2023-2024学年广西示范性高中高一（下）调研数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年广西示范性高中高一（下）调研数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在中“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数且的图象必过点( )
A. B. C. D.
4.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若函数是定义在上的偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，是实数，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 点是图象的一个对称中心
D. 函数在区间上单调递减
11.已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是幂函数，则 ______．
13.已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是______．
14.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简，求值：
；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，
求函数的解析式；
求函数在区间上的最小值和最大值．
17.本小题分
已知函数，
求的最小正周期及单调递增区间；
把的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值为，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数．
求的值，并证明函数在上单调递增；
求函数，的值域．
19.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性并证明；
令，
判断函数在上的单调性不必说明理由；
是否存在，使得函数在区间的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由不等式，解得，
可得，
又由，
所以．
故选：．
根据不等式的解法，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
又当时，，，
推不出，
是的必要不充分条件，
故选：．
由题意看命题与是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，考查三角函数的函数值与自变量的对应，本题是一道基础题．
3.【答案】
【解析】解：指数数函数的定义，令，解得，此时，
故函数且恒过定点
故选：．
令，此时，可得所给的函数的图象恒过定点．
本题考点是指数函数的单调性与特殊点，考查指数函数恒过定点的问题，由指数函数定义可直接得到幂指数为时，指数式的值一定为，利用此规律即可求得函数图象恒过定点的坐标，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：命题“，”为全称量词命题，其否定是“，”．
故选：．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可．
本题主要考查全称命题的否定，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称，
可得，所以，
由，可得，变形可得，解得，
所以．
故选：．
根据题意，由偶函数定义域的要求可得，可得的值，进而可得，求出的值，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意偶函数的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
而，
所以，
所以．
故选：．
由对数函数、指数函数以及正弦函数单调性即可得解．
本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
依题意可得，再利用乘“”法及基本不等式计算可得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：
，
所以
．
所以．
故选：．
依题意可得，再倒序相加即可得解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当时，，故A项错误；
对于，当时，两边都除以正数，得，故B项正确；
对于，当，，则，显然成立，故C项正确；
对于，若，，比如，，，时，，故D项错误．
故选：．
根据题意，通过取特殊值进行检验，判断出、两项的正误；利用不等式的基本性质判断出、两项的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设的最小正周期为，
由图象可知，解得，故A选项正确；
因为，所以，解得，如图可知：，故．
将代入解析式得，
因为，则，得，故．
当时，，则点是函数的对称中心，即直线不是其对称轴，故B选项错误；
当时，，则点是函数的对称中心，故C选项正确；
因当时，取，而在上单调递增，故在区间上单调递增，故D选项错误．
故选：．
根据函数的图象读取周期信息即得项，根据周期确定值，根据图象经过的点确定，推得函数解析式，对于，，项只需将看成整体角，结合正弦函数的图象逐一验证其对称性和单调性等性质即得．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的对称性、单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，在同一个平面直角坐标系内作和的图象，从图象可知：
要使方程有四个不同的零点，只需，选项A错误；
对于，因为，，，
且函数关于对称，
由图可得，
且，，
所以，所以，则，
所以
令，当且仅当时取最小值，
所以，故B正确；
对于，，是的两根，
所以，即，
所以，所以；由，是的两根，所以，
所以，即不成立，故C错误；
对于，由，得，，
令，函数在在上单调递增，
所以，
即，故D正确．
故选：．
在同一个平面直角坐标系内作和的图象，结合图象可判断，由图可知，且、，再结合各选项一一判断即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，转化和数形结合的数学思想方法，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数是幂函数，
所以，解得，，．
故答案为：．
根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设扇形半径为，弧长为，因为扇形的圆心角为，其周长是，
所以，解得：，所以该扇形的面积．
故答案为：．
根据扇形的弧长和面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，为奇函数，函数图象关于点对称，则有，且，
又由偶函数，则关于直线对称，则有，
则有，即，
则有，即．
当时，．
，
，
又，则有，解得，
又由，则，
当时，，
；
故答案为：
根据题意，由函数的对称性可得，即，结合函数的解析式求出的表达式，求出、的值，利用函数的周期性、对称性分析可得，计算可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和周期性的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：；
，
所以当时，原式．
【解析】利用分数指数幂和对数的运算性质化简计算即得；
利用诱导公式化简，再运用同角的三角函数基本关系式即可求得．
本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了诱导公式，同角的三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：依题意，函数是定义在上的奇函数，
当时，，
当时，，，
又是奇函数，，
的解析式为．
依题意可知当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
，
所以在区间上的最小值和最大值分别为，．
【解析】当时，，时，由即可得解；
由二次函数的性质分析在区间上的单调性，进而求出其最值即可．
本题考查函数的最值，涉及函数奇偶性的性质和应用，属于基础题．
17.【答案】解：，
的最小正周期．
由得，
的单调递增区间是；
把的图象向右平移个单位得到，
再向上平移个单位长度，得到的图象．
由，得，取，则，
因为在区间上的最大值为，
所以在区间上的最大值为．
作出在区间上的图象，可知须使，即，
所以的取值范围为．
【解析】由正弦型函数的周期公式可得其周期，将看成整体角，利用正弦函数的单调区间解不等式即得；
根据平移变换求出，取，由求得，作出函数在区间上的图象，须使解之即得．
本题主要考查了正弦函数的单调性，周期性及最值的求解，还考查了函数图象变换，属于中档题．
18.【答案】解：因为函数在上为偶函数，所以，
解得，恒成立，即．
所以，
对任意的，
因为，
所以，在区间上是单调递增函数．
函数．
令，因为，所以，所以，
令，故函数在单调递增，
当时，；
当时，．
则函数的值域为．
【解析】由偶函数的定义即可得关于的恒等式，由此即可求得，根据单调性的定义证明即可；
通过换元法，结合指数函数、对勾函数性质即可将原问题转换为闭区间上的二次函数最值，由此即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性定义的应用，还考查了指数函数，对数函数及二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：是奇函数，证明如下：
的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
，
在上单调递减．
假设存在，使在的值域为．
由知，在上单调递减．则有，
，
所以，是方程在上的两个不相等的实数根，
即，令，则，
即直线与函数的图象在上有两个交点，
如图所示：
所以，．
【解析】先求出函数定义域，然后检验与的关系即可判断；
结合基本初等函数的单调性即可判断；
结合函数的单调性及对数函数的性质转化为方差解的个数，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
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