高中数学人教A版（2019）选择性必修3 6.2 排列与组合 学案
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修3 6.2 排列与组合 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-27 09:43:08 | ||
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文档简介
排列与组合
【考纲解读】
理解排列的定义，理解并掌握排列计数公式；
理解组合的定义，理解并掌握组合计数公式；
能够运用排列和组合的知识，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、排列的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某一天的活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的参加方法？
从a、b、c、d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素按一定的要求排成一列。
1排列的定义：
（1）排列的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
（2）两个排列完全相同的条件是：①元素的个数相同；②排列的顺序一样；
（3）全排列的定义：n个元素全部取出的排列，称为n个元素的一个全排列。
2、排列数计算的基本方法：
（1）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，用表示；
（2）正整数n阶乘的定义：从正整数n到1的连续数的乘积，称为正整数n的阶乘，用表示，规定0！=1。
（3）排列数的计算公式：
①从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数：==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1）；
②全排列的排列的排列数：===n（n-1）（n-2）-----21。
3、排列的基本问题：
（1）排列的基本问题：排列的基本问题主要包括三种：①相邻问题；②不相邻问题； ③某些元素有特定限制的排列问题；
（2）相邻问题处理的基本方法：对相邻问题采用捆绑法，即把要求相邻的元素捆绑在一起看着一个整体（注意捆绑的元素之间还有一个捆绑元素的全排列问题）；
（3）不相邻问题处理的基本方法：对不相邻问题采用插空法，即先把没有要求的元素排列后，再把要求不相邻的元素插到它们的空隙位置上去；
（4）某些元素特定限制的排列问题处理的基本方法：对有特定限制的元素优先法，即把有特定限制的元素优先进行排列之后，再排列剩余元素。
二、组合的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
2、从a、b、c、d四个元素中，选出二个元素组成一组，共有多少个不同的组合？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素组成一组；
1、组合的定义：
（1）组合的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的一个组合；
（2）分辨一个问题是排列还是组合的基本方法：分辨一个问题是组合，还是排列的基本方法是看问题本身是否与顺序有关。
2、组合数的计算：
（1）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用表示；
（2）组合数的计算公式：==。
（3）组合数的性质：
①= ；
②=+。
3、组合的基本问题：
（1）组合的基本问题：组合的基本问题主要包括：① 指定元素必须当选问题；②指定元素必不当选问题；③指定元素不全当选问题；④ 某类元素至少m（m是一个确定的正整数）个当选的问题；
（2）指定元素必须当选的基本方法是：①先把指定的元素取出；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（3）指定元素必不当选的基本方法是：①把指定的元素除去；②在余下的元素中取出需要的个数；
（4）指定元素不全当选的基本方法是：①在指定的元素中取出需要的个数；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（5）某类元素至少m(m是一个确定的正整数)个当选的基本方法是：①在某类元素中取出需要的个数；②在其他类别的元素中取出剩下的个数。
4、排列与组合的关系：
排列与组合的关系是：①联系，排列与组合都涉及到从n个不同元素中取出m个元素的问题；②区别，排列从n个不同元素中取出m个元素后，还需要按一定顺序排成一列，不同的顺序排列也不一样；组合只需要从n个不同元素中取出m个元素就完成了；
三、分组与分配问题：
1、分组与分配问题包括：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
2、解答这类问题的基本方法：（1）先分清问题所属的类型；（2）运用处理该类型问题的基本方法解答问题。
四、排列组合的综合问题：
1、排列组合综合问题的定义：是指一个问题中既有排列问题又有组合问题。
2、排列组合综合问题的处理方法：
（1）处理排列组合综合问题的基本思想：是先组合后排列；
（2）处理排列组合综合问题的基本方法是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决。
【探导考点】
考点1排列的基本问题：热点①排列定义及运用；热点②排列数计算公式及运用；热点③排列的应用问题；
考点2组合的基本问题：热点①组合定义及运用；热点②组合数计算公式及运用；热点③组合的应用问题；
考点3排列组合的综合问题：热点①排列组合的分辨；热点②排列数组合数计算公式的综合运用；热点③排列组合的综合应用问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、计算下列各题：
① ② ③
2、n∈，且n＜10,则（10-n）(11-n)--------(100-n)=( )
A B C D
3、解不等式＞6
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列定义和排列数相关的问题，解决这类问题需要理解排列的定义，理解并掌握排列数的计算公式；
（2）排列数的计算公式是==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1），特别地当m=n时，称为n个元素的全排列，它的计算公式为==n（n-1）（n-2）-----21；
（3）在处理【典例1】中的3小题时，应该注意的m的取值范围是0＜mn这个隐含条件。
〔练习1〕解答下列问题：
1、计算下列各题：
① ② ③
2、下列各式中不等于n！的是（ ）
A B C D n
【典例2】按要求解答下列问题：
1、有5个同学排成一排照相，分别求符合下列条件的排法各有多少种？
（1）甲、乙两同学必须站在一起；
（2）甲、乙、丙三同学互不相邻；
（3）乙不站在甲前面，丙不站在乙前面；
（4）甲不站在中间位置，乙不站在两端位置。
（5）甲、乙必须分开站；
（6）甲、乙之间间隔2人；
（7）甲、乙站两端位置；
（8）甲不站左端，乙不站右端。
2、有5名男生，4名女生全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不站在中间也不站在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男女相间且女生不站两端。
『思考问题2』
【典例2】是排列的应用问题，解决这类问题需要掌握排列的三个基本问题，注意每个基本问题处理的基本方法；
解答排列应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习2〕解答下列问题：
7位同学站成一排，求符合下列条件的排列方法分别有多少种？
（1）甲不站右端，乙不站左端；
（2）甲、乙两同学必须站在一起；
（3）甲、乙、丙三同学必须分开站；
（4）甲不站中间，乙不站两端。
【典例3】解答下列问题：
1、计算：① ②
2、已知20=4（n+4）+15，求n；
3、计算+++
『思考问题3』
（1）【典例3】是组合定义和组合数相关的问题，解决这类问题需要理解组合的定义，理解并掌握组合数的计算公式；
（2）组合数的计算公式是==；
（3）组合数具有如下的性质：①= ；②=+。
〔练习3〕解答下列问题：
1、计算① ②3-2
2、+=（ ）
A B C D
(3)求证：①++= ②+++++=
【典例4】按要求解答下列问题：
1、从7名男同学和5名女同学中，选出5个，分别求符合下列条件的选法各有多少种？
（1）甲、乙两同学必须当选；
（2）甲、乙两同学必不当选；
（3）甲、乙两同学不全当选；
（4）至少有两名女同学当选。
2、在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件。
求：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？
3、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种不同的选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有一名女运动员；
（3）队长中至少有一人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员（2013北京海淀月考）
『思考问题4』
【典例4】是组合的应用问题，解决这类问题需要掌握组合的基本问题，注意各个基本问题的结构特征和处理的基本方法；
解答组合的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
从8名男同学，4名女同学中选出5人组成青年自愿队，按下列要求各有多少种不同的选法？
（1）至少有一名女同学参加；
（2）甲、乙两同学必须参加；
（3）甲、乙两同学必不参加；
（4）甲、乙两同学不全参加。
【典例5】解答下列问题：
1、把6本不同的书分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，有多少种不同的分配方式？
2、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，有多少种不同的分配？
3、把6本不同的书平均分成三份，每份2本，有多少种不同的分配方式？
4、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
5、把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份,1本，有多少种不同的分配方式？
6、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本，有多少种不同的分配方式？
7、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，有多少种不同的分配方式？
『思考问题5』
（1）【典例5】是分组和分配相关的问题，解答这类问题时，应先分清它所属的问题类型，再根据处理该类型问题的基本方法解答问题；
（2）分组与分配问题从分组来看有：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
（3）解答问题时，需要正确分辨问题是均匀分组还是不均匀分组；是有序分组还是无序分组。
〔练习5〕解答下列问题：
1、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A 4种 B 10种 C 18种 D 20种
2、有6本不同的书按下列方式进行分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本，2本，3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。
【典例6】解答下列问题：
1、从0,1,2,3,4五个数字这取出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字之和是多少？
从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
3、用0,1,2,3,4,5六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的4位偶数；
（2）能组成多少个无重复数字且是5的倍数的5位数；
（3）能组成多少个比1325大的4位数？
4、从1,2,3，-------30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
5、从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数字作系数可以组成多少个不同的一元二次方程？其中有实数解的有几个？
6、已知平面∥，在内有四个点，在内有6个点。
（1）过这10个点的三个点作一平面，最多可以作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可以作多少个三棱锥？
（3）上述三棱锥中，最多可以有多少个不同的体积？
7、已知10件不同的产品中，共有4件次品，现对它们进行一一测试，直到找到所有4件次品为止。
（1）若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品的不同测试方法有多少种？
（2）若恰在第五次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法数又是多少？
8、从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问有多少种不同的参赛方法？
9、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，求共有多少种不同的安排方法？
10、在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
11、有10个优秀名额分到高三年级一、二、三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数，问有多少种不同的分配方案？
12、某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，这天的课表有几种排法？
13、全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为多少？
14、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是多少？
15、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有多少种？
16、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有 （用数字作答）
17、有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）
『思考问题6』
（1）【典例6】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是从“分析”，“分辨”，“分类”，“分步”的角度入手；这里的“分析”就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；“分辨”是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；“分类”是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；“分步”是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）处理排列组合综合问题的基本步骤是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决；
（3）排列的主要特征是元素与元素之间与顺序有关；
（4）组合的主要特征是元素与元素之间与顺序无关；
（5）面对一个实际问题分辨它是排列还是组合的简便方法是看元素与元素之间是与顺序有关；
（6）在实际问题中，排列与组合往往同时出现，解决既有排列又有组合的问题的基本方法是先组合 后排列。
〔练习6〕解答下列问题：
