2023-2024学年上海市浦东新区海洋大学附属大团高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区海洋大学附属大团高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“是钝角”是“是第二象限角”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知，，则角的终边所在的象限是( )
A. 一或三 B. 二或四 C. 一或二 D. 三或四
3.化简的值为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.将化为弧度为______．
6.设扇形的周长为，半径为，则扇形的圆心角的弧度数是______．
7.已知角的终边经过点，则的值为______．
8.已知 ______．
9.在中，已知，，，则 ______．
10.化简： ______．
11.方程的解集是______．
12.已知，则的值为______．
13.在中，，是方程的两个根，则 ______．
14.在中，若面积，则______．
15.已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至则点的坐标为______．
16.函数的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求：的值．
18.本小题分
一个扇形的周长是，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？
19.本小题分
已知，其中求：
的值；
求角的值
20.本小题分
海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？
21.本小题分
设三个内角、、所对的边分别为、、，已知，．
求角的大小；
如图，在内取一点，使得，过点分别作直线、的垂线、，垂足分别是、设，求四边形的面积的最大值及此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，属于基础题．
由是钝角可得是第二象限角，反之不成立，即可得出结果．
【解答】
解：若是钝角，则是第二象限角；
反之，若是第二象限角，不一定是钝角，如．
“是钝角”是“是第二象限角”的充分非必要条件．
故本题选A．
2.【答案】
【解析】解；角满足且，
位于第三象限．
，
则
当为奇数时它是第四象限，当为偶数时它是第二象限的角
角的终边在二或四象限
故选：．
利用象限角的各三角函数的符号，将且，得出所在的象限，进而得出结果．．
本题考查象限角中各三角函数的符号，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
又因为，所以，，即原式．
故选：．
根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解．
本题考查正弦、余弦的二倍角公式，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，由及正弦定理，
得
，
由，，得，且，
则，因此，，
所以的取值范围为．
故选：．
根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果．
本题主要考查了正弦定理，余弦函数性质的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，．
故答案为：．
利用度与弧度的互化关系求解即得．
本题主要考查了角度与弧度的互化，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设扇形的弧长为，则，
解得，
扇形的圆心解的弧度数为．
故答案为：．
先求出扇形的弧长，再求出扇形的圆心角的弧度数．
本题考查扇形结构特征、弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为角的终边经过点，所以，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据三角函数的定义得到和的值，进而得到的值．
本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：
故答案为：
先利用同角三角函数的平方关系，求出的值，再利用和角的正弦公式，即可求出结论．
本题考查同角三角函数的平方关系，考查和角的正弦公式，运用同角三角函数的平方关系时，要注意符号的选择．
9.【答案】
【解析】解：因为中，，，，
由正弦定理得，，
所以．
故答案为：．
由已知结合正弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据题意，结合三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由方程，可得，
因为，所以或．
故答案为：
根据题意，得到，结合特殊角的三角函数值，即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由已知得，即，
，
由，且，，
，
，
故答案为：．
根据同角关系中的平方关系进行解答，注意涉及的函数值正负与角终边所在象限联系，结合，进一步缩小角的范围，进而在开方运算时得出正确的符号．
本题主要考查了同角基本关系在三角求值中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：方程中，，则，，
在中，．
故答案为：．
利用韦达定理、诱导公式及和角的正切计算即得．
本题主要考查了方程的根与系数关系，和差角公式及诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：在中，若面积，
所以，
整理得，
所以，
由于，
故A．
故答案为：
直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设以为终边的角为，则由三角函数定义可知：，，
由题意，以为终边的角为，
又，
，
即点的坐标为，
故答案为：
直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数，
当，即时，．
故答案为：．
首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：依题意，，
解得，
所以．
【解析】根据给定条件，利用诱导公式及切化弦求出，再利用齐次式法求值即得．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：设扇形的半径为，弧长为，
则，即．
扇形的面积，将上式代入，
得，
所以当且仅当时，有最大值，
此时，
可得：．
所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为．
【解析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
19.【答案】解：因为且，
可得，
所以，
则．
由知，
因为，
可得，
又因为，
所以，
可得，
所以，
所以．
【解析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式，即可求解；
根据题意，求得，得到，进而求得的值．
本题考查了同角三角函数的基本关系式，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
20.【答案】解：根据题意画出图形，如图所示：
在中，，
由正弦定理得，
则，即，
在中，，由余弦定理得，
因此，解得，
所以灯塔与处之间的距离为海里．
【解析】根据题意画出图形，利用正弦定理求出，再由余弦定理即可求得．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由及正弦定理可得：，即，
又，，
有或，
又，得，与矛盾，
，
；
由题设，得在中，，
在中，，，
，
，
，从而有，
即，
于是，当，即时，四边形的面积取得最大值．
【解析】由及正弦定理，可得：，即，又，，可得或，由于，即可得出；
由题设得在中，，在中，同理可得，，于是可得，由于，利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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