合抛物线的定义，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设A在第一象限， 直线 的倾斜角为，
因为 ， 则，解得，
所以， ，
根据抛物线的对称性可知 .
故答案为： A .
【分析】不妨设A在第一象限， 直线 的倾斜角为，根据题意结合运算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；抛物线的应用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易得，设，，则，
因为，所以，又因为，
所以，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】易得点坐标，设，，表示向量，再根据，由向量垂直的坐标表示可得，代入化简即可求解.
9．【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知： 点 在抛物线上，
且 点 为焦点， 直线 为准线，
则，可得，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由题意可知： 点 在抛物线上，根据抛物线方程和定义运算求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；恒过定点的直线；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为抛物线C：y = 2px (p > 0)过点M(4，yo)，C的焦点为F，
|MF|= 6=4+，所以p = 4，故A正确.
对于B，由题A得抛物线方程为 y = 8x，则y0 = 32，即|MF|= 6=4+，，故B错误.
对于C，①当AB直线斜率不存在时，设直线方程为x=n，(n≠0)，
则A(n，)，B(n，-)， 所以.
②当AB直线斜率存在时，设直线方程为y =kx+m，显然k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，Y2)，
联立，消x可得，
则，又0A·OB=0，则x1x2 十 y1y2 = 0，
即又y1y2 ≠ 0，则y1y2 = -64，故C正确.
对于D，当直线斜率存在时，所以m = -8k，
设直线AB的方程为y =k(x-8)，即直线AB恒过点(8，0)，
当直线斜率不存在时，直线AB过点(8，0)，即直线AB恒过点(8，0)，即D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】由抛物线的定义得|MF|= 6=4+，求解可知A正确.将代入抛物线方程，得，可得B错误.分别讨论直线斜率存在、不存在，由都可得y1y2 = -64，故C正确，分别讨论直线斜率存在、不存在，直线都过点（8，0），可得D正确.
11．【答案】B,D
【知识点】直线的斜率；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】对于A，因为，所以p=2，故A错误.
对于B，设 抛物线与直线y=k(x-1)交于A（x1，y1），B(x2，y2)，
联立得
，
所以，故B正确.
对于C，当AB垂直于x轴时， 内切圆圆心在轴上，故C错误.
对于D，当直线的斜率为1时， 设 抛物线与直线y=x-1交于A（x1，y1），B(x2，y2)，
联立得x2-6x+1=0 ，所以所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据焦点到准线距离为p，判断A错误.
联立方程得一元二次方程，利用根与系数关系结合斜率公式变形，判断B正确.
举特例可判断C错误. 联立方程得一元二次方程，利用根与系数关系结合过焦点弦长公式，即可求出弦长，判断D正确.
12．【答案】A,B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】解：如图所示，
由题意，双曲线的右焦点为，可得，解得，所以A正确；
对于B中，联立方程组，整理得，
解得或（舍去），所以，代入抛物线，可得，
设点，因为，
所以，
则的周长为，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由余弦定理得，所以D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据双曲线的焦点求得的值，结合抛物线的性质，可判定A正确；联立双曲线与抛物线的方程组，求得交点坐标，利用距离公式求得长度，可判定B正确，C错误；由余弦定理，求得的值，可判定D错误.
13．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：焦点坐标为，准线方程为，
设，
联立方程，消去x得：，
则，，
对于A：则，
所以为钝角，故A错误；
对于B：由题意可知：，
可知点到准线l的距离，
所以以|AB|为直径的圆与l相切，故B正确；
对于C：因为，
同理可得，
则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：由题意可得：
由选项A可知：，由选项C可得：，
同理可得，，
则，，
可得
当且仅当时，等号成立，
注意到当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，
所以可同时取等，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，联立方程利用韦达定理可得，对于A：根据数量积以及抛物线方程分析可得；对于B：根据抛物线定义分析判断；对于C：利用韦达定理整理可得，结合基本不等式运算求解；对于D：利用韦达定理集合基本不等式分析求解.
14．【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线得准线为，即，解得，故A正确；
令，根据抛物线的定义可知：，
所以线段AB的中点E到准线得距离为，为定值，故D正确；
由，即，取，则，即点，此时，
以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，因此该圆与准线不相切，故B错误；
C、以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，
此时，故C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，令，由已知结合抛物线的定义可得，计算判断AD；举例说明判断BC.