1、用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，若个位数字小于百位上的数字，则这样的五位数有多少个？
2、马路上有编号为1,2，-------12的十二盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以关掉其中三盏，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，则满足条件不同的关灯方法有多少种？
某人练习打靶，一共打了8发，中了3发，其中恰有两发连中，问不同的中靶方式共有多少种？
4、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少一名教师则不同的分配方案共有多少种？
5、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有多少种？
6、从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有多少种？
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
已知=12，求x的值。
从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A 24 B 18 C 12 D 6
从五双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）
A 480种 B 255种 C 240种 D 120种
『思考问题7』
【典例7】是解答排列与组合时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视，中n，m的取值范围，导致解答问题出现错误；②忽视问题中的隐含条件，导致解答问题出现错误；③忽视平均分组的无序性，导致解答问题出现错误；
解答排列与组合时，为避免忽视，中n，m的取值范围的雷区，需要认真理解排列数和组合数计数公式，注意公式中n，m的取值范围；
解答排列与组合时，为避免忽视问题中的隐含条件的雷区，需要认真挖掘问题中的隐含条件；
解答排列与组合时，为避免忽视平均分组的无序性的雷区，问题涉及平均分组时，分组后需要排除分组过程中顺序产生的影响。
〔练习7〕解答下列问题：
1、解不等式＞6。
2、从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
3、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
排列与组合
【考纲解读】
理解排列的定义，理解并掌握排列计数公式；
理解组合的定义，理解并掌握组合计数公式；
能够运用排列和组合的知识，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、排列的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某一天的活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的参加方法？
从a、b、c、d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素按一定的要求排成一列。
1排列的定义：
（1）排列的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
（2）两个排列完全相同的条件是：①元素的个数相同；②排列的顺序一样；
（3）全排列的定义：n个元素全部取出的排列，称为n个元素的一个全排列。
2、排列数计算的基本方法：
（1）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，用表示；
（2）正整数n阶乘的定义：从正整数n到1的连续数的乘积，称为正整数n的阶乘，用表示，规定0！=1。
（3）排列数的计算公式：
①从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数：==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1）；
②全排列的排列的排列数：===n（n-1）（n-2）-----21。
3、排列的基本问题：
（1）排列的基本问题：排列的基本问题主要包括三种：①相邻问题；②不相邻问题； ③某些元素有特定限制的排列问题；
（2）相邻问题处理的基本方法：对相邻问题采用捆绑法，即把要求相邻的元素捆绑在一起看着一个整体（注意捆绑的元素之间还有一个捆绑元素的全排列问题）；
（3）不相邻问题处理的基本方法：对不相邻问题采用插空法，即先把没有要求的元素排列后，再把要求不相邻的元素插到它们的空隙位置上去；
（4）某些元素特定限制的排列问题处理的基本方法：对有特定限制的元素优先法，即把有特定限制的元素优先进行排列之后，再排列剩余元素。
二、组合的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
2、从a、b、c、d四个元素中，选出二个元素组成一组，共有多少个不同的组合？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素组成一组；
1、组合的定义：
（1）组合的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的一个组合；
（2）分辨一个问题是排列还是组合的基本方法：分辨一个问题是组合，还是排列的基本方法是看问题本身是否与顺序有关。
2、组合数的计算：
（1）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用表示；
（2）组合数的计算公式：==。
（3）组合数的性质：
①= ；
②=+。
3、组合的基本问题：
（1）组合的基本问题：组合的基本问题主要包括：① 指定元素必须当选问题；②指定元素必不当选问题；③指定元素不全当选问题；④ 某类元素至少m（m是一个确定的正整数）个当选的问题；
（2）指定元素必须当选的基本方法是：①先把指定的元素取出；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（3）指定元素必不当选的基本方法是：①把指定的元素除去；②在余下的元素中取出需要的个数；
（4）指定元素不全当选的基本方法是：①在指定的元素中取出需要的个数；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（5）某类元素至少m(m是一个确定的正整数)个当选的基本方法是：①在某类元素中取出需要的个数；②在其他类别的元素中取出剩下的个数。
4、排列与组合的关系：
排列与组合的关系是：①联系，排列与组合都涉及到从n个不同元素中取出m个元素的问题；②区别，排列从n个不同元素中取出m个元素后，还需要按一定顺序排成一列，不同的顺序排列也不一样；组合只需要从n个不同元素中取出m个元素就完成了；
三、分组与分配问题：
1、分组与分配问题包括：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
2、解答这类问题的基本方法：（1）先分清问题所属的类型；（2）运用处理该类型问题的基本方法解答问题。
四、排列组合的综合问题：
1、排列组合综合问题的定义：是指一个问题中既有排列问题又有组合问题。
2、排列组合综合问题的处理方法：
（1）处理排列组合综合问题的基本思想：是先组合后排列；
（2）处理排列组合综合问题的基本方法是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决。
【探导考点】
考点1排列的基本问题：热点①排列定义及运用；热点②排列数计算公式及运用；热点③排列的应用问题；
考点2组合的基本问题：热点①组合定义及运用；热点②组合数计算公式及运用；热点③组合的应用问题；
考点3排列组合的综合问题：热点①排列组合的分辨；热点②排列数组合数计算公式的综合运用；热点③排列组合的综合应用问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、计算下列各题：
（1） （2） （3）
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出的值；（2）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出的值；（3）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】（1）=161514=3360；（2）=654321=720；（3）=65
43=360。
2、n∈，且n＜10,则（10-n）(11-n)--------(100-n)=( )
A B C D
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出（10-n）(11-n)--------(100-n)关于n的排列数表示式就可得出选项。
【详细解答】（10-n）(11-n)--------(100-n)=(100-n)(100-n-1)------(100-n-89)
(100-n-91+1)=， ,C正确，选C。
3、解不等式＞6
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件得到关于x的不等式组，求解不等式组就可求出不等式＞6的解集。
【详细解答】不等式＞6，84>9-x①，0≤x≤9②，0≤x-2≤6③，联立①②③解得：2≤x≤8，且x，不等式＞6的解集为{2，3，4，5，6，7，8}。
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列定义和排列数相关的问题，解决这类问题需要理解排列的定义，理解并掌握排列数的计算公式；
（2）排列数的计算公式是==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1），特别地当m=n时，称为n个元素的全排列，它的计算公式为==n（n-1）（n-2）-----21；
（3）在处理【典例1】中的3小题时，应该注意的m的取值范围是0＜mn这个隐含条件。
〔练习1〕解答下列问题：
1、计算下列各题：
（1） （2） （3）
（答案：（1）=32760；（2） =5040；（3）=360。）
2、下列各式中不等于n！的是（ ）（答案：C）
A B C D n
【典例2】按要求解答下列问题：
1、有5个同学排成一排照相，分别求符合下列条件的排法各有多少种？
（1）甲，乙两同学必须站在一起；
（2）甲、乙、丙三同学互不相邻；
（3）乙不站在甲前面，丙不站在乙前面；
（4）甲不站在中间位置，乙不站在两端位置。
（5）甲、乙必须分开站；
（6）甲、乙之间间隔2人；
（7）甲、乙站两端位置；
（8）甲不站左端，乙不站右端。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙两同学必须站在一起不同的排法的种数；（2）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙，丙三同学互不相邻不同的排法的种数；（3）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出乙不站在甲前面，丙不站在乙前面不同的排法的种数；（4）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲不站中间位置，乙不站两端位置不同的排法的种数；（5）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙必须分开站不同的排法的种数；（6）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙之间间隔2人不同的排法的种数；（7）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙站两端位置不同的排法的种数；（8）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲不站左端，乙不站右端不同的排法的种数。
【详细解答】（1）5个同学排成一排，甲，乙两同学必须站在一起，不同的排法有=224=48（种）；（2）5个同学排成一排，甲、乙、丙三同学互不相邻，不同的排法有=26=12（种）；（3）5个同学排成一排，乙不站在甲前面，丙不站在乙前面，不同的排法有=112=12（种）；（4）5个同学排成一排，甲不站在中间位置，乙不站在两端位置，不同的排法有+=236+226=60（种）；（5）5个同学排成一排，甲、乙必须分开站，不同的排法有=612=72（种）；（6）5个同学排成一排，甲、乙之间间隔2人，不同的排法有=622=24（种）；（7）5个同学排成一排，甲、乙站两端位置，不同的排法有=26=12（种）；（8）5个同学排成一排，甲不站左端，乙不站右端，不同的排法有+=24+33
6=78（种）。
2、有5名男生，4名女生全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不站在中间也不站在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男女相间且女生不站两端。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲不站在中间也不站在两端不同的排法的种数；（2）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲、乙两人必须排在两端不同的排法的种数；（3）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出男女相间且女生不站两端不同的排法的种数。
【详细解答】（1）5名男生，4名女生全体排成一行，甲不站在中间也不站在两端，不同的排法有=640320=241920（种）；（2）5名男生，4名女生全体排成一行，甲、乙两人必须排在两端，不同的排法有=25040=10080（种）；（2）5名男生，4名女生全体排成一行，男女相间且女生不站两端，不同的排法有=600120=72000（种）。
『思考问题2』
【典例2】是排列的应用问题，解决这类问题需要掌握排列的三个基本问题，注意每个基本问题处理的基本方法；
解答排列应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习2〕解答下列问题：
7位同学站成一排，求符合下列条件的排列方法分别有多少种？
（1）甲不站右端，乙不站左端；
（2）甲、乙两同学必须站在一起；
（3）甲、乙、丙三同学必须分开站；
（4）甲不站中间，乙不站两端。（答案：甲不站右端，乙不站左端的不同排列方法有1320种；（2）甲、乙两同学必须站在一起的不同排列方法有1440种；（3）甲，乙，丙三同学必须分开站的不同排列方法有720种；（4）甲不站中间，乙不站两端的不同排列方法有1920种。）
【典例3】解答下列问题：
计算：（1） （2）
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出的值；（2）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】（1）==35；（2）==120。
2、已知20=4（n+4）+15，求n。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【详细解答】=，=，
=（n+3）（n+2），20=4（n+4）+15，
=+15，（n+4）（n+1）=18，（n+7）（n-2）=0，解之得：n=-7或n=2，
n，n=2。
3、计算+++
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出++
+的值。
【详细解答】=1，=3，=6，=10，+++=1+3+6+10=20。
『思考问题3』
（1）【典例3】是组合定义和组合数相关的问题，解决这类问题需要理解组合的定义，理解并掌握组合数的计算公式；
（2）组合数的计算公式是==；
（3）组合数具有如下的性质：①= ；②=+。
〔练习3〕解答下列问题：
1、计算（1） （2）3-2（答案：（1）=56；（2）3-2=148、）
2、+=（ ）（答案：B）
A B C D
3、求证：（1）++= （2）+++++=（提示：运用组合数计数公式通过计算就可证明结论）
【典例4】按要求解答下列问题：
1、从7名男同学和5名女同学中，选出5个，分别求符合下列条件的选法各有多少种？
（1）甲、乙两同学必须当选；
（2）甲、乙两同学必不当选；
