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第1章 三角形的证明单元测试卷B
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：三角形的证明
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1， B．1，，2 C．2，3，4 D．5，6，7
2．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
．
3．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．全等三角形对应边相等
B．全等三角形对应角相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
4．如图，在中，，，按下列步骤尺规作图：①以为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和；②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．以下结论错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
5．如图，，则α、β、γ的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，现将沿着方向平移到的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 B．32 C．36 D．40
7．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离是，则点的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
9．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵M点的坐标是，的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，，第个等腰直角三角形的边长为，
第7个等腰直角三角形的边长为，
∴由图可知，
∴；
故选D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，，，为边上的高，点P为射线上一动点，当时，的长度为 ．
12．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是 ．
13．如图，在中，，，是的高，且，则的长是 ．
14．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则的面积等于 ．
15．如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D和E，，，则的长为 ．
16．如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为 ．
17．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若，且已知的面积为2，则的面积是 ．
18．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，分别交于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为2，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在 中，．
(1)若，，求 的长．
(2)若，，求 的长．
20．如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．
(1)求证：；
(2)求的长．
21．一个零件的形状如图所示，按规定应为直角，工人师傅测得，，，，．请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么？
22．如图，折叠等腰△纸片，使点C落在边上的F处，折痕为．已知，．
(1)猜想的度数，并说明理由：
(2)，求．
23．如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求线段的长．
24．如图，，点C在的垂直平分线上，
(1)有什么关系？请你说明理由；
(2)求证：；
(3)若，求的面积．
25．如图，在中，，于点D，设，,，．
(1)求证： (又称反勾股定理)：
(2)求证：：
(3)判断以，h ，为边构成的三角形的形状， 并说明理由．
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第1章 三角形的证明单元测试卷B
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：三角形的证明
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1， B．1，，2 C．2，3，4 D．5，6，7
【答案】B
【详解】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形故本选项符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】∵，
∴，，，
∴，，，
∵
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
3．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．全等三角形对应边相等
B．全等三角形对应角相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
【答案】B
【详解】解：A．逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，是真命题，此定理有逆定理，故此选项不符合题意；
B．逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，此定理没有逆定理，故此选项符合题意；
C．逆命题是：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，此定理有逆定理，故此选项不符合题意；
D．逆命题是：角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，此定理有逆定理，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．如图，在中，，，按下列步骤尺规作图：①以为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和；②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．以下结论错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【详解】解：根据①②③的作图步骤，可判断出为的角平分，故A正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴点 D在线段的垂直平分线上，故C正确；
∵在中，，
∴，
∴，
，故D错误；
故选：D．
5．如图，，则α、β、γ的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长交与G，延长交于H．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
故选C．
6．如图，在中，，，现将沿着方向平移到的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 B．32 C．36 D．40
【答案】B
【详解】解： 如图：
∵现将沿着方向平移到的位置， ，
∴
∴
∵若平移距离为4，
∴
∴阴影部分的面积和梯形的面积相等
∴阴影面积．
故选：B．
7．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8．如图，在四边形中，，，，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离是，则点的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【详解】解：如图，作于，于，则，
，，，，
，
，
，
，
在和上各有一点到距离为；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和上各有一点到距离为；
综上所述，共有处到距离为，
故选：D．
9．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
10．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵M点的坐标是，的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，，第个等腰直角三角形的边长为，
第7个等腰直角三角形的边长为，
∴由图可知，
∴；
故选D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，，，为边上的高，点P为射线上一动点，当时，的长度为 ．
【答案】
【详解】如图所示，∵为边上的高，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴．
，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：
12．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是 ．
【答案】6
【详解】解：作于F，如图，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为6．
13．如图，在中，，，是的高，且，则的长是 ．
【答案】
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则的面积等于 ．
【答案】9
【详解】解：过点作于点，如图所示，
平分，，，，
，，，
，
，,
，，
，，
的面积；
故答案为：9．
15．如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D和E，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图：
由作图可得，是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：．
16．如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为 ．
【答案】/108度
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若，且已知的面积为2，则的面积是 ．
【答案】//
【详解】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等，
∴的面积：的面积，
∵的面积为2，
∴的面积是．
故答案为：．
18．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，分别交于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为2，则的面积为 ．
【答案】3
【详解】解：由作法得：平分，
点D到的距离相等，
，
．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在 中，．
(1)若，，求 的长．
(2)若，，求 的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图，
∵，，，
∴；
（2）如图，
∵，，，
∴在中，．
20．如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，，
．
．
又是的中点，
．
．
．
（2）解：，见答图，
．
，
．
，，
．
．
在中，是的中点，
．
21．一个零件的形状如图所示，按规定应为直角，工人师傅测得，，，，．请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么？
【答案】这个零件符合要求，理由见解析．
【详解】解：这个零件符合要求，理由如下：
如图，连接．
，，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
这个零件符合要求．
22．如图，折叠等腰△纸片，使点C落在边上的F处，折痕为．已知，．
(1)猜想的度数，并说明理由：
(2)，求．
【答案】(1)的度数为，理由见解析(2)
【详解】（1）解：的度数为，理由如下；
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的度数为．
（2）解：∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为．
23．如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下；
由题意知，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
24．如图，，点C在的垂直平分线上，
(1)有什么关系？请你说明理由；
(2)求证：；
(3)若，求的面积．
【答案】(1)，理由见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，
∴；
又∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
即；
（3）∵．
∴，
∵，
∴．
25．如图，在中，，于点D，设，,，．
(1)求证： (又称反勾股定理)：
(2)求证：：
(3)判断以，h ，为边构成的三角形的形状， 并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)以，h ，为边构成的三角形为直角三角形，理由见解析
【详解】（1）证明：∵在直角中，，，
∴，，
即，
∴，
∴，
∵
，
∴；
（2）证明：∵在直角中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵a、b、c、h都是正数，
∴，
∴；
（3）解：以，h ，为边构成的三角形为直角三角形，理由如下：
根据勾股定理得：，
根据解析（2）可知：，
∵，
，
又∵，
∴，
∴根据勾股定理的逆定理知道以，h ，为边构成的三角形是直角三角形．
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