15．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：抛物线焦点，准线方程为，则，
显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，
由，得，设，
则，，
对于A.直线的斜率，
直线的斜率
，即，
因此，故A正确；
对于B.，则，故B正确；
对于C.显然，故C错误；
对于D.显然点，直线的方程为，
令，得，即点，
因此，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、斜率坐标公式判断各选项即可.
16．【答案】8；
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 的焦点为F(4，0)，
∴ ，
∴ 抛物线的方程为 ，
设直线 的方程为 ，设 ， ，
由 得 ，
∴ ， ，
由抛物线的定义得
，
∴ ，
当且仅当 即 时，等号成立，
故答案为： ．
【分析】利用抛物线的定义可得 ，设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得 ，代入到 ，再根据基本不等式求最值．
17．【答案】4
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，准线方程为，则直线，
与联立，得，
设，则，
则的中点到抛物线准线的距离为，解得.
故答案为：4．
【分析】求出直线线的方程，联立抛物线方程，得到，利用的中点到抛物线准线的距离列出方程，求出.
18．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图所示：根据题意，为切线，由抛物线，可得抛物线的焦点，自出发光线经点反射光线为，点的法线为，由反射定理可得：，
因为，，所以，直线与交于点，所以，又轴，所以，所以，所以，所以的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又因为，所以的取值范围是.
故答案为：
【分析】轨迹题意，求得抛物线的焦点，结合平面几何知识可得出点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，据此计算可求得的取值范围.
19．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，令，代入可得，所以，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】易得焦点，再令代入抛物线可得，利用面积公式可得，计算即可求解.
20．【答案】4；
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，
因为，可知点A在抛物线内部，
则，
当点A、、三点共线时，即当与直线垂直时，
取得最小值4.
又因为，可知点B在抛物线外部，
则，
即当 是线段与抛物线的交点时，取得最小值为．
故答案为：4；．
【分析】根据题意可得焦点和准线，判断点A，B与抛物线之间的关系，利用抛物线的定义结合图象分析求解.
21．【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：已知抛物线C：y =2px(p>0)的焦点为F，所以
因为点M在抛物线C上，MF⊥x轴，所以设，
由对称性，不妨设，因为△OFM(O为坐标原点)的面积为2，
所以，
则，因为所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合抛物线标准方程得出焦点坐标，再结合代入法和线线垂直以及对称性，进而设出点M的坐标，再结合三角形的面积公式得出p的值。
22．【答案】（1）解：由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
（2）解：由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，
则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设直线、分别为、，联立方程结合韦达定理求得，，分类讨论是否相等，结合直线方程求定点；
(2) 根据抛物线方程可得，联立方程可得，，进而可得，，，根据面积关系分析求解即可.
23．【答案】（1）解：由题意得，
故，解得，
故拋物线C的方程为.
（2）解：易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，
故，
因为，
所以，即，
整理得，
即，
∴，
所以，
所以或，
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，
则由，即，
得，
即点N的轨迹方程为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出点M的纵坐标与p的关系式，再结合三角形的面积公式得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程.（2）由（1）可得点M的坐标，再根据题意设出直线PQ的方程和点P，Q的坐标，再联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出a与m的关系式，再利用分类讨论的方法，将直线方程转化为点斜式，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出点N的轨迹方程.
24．【答案】（1）解：设，则，，．
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为．
（2）解：
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，．
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点．
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)设，将点A，B的坐标满足抛物线方程，直线AB的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2可列出方程，进而求得p的值，即可求解.
(2)由题意可得，整理得，设出直线MN方程将其与抛物线方程联立， 利用韦达定理可得直线过定点， 再结合韦达定理将的面积表示出来，即可求其最小值.
25．【答案】（1）解：抛物线 ：的焦点，设，，，
联立消去x得，则，，
由点F是的重心，得，整理得，
而点C在上，于是=2，
所以p=8.
（2）解：当p=2时，的方程为，设，，，
直线AC的斜率，
同理得直线BC的斜率，直线AB的斜率，
直线AB的方程为，化简得.
而直线AB过点M(2，2)，即，显然，则，
又，即，于是，整理得，
直线AC的方程为，化简得，
将代入，得，令y=2，得x=0，直线AC过定点E(0，2)， 设线段ME的中点为G，则G的坐标为(1，2)，
因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，
因为|ME|=2，所以D的轨迹方程为(且).