（3）甲、乙两同学不全当选；
（4）至少有两名女同学当选。
2、在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件。
求：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？
3、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种不同的选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有一名女运动员；
（3）队长中至少有一人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员。
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出男运动员3名，女运动员2名不同选派方法的种数；（2）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出至少有一名女运动员不同选派方法的种数；（3）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出队长中至少有一人参加不同选派方法的种数；（4）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出既要有队长，又要有女运动员参加不同选派方法的种数。
【详细解答】（1）选出的运动员有男运动员3名，女运动员2名，不同的选派方法有
=206=120（种）；（2）选出的运动员至少有一名女运动员，不同的选派方法有
-=252-6=246（种）；（3）选出的运动员至少有一名队长，不同的选派方法有
+=140+56=196（种）；（4）选出的运动员既要有队长，又要有女运动员，不同的选派方法有-=252-1=251（种）。
『思考问题4』
【典例4】是组合的应用问题，解决这类问题需要掌握组合的基本问题，注意各个基本问题的结构特征和处理的基本方法；
解答组合的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
从8名男同学，4名女同学中选出5人组成青年自愿队，按下列要求各有多少种不同的选法？
（1）至少有一名女同学参加；
（2）甲、乙两同学必须参加；
（3）甲、乙两同学必不参加；
（4）甲、乙两同学不全参加。（答案：（1）至少有一名女同学参加的不同的选法有736种；（2）甲、乙两同学必须参加的不同的选法有120种；（3）甲、乙两同学必不参加的不同的选法有252种；（4）甲、乙两同学不全参加的不同的选法有372种）
【典例5】解答下列问题：
把6本不同的书分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理不均匀有序分组问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本属于不均匀有序分组的问题，若把6本不同的书平均分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，则有=6101=60（种）不同的分配方式。
2、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理不均匀有序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理不均匀有序分组问题分配的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本可以分两步进行：第一步，把6本不同的书分成1组1本，1组2本，1组,3本三组，有种不同的分法；第二步，将分成的三组分配给甲、乙、丙三人，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，则有=61016=360（种）不同的分配方式。
3、把6本不同的书平均分成三份，每份2本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理均匀无序分组问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分成三份，每份2本属于均匀无序分组的问题，若把6本不同的书平均分成三份，每份2本，则有=15（种）不同的分配方式。
4、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理均匀无序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题分配的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本可以分两步进行：第一步，把6本不同的书平均分成三组，有种不同的分法；第二步，将分成的三组分配给甲、乙、丙三人，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，则有=156=90（种）不同的分配方式。
5、把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理部分均匀无序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份1本可以分两步进行：第一步，从6本不同的书中抽取4本，有种不同的分配方式；第二步，把余下的2本书平均分成两组，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份1本，则有=151=15（种）不同的分配方式。
6、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理部分均匀有序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀有序分组分配问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本可以分两步进行：第一步，把6本书分成三组，其中一组4本，剩下两组个1本有种不同分法；第二步，将分成的三组分配给甲，乙，丙三人有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲，乙，丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本，则有
=156=90（种）不同的分配方式。
7、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理部分均匀无序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本可以分两步进行：第一步，从6本不同的书中抽取4本分给丙，有种不同的分配方式；第二步，把余下的2本书平均分成两组，再分给甲，乙个一本，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲，乙，丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，则有
=152=30（种）不同的分配方式。
『思考问题5』
（1）【典例5】是分组和分配相关的问题，解答这类问题时，应先分清所属问题的类型，再根据处理该类型问题的基本方法解答问题；
（2）分组与分配问题从分组来看有：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
（3）解答问题时，正确分辨问题是均匀分组还是不均匀分组；是有序分组还是无序分组的解答问题的关键。
〔练习5〕解答下列问题：
1、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（答案：B）
A 4种 B 10种 C 18种 D 20种
2、有6本不同的书按下列方式进行分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本，2本，3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。（答案：（1）分成1本，2本，3本三组，共有60种不同的分配方式；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，共有360种不同的分配方式；（3）分成每组都是2本的三个组，共有15种不同的分配方式；分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有90种不同的分配方式.）
【典例6】解答下列问题：
从0,1,2,3,4五个数字任取出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字之和是多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出所有这些三位数的个位数字之和。
【详细解答】从0,1,2,3,4五个数字这取出不同的三个数字组成一个三位数有两种可能的情况：第一种，个位数字是0，这种情况下无重复数字的五位数的个数有=62=12（个）；第二种，个位数字是1,2,3,4中的一个数字，这种情况下无重复数字的三位数的个数有=433=36（个），从0,1,2,3,4五个数字选出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字之和是012+（1+2+3+4）9=0+90=90。
2、从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出组成无重复数字的五位数的个数。
【详细解答】从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，组成无重复数字的五位数有两种可能的情况：第一种，0,2,4,6,8五个数字这选出3个数字包含数字0，这种情况下无重复数字的五位数的个数有=106424=5760（个）；第二种，0,2,4,6,8五个数字这选出3个数字不包含数字0，这种情况下无重复数字的五位数的个数有=104120=4800（个），从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成5760+4800=10560（个）无重复数字的五位数。
3、用0,1,2,3,4,5六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的4位偶数；
（2）能组成多少个无重复数字且是5的倍数的5位数；
（3）能组成多少个比1325大的4位数？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出组成无重复数字的4位偶数的个数；（2）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出组成无重复数字且是5的倍数的5位数的个数；（3）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出能组成比1325大的4位数的个数。
【详细解答】（1）组成无重复数字的4位偶数有两种可能的情况：第一种，个位数是0，这样的偶数有=106=60（个）；第二种，个位数是2或4，这样的偶数有
=2462=96（个），用0,1,2,3,4,5六个数字，能组成60+96=156（个）无重复数字的4位偶数；（2）组成无重复数字且是5的倍数的5位数有两种可能的情况：第一种，个位数是0，这样的偶数有=524=120（个）；第二种，个位数是5，这样的偶数有=446=96（个），用0,1,2,3,4,5六个数字，能组成120+96=216（个）无重复数字且是5的倍数的5位数；（3）组成比1325大的4位数有两种可能的情况：第一种，最高数位数字是1，这样比1325大的四位数有+=23+262=30（个）；第二种，最高数位数字是,2,3,4,5中的任意一个数字，这样比1325大的四位数有=4106=240（个），用0,1,2,3,4,5六个数字，能组成30+240=270（个）比1325大的四位数。
4、从1,2,3，-------30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法的种数。
【详细解答】每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数有四种可能情况，第一种，从1，4，7，10，13，16，19，22，25，28这10个自然数中任意取出3个，不同的取法有种；第二种，从2，5，8，11，14，17，20，23，26，29这10个自然数中任意取出3个，不同的取法有种；第三种，从3，6，9，12，15，18，21，24，27，30这10个自然数中任意取出3个，不同的取法有种；第四种，分别从1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，3，6，9，12，15，18，21，24，27，30这三组10个自然数中各取出1个，不同的取法有种，从1,2,3，-------30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有+++=120+120+120+1000=1360（种）。
5、从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数字作系数可以组成多少个不同的一元二次方程？其中有实数解的有几个？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出取出三个不同的数字作系数可以组成方程的个数，并求出方程中有实数解的方程的个数。
【详细解答】取出三个不同的数字作系数可以组成一元二次方程有两种可能的情况：第一种，取出的三个数字中含有0，分两步进行：第一步取出三个数，有种取法；第二步，把取出的三个数字作为系数组成一元二次方程，有个不同的方程，这种情况下组成不同的一元二次方程有=622=24（个）；第二种，取出的三个数字中不含有0，分两步进行：第一步取出三个数，有种取法；第二步，把取出的三个数字作为系数组成一元二次方程，有个不同的方程，这种情况下组成不同的一元二次方程有=46=24（个），从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数字作系数可以组成24+24=48（个）不同的一元二次方程；一元二次方程有实数解的充分必要条件是判别式≥0，对第一种情况只需常数项为0，一元二次方程就有实数解，这样的方程有=62=12（个）；对第二种情况有两种可能，第一，一次项系数为5，二次项系数与常数项只能是数字1，3，这样的方程有2个；第二，一次项系数为7，二次项系数与常数项的数字1，3，5三个数字任取两个，这样的方程有=32=6（个），这些一元二次方程中有实数解的不同方程有12+2+6
=20（个）。
6、已知平面∥，在内有四个点，在内有6个点。
（1）过这10个点的三个点作一平面，最多可以作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可以作多少个三棱锥？
（3）上述三棱锥中，最多可以有多少个不同的体积？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出最多可以作不同的平面个数；（2）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出最多可以作三棱锥的个数；（3）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出最多可以有不同的体积三棱锥的个数。
【详细解答】（1）过这10个点的三个点作一平面有3种可能的情况：第一种，在平面内取一点，在平面内取两点，这样的平面最多有=415=60（个）；第二种，在平面内取两点，在平面内取一点，这样的平面最多有=66=36（个）；第三种，分别在平面内取三点，在平面内取三点，这样的平面最多有1+1=2（个），过这10个点的三个点作一平面，最多可以作60+36+2=98（个）不同的平面；（2）过这10个点作三棱锥有3种可能的情况：第一种，在平面内取一点，在平面内取三点，这样的三棱锥最多有=420=80（个）；第二种，在平面内取两点，在平面内取两点，这样的三棱锥最多有=615=90（个）；第三种，分别在平面内取三点，在平面内取一点，这样的三棱锥最多有=46=24（个），过这10个点的三个点作三棱锥，最多可以作80+90+24=194（个）不同的平面；（3）平面∥，平面内任取一点，到平面的距离都相等，平面内任取一点，到平面的距离都相等，（2）中的三棱锥最多可以有
++=4+20+90=114（个）不同的体积.
