高中数学三轮复习（直击痛点）：专题21解析几何中的定点与定值问题
一、选择题
1．（2023高二上·成都月考） 已知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．16
2．（2024高二上·密山期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·昌乐模拟）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·荆州市模拟） 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·南宁模拟）知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，且∠F1AF2＝60°，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·海南高考模拟）已知为双曲线上一点，为的右焦点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2024高二上·亳州期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019高二上·辽宁月考）已知椭圆的方程为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，设 为椭圆上一点，则 面积的最大值为 .若已知 ，点 为椭圆上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题
9．（2024高三上·重庆月考）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为，且与的右支交于点，为坐标原点，且，则（ ）
A． B．的离心率为
C． D．
三、填空题
10．（2023高二上·成都月考）点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为 .
11．（2023高二上·成都月考）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .
12．（2024·潍坊期末）已知圆，过点的直线l与圆O交于P、Q两点，则的最小值等于 ．
13．（2024·扬州模拟）已知直线与双曲线：的两条渐近线分别交于点，（不重合）线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为 ．
14．（2024·巴南模拟）已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为 .
15．（2024高三上·绵阳高考模拟） 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ．
16．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知双曲线的右焦点为，直线与相交于两点，若（为坐标原点），则的离心率为 ．
17．（2024高三上·湖北期末）设椭圆的左右顶点分别为为椭圆上异于的任意一点.过右焦点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，连接并延长交直线于点，若，且，则椭圆离心率的取值范围是 .
四、解答题
18．（2024高三上·重庆月考）过点作斜率为的直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作交轴于点，过点作交轴于点，记，面积分别为，，求当取得最小值时直线的方程.
19．（2024·巴南模拟）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.
20．（2024高三上·昌乐模拟）已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：为定值．
21．（2024·南宁模拟）已知双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，F1到其中一条渐近线的距离为1，过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且|AB|＝1．
（1）求E的方程；
（2）过Q（4，0）的直线l交曲线E于M，N两点，若|MN|＝4，求直线l的方程．
22．（2024高三上·辽宁五校联考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足. 记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知点，设点，在上，且直线不与轴垂直，记，分别为直线，的斜率.
（ⅰ）对于给定的数值（且），若，证明：直线经过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为，求点的轨迹方程.
23．（2024高三上·瓜州期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点（与点不重合），直线的斜率之和为4，作于.是否存在定点，使得为定值.若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；轨迹方程
【解析】【解答】解：因为 ，即，可知直线过定点；
分，即，可知直线过定点；
且，可知，
即 点P 在以AB为直径的圆上，即圆的半径为，
所以 面积的最大值是.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析可知，，，即 点P 在以AB为直径的圆上，结合圆的性质运算求解.
2．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，
所以双曲线的下焦点渐近线方程为，
因为此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，所以
因为双曲线的离心率为2，所以
又因为由(1)(2)(3)联立得出则该双曲线的标准方程为：。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点位置和渐近线方程，进而得出下焦点坐标和渐近线方程，建立方程组，再联立三个方程得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可得： ，即，
由余弦定理，
即，可得，
则，可得，
且 双曲线C的 焦点在x轴上，所以 双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的定义可得，利用余弦定理可得，即可得渐近线方程.
4．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：由直线的方向向量为，可得直线的斜率为，
又因为直线经过点，所以直线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化为一般式即可.
5．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【解答】解：由椭圆的对称性，可得．设，则.
由椭圆的定义可知，，即，解得，
故.
在中，由余弦定理，得，
所以，则，故.
故答案为：B．
【分析】根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义，结合余弦定理即得到，再求出椭圆的离心率．
6．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由得C（0，c），因为，所以P是AB中点，
所以代入双曲线方程得 ，所以 ，所以e=2.
故答案为：D.
【分析】根据，得P是AB中点，利用中点坐标公式得P点坐标，代入双曲线即可求解.
7．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由直线变形可得直线
由解得
可得直线l恒过定点则
结合图象可得：
若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为
由斜率的定义可得直线l的倾斜角的取值范围为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线相交的位置关系，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出直线倾斜角的取值范围。
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】在椭圆 中，
点 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，
由方程组 得 ，
由 ，得 ，则 ，
两平行线间的距离 ，
则 面积的最大值为 ，得 ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 时取等号.