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】 (1)根据给定条件，利用三角形重心坐标公式用p表示出点C的坐标，然后再代入计算即得.(2)借助抛物线方程设，，，结合直线方程求出直线AC经过的定点，进而确定点D的轨迹并求出方程即得.
26．【答案】（1）解：由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据抛物线的定义分析求解；
(2) 联立方程，根据题意利用弦长公式结合韦达定理分析求解.
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题20抛物线的焦点弦问题
一、选择题
1．（2024高二上·邢台期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：因为|FP|=5，
所以，解得p=2，
则F(0，1)，，
所以直线FP的斜率为.
故答案为：D
【分析】直接利用抛物线定义即可求p的值，得出焦点坐标和，即可得出结果.
2．（2024高三上·绵阳高考模拟） 若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的焦点，准线，(如图)
设是点F关于准线的对称点，
，则，不妨设，
由于，所以当三点共线时最小，即最小，
所以的最小值为.
故答案为：A
【分析】利用对称性把转化为求的最小值即可求解.
3．（2024高三上·拉萨高考模拟）已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的方程为，则设点M的坐标为，因为
则根据抛物线的定义可得：解得再将点M的坐标带入抛物线的解析式可得：
解得所以M，则
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线的几何形状，根据抛物的定义求得M的坐标，在运用两点间的距离公式求得
4．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C的方程为：，则即
根据抛物线的定义及性质可得：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查抛物的定义及几何性质，根据抛物的方程求得再利用抛物线的弦长公式及几何性质即可求解.
5．（2024·大湾区模拟）已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 解：因为直线tx-y-t=0恒过C的焦点F，
所以F(1，0)，
则p=2，抛物线C：，把y=tx-t代入C的方程，
得，设，，
则，，
所以，
所以，，
则
，
，
所以，
因为0得.
故答案为：B.
【分析】首先根据直线tx-y-t=0恒过C的焦点F，求出抛物线的方程，然后将直线与方程联立，利用韦达定理和三点共线计即可求解此题.
6．（2024高三上·辽源期末） 已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】解：因为点是抛物线的焦点，所以，可得，
所以抛物线方程为，
由抛物线的定义知，点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，
的最小值是点到准线的距离，所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据题意，求得抛物线的标准方程，结合抛物线的定义，即可求解.
7．（2023高二上·武汉月考） 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设A在第一象限， 直线 的倾斜角为，
因为 ， 则，解得，
所以， ，
根据抛物线的对称性可知 .
故答案为： A .
【分析】不妨设A在第一象限， 直线 的倾斜角为，根据题意结合运算求解即可.
8．（2024高三上·黔东南模拟）是抛物线上异于坐标原点的一点，点在轴上，，为该抛物线的焦点，则（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；抛物线的应用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易得，设，，则，
因为，所以，又因为，
所以，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】易得点坐标，设，，表示向量，再根据，由向量垂直的坐标表示可得，代入化简即可求解.
9．（2023高二上·云浮月考）已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知： 点 在抛物线上，
且 点 为焦点， 直线 为准线，
则，可得，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由题意可知： 点 在抛物线上，根据抛物线方程和定义运算求解.
二、多项选择题
10．（2023高二上·成都月考）已知抛物线过点的焦点为.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点重合），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．两点的纵坐标之积为-64 D．直线恒过点
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；恒过定点的直线；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为抛物线C：y = 2px (p > 0)过点M(4，yo)，C的焦点为F，
|MF|= 6=4+，所以p = 4，故A正确.
对于B，由题A得抛物线方程为 y = 8x，则y0 = 32，即|MF|= 6=4+，，故B错误.
对于C，①当AB直线斜率不存在时，设直线方程为x=n，(n≠0)，
则A(n，)，B(n，-)， 所以.
②当AB直线斜率存在时，设直线方程为y =kx+m，显然k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，Y2)，
联立，消x可得，
则，又0A·OB=0，则x1x2 十 y1y2 = 0，
即又y1y2 ≠ 0，则y1y2 = -64，故C正确.
对于D，当直线斜率存在时，所以m = -8k，
设直线AB的方程为y =k(x-8)，即直线AB恒过点(8，0)，
当直线斜率不存在时，直线AB过点(8，0)，即直线AB恒过点(8，0)，即D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】由抛物线的定义得|MF|= 6=4+，求解可知A正确.将代入抛物线方程，得，可得B错误.分别讨论直线斜率存在、不存在，由都可得y1y2 = -64，故C正确，分别讨论直线斜率存在、不存在，直线都过点（8，0），可得D正确.