7、已知10件不同的产品中，共有4件次品，现对它们进行一一测试，直到找到所有4件次品为止。
（1）若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品的不同测试方法有多少种？
（2）若恰在第五次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法数又是多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出第十次才测到最后一件次品的不同测试方法的种数；（2）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出恰在第五次测试后就找到了所有4件次品方法的种数。
【详细解答】（1）若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品可以按三步进行：第一步，从6件正品中取出4件排在前4个位置，有种方法；第二步，从4件次品中取出2件排在第五和第十个位置，有种方法；第三步，把余下的2件次品和2件正品排在剩下的4个位置，有种方法，若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品，则不同测试方法有==15246224
=103620（种）；（2）若恰在第五次测试后找到了所有4件次品可以按二步进行：第一步，从4件次品中取出1件排在第五个位置，有种方法；第二步，从6件正品中取出1件与余下的3件次品，排在前4个位置，有种方法，,恰在第五次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法有=4624=576（种）。
8、从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问有多少种不同的参赛方法？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的安排方法的种数。
【详细解答】从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒有3种可能的情况：第一种，甲，乙两人都选上，第一步从6人中选出4人，有种选法；第二步，把选出的4人安排参加比赛，有+种，这种情况下，不同的参赛方法有（+）=6（32+222）=84（种）；
第二种，甲选上乙没有选上或甲没有选上乙选上，第一步从6人中选出4人，有种选法；第二步，把选出的4人安排参加比赛，有种，这种情况下，不同的参赛方法有=2436=144（种）；第三种，甲乙都没有选上，第一步从6人中选出4人，有种选法；第二步，把选出的4人安排参加比赛，有种，这种情况下，不同的参赛方法有=124=24（种），若从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则有84+144+24=252（种）不同的参赛方法。
9、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，求共有多少种不同的安排方法？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的安排方法的种数。
【详细解答】在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目有3种可能的情况：第一种，添加进去3个节目安排在一起，这种情况下，不同的安排方法的有=67=42（种）；第二种，添加进去3个节目其中2个节目安排在一起，这种情况下，不同的安排方法的有=32212=252（种）；第三种，添加进去3个节目都不安排在一起，这种情况下，不同的安排方法的有=356=210（种），若在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，则共有42+252+210=504（种）不同的安排方法。
10、在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的种植方法共有的种数。
【详细解答】在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄有三种可能的情况：第一种，A、B两种作物间隔为6垄，第一步可在第1垄与第8垄或第2垄与第9垄或第3垄与第10垄之间选出2垄有种选法；第二步，在选出的2垄地上种植A、B两种作物有种方法，这种情况下，不同的种植方法有=32=6（种）；第二种，A、B两种作物间隔为7垄，第一步可在第1垄与第9垄或第2垄与第10垄之间选出2垄有种选法；第二步，在选出的2垄地上种植A、B两种作物有种方法，这种情况下，不同的种植方法有=22=4（种）；第三种，A、B两种作物间隔为8垄，第一步可在第1垄与第10垄之间选出2垄，只有1种选法；第二步，在选出的2垄地上种植A、B两种作物有种方法，这种情况下，不同的种植方法有=12=2（种），若在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄，则不同的种植方法共有6+4+2=12（种）。
11、有10个优秀名额分到高三年级一，二，三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数，问有多少种不同的分配方案？
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用③不平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据组合的性质，运用组合数计算公式和不平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方案的种数。
【详细解答】把10个优秀名额分到高三年级一，二，三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数可以分两步进行：第一步，给二班1个名额，三班2个名额只有一种方法；第二步，把余下的7个名额不均匀地分成三个部分，可以视为在6个空位任选2个放入两个插板，这样的方法有种，若有10个优秀名额分到高三年级一，二，三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数，则有=35=15（种）不同的分配方案。
12、某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，这天的课表有几种排法？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③排列基本问题处理的基本方法。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式和排列基本问题处理的基本方法，结合问题条件就可求出这天的课表有排法的种数。
【详细解答】某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，排这天的课表有三种可能情况：第一种，：第一步，体育课排第二节课；第二步，在余下的4节课中排数学课，有种排法；第三步，在余下的4节课中排物理课，有种排法；第四步，在余下的3节课中排剩下3学科，有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=446=96（种）；第二种，：第一步，体育课排第六节课；第二步，在余下的4节课中排物理课，有种排法；第三步，在余下的4节课中排数学课，有种排法；第四步，在余下的3节课中排剩下3学科，有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=446=96（种）；第三种，：第一步，排体育课，在第三节，第四节，第五节的3节课中排一节，有种排法；第二步，在余下的5节课中排数学课，若数学课排第二节，则余下的四个学科可在剩下的四节课随意排有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=324=72（种）；若在第一节，第三节，第四节，第五节余下的3节课中排一节，有种排法；第三步，在余下的3节课中排物理课，有种排法；第四步，在余下的3节课中排剩下3学科，有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=3336=162（种），若某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，则排这天的课的方法有96+96+72+162=426（种）。
13、全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出开幕式当天不同排班的种数。
【详细解答】从14名志愿者中抽取12名志愿者参加接待工作，安排每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班可以分三步进行：第一步，从14名志愿者中抽取12名志愿者有种；第二步，把选出的12名志愿者平均分成三组有种；第三步，将分成的三组志愿者安排到早，中，晚三班，有种，若从14名志愿者中抽取12名志愿者参加接待工作，安排每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为=9157756=3153150（种）。
14、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出这4位同学不同得分情况的种数。
【详细解答】4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，4位同学的总分为0分有三种可能的情况：第一种，4位同学都选作甲题，其中两人答对，两人答错，这样的不同得分情况种数有=62=12（种）；第二种，4位同学都选作乙题，其中两人答对，两人答错，这样的不同得分情况种数有=62=12（种）；
第三种，4位同学中，二人选作甲题，其中1人答对，1人答错，二人选作乙题，其中1人答对，1人答错，这样的不同得分情况种数有=3222=24（种），若
4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数为12+12+24=48（种）。
15、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有多少种？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出不同的传递方法共有的种数。
【详细解答】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览的可能情况有三种：第一种，甲，乙二人都没有选中，这样的选择方案有=124=24（种）；第二种，甲，乙两人选中一人，这样的选择方案有=2436=144（种）；第三种，甲，乙两人都选中，这样的选择方案有=1662=72（种），若从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有24+144+72=240（种）。
16、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有 （用数字作答）
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出不同的传递方法共有的种数。
【详细解答】奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，传递方法可以分三步进行：第一步，先从甲，乙二人中选一人传递最后一棒；第二步，从甲，乙，丙余下的二人中选一人传递第一棒；第三步，剩下的四人在剩下的四棒中可以随意安排，不同的传递方法共有=2224=96（种）。
17、有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，不同的排法种数。
【详细解答】取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行有三种可能的情况：第一种，取出卡号数字是1，2，3，4，不同的取法和排法有（++++）=（4+6+4+1）24=384（种）；第二种，取出卡号数字是1，1，4，4，不同的取法和排法有=1124=24（种）；第三种，取出卡号数字是2，2，3，3，不同的取法和排法有=1124=24（种），从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，则不同的排法共有384+24+24=432（种）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是从“分析”，“分辨”，“分类”，“分步”的角度入手；这里的“分析”就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；“分辨”是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；“分类”是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；“分步”是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）处理排列组合综合问题的基本步骤是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决；
（3）排列的主要特征是元素与元素之间与顺序有关；
（4）组合的主要特征是元素与元素之间与顺序无关；
（5）面对一个实际问题分辨它是排列还是组合的简便方法是看元素与元素之间是与顺序有关；
（6）在实际问题中，排列与组合往往同时出现，解决既有排列又有组合的问题的基本方法是先组合 后排列。
〔练习6〕解答下列问题：
1、用数字0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数，若个位数字小于百位上的数字，则这样的五位数有多少个？（答案：这样的五位数有48个。）
2、马路上有编号为1，2，-------12的十二盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以关掉其中三盏，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，则满足条件不同的关灯方法有多少种？（答案：不同的关灯方法有56种。）
3、某人练习打靶，一共打了8发，中了3发，其中恰有两发连中，问不同的中靶方式共有
多少种？（答案：问不同的中靶方式共有30种。）
4、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少一名教师则不同的分配方案共有多少种？（答案：不同的分配方案共有36种。）
5、体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有多少种？（答案：不同的放法有10种。）
6、从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有多少种？（答案：不同的参赛方案的种数共有240种。）
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
已知=12，求x的值。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件得到关于x方程（或不等式），求解方程（或不等式）就可求出x的值。
【详细解答】=12，x（x-1）=12①，x≥2②，联立①②解得：x=4，若=12，则x的值为4。
2、从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A 24 B 18 C 12 D 6
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出组成无重复数字的三位奇数的个数就可得出选项。
【详细解答】从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数有两种不同的情况：第一种，从0，2中选取数字0，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数个数为=32=6（个）；第二种，从0，2中选取数字2，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数个数为=322=12（个），从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为6+12=18（个），
B正确，选B。
3、从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）
A 480种 B 255种 C 240种 D 120种
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件求出从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法种数就可得出选项。
【详细解答】从6双不同颜色的鞋中任取1双的取法有种，从剩下的10只鞋取不同颜色的两只的取法有种，从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有=640=240（种）， C正确，选C。
『思考问题7』
（1）【典例7】是解答排列与组合时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视，中n，m的取值范围，导致解答问题出现错误；②忽视问题中的隐含条件，导致解答问题出现错误；③忽视平均分组的无序性，导致解答问题出现错误；
（2）解答排列与组合时，为避免忽视，中n，m的取值范围的雷区，需要认真理解排列数和组合数计数公式，注意公式中n，m的取值范围；
（3）解答排列与组合时，为避免忽视问题中的隐含条件的雷区，需要认真挖掘问题中的隐含条件；
（4）解答排列与组合时，为避免忽视平均分组的无序性的雷区，问题涉及平均分组时，分组后需要排除分组过程中顺序产生的影响。