故答案为：D
【分析】当 面积的最大值时，直线 与椭圆相切，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，与椭圆联立得到 ，由 面积的最大值为 ，求得 ， ，由均值不等式即得解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知双曲线：的左、右焦点分别为，，
因为所以b=2，，
所以点到直线的距离为：
因为所以，
在中，由正弦定理可知，
所以所以
在中，由余弦定理可知，
所以所以，
所以所以，所以A对；
因为所以双曲线的离心率为，所以B错；
所以C对；
过作的直线与的右支交于点，由双曲线的定义，
在中，
在中，由余弦定理可知，
所以解得，
所以，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合双曲线中a，b，c三者的关系式和点到直线的距离公式得出，再利用正弦函数的定义和正弦定理、余弦定理，进而得出c的值，从而得出a的值，由此得出的值，从而判断出选项A；利用双曲线的离心率公式判断出选项B；利用正弦函数的定义判断出选项C；利用双曲线定义和直角三角形中三角函数的定义和余弦定理，进而得出的值，再结合三角形的面积公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设A（x0，y0），P（x，y）则 ，所以 ，
点在圆上运动，所以 ，即.
故答案为：.
【分析】设A（x0，y0），P（x，y），利用中点坐标公式用x，y表示出x0，y0 ，根据A在圆上，代入即可.
11．【答案】7
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得，
设 右焦点为，则，即，
可得 ，
当且仅当三点共线时，等号成立，所以 的最大值为 7.
故答案为：7.
【分析】根据题意列式可得，再利用椭圆定义转化可得，数形结合分析求解.
12．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由圆的性质可知，当点A是弦PQ的中点时，的最短，
此时所以.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合几何法得出当点A是弦PQ的中点时，的最短，再利用勾股定理和弦长公式，进而得出的最小值.
13．【答案】
【知识点】平面内中点坐标公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知线段的垂直平分线所在直线的斜率为，因为线段的垂直平分线过点，所以线段的垂直平分线方程为：，即，
联立，解得：，即的中点坐标为，
设，，可得，两式作差，
因为的中点坐标为，的斜率为1，
，，，则，
所以双曲线的离心率．
故答案为：.
【分析】易知线段得垂直平分线得斜率为-1，结合已知条件根据直线的点斜式方程得出线段的垂直平分线的方程，即可联立两直线求出的中点坐标，再设，，分别代入双曲线渐近线方程后作差整理得出，最后根据线段中点与端点坐标关系与两点的斜率公式得出，，，即可得出，在根据双曲线离心率公式变形后代入即可求解.
14．【答案】80
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由已知直线的斜率存在，且不为，
故可设直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以
因为，
所以，所以，
所以，
又异于坐标原点，所以，所以，
所以，
所以直线的方程为，
且
所以直线与轴的交点为，
所以点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以，
由已知，
所以四边形ACBD面积，
设，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，此时，
设，可得，，
所以当时，即时，取最小值，最小值为，
所以四边形ACBD面积的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.先设直线的方程为，联立方程组，由条件证明，由此可得，再求，求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.
15．【答案】/0.6
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图：
由题意得，
由正弦定理得，故，
由椭圆定义可知，，
故，
又，
在由余弦定理得
，
解得，
故，
解得，
因为，所以，解得，所以.
故答案为：
【分析】先利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形的面积求出内切圆的半径，结合即可求解.
16．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
记双曲线的左焦点为，根据双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，又因为，
则，故平行四边形为矩形，设则又直线的斜率所以又由正切二倍角公式可得解得：（舍去），
在中又根据双曲线的定义有：解得：
又根据勾股定理可得
双曲线的离心率为：
故答案为：.
【分析】本题主要矩形的判定和性质、双曲线的定义，根据题意结合双曲线及渐近线的对称性可得：平行四边形为矩形，
设，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得根据正切二倍角公式可得：进而得到再利用双曲线的定义及勾股定理解得：根据离心率公式即可求解.