11．（2024高三上·海南高考模拟）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线和的斜率之和为0
C．内切圆圆心不可能在轴上
D．当直线的斜率为1时，
【答案】B,D
【知识点】直线的斜率；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】对于A，因为，所以p=2，故A错误.
对于B，设 抛物线与直线y=k(x-1)交于A（x1，y1），B(x2，y2)，
联立得
，
所以，故B正确.
对于C，当AB垂直于x轴时， 内切圆圆心在轴上，故C错误.
对于D，当直线的斜率为1时， 设 抛物线与直线y=x-1交于A（x1，y1），B(x2，y2)，
联立得x2-6x+1=0 ，所以所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据焦点到准线距离为p，判断A错误.
联立方程得一元二次方程，利用根与系数关系结合斜率公式变形，判断B正确.
举特例可判断C错误. 联立方程得一元二次方程，利用根与系数关系结合过焦点弦长公式，即可求出弦长，判断D正确.
12．（2024高三上·辽源期末） 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
【答案】A,B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】解：如图所示，
由题意，双曲线的右焦点为，可得，解得，所以A正确；
对于B中，联立方程组，整理得，
解得或（舍去），所以，代入抛物线，可得，
设点，因为，
所以，
则的周长为，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由余弦定理得，所以D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据双曲线的焦点求得的值，结合抛物线的性质，可判定A正确；联立双曲线与抛物线的方程组，求得交点坐标，利用距离公式求得长度，可判定B正确，C错误；由余弦定理，求得的值，可判定D错误.
13．（2023高二上·武汉月考） 已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A．有可能为锐角
B．以为直径的圆与相切
C．的最小值为32
D．和面积之和最小值为32
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：焦点坐标为，准线方程为，
设，
联立方程，消去x得：，
则，，
对于A：则，
所以为钝角，故A错误；
对于B：由题意可知：，
可知点到准线l的距离，
所以以|AB|为直径的圆与l相切，故B正确；
对于C：因为，
同理可得，
则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：由题意可得：
由选项A可知：，由选项C可得：，
同理可得，，
则，，
可得
当且仅当时，等号成立，
注意到当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，
所以可同时取等，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，联立方程利用韦达定理可得，对于A：根据数量积以及抛物线方程分析可得；对于B：根据抛物线定义分析判断；对于C：利用韦达定理整理可得，结合基本不等式运算求解；对于D：利用韦达定理集合基本不等式分析求解.
14．（2023高三上·重庆市月考）设抛物线C： 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A．
B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值
D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线得准线为，即，解得，故A正确；
令，根据抛物线的定义可知：，
所以线段AB的中点E到准线得距离为，为定值，故D正确；
由，即，取，则，即点，此时，
以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，因此该圆与准线不相切，故B错误；
C、以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，
此时，故C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，令，由已知结合抛物线的定义可得，计算判断AD；举例说明判断BC.
15．（2023高三上·梅河口月考） 已知抛物线，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设的中点为M，过M作的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．最小值为p D．
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：抛物线焦点，准线方程为，则，
显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，
由，得，设，
则，，
对于A.直线的斜率，
直线的斜率
，即，
因此，故A正确；
对于B.，则，故B正确；
对于C.显然，故C错误；
对于D.显然点，直线的方程为，
令，得，即点，
因此，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、斜率坐标公式判断各选项即可.
三、填空题
16．（2020高二下·海安月考）已知抛物线 的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p= ， 的最小值为 ．
【答案】8；
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 的焦点为F(4，0)，
∴ ，
∴ 抛物线的方程为 ，
设直线 的方程为 ，设 ， ，
由 得 ，
∴ ， ，
由抛物线的定义得
，
∴ ，
当且仅当 即 时，等号成立，
故答案为： ．
【分析】利用抛物线的定义可得 ，设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得 ，代入到 ，再根据基本不等式求最值．
17．（2024·南宁模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝ ．
【答案】4
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，准线方程为，则直线，
与联立，得，
设，则，
则的中点到抛物线准线的距离为，解得.