〔练习7〕解答下列问题：
1、解不等式＞6。
2、从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
3、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考点】①分步计算原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计算原理和组合数计算公式，求出则恰有1人连续参加两天服务的选择种数就可得出选项。
【详细解答】第一天从五人任选两人参加星期六服务的选择种数为==10（种），
第二天参加星期天服务的选择种数为=6（种），恰有1人连续参加两天服务的选择种数为106=60（种）， B正确，选B。
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出这
两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法总数就可得出选项。
【详细解答】两人选读同一种课外读物的选法为种，甲从剩余的五种读物选一种
的选法为种，乙从剩余的四种读物选一种的选法为种，这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有=654=120（种）， C正确，选C。
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③加法原理及运用；④组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用加法原理，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的选课方案总数。
【详细解答】若选修2门，从4门不同体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从8门不同的课程中选修2门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为=44=16（种）；若选修3门，有两种可能，其一选修2门体育课，1门艺术课，其二选修1门体育课，2门艺术课，从4门不同的体育选修2门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从4门不同的体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术课选修2门的选法为种，从8门不同的课程中选修3门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为+=64+46=48（种），从8门不同的课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门的不同的选课方案共有16+48=64（种），
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样的基本方法；③组合定义与性质； ④乘法原理及运用；⑤组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据分层抽样和组合的性质，运用分层抽样的基本方法，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出不同的抽样结果的总数就可得出选项。
【详细解答】抽取60名学生中，初中部人数为60400/400+200=40（人），高中部人数为60200/400+200=20（人），不同的抽样结果总数为 ， D正确，选D。
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式的种数，就可得出选项。
【详细解答】甲乙丙丁戊5名同学站成一排，且甲不站在两端，丙和丁相邻，不同排列方式有=226=24（种），B正确，选B。
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
（2）解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）（答案：C）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）（答案：C）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）（答案：D）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
C 42种 D 48种
【考纲解读】
理解排列的定义，理解并掌握排列计数公式；
理解组合的定义，理解并掌握组合计数公式；
能够运用排列和组合的知识，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、排列的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某一天的活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的参加方法？
从a、b、c、d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素按一定的要求排成一列。
1排列的定义：
（1）排列的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
（2）两个排列完全相同的条件是：①元素的个数相同；②排列的顺序一样；
（3）全排列的定义：n个元素全部取出的排列，称为n个元素的一个全排列。
2、排列数计算的基本方法：
（1）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，用表示；
（2）正整数n阶乘的定义：从正整数n到1的连续数的乘积，称为正整数n的阶乘，用表示，规定0！=1。
（3）排列数的计算公式：
①从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数：==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1）；
②全排列的排列的排列数：===n（n-1）（n-2）-----21。
3、排列的基本问题：
（1）排列的基本问题：排列的基本问题主要包括三种：①相邻问题；②不相邻问题； ③某些元素有特定限制的排列问题；
（2）相邻问题处理的基本方法：对相邻问题采用捆绑法，即把要求相邻的元素捆绑在一起看着一个整体（注意捆绑的元素之间还有一个捆绑元素的全排列问题）；
（3）不相邻问题处理的基本方法：对不相邻问题采用插空法，即先把没有要求的元素排列后，再把要求不相邻的元素插到它们的空隙位置上去；
（4）某些元素特定限制的排列问题处理的基本方法：对有特定限制的元素优先法，即把有特定限制的元素优先进行排列之后，再排列剩余元素。
二、组合的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
2、从a、b、c、d四个元素中，选出二个元素组成一组，共有多少个不同的组合？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素组成一组；
1、组合的定义：
（1）组合的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的一个组合；
（2）分辨一个问题是排列还是组合的基本方法：分辨一个问题是组合，还是排列的基本方法是看问题本身是否与顺序有关。
2、组合数的计算：
（1）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用表示；
（2）组合数的计算公式：==。
（3）组合数的性质：
①= ；
②=+。
3、组合的基本问题：
（1）组合的基本问题：组合的基本问题主要包括：① 指定元素必须当选问题；②指定元素必不当选问题；③指定元素不全当选问题；④ 某类元素至少m（m是一个确定的正整数）个当选的问题；
（2）指定元素必须当选的基本方法是：①先把指定的元素取出；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（3）指定元素必不当选的基本方法是：①把指定的元素除去；②在余下的元素中取出需要的个数；
（4）指定元素不全当选的基本方法是：①在指定的元素中取出需要的个数；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（5）某类元素至少m(m是一个确定的正整数)个当选的基本方法是：①在某类元素中取出需要的个数；②在其他类别的元素中取出剩下的个数。
4、排列与组合的关系：
排列与组合的关系是：①联系，排列与组合都涉及到从n个不同元素中取出m个元素的问题；②区别，排列从n个不同元素中取出m个元素后，还需要按一定顺序排成一列，不同的顺序排列也不一样；组合只需要从n个不同元素中取出m个元素就完成了；
三、分组与分配问题：
1、分组与分配问题包括：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
2、解答这类问题的基本方法：（1）先分清问题所属的类型；（2）运用处理该类型问题的基本方法解答问题。
四、排列组合的综合问题：
1、排列组合综合问题的定义：是指一个问题中既有排列问题又有组合问题。
2、排列组合综合问题的处理方法：
（1）处理排列组合综合问题的基本思想：是先组合后排列；
（2）处理排列组合综合问题的基本方法是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决。
【探导考点】
考点1排列的基本问题：热点①排列定义及运用；热点②排列数计算公式及运用；热点③排列的应用问题；
考点2组合的基本问题：热点①组合定义及运用；热点②组合数计算公式及运用；热点③组合的应用问题；
考点3排列组合的综合问题：热点①排列组合的分辨；热点②排列数组合数计算公式的综合运用；热点③排列组合的综合应用问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、计算下列各题：
① ② ③
2、n∈，且n＜10,则（10-n）(11-n)--------(100-n)=( )
A B C D
3、解不等式＞6
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列定义和排列数相关的问题，解决这类问题需要理解排列的定义，理解并掌握排列数的计算公式；
（2）排列数的计算公式是==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1），特别地当m=n时，称为n个元素的全排列，它的计算公式为==n（n-1）（n-2）-----21；
（3）在处理【典例1】中的3小题时，应该注意的m的取值范围是0＜mn这个隐含条件。
〔练习1〕解答下列问题：
1、计算下列各题：
① ② ③
2、下列各式中不等于n！的是（ ）
A B C D n
【典例2】按要求解答下列问题：
1、有5个同学排成一排照相，分别求符合下列条件的排法各有多少种？
（1）甲、乙两同学必须站在一起；
（2）甲、乙、丙三同学互不相邻；
（3）乙不站在甲前面，丙不站在乙前面；
（4）甲不站在中间位置，乙不站在两端位置。
（5）甲、乙必须分开站；
（6）甲、乙之间间隔2人；
（7）甲、乙站两端位置；
（8）甲不站左端，乙不站右端。
2、有5名男生，4名女生全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不站在中间也不站在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男女相间且女生不站两端。
『思考问题2』
【典例2】是排列的应用问题，解决这类问题需要掌握排列的三个基本问题，注意每个基本问题处理的基本方法；
解答排列应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习2〕解答下列问题：
7位同学站成一排，求符合下列条件的排列方法分别有多少种？
（1）甲不站右端，乙不站左端；
（2）甲、乙两同学必须站在一起；
（3）甲、乙、丙三同学必须分开站；
（4）甲不站中间，乙不站两端。
【典例3】解答下列问题：
1、计算：① ②
2、已知20=4（n+4）+15，求n；
3、计算+++
『思考问题3』
（1）【典例3】是组合定义和组合数相关的问题，解决这类问题需要理解组合的定义，理解并掌握组合数的计算公式；
（2）组合数的计算公式是==；
（3）组合数具有如下的性质：①= ；②=+。
〔练习3〕解答下列问题：
1、计算① ②3-2
2、+=（ ）
A B C D
(3)求证：①++= ②+++++=
【典例4】按要求解答下列问题：
1、从7名男同学和5名女同学中，选出5个，分别求符合下列条件的选法各有多少种？
（1）甲、乙两同学必须当选；
（2）甲、乙两同学必不当选；
（3）甲、乙两同学不全当选；
（4）至少有两名女同学当选。
2、在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件。
求：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？
3、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种不同的选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有一名女运动员；
（3）队长中至少有一人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员（2013北京海淀月考）
『思考问题4』
【典例4】是组合的应用问题，解决这类问题需要掌握组合的基本问题，注意各个基本问题的结构特征和处理的基本方法；
解答组合的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
从8名男同学，4名女同学中选出5人组成青年自愿队，按下列要求各有多少种不同的选法？
（1）至少有一名女同学参加；
（2）甲、乙两同学必须参加；
（3）甲、乙两同学必不参加；
（4）甲、乙两同学不全参加。
【典例5】解答下列问题：
1、把6本不同的书分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，有多少种不同的分配方式？
2、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，有多少种不同的分配？
3、把6本不同的书平均分成三份，每份2本，有多少种不同的分配方式？
4、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
5、把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份,1本，有多少种不同的分配方式？
6、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本，有多少种不同的分配方式？
7、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，有多少种不同的分配方式？
『思考问题5』
（1）【典例5】是分组和分配相关的问题，解答这类问题时，应先分清它所属的问题类型，再根据处理该类型问题的基本方法解答问题；
（2）分组与分配问题从分组来看有：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
（3）解答问题时，需要正确分辨问题是均匀分组还是不均匀分组；是有序分组还是无序分组。
〔练习5〕解答下列问题：
1、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A 4种 B 10种 C 18种 D 20种
2、有6本不同的书按下列方式进行分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本，2本，3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。
【典例6】解答下列问题：
1、从0,1,2,3,4五个数字这取出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字之和是多少？
从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
3、用0,1,2,3,4,5六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的4位偶数；
（2）能组成多少个无重复数字且是5的倍数的5位数；
（3）能组成多少个比1325大的4位数？
4、从1,2,3，-------30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
5、从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数字作系数可以组成多少个不同的一元二次方程？其中有实数解的有几个？
6、已知平面∥，在内有四个点，在内有6个点。
（1）过这10个点的三个点作一平面，最多可以作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可以作多少个三棱锥？
（3）上述三棱锥中，最多可以有多少个不同的体积？
7、已知10件不同的产品中，共有4件次品，现对它们进行一一测试，直到找到所有4件次品为止。
（1）若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品的不同测试方法有多少种？
（2）若恰在第五次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法数又是多少？
8、从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问有多少种不同的参赛方法？