17．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆右焦点为F，直线与x轴交于点H，
因为结合图形知，
所以
因为，则，
因为所以所以椭圆离心率
所以椭圆离心率的取值范围为。
故答案为：
【分析】利用已知条件结合相似三角形得出，在直角三角形中，有，再根据线段长度化简运算和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆离心率的取值范围。
18．【答案】（1）解：因为过点作斜率为的直线，则设直线l：y=kx+2，
因为直线与抛物线：交于，两点，设
将直线方程与抛物线方程联立，即，整理可得：
因为，所以p=2，
所以抛物线C的标准方程为：。
（2）解：由题意可知，
故
故同理可知，
则，
令则
令
故f(k)在单调递减，在单调递增，
所以当时，f(k)取得最小值，此时直线l：.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点斜式方程设出直线l的方程，再联立直线与抛物线的方程结合数量积的坐标表示和韦达定理，进而得出p的知，从而得出抛物线的标准方程.
（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而设出直线AD的方程的斜率，再结合弦长公式和三角形的面积公式，从而得出与k的函数解析式，再结合构造法，令再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而求出此时的k的值，进而得出此时对应的直线l的方程.
19．【答案】（1）解：因为点、，的内切圆与直线相切于点，
所以，
因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
设点的轨迹C的方程为，焦距为，
所以，，
所以，，，
所以点的轨迹方程C为
（2）解：由题意，直线的斜率互为相反数，记，
则，，，，，
设，则直线，.
联立直线和双曲线方程，
整理得.
该方程有两个不等实根，，
则
根据韦达定理可得，，
同理可得，.
又因为，.
，.
则，
同理可得
即
进而可得相似于，
即，，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得.
因此
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系.
（1）根据内切圆的性质得到，从而结合双曲线的定义得到轨迹方程；
（2）根据条件设，，，，，，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到，，结合弦长公式得到，从而证明，进而可得相似于，由四点共圆的知识即可得到答案.
20．【答案】（1）解：由
解得
又
椭圆E的方程为
（2）证明：由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为
由得
=
直线BP的方程为
令解得
同理可得
=
=
=
=
为定值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意及椭圆，从而求得，又由，从而可求解.
（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，得，由题可知
21．【答案】（1）解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，
F1（﹣c，0），F2（c，0），
F1到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，
即bx+ay＝0，则，
又过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且|AB|＝1，
将x＝﹣c代入中，得，
故，所以a＝2，
故E的方程为．
（2）解：若直线l的斜率不存在，其方程为x＝4，
代入，得，即，不符合题意；
故直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣4），联立，
得（4k2﹣1）x2﹣32k2x+64k2+4＝0，需满足4k2﹣1≠0，且Δ＝48k2+4＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
则
，即4k4﹣21k2＝0，解得k＝0或，
故直线l的方程为y＝0或，
所以y＝0或或．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1，求出的值，根据，求出的值即可得到E的方程；
（2）根据条件可知，直线斜率存在时符合题意，设直线方程并联立双曲线方程，根据双曲线弦长公式求出直线斜率，再求出直线的方程.
22．【答案】（1）解：因为，
所以P的轨迹是以，为焦点的椭圆，设方程为，
则，，，所以，，
C的方程为.
（2）解：
设直线MN的方程为：，其中，
点M，N满足，即，满足，
则，且，.
（ⅰ）证明：因为，
所以，得，
直线MN的方程为：，
所以直线过定点.
（ⅱ）由，得（其中），
所以点Q的轨迹方程为直线（除去点）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形中两边之和大于第三边的性质以及椭圆的定义，进而得出点P的轨迹为椭圆，再结合椭圆的定义得出a的值，再利用，得出c的值，再由椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆C的标准方程.（2）（i)设出直线的方程为，再联立直线与椭圆方程结合韦达定理，得出两交点横坐标与m，k的关系式，再利用韦达定理和和代入法以及两点求斜率公式，进而得出m与k的关系式，再由点斜式得出直线MN的方程，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标.
（ii)由已知条件和点Q的坐标与的关系式和消元法，进而得出点Q的轨迹方程.
23．【答案】（1）解：由题意可得解得椭圆的方程为
（2）解：设直线为，联立椭圆整理得：
，设，又，
则且，即，
，
直线可化为，即，
直线过定点.
又于，
为直角三角形，且斜边，
存在的中点，使得.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点与椭圆的位置关系和代入法得出b的值，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，c的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，结合两点求斜率公式和已知条件得出m，n的关系式，进而得出直线MN的方程，从而得出直线MN恒过定点Q的坐标，再结合直角三角形的勾股定理得出AQ的长，再由中点的性质得出PH的长.