故答案为：4．
【分析】求出直线线的方程，联立抛物线方程，得到，利用的中点到抛物线准线的距离列出方程，求出.
18．（2024高三上·台州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图所示：根据题意，为切线，由抛物线，可得抛物线的焦点，自出发光线经点反射光线为，点的法线为，由反射定理可得：，
因为，，所以，直线与交于点，所以，又轴，所以，所以，所以，所以的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又因为，所以的取值范围是.
故答案为：
【分析】轨迹题意，求得抛物线的焦点，结合平面几何知识可得出点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，据此计算可求得的取值范围.
19．（2024高三上·广州模拟） 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，令，代入可得，所以，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】易得焦点，再令代入抛物线可得，利用面积公式可得，计算即可求解.
20．（2023高二上·丰台月考）已知点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值为 ；点，则的最小值为 .
【答案】4；
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，
因为，可知点A在抛物线内部，
则，
当点A、、三点共线时，即当与直线垂直时，
取得最小值4.
又因为，可知点B在抛物线外部，
则，
即当 是线段与抛物线的交点时，取得最小值为．
故答案为：4；．
【分析】根据题意可得焦点和准线，判断点A，B与抛物线之间的关系，利用抛物线的定义结合图象分析求解.
21．（2023高三上·广州月考）已知抛物线C：y =2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF⊥x轴，若△OFM(O为坐标原点)的面积为2，则P= .
【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：已知抛物线C：y =2px(p>0)的焦点为F，所以
因为点M在抛物线C上，MF⊥x轴，所以设，
由对称性，不妨设，因为△OFM(O为坐标原点)的面积为2，
所以，
则，因为所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合抛物线标准方程得出焦点坐标，再结合代入法和线线垂直以及对称性，进而设出点M的坐标，再结合三角形的面积公式得出p的值。
四、解答题
22．（2024·九省高考模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【答案】（1）解：由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
（2）解：由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，
则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设直线、分别为、，联立方程结合韦达定理求得，，分类讨论是否相等，结合直线方程求定点；
(2) 根据抛物线方程可得，联立方程可得，，进而可得，，，根据面积关系分析求解即可.
23．（2024高二上·重庆市期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
【答案】（1）解：由题意得，
故，解得，
故拋物线C的方程为.
（2）解：易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，
故，
因为，
所以，即，
整理得，
即，
∴，
所以，
所以或，
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，
则由，即，
得，
即点N的轨迹方程为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和抛物线的标准方程得出点M的纵坐标与p的关系式，再结合三角形的面积公式得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程.（2）由（1）可得点M的坐标，再根据题意设出直线PQ的方程和点P，Q的坐标，再联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出a与m的关系式，再利用分类讨论的方法，将直线方程转化为点斜式，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出点N的轨迹方程.
24．（2024·大湾区模拟）设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值．
【答案】（1）解：设，则，，．
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为．
（2）解：
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，．
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点．
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)设，将点A，B的坐标满足抛物线方程，直线AB的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2可列出方程，进而求得p的值，即可求解.
(2)由题意可得，整理得，设出直线MN方程将其与抛物线方程联立， 利用韦达定理可得直线过定点， 再结合韦达定理将的面积表示出来，即可求其最小值.
25．（2024高二上·邢台期末） 已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.
（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；
（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.
【答案】（1）解：抛物线 ：的焦点，设，，，
联立消去x得，则，，
由点F是的重心，得，整理得，
而点C在上，于是=2，
所以p=8.
（2）解：当p=2时，的方程为，设，，，
直线AC的斜率，
同理得直线BC的斜率，直线AB的斜率，
直线AB的方程为，化简得.
而直线AB过点M(2，2)，即，显然，则，
又，即，于是，整理得，
直线AC的方程为，化简得，
将代入，得，令y=2，得x=0，直线AC过定点E(0，2)， 设线段ME的中点为G，则G的坐标为(1，2)，
因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，
因为|ME|=2，所以D的轨迹方程为(且).
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】 (1)根据给定条件，利用三角形重心坐标公式用p表示出点C的坐标，然后再代入计算即得.(2)借助抛物线方程设，，，结合直线方程求出直线AC经过的定点，进而确定点D的轨迹并求出方程即得.
26．（2024高三上·成都模拟）在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
【答案】（1）解：由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据抛物线的定义分析求解；
(2) 联立方程，根据题意利用弦长公式结合韦达定理分析求解.
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