9、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，求共有多少种不同的安排方法？
10、在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
11、有10个优秀名额分到高三年级一、二、三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数，问有多少种不同的分配方案？
12、某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，这天的课表有几种排法？
13、全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为多少？
14、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是多少？
15、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有多少种？
16、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有 （用数字作答）
17、有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）
『思考问题6』
（1）【典例6】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是从“分析”，“分辨”，“分类”，“分步”的角度入手；这里的“分析”就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；“分辨”是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；“分类”是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；“分步”是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）处理排列组合综合问题的基本步骤是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决；
（3）排列的主要特征是元素与元素之间与顺序有关；
（4）组合的主要特征是元素与元素之间与顺序无关；
（5）面对一个实际问题分辨它是排列还是组合的简便方法是看元素与元素之间是与顺序有关；
（6）在实际问题中，排列与组合往往同时出现，解决既有排列又有组合的问题的基本方法是先组合 后排列。
〔练习6〕解答下列问题：
1、用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，若个位数字小于百位上的数字，则这样的五位数有多少个？
2、马路上有编号为1,2，-------12的十二盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以关掉其中三盏，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，则满足条件不同的关灯方法有多少种？
某人练习打靶，一共打了8发，中了3发，其中恰有两发连中，问不同的中靶方式共有多少种？
4、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少一名教师则不同的分配方案共有多少种？
5、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有多少种？
6、从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有多少种？
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
已知=12，求x的值。
从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A 24 B 18 C 12 D 6
从五双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）
A 480种 B 255种 C 240种 D 120种
『思考问题7』
【典例7】是解答排列与组合时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视，中n，m的取值范围，导致解答问题出现错误；②忽视问题中的隐含条件，导致解答问题出现错误；③忽视平均分组的无序性，导致解答问题出现错误；
解答排列与组合时，为避免忽视，中n，m的取值范围的雷区，需要认真理解排列数和组合数计数公式，注意公式中n，m的取值范围；
解答排列与组合时，为避免忽视问题中的隐含条件的雷区，需要认真挖掘问题中的隐含条件；
解答排列与组合时，为避免忽视平均分组的无序性的雷区，问题涉及平均分组时，分组后需要排除分组过程中顺序产生的影响。
〔练习7〕解答下列问题：
1、解不等式＞6。
2、从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
3、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
排列与组合
【考纲解读】
理解排列的定义，理解并掌握排列计数公式；
理解组合的定义，理解并掌握组合计数公式；
能够运用排列和组合的知识，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、排列的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某一天的活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的参加方法？
从a、b、c、d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素按一定的要求排成一列。
1排列的定义：
（1）排列的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
（2）两个排列完全相同的条件是：①元素的个数相同；②排列的顺序一样；
（3）全排列的定义：n个元素全部取出的排列，称为n个元素的一个全排列。
2、排列数计算的基本方法：
（1）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，用表示；
（2）正整数n阶乘的定义：从正整数n到1的连续数的乘积，称为正整数n的阶乘，用表示，规定0！=1。
（3）排列数的计算公式：
①从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数：==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1）；
②全排列的排列的排列数：===n（n-1）（n-2）-----21。
3、排列的基本问题：
（1）排列的基本问题：排列的基本问题主要包括三种：①相邻问题；②不相邻问题； ③某些元素有特定限制的排列问题；
（2）相邻问题处理的基本方法：对相邻问题采用捆绑法，即把要求相邻的元素捆绑在一起看着一个整体（注意捆绑的元素之间还有一个捆绑元素的全排列问题）；
（3）不相邻问题处理的基本方法：对不相邻问题采用插空法，即先把没有要求的元素排列后，再把要求不相邻的元素插到它们的空隙位置上去；
（4）某些元素特定限制的排列问题处理的基本方法：对有特定限制的元素优先法，即把有特定限制的元素优先进行排列之后，再排列剩余元素。
二、组合的基本问题：
【问题】解答下列问题：
1、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
2、从a、b、c、d四个元素中，选出二个元素组成一组，共有多少个不同的组合？
『思考问题』
【问题】中的两个问题的共同特征是：①从n个元素中取出m个元素；②把取出的m个元素组成一组；
1、组合的定义：
（1）组合的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的一个组合；
（2）分辨一个问题是排列还是组合的基本方法：分辨一个问题是组合，还是排列的基本方法是看问题本身是否与顺序有关。
2、组合数的计算：
（1）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用表示；
（2）组合数的计算公式：==。
（3）组合数的性质：
①= ；
②=+。
3、组合的基本问题：
（1）组合的基本问题：组合的基本问题主要包括：① 指定元素必须当选问题；②指定元素必不当选问题；③指定元素不全当选问题；④ 某类元素至少m（m是一个确定的正整数）个当选的问题；
（2）指定元素必须当选的基本方法是：①先把指定的元素取出；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（3）指定元素必不当选的基本方法是：①把指定的元素除去；②在余下的元素中取出需要的个数；
（4）指定元素不全当选的基本方法是：①在指定的元素中取出需要的个数；②在余下的元素中取出剩下的个数；
（5）某类元素至少m(m是一个确定的正整数)个当选的基本方法是：①在某类元素中取出需要的个数；②在其他类别的元素中取出剩下的个数。
4、排列与组合的关系：
排列与组合的关系是：①联系，排列与组合都涉及到从n个不同元素中取出m个元素的问题；②区别，排列从n个不同元素中取出m个元素后，还需要按一定顺序排成一列，不同的顺序排列也不一样；组合只需要从n个不同元素中取出m个元素就完成了；
三、分组与分配问题：
1、分组与分配问题包括：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
2、解答这类问题的基本方法：（1）先分清问题所属的类型；（2）运用处理该类型问题的基本方法解答问题。
四、排列组合的综合问题：
1、排列组合综合问题的定义：是指一个问题中既有排列问题又有组合问题。
2、排列组合综合问题的处理方法：
（1）处理排列组合综合问题的基本思想：是先组合后排列；
（2）处理排列组合综合问题的基本方法是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决。
【探导考点】
考点1排列的基本问题：热点①排列定义及运用；热点②排列数计算公式及运用；热点③排列的应用问题；
考点2组合的基本问题：热点①组合定义及运用；热点②组合数计算公式及运用；热点③组合的应用问题；
考点3排列组合的综合问题：热点①排列组合的分辨；热点②排列数组合数计算公式的综合运用；热点③排列组合的综合应用问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、计算下列各题：
（1） （2） （3）
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出的值；（2）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出的值；（3）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】（1）=161514=3360；（2）=654321=720；（3）=65
43=360。
2、n∈，且n＜10,则（10-n）(11-n)--------(100-n)=( )
A B C D
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出（10-n）(11-n)--------(100-n)关于n的排列数表示式就可得出选项。
【详细解答】（10-n）(11-n)--------(100-n)=(100-n)(100-n-1)------(100-n-89)
(100-n-91+1)=， ,C正确，选C。
3、解不等式＞6
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件得到关于x的不等式组，求解不等式组就可求出不等式＞6的解集。
【详细解答】不等式＞6，84>9-x①，0≤x≤9②，0≤x-2≤6③，联立①②③解得：2≤x≤8，且x，不等式＞6的解集为{2，3，4，5，6，7，8}。
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列定义和排列数相关的问题，解决这类问题需要理解排列的定义，理解并掌握排列数的计算公式；
（2）排列数的计算公式是==n（n-1）（n-2）-----（n-m+1），特别地当m=n时，称为n个元素的全排列，它的计算公式为==n（n-1）（n-2）-----21；
（3）在处理【典例1】中的3小题时，应该注意的m的取值范围是0＜mn这个隐含条件。
〔练习1〕解答下列问题：
1、计算下列各题：
（1） （2） （3）
（答案：（1）=32760；（2） =5040；（3）=360。）
2、下列各式中不等于n！的是（ ）（答案：C）
A B C D n
【典例2】按要求解答下列问题：
1、有5个同学排成一排照相，分别求符合下列条件的排法各有多少种？
（1）甲，乙两同学必须站在一起；
（2）甲、乙、丙三同学互不相邻；
（3）乙不站在甲前面，丙不站在乙前面；
（4）甲不站在中间位置，乙不站在两端位置。
（5）甲、乙必须分开站；
（6）甲、乙之间间隔2人；
（7）甲、乙站两端位置；
（8）甲不站左端，乙不站右端。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙两同学必须站在一起不同的排法的种数；（2）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙，丙三同学互不相邻不同的排法的种数；（3）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出乙不站在甲前面，丙不站在乙前面不同的排法的种数；（4）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲不站中间位置，乙不站两端位置不同的排法的种数；（5）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙必须分开站不同的排法的种数；（6）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙之间间隔2人不同的排法的种数；（7）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲，乙站两端位置不同的排法的种数；（8）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲不站左端，乙不站右端不同的排法的种数。
【详细解答】（1）5个同学排成一排，甲，乙两同学必须站在一起，不同的排法有=224=48（种）；（2）5个同学排成一排，甲、乙、丙三同学互不相邻，不同的排法有=26=12（种）；（3）5个同学排成一排，乙不站在甲前面，丙不站在乙前面，不同的排法有=112=12（种）；（4）5个同学排成一排，甲不站在中间位置，乙不站在两端位置，不同的排法有+=236+226=60（种）；（5）5个同学排成一排，甲、乙必须分开站，不同的排法有=612=72（种）；（6）5个同学排成一排，甲、乙之间间隔2人，不同的排法有=622=24（种）；（7）5个同学排成一排，甲、乙站两端位置，不同的排法有=26=12（种）；（8）5个同学排成一排，甲不站左端，乙不站右端，不同的排法有+=24+33
6=78（种）。
2、有5名男生，4名女生全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不站在中间也不站在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男女相间且女生不站两端。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲不站在中间也不站在两端不同的排法的种数；（2）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出甲、乙两人必须排在两端不同的排法的种数；（3）根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件就可求出男女相间且女生不站两端不同的排法的种数。
【详细解答】（1）5名男生，4名女生全体排成一行，甲不站在中间也不站在两端，不同的排法有=640320=241920（种）；（2）5名男生，4名女生全体排成一行，甲、乙两人必须排在两端，不同的排法有=25040=10080（种）；（2）5名男生，4名女生全体排成一行，男女相间且女生不站两端，不同的排法有=600120=72000（种）。
『思考问题2』
【典例2】是排列的应用问题，解决这类问题需要掌握排列的三个基本问题，注意每个基本问题处理的基本方法；
解答排列应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习2〕解答下列问题：
7位同学站成一排，求符合下列条件的排列方法分别有多少种？
（1）甲不站右端，乙不站左端；
（2）甲、乙两同学必须站在一起；
（3）甲、乙、丙三同学必须分开站；
（4）甲不站中间，乙不站两端。（答案：甲不站右端，乙不站左端的不同排列方法有1320种；（2）甲、乙两同学必须站在一起的不同排列方法有1440种；（3）甲，乙，丙三同学必须分开站的不同排列方法有720种；（4）甲不站中间，乙不站两端的不同排列方法有1920种。）
【典例3】解答下列问题：
计算：（1） （2）
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出的值；（2）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】（1）==35；（2）==120。
2、已知20=4（n+4）+15，求n。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【详细解答】=，=，
=（n+3）（n+2），20=4（n+4）+15，