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题21解析几何中的定点与定值问题
一、选择题
1．（2023高二上·成都月考） 已知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；轨迹方程
【解析】【解答】解：因为 ，即，可知直线过定点；
分，即，可知直线过定点；
且，可知，
即 点P 在以AB为直径的圆上，即圆的半径为，
所以 面积的最大值是.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析可知，，，即 点P 在以AB为直径的圆上，结合圆的性质运算求解.
2．（2024高二上·密山期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，
所以双曲线的下焦点渐近线方程为，
因为此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，所以
因为双曲线的离心率为2，所以
又因为由(1)(2)(3)联立得出则该双曲线的标准方程为：。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点位置和渐近线方程，进而得出下焦点坐标和渐近线方程，建立方程组，再联立三个方程得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
3．（2024·昌乐模拟）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可得： ，即，
由余弦定理，
即，可得，
则，可得，
且 双曲线C的 焦点在x轴上，所以 双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的定义可得，利用余弦定理可得，即可得渐近线方程.
4．（2024·荆州市模拟） 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：由直线的方向向量为，可得直线的斜率为，
又因为直线经过点，所以直线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化为一般式即可.
5．（2024·南宁模拟）知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，且∠F1AF2＝60°，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【解答】解：由椭圆的对称性，可得．设，则.
由椭圆的定义可知，，即，解得，
故.
在中，由余弦定理，得，
所以，则，故.
故答案为：B．
【分析】根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义，结合余弦定理即得到，再求出椭圆的离心率．
6．（2024高三上·海南高考模拟）已知为双曲线上一点，为的右焦点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由得C（0，c），因为，所以P是AB中点，
所以代入双曲线方程得 ，所以 ，所以e=2.
故答案为：D.
【分析】根据，得P是AB中点，利用中点坐标公式得P点坐标，代入双曲线即可求解.
7．（2024高二上·亳州期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由直线变形可得直线
由解得
可得直线l恒过定点则
结合图象可得：
若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为
由斜率的定义可得直线l的倾斜角的取值范围为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式和两直线相交的位置关系，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出直线倾斜角的取值范围。
8．（2019高二上·辽宁月考）已知椭圆的方程为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，设 为椭圆上一点，则 面积的最大值为 .若已知 ，点 为椭圆上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】在椭圆 中，
点 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，
由方程组 得 ，
由 ，得 ，则 ，
两平行线间的距离 ，
则 面积的最大值为 ，得 ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 时取等号.
故答案为：D
【分析】当 面积的最大值时，直线 与椭圆相切，设与直线 平行的椭圆的切线方程为 ，与椭圆联立得到 ，由 面积的最大值为 ，求得 ， ，由均值不等式即得解.
二、多项选择题
9．（2024高三上·重庆月考）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为，且与的右支交于点，为坐标原点，且，则（ ）
A． B．的离心率为
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知双曲线：的左、右焦点分别为，，
因为所以b=2，，
所以点到直线的距离为：
因为所以，
在中，由正弦定理可知，
所以所以
在中，由余弦定理可知，
所以所以，
所以所以，所以A对；
因为所以双曲线的离心率为，所以B错；
所以C对；
过作的直线与的右支交于点，由双曲线的定义，
在中，
在中，由余弦定理可知，
所以解得，
所以，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合双曲线中a，b，c三者的关系式和点到直线的距离公式得出，再利用正弦函数的定义和正弦定理、余弦定理，进而得出c的值，从而得出a的值，由此得出的值，从而判断出选项A；利用双曲线的离心率公式判断出选项B；利用正弦函数的定义判断出选项C；利用双曲线定义和直角三角形中三角函数的定义和余弦定理，进而得出的值，再结合三角形的面积公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
三、填空题
10．（2023高二上·成都月考）点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为 .
【答案】
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设A（x0，y0），P（x，y）则 ，所以 ，
点在圆上运动，所以 ，即.
故答案为：.
【分析】设A（x0，y0），P（x，y），利用中点坐标公式用x，y表示出x0，y0 ，根据A在圆上，代入即可.
11．（2023高二上·成都月考）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .
【答案】7
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得，
设 右焦点为，则，即，
可得 ，
当且仅当三点共线时，等号成立，所以 的最大值为 7.
