2023-2024学年河南省郑州市中牟县高一（下）期中数学试卷(含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中牟县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 长方体是平行六面体
C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形
D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
2.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知是两个单位向量，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设，是两个非零向量，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则存在实数，使得
C. 若，则
D. 若存在实数，使得，则
7.如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，正六边形中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是向量的位置，则下列结论正确的是( )
A. B. 存在实数，使得
C. D. 向量，的夹角为
10.已知，均为复数，则下列结论中正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若，则 D. 若，则是实数
11.已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有( )
A. 圆台的母线长为 B. 圆台的体积为
C. 圆台的表面积为 D. 球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，则复数的虚部是______．
13.球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥的侧面展开图的圆心角大小为______，球的体积与圆锥的体积的比值为______．
14.如图，某宝塔坐落在一山坡上，若在山坡处测得，从处沿山坡直线往上前进米到达处，在山坡处测得，，则该宝塔的高约为______米，结果取整数
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足且．
求复数；
求．
16.本小题分
已知在向量，中，．
若向量，，求；
若向量在向量上的投影向量，求．
17.本小题分
如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
求平面四边形的面积及周长；
若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18.本小题分
在钝角中，，．
求的大小；
在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
条件：；
条件：的周长为；
条件：的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，．
当时，求四边形的面积；
当时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的锥是正棱锥，A错误；
平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故B正确；
用一个平行于底面的平面去截圆柱，所得截面是圆面，
当截面平行圆柱的轴时，所得截面是矩形，当其他平面截圆柱，还可得到椭圆，C错误；
用平行于棱锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做圆台，D错误．
故选：．
根据几何体的定义逐项判断即可．
本题考查几何体的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：复数，
故复数在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：．
先对化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：是两个单位向量，
则，
，
则，即，解得，
与的夹角范围为，
则与的夹角为．
故选：．
对两边同时平方，再结合向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
解得，负值舍去．
故选：．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：向量，，
与的夹角为钝角，
则，解得且，
故“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解
本题主要考查平面向量数量积运算，以及向量共线的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的相关概念，向量的模，属于基础题．
由两向量模的性质，可得，反向共线，即可判断；运用向量共线定理，可判断；由向量垂直，知不共线，即可判断；由向量共线定理和向量模的性质，可判断．
【解答】
解：，是两个非零向量，
对于，若，则，反向共线，即A错误；
对于，若，则，反向共线，由向量共线定理可得存在实数，使得，B正确；
对于，若，则，不共线，不成立，即C错误；
对于，存在实数，使得，若，则，同向共线，不成立，即D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由直三棱柱的体积为，
可得，
设到平面的距离为，
由，
，
，
解得．
故选：．
利用等体积法即可求点到平面的距离．
本题考查等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由正六边形性质得：，
则以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
设正六边形的边长为，则，，，，
所以，，，
设，
则，
所以，解得，
所以．
故选：．
由题建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算计算即可求得．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据向量的坐标表示，由图可得，，
则，故A正确；
由图可知，与不共线，故B错误；
，故C错误；
，，
则向量，的夹角为，故D正确．
故选：．
根据向量坐标定义，得出向量，的坐标，利用坐标进行计算即可判定各选项．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，取，，满足，但不满足，故A不正确；
对于选项B，设，则由得：，所以，故B正确；
对于选项C，设，，则，，
所以由得：，即，
所以，故C不正确；
对于选项D，设，则由得：，
所以，故D正确．
故选：．
取，，验证选项A的正误；设，，利用复数的四则运算即可判断，，的正误．
本题考查复数的概念及四则运算，考查学生的数学运算能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：画出圆台的轴截面，如图所示：
则四边形是等腰梯形，且，，内切圆是球的大圆；
所以圆台的母线长为，选项A正确；
连接、和，则是，且，所以球的半径为，
所以圆台的体积为，选项B错误；
圆台的表面积为，选项C正确；
球的表面积为，选项D正确．
故选：．
画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是球的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论．
本题考查了圆台与球的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为复数，
所以的虚部是．
故答案为：．
化简复数，再写出的虚部．
本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，
则，所以，
圆锥的侧面展开图的圆心角大小为；
球的体积为，圆锥的的高，
圆锥的体积为，
所以球的体积与圆锥的体积的比值为．
故答案为：．
设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得，即可得圆锥的侧面展开图的圆心角大小；根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可
本题考查了球和圆锥体积的计算，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
所以，
所以，因为，
所以，
，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以．
故答案为：．
根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果．
本题主要考查了和差角公式，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：设复数，、，
由且，得，
解得，所以复数或；
时，；
时，；
综上，．
【解析】设复数，、，由题意列方程组求解即可；
根据中的值，求即可．
本题考查了复数的定义与代数形式运算问题，是基础题．
16.【答案】解：由，，，
可得，即，
解得，
则；
由题意，向量在向量上的投影向量，
即，又，
所以．
【解析】由已知，求得，进而利用数量积性质求得结论；
由投影向量的模长为，利用定义可求得结论．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
17.【答案】解：把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，如图所示：
所以平面四边形的面积为，
周长为；
四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，
则旋转体的体积为，
表面积为．
【解析】把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长；
四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可．
本题考查了平面图形的直观图和旋转体的表面积与体积计算问题，是基础题．
18.【答案】解：在中，因为，
又因为，，
所以，
又因为为钝角三角形，
所以；
由可知，
所以，
所以，
故条件不符合题意，
选择条件：因为中，，，
所以，即为等腰三角形，其中，
因为，
所以，
所以，
设点为线段的中点，在中，，
因为中，，
所以，
即边上的中线的长度为，
选择条件：因为中，，，
所以，即为等腰三角形，其中，
因为的面积为，
即，
解得，
即，
设点为线段的中点，在中，，
因为中，，
所以，
即边上的中线的长度为．
【解析】由正弦定理可解得；
条件不符合题意，条件由余弦定理可得；条件由三角形的面积公式和余弦定理可得．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：如图，连接，则当时，
在中，由余弦定理可得，
所以在中，由勾股定理可得，
所以，
所以，，
所以；
如图，连接，作于点，
则由，可得为的中点，设，
则，
在中，由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以，
所以，
由，可得，
所以
【解析】连接，在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，结合三角形面积公式求解即可；
连接，作于点，利用正弦定理和二倍角公式求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．
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