=+15，（n+4）（n+1）=18，（n+7）（n-2）=0，解之得：n=-7或n=2，
n，n=2。
3、计算+++
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出++
+的值。
【详细解答】=1，=3，=6，=10，+++=1+3+6+10=20。
『思考问题3』
（1）【典例3】是组合定义和组合数相关的问题，解决这类问题需要理解组合的定义，理解并掌握组合数的计算公式；
（2）组合数的计算公式是==；
（3）组合数具有如下的性质：①= ；②=+。
〔练习3〕解答下列问题：
1、计算（1） （2）3-2（答案：（1）=56；（2）3-2=148、）
2、+=（ ）（答案：B）
A B C D
3、求证：（1）++= （2）+++++=（提示：运用组合数计数公式通过计算就可证明结论）
【典例4】按要求解答下列问题：
1、从7名男同学和5名女同学中，选出5个，分别求符合下列条件的选法各有多少种？
（1）甲、乙两同学必须当选；
（2）甲、乙两同学必不当选；
（3）甲、乙两同学不全当选；
（4）至少有两名女同学当选。
2、在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件。
求：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？
3、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种不同的选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有一名女运动员；
（3）队长中至少有一人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员。
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出男运动员3名，女运动员2名不同选派方法的种数；（2）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出至少有一名女运动员不同选派方法的种数；（3）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出队长中至少有一人参加不同选派方法的种数；（4）根据组合的性质，运用组合数计算公式，结合问题条件就可求出既要有队长，又要有女运动员参加不同选派方法的种数。
【详细解答】（1）选出的运动员有男运动员3名，女运动员2名，不同的选派方法有
=206=120（种）；（2）选出的运动员至少有一名女运动员，不同的选派方法有
-=252-6=246（种）；（3）选出的运动员至少有一名队长，不同的选派方法有
+=140+56=196（种）；（4）选出的运动员既要有队长，又要有女运动员，不同的选派方法有-=252-1=251（种）。
『思考问题4』
【典例4】是组合的应用问题，解决这类问题需要掌握组合的基本问题，注意各个基本问题的结构特征和处理的基本方法；
解答组合的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题属于哪一种基本问题，②选用解决该类基本问题的基本方法解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
从8名男同学，4名女同学中选出5人组成青年自愿队，按下列要求各有多少种不同的选法？
（1）至少有一名女同学参加；
（2）甲、乙两同学必须参加；
（3）甲、乙两同学必不参加；
（4）甲、乙两同学不全参加。（答案：（1）至少有一名女同学参加的不同的选法有736种；（2）甲、乙两同学必须参加的不同的选法有120种；（3）甲、乙两同学必不参加的不同的选法有252种；（4）甲、乙两同学不全参加的不同的选法有372种）
【典例5】解答下列问题：
把6本不同的书分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理不均匀有序分组问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本属于不均匀有序分组的问题，若把6本不同的书平均分成三份，1份1本，1份2本，1份,3本，则有=6101=60（种）不同的分配方式。
2、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理不均匀有序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理不均匀有序分组问题分配的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本可以分两步进行：第一步，把6本不同的书分成1组1本，1组2本，1组,3本三组，有种不同的分法；第二步，将分成的三组分配给甲、乙、丙三人，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得,3本，则有=61016=360（种）不同的分配方式。
3、把6本不同的书平均分成三份，每份2本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理均匀无序分组问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分成三份，每份2本属于均匀无序分组的问题，若把6本不同的书平均分成三份，每份2本，则有=15（种）不同的分配方式。
4、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理均匀无序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题分配的基本方法，结合问题条件就可求出不同分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本可以分两步进行：第一步，把6本不同的书平均分成三组，有种不同的分法；第二步，将分成的三组分配给甲、乙、丙三人，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，则有=156=90（种）不同的分配方式。
5、把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理部分均匀无序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份1本可以分两步进行：第一步，从6本不同的书中抽取4本，有种不同的分配方式；第二步，把余下的2本书平均分成两组，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分成三份，1份4本，另外两份每份1本，则有=151=15（种）不同的分配方式。
6、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理部分均匀有序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀有序分组分配问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本可以分两步进行：第一步，把6本书分成三组，其中一组4本，剩下两组个1本有种不同分法；第二步，将分成的三组分配给甲，乙，丙三人有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲，乙，丙三人，1人得4本，另外两人每人得1本，则有
=156=90（种）不同的分配方式。
7、把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，有多少种不同的分配方式？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤处理部分均匀无序分组分配问题的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和处理部分均匀分组问题的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方式的种数。
【详细解答】把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本可以分两步进行：第一步，从6本不同的书中抽取4本分给丙，有种不同的分配方式；第二步，把余下的2本书平均分成两组，再分给甲，乙个一本，有种不同的分配方式，若把6本不同的书分给甲，乙，丙三人，甲得1本，乙得1本，丙得4本，则有
=152=30（种）不同的分配方式。
『思考问题5』
（1）【典例5】是分组和分配相关的问题，解答这类问题时，应先分清所属问题的类型，再根据处理该类型问题的基本方法解答问题；
（2）分组与分配问题从分组来看有：①无序不均匀分组问题；②有序不均匀分组问题；③无序均匀分组问题；④有序均匀分组问题；⑤无序部分均匀分组问题；⑥有序部分均匀分组问题；⑦直接分配问题；
（3）解答问题时，正确分辨问题是均匀分组还是不均匀分组；是有序分组还是无序分组的解答问题的关键。
〔练习5〕解答下列问题：
1、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（答案：B）
A 4种 B 10种 C 18种 D 20种
2、有6本不同的书按下列方式进行分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本，2本，3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。（答案：（1）分成1本，2本，3本三组，共有60种不同的分配方式；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，共有360种不同的分配方式；（3）分成每组都是2本的三个组，共有15种不同的分配方式；分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有90种不同的分配方式.）
【典例6】解答下列问题：
从0,1,2,3,4五个数字任取出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字之和是多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出所有这些三位数的个位数字之和。
【详细解答】从0,1,2,3,4五个数字这取出不同的三个数字组成一个三位数有两种可能的情况：第一种，个位数字是0，这种情况下无重复数字的五位数的个数有=62=12（个）；第二种，个位数字是1,2,3,4中的一个数字，这种情况下无重复数字的三位数的个数有=433=36（个），从0,1,2,3,4五个数字选出不同的三个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字之和是012+（1+2+3+4）9=0+90=90。
2、从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出组成无重复数字的五位数的个数。
【详细解答】从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，组成无重复数字的五位数有两种可能的情况：第一种，0,2,4,6,8五个数字这选出3个数字包含数字0，这种情况下无重复数字的五位数的个数有=106424=5760（个）；第二种，0,2,4,6,8五个数字这选出3个数字不包含数字0，这种情况下无重复数字的五位数的个数有=104120=4800（个），从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成5760+4800=10560（个）无重复数字的五位数。
3、用0,1,2,3,4,5六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的4位偶数；
（2）能组成多少个无重复数字且是5的倍数的5位数；
（3）能组成多少个比1325大的4位数？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出组成无重复数字的4位偶数的个数；（2）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出组成无重复数字且是5的倍数的5位数的个数；（3）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出能组成比1325大的4位数的个数。
【详细解答】（1）组成无重复数字的4位偶数有两种可能的情况：第一种，个位数是0，这样的偶数有=106=60（个）；第二种，个位数是2或4，这样的偶数有
=2462=96（个），用0,1,2,3,4,5六个数字，能组成60+96=156（个）无重复数字的4位偶数；（2）组成无重复数字且是5的倍数的5位数有两种可能的情况：第一种，个位数是0，这样的偶数有=524=120（个）；第二种，个位数是5，这样的偶数有=446=96（个），用0,1,2,3,4,5六个数字，能组成120+96=216（个）无重复数字且是5的倍数的5位数；（3）组成比1325大的4位数有两种可能的情况：第一种，最高数位数字是1，这样比1325大的四位数有+=23+262=30（个）；第二种，最高数位数字是,2,3,4,5中的任意一个数字，这样比1325大的四位数有=4106=240（个），用0,1,2,3,4,5六个数字，能组成30+240=270（个）比1325大的四位数。
4、从1,2,3，-------30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法的种数。
【详细解答】每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数有四种可能情况，第一种，从1，4，7，10，13，16，19，22，25，28这10个自然数中任意取出3个，不同的取法有种；第二种，从2，5，8，11，14，17，20，23，26，29这10个自然数中任意取出3个，不同的取法有种；第三种，从3，6，9，12，15，18，21，24，27，30这10个自然数中任意取出3个，不同的取法有种；第四种，分别从1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，3，6，9，12，15，18，21，24，27，30这三组10个自然数中各取出1个，不同的取法有种，从1,2,3，-------30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有+++=120+120+120+1000=1360（种）。
5、从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数字作系数可以组成多少个不同的一元二次方程？其中有实数解的有几个？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出取出三个不同的数字作系数可以组成方程的个数，并求出方程中有实数解的方程的个数。
【详细解答】取出三个不同的数字作系数可以组成一元二次方程有两种可能的情况：第一种，取出的三个数字中含有0，分两步进行：第一步取出三个数，有种取法；第二步，把取出的三个数字作为系数组成一元二次方程，有个不同的方程，这种情况下组成不同的一元二次方程有=622=24（个）；第二种，取出的三个数字中不含有0，分两步进行：第一步取出三个数，有种取法；第二步，把取出的三个数字作为系数组成一元二次方程，有个不同的方程，这种情况下组成不同的一元二次方程有=46=24（个），从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数字作系数可以组成24+24=48（个）不同的一元二次方程；一元二次方程有实数解的充分必要条件是判别式≥0，对第一种情况只需常数项为0，一元二次方程就有实数解，这样的方程有=62=12（个）；对第二种情况有两种可能，第一，一次项系数为5，二次项系数与常数项只能是数字1，3，这样的方程有2个；第二，一次项系数为7，二次项系数与常数项的数字1，3，5三个数字任取两个，这样的方程有=32=6（个），这些一元二次方程中有实数解的不同方程有12+2+6
=20（个）。
6、已知平面∥，在内有四个点，在内有6个点。
（1）过这10个点的三个点作一平面，最多可以作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可以作多少个三棱锥？
（3）上述三棱锥中，最多可以有多少个不同的体积？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出最多可以作不同的平面个数；（2）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出最多可以作三棱锥的个数；（3）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出最多可以有不同的体积三棱锥的个数。
【详细解答】（1）过这10个点的三个点作一平面有3种可能的情况：第一种，在平面内取一点，在平面内取两点，这样的平面最多有=415=60（个）；第二种，在平面内取两点，在平面内取一点，这样的平面最多有=66=36（个）；第三种，分别在平面内取三点，在平面内取三点，这样的平面最多有1+1=2（个），过这10个点的三个点作一平面，最多可以作60+36+2=98（个）不同的平面；（2）过这10个点作三棱锥有3种可能的情况：第一种，在平面内取一点，在平面内取三点，这样的三棱锥最多有=420=80（个）；第二种，在平面内取两点，在平面内取两点，这样的三棱锥最多有=615=90（个）；第三种，分别在平面内取三点，在平面内取一点，这样的三棱锥最多有=46=24（个），过这10个点的三个点作三棱锥，最多可以作80+90+24=194（个）不同的平面；（3）平面∥，平面内任取一点，到平面的距离都相等，平面内任取一点，到平面的距离都相等，（2）中的三棱锥最多可以有
++=4+20+90=114（个）不同的体积.