故答案为：7.
【分析】根据题意列式可得，再利用椭圆定义转化可得，数形结合分析求解.
12．（2024·潍坊期末）已知圆，过点的直线l与圆O交于P、Q两点，则的最小值等于 ．
【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由圆的性质可知，当点A是弦PQ的中点时，的最短，
此时所以.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合几何法得出当点A是弦PQ的中点时，的最短，再利用勾股定理和弦长公式，进而得出的最小值.
13．（2024·扬州模拟）已知直线与双曲线：的两条渐近线分别交于点，（不重合）线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】平面内中点坐标公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知线段的垂直平分线所在直线的斜率为，因为线段的垂直平分线过点，所以线段的垂直平分线方程为：，即，
联立，解得：，即的中点坐标为，
设，，可得，两式作差，
因为的中点坐标为，的斜率为1，
，，，则，
所以双曲线的离心率．
故答案为：.
【分析】易知线段得垂直平分线得斜率为-1，结合已知条件根据直线的点斜式方程得出线段的垂直平分线的方程，即可联立两直线求出的中点坐标，再设，，分别代入双曲线渐近线方程后作差整理得出，最后根据线段中点与端点坐标关系与两点的斜率公式得出，，，即可得出，在根据双曲线离心率公式变形后代入即可求解.
14．（2024·巴南模拟）已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为 .
【答案】80
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由已知直线的斜率存在，且不为，
故可设直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以
因为，
所以，所以，
所以，
又异于坐标原点，所以，所以，
所以，
所以直线的方程为，
且
所以直线与轴的交点为，
所以点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以，
由已知，
所以四边形ACBD面积，
设，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，此时，
设，可得，，
所以当时，即时，取最小值，最小值为，
所以四边形ACBD面积的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.先设直线的方程为，联立方程组，由条件证明，由此可得，再求，求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.
15．（2024高三上·绵阳高考模拟） 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ．
【答案】/0.6
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图：
由题意得，
由正弦定理得，故，
由椭圆定义可知，，
故，
又，
在由余弦定理得
，
解得，
故，
解得，
因为，所以，解得，所以.
故答案为：
【分析】先利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形的面积求出内切圆的半径，结合即可求解.
16．（2024高三上·青海宁夏模拟）已知双曲线的右焦点为，直线与相交于两点，若（为坐标原点），则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
记双曲线的左焦点为，根据双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，又因为，
则，故平行四边形为矩形，设则又直线的斜率所以又由正切二倍角公式可得解得：（舍去），
在中又根据双曲线的定义有：解得：
又根据勾股定理可得
双曲线的离心率为：
故答案为：.
【分析】本题主要矩形的判定和性质、双曲线的定义，根据题意结合双曲线及渐近线的对称性可得：平行四边形为矩形，
设，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得根据正切二倍角公式可得：进而得到再利用双曲线的定义及勾股定理解得：根据离心率公式即可求解.
17．（2024高三上·湖北期末）设椭圆的左右顶点分别为为椭圆上异于的任意一点.过右焦点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，连接并延长交直线于点，若，且，则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆右焦点为F，直线与x轴交于点H，
因为结合图形知，
所以
因为，则，
因为所以所以椭圆离心率
所以椭圆离心率的取值范围为。
故答案为：
【分析】利用已知条件结合相似三角形得出，在直角三角形中，有，再根据线段长度化简运算和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆离心率的取值范围。
四、解答题
18．（2024高三上·重庆月考）过点作斜率为的直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作交轴于点，过点作交轴于点，记，面积分别为，，求当取得最小值时直线的方程.
【答案】（1）解：因为过点作斜率为的直线，则设直线l：y=kx+2，
因为直线与抛物线：交于，两点，设
将直线方程与抛物线方程联立，即，整理可得：
因为，所以p=2，
所以抛物线C的标准方程为：。
（2）解：由题意可知，
故
故同理可知，
则，
令则
令
故f(k)在单调递减，在单调递增，
所以当时，f(k)取得最小值，此时直线l：.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点斜式方程设出直线l的方程，再联立直线与抛物线的方程结合数量积的坐标表示和韦达定理，进而得出p的知，从而得出抛物线的标准方程.
（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而设出直线AD的方程的斜率，再结合弦长公式和三角形的面积公式，从而得出与k的函数解析式，再结合构造法，令再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而求出此时的k的值，进而得出此时对应的直线l的方程.