7、已知10件不同的产品中，共有4件次品，现对它们进行一一测试，直到找到所有4件次品为止。
（1）若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品的不同测试方法有多少种？
（2）若恰在第五次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法数又是多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出第十次才测到最后一件次品的不同测试方法的种数；（2）根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出恰在第五次测试后就找到了所有4件次品方法的种数。
【详细解答】（1）若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品可以按三步进行：第一步，从6件正品中取出4件排在前4个位置，有种方法；第二步，从4件次品中取出2件排在第五和第十个位置，有种方法；第三步，把余下的2件次品和2件正品排在剩下的4个位置，有种方法，若恰在第五次测试才测到第一件次品，第十次才测到最后一件次品，则不同测试方法有==15246224
=103620（种）；（2）若恰在第五次测试后找到了所有4件次品可以按二步进行：第一步，从4件次品中取出1件排在第五个位置，有种方法；第二步，从6件正品中取出1件与余下的3件次品，排在前4个位置，有种方法，,恰在第五次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法有=4624=576（种）。
8、从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问有多少种不同的参赛方法？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的安排方法的种数。
【详细解答】从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒有3种可能的情况：第一种，甲，乙两人都选上，第一步从6人中选出4人，有种选法；第二步，把选出的4人安排参加比赛，有+种，这种情况下，不同的参赛方法有（+）=6（32+222）=84（种）；
第二种，甲选上乙没有选上或甲没有选上乙选上，第一步从6人中选出4人，有种选法；第二步，把选出的4人安排参加比赛，有种，这种情况下，不同的参赛方法有=2436=144（种）；第三种，甲乙都没有选上，第一步从6人中选出4人，有种选法；第二步，把选出的4人安排参加比赛，有种，这种情况下，不同的参赛方法有=124=24（种），若从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则有84+144+24=252（种）不同的参赛方法。
9、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，求共有多少种不同的安排方法？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的安排方法的种数。
【详细解答】在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目有3种可能的情况：第一种，添加进去3个节目安排在一起，这种情况下，不同的安排方法的有=67=42（种）；第二种，添加进去3个节目其中2个节目安排在一起，这种情况下，不同的安排方法的有=32212=252（种）；第三种，添加进去3个节目都不安排在一起，这种情况下，不同的安排方法的有=356=210（种），若在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，则共有42+252+210=504（种）不同的安排方法。
10、在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的种植方法共有的种数。
【详细解答】在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄有三种可能的情况：第一种，A、B两种作物间隔为6垄，第一步可在第1垄与第8垄或第2垄与第9垄或第3垄与第10垄之间选出2垄有种选法；第二步，在选出的2垄地上种植A、B两种作物有种方法，这种情况下，不同的种植方法有=32=6（种）；第二种，A、B两种作物间隔为7垄，第一步可在第1垄与第9垄或第2垄与第10垄之间选出2垄有种选法；第二步，在选出的2垄地上种植A、B两种作物有种方法，这种情况下，不同的种植方法有=22=4（种）；第三种，A、B两种作物间隔为8垄，第一步可在第1垄与第10垄之间选出2垄，只有1种选法；第二步，在选出的2垄地上种植A、B两种作物有种方法，这种情况下，不同的种植方法有=12=2（种），若在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不少于6垄，则不同的种植方法共有6+4+2=12（种）。
11、有10个优秀名额分到高三年级一，二，三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数，问有多少种不同的分配方案？
【解析】
【知识点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用③不平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据组合的性质，运用组合数计算公式和不平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出不同的分配方案的种数。
【详细解答】把10个优秀名额分到高三年级一，二，三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数可以分两步进行：第一步，给二班1个名额，三班2个名额只有一种方法；第二步，把余下的7个名额不均匀地分成三个部分，可以视为在6个空位任选2个放入两个插板，这样的方法有种，若有10个优秀名额分到高三年级一，二，三班，分到各班的名额数不少于它们班级的序号数，则有=35=15（种）不同的分配方案。
12、某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，这天的课表有几种排法？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③排列基本问题处理的基本方法。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式和排列基本问题处理的基本方法，结合问题条件就可求出这天的课表有排法的种数。
【详细解答】某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，排这天的课表有三种可能情况：第一种，：第一步，体育课排第二节课；第二步，在余下的4节课中排数学课，有种排法；第三步，在余下的4节课中排物理课，有种排法；第四步，在余下的3节课中排剩下3学科，有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=446=96（种）；第二种，：第一步，体育课排第六节课；第二步，在余下的4节课中排物理课，有种排法；第三步，在余下的4节课中排数学课，有种排法；第四步，在余下的3节课中排剩下3学科，有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=446=96（种）；第三种，：第一步，排体育课，在第三节，第四节，第五节的3节课中排一节，有种排法；第二步，在余下的5节课中排数学课，若数学课排第二节，则余下的四个学科可在剩下的四节课随意排有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=324=72（种）；若在第一节，第三节，第四节，第五节余下的3节课中排一节，有种排法；第三步，在余下的3节课中排物理课，有种排法；第四步，在余下的3节课中排剩下3学科，有种排法，这种情况下，排这天的课的方法有=3336=162（种），若某天要上政治、语文、数学、物理、体育、生物六节课，但第一节不排体育，第二节不上物理，第六节不上数学，则排这天的课的方法有96+96+72+162=426（种）。
13、全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出开幕式当天不同排班的种数。
【详细解答】从14名志愿者中抽取12名志愿者参加接待工作，安排每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班可以分三步进行：第一步，从14名志愿者中抽取12名志愿者有种；第二步，把选出的12名志愿者平均分成三组有种；第三步，将分成的三组志愿者安排到早，中，晚三班，有种，若从14名志愿者中抽取12名志愿者参加接待工作，安排每天早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为=9157756=3153150（种）。
14、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是多少？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出这4位同学不同得分情况的种数。
【详细解答】4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，4位同学的总分为0分有三种可能的情况：第一种，4位同学都选作甲题，其中两人答对，两人答错，这样的不同得分情况种数有=62=12（种）；第二种，4位同学都选作乙题，其中两人答对，两人答错，这样的不同得分情况种数有=62=12（种）；
第三种，4位同学中，二人选作甲题，其中1人答对，1人答错，二人选作乙题，其中1人答对，1人答错，这样的不同得分情况种数有=3222=24（种），若
4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛的规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分，选乙题答对得90分，答错得-90分，4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数为12+12+24=48（种）。
15、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有多少种？
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出不同的传递方法共有的种数。
【详细解答】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览的可能情况有三种：第一种，甲，乙二人都没有选中，这样的选择方案有=124=24（种）；第二种，甲，乙两人选中一人，这样的选择方案有=2436=144（种）；第三种，甲，乙两人都选中，这样的选择方案有=1662=72（种），若从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这六人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有24+144+72=240（种）。
16、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有 （用数字作答）
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出不同的传递方法共有的种数。
【详细解答】奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，传递方法可以分三步进行：第一步，先从甲，乙二人中选一人传递最后一棒；第二步，从甲，乙，丙余下的二人中选一人传递第一棒；第三步，剩下的四人在剩下的四棒中可以随意安排，不同的传递方法共有=2224=96（种）。
17、有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件就可求出取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，不同的排法种数。
【详细解答】取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行有三种可能的情况：第一种，取出卡号数字是1，2，3，4，不同的取法和排法有（++++）=（4+6+4+1）24=384（种）；第二种，取出卡号数字是1，1，4，4，不同的取法和排法有=1124=24（种）；第三种，取出卡号数字是2，2，3，3，不同的取法和排法有=1124=24（种），从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标有的数字之和等于10，则不同的排法共有384+24+24=432（种）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是从“分析”，“分辨”，“分类”，“分步”的角度入手；这里的“分析”就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；“分辨”是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；“分类”是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；“分步”是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）处理排列组合综合问题的基本步骤是：①分析问题，分辨清楚问题中哪些是排列，哪些是组合；②分析问题，分辨清楚问题中哪些是分类，哪些是分步；③分析问题，分辨清楚问题中涉及到几个基本问题，对于每一个基本问题进行逐步解决；
（3）排列的主要特征是元素与元素之间与顺序有关；
（4）组合的主要特征是元素与元素之间与顺序无关；
（5）面对一个实际问题分辨它是排列还是组合的简便方法是看元素与元素之间是与顺序有关；
（6）在实际问题中，排列与组合往往同时出现，解决既有排列又有组合的问题的基本方法是先组合 后排列。
〔练习6〕解答下列问题：
1、用数字0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数，若个位数字小于百位上的数字，则这样的五位数有多少个？（答案：这样的五位数有48个。）
2、马路上有编号为1，2，-------12的十二盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以关掉其中三盏，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，则满足条件不同的关灯方法有多少种？（答案：不同的关灯方法有56种。）
3、某人练习打靶，一共打了8发，中了3发，其中恰有两发连中，问不同的中靶方式共有
多少种？（答案：问不同的中靶方式共有30种。）
4、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少一名教师则不同的分配方案共有多少种？（答案：不同的分配方案共有36种。）
5、体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有多少种？（答案：不同的放法有10种。）
6、从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有多少种？（答案：不同的参赛方案的种数共有240种。）
【雷区警示】
【典例7】解答下列问题：
已知=12，求x的值。
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件得到关于x方程（或不等式），求解方程（或不等式）就可求出x的值。
【详细解答】=12，x（x-1）=12①，x≥2②，联立①②解得：x=4，若=12，则x的值为4。
2、从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A 24 B 18 C 12 D 6
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出组成无重复数字的三位奇数的个数就可得出选项。
【详细解答】从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数有两种不同的情况：第一种，从0，2中选取数字0，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数个数为=32=6（个）；第二种，从0，2中选取数字2，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数个数为=322=12（个），从0，2中选一个数字，从1，3，5选两个数字，组成无重复数字的三位奇数的个数为6+12=18（个），
B正确，选B。
3、从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）
A 480种 B 255种 C 240种 D 120种
【解析】
【知识点】①排列定义与性质；②组合定义与性质；③排列数计算公式及运用；④组合数计算公式及运用；⑤平均无序分组的基本方法。
【解题思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式，组合数计算公式和平均无序分组的基本方法，结合问题条件求出从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法种数就可得出选项。
【详细解答】从6双不同颜色的鞋中任取1双的取法有种，从剩下的10只鞋取不同颜色的两只的取法有种，从6双不同颜色的鞋中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有=640=240（种）， C正确，选C。
『思考问题7』
（1）【典例7】是解答排列与组合时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视，中n，m的取值范围，导致解答问题出现错误；②忽视问题中的隐含条件，导致解答问题出现错误；③忽视平均分组的无序性，导致解答问题出现错误；
（2）解答排列与组合时，为避免忽视，中n，m的取值范围的雷区，需要认真理解排列数和组合数计数公式，注意公式中n，m的取值范围；
（3）解答排列与组合时，为避免忽视问题中的隐含条件的雷区，需要认真挖掘问题中的隐含条件；
（4）解答排列与组合时，为避免忽视平均分组的无序性的雷区，问题涉及平均分组时，分组后需要排除分组过程中顺序产生的影响。
〔练习7〕解答下列问题：
1、解不等式＞6。
2、从1,3,5,7,9五个数字这选2个，0,2,4,6,8五个数字这选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
3、把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方式？
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考点】①分步计算原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计算原理和组合数计算公式，求出则恰有1人连续参加两天服务的选择种数就可得出选项。
【详细解答】第一天从五人任选两人参加星期六服务的选择种数为==10（种），
第二天参加星期天服务的选择种数为=6（种），恰有1人连续参加两天服务的选择种数为106=60（种）， B正确，选B。
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出这
两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法总数就可得出选项。
【详细解答】两人选读同一种课外读物的选法为种，甲从剩余的五种读物选一种
的选法为种，乙从剩余的四种读物选一种的选法为种，这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有=654=120（种）， C正确，选C。
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③加法原理及运用；④组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用加法原理，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的选课方案总数。
【详细解答】若选修2门，从4门不同体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从8门不同的课程中选修2门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为=44=16（种）；若选修3门，有两种可能，其一选修2门体育课，1门艺术课，其二选修1门体育课，2门艺术课，从4门不同的体育选修2门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从4门不同的体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术课选修2门的选法为种，从8门不同的课程中选修3门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为+=64+46=48（种），从8门不同的课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门的不同的选课方案共有16+48=64（种），
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样的基本方法；③组合定义与性质； ④乘法原理及运用；⑤组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据分层抽样和组合的性质，运用分层抽样的基本方法，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出不同的抽样结果的总数就可得出选项。
【详细解答】抽取60名学生中，初中部人数为60400/400+200=40（人），高中部人数为60200/400+200=20（人），不同的抽样结果总数为 ， D正确，选D。
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式的种数，就可得出选项。
【详细解答】甲乙丙丁戊5名同学站成一排，且甲不站在两端，丙和丁相邻，不同排列方式有=226=24（种），B正确，选B。
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
（2）解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）（答案：C）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）（答案：C）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）（答案：D）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
C 42种 D 48种