19．（2024·巴南模拟）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.
【答案】（1）解：因为点、，的内切圆与直线相切于点，
所以，
因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
设点的轨迹C的方程为，焦距为，
所以，，
所以，，，
所以点的轨迹方程C为
（2）解：由题意，直线的斜率互为相反数，记，
则，，，，，
设，则直线，.
联立直线和双曲线方程，
整理得.
该方程有两个不等实根，，
则
根据韦达定理可得，，
同理可得，.
又因为，.
，.
则，
同理可得
即
进而可得相似于，
即，，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得.
因此
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系.
（1）根据内切圆的性质得到，从而结合双曲线的定义得到轨迹方程；
（2）根据条件设，，，，，，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到，，结合弦长公式得到，从而证明，进而可得相似于，由四点共圆的知识即可得到答案.
20．（2024高三上·昌乐模拟）已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：为定值．
【答案】（1）解：由
解得
又
椭圆E的方程为
（2）证明：由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为
由得
=
直线BP的方程为
令解得
同理可得
=
=
=
=
为定值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意及椭圆，从而求得，又由，从而可求解.
（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，得，由题可知
21．（2024·南宁模拟）已知双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，F1到其中一条渐近线的距离为1，过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且|AB|＝1．
（1）求E的方程；
（2）过Q（4，0）的直线l交曲线E于M，N两点，若|MN|＝4，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意知，双曲线的渐近线方程为，
F1（﹣c，0），F2（c，0），
F1到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，
即bx+ay＝0，则，
又过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B，且|AB|＝1，
将x＝﹣c代入中，得，
故，所以a＝2，
故E的方程为．
（2）解：若直线l的斜率不存在，其方程为x＝4，
代入，得，即，不符合题意；
故直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣4），联立，
得（4k2﹣1）x2﹣32k2x+64k2+4＝0，需满足4k2﹣1≠0，且Δ＝48k2+4＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
则
，即4k4﹣21k2＝0，解得k＝0或，
故直线l的方程为y＝0或，
所以y＝0或或．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1，求出的值，根据，求出的值即可得到E的方程；
（2）根据条件可知，直线斜率存在时符合题意，设直线方程并联立双曲线方程，根据双曲线弦长公式求出直线斜率，再求出直线的方程.
22．（2024高三上·辽宁五校联考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足. 记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知点，设点，在上，且直线不与轴垂直，记，分别为直线，的斜率.
（ⅰ）对于给定的数值（且），若，证明：直线经过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为，求点的轨迹方程.
【答案】（1）解：因为，
所以P的轨迹是以，为焦点的椭圆，设方程为，
则，，，所以，，
C的方程为.
（2）解：
设直线MN的方程为：，其中，
点M，N满足，即，满足，
则，且，.
（ⅰ）证明：因为，
所以，得，
直线MN的方程为：，
所以直线过定点.
（ⅱ）由，得（其中），
所以点Q的轨迹方程为直线（除去点）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形中两边之和大于第三边的性质以及椭圆的定义，进而得出点P的轨迹为椭圆，再结合椭圆的定义得出a的值，再利用，得出c的值，再由椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆C的标准方程.（2）（i)设出直线的方程为，再联立直线与椭圆方程结合韦达定理，得出两交点横坐标与m，k的关系式，再利用韦达定理和和代入法以及两点求斜率公式，进而得出m与k的关系式，再由点斜式得出直线MN的方程，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标.
（ii)由已知条件和点Q的坐标与的关系式和消元法，进而得出点Q的轨迹方程.
23．（2024高三上·瓜州期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点（与点不重合），直线的斜率之和为4，作于.是否存在定点，使得为定值.若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得解得椭圆的方程为
（2）解：设直线为，联立椭圆整理得：
，设，又，
则且，即，
，
直线可化为，即，
直线过定点.
又于，
为直角三角形，且斜边，
存在的中点，使得.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合点与椭圆的位置关系和代入法得出b的值，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，c的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，结合两点求斜率公式和已知条件得出m，n的关系式，进而得出直线MN的方程，从而得出直线MN恒过定点Q的坐标，再结合直角三角形的勾股定理得出AQ的长，再由中点的性质得出PH的长.
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