2024北京北师大实验中学高二（下）期中数学（PDF版含答案）

2024北京北师大实验中学高二（下）期中
数 学
班级____________ 姓名____________ 学号____________ 成绩____________
考生须知：
1.本试卷共 4 页,共三道大题,21 道小题,答题卡共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
3.试卷答案一律填写在答题卡上,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上,选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
一、选择题（本大题共 10小题,每小题 4分,共 40分)
1.已知等差数列 a 中, an 1 = 3,a3 = 6 ,则a5 =
A.8 B.9 C.12 D.18
2.已知数列 a 的前n 项和 Sn = 4
n
n ,则a3 =
A.16 B.32 C.48 D.64
3.下列函数中,图像存在与 x轴平行的切线的是
y = x3A. +1
x
B. y = x C. y = e D. y = ln x
4.函数 y = cos(2x +1)的导函数为

A: y = sin(2x +1)

B. y = sin(2x +1)

C. y = 2sin(2x +1)

D. y = 2sin(2x +1)
5.已知 an , bn 均为等比数列,则下列各项中不一定为等比数列的是
A. an + bn
2
B. an bn C. an D. bn
6.已知数列 a 满足: an+1 = an + n +1 .若a1 = t ,则a =n 4
A. t + 3 B. t + 4 C. t + 9 D. t +12
* *
7.已知 an 为无穷等差数列,则“存在 i, j N 且 i j ,使得al + a j = 0 ”是“存在 k 2 且 k N ,使得
ak = 0 ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
0.1 1 1.1
8.记a = ,b = ,c = ,则
e0.1 e e1.1
A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c

f (x) f
3
9.已知函数 f (x) = sin x ,记h(x) = ,下列说法中正确的是

x
3

A. h(x) 在 , 上单调递增 B. h(x) 在 , 上单调递减
3 3

C. h(x) 在 , 上单调递增,在 , 上单调递减
3 2 2

D. h(x) 在 , 上单调递减,在 , 上单调递增
3 2 2
第1页/共7页
f (x) = ex 210.已知函数 (x ax + a) ,a R ,下列说沖不正确的是
A.若a = 2 ,则 f (x)在R 上单调递增 B.若 0 为 f (x)的极大值点,则a 2
C. f (x)的图像经过一个定点 D.若a e ,则方程 f (x) e = 0 有三个不相等的实数根
二、填空题(本大题共 5小题,、每小题 5分,共 25分)
11.已知等比数列 an 中, a3 + a4 = 4 (a1 + a2 ) ,则 an 的公比为___________.
12.若函数 y = x 在区间[1,4]上的平均变化率 k 恰等于其在 x = x0 处的瞬时变化率,则 k = ___________;
x0 = ___________.
13.设等差数列 an 的公差为 d ,前n 项和为 Sn ,已知a1 = 4 .
(1)若 S3 = 6 ,则d = ___________;
(2)若d = 1 ,则 Sn 的最小值为___________.
x
14.已知函数 f (x) = ,则 f (x)的极大值为___________; f (x)的单调递减区间为___________.
x2 + 2
a t *
15.设 a nn 为无穷数列,记bn = ,其中 t 为常数且 t N .给出下列四个结论:
n t
a = 2n①若 n , t = 0 ,则 bn 为单调递增数列;
②若an = 1, t 1 ,则 bn 为单调递减数列;
*
③若an = 2n 1,则对任意 t 1且 t N , bn 均存在最大项;
④若an = 2n 1
*
,则对任意 t 1且 t N , bn 均存在最小项.
其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题(本大题共 6小题,共 85分)
16.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) = x
3 3x2 9x + 9 .
(I)求 f (x)在 x = 1处的切线方程;
(II)求 f (x)的单调区间和极值.
17.(本小题满分 13 分)
* a
已知数列 an 满足: a1 = 1 ,且对任意n N ,都有a
n
n+1 = . 2
( an +1)
(I)直接写出 a2 ,a3,a4 的值;
(II)猜想 an 的通项公式,并用数学归纳法证明.
18.(本小题满分 15 分)
已知 an 为等差数列, bn 为等比数列, a2 = b3 = 4,a6 = b5 =16 .
(I)求 an 和 bn 的通项公式;
(II)求 an + bn 的前n 项和;
*
(III)若对任意 n N ,有an b恒成立,求实数 的最小值.
19.(本小题满分 13 分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划再修建一条连接两条公路、
第2页/共7页
贴近山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为 l1, l2 ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为 l ,如图所
示.已知 M,N为C 的两个端点,点 M 到 l1, l2 的距离分别为 20 千米和 5 千米,点 N 到 l1, l2 的距离分别为 4 千
a
米和 25 千米,分别以 l1, l2 所在的直线为 x,y轴,建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线C 符合函数 y = （其
xk
中 a,k为常数）模型.
(I)求 a,k的值；
(II)设公路 l 与曲线C 相切于点 P ,点 P 的横坐标为 t .
①求公路 l 所在直线的方程；
②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短 求如最短长度.
20.(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) = ax x ln x .
(I)当 a = 1时,求 f (x)的零点;
(II)讨论 f (x)在[1,e]上的最大值;
(III)是否存在实数a ,使得对任意 x 0 ,都有 f (x) a 若存在，求a 的取值范围;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分 15 分)
若项数为 N (N 3)
*
的数列 AN : a1,a2 , ,aN 满足: a1 = 1,ai N (i = 2,3, , N ) ,且存在
{1,2}, 1 n M 1,
M {2,3, , N 1} ,使得a An+1 an 则称数列 N 具有性质P .
{ 1, 2}, M n N 1,
(I)①若 N = 3 ,写出所有具有性质P 的数列 A3 ;
②若 N = 4,a4 = 3 ,写出一个具有性质P 的数列 A4 ;
(II)若 N = 2024 ,数列 A2024 具有性质 P ,求 A2024 的最大项的最小值;
(III)已知数列 AN : a1,a2 , ,aN , BN : b1,b2 , ,bN 均具有性质P ,且对任意 i, j {1,2, , N} ,当 i j 时,都有
a1 a1,b1 b j .记集合T1 = a1,a2 , ,aN ,T2 = b1,b2 , ,b ,求T1 TN 2 中元素个数的最小值.
第3页/共7页
参考答案
一、选择题（每小题 4分,共 40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D A A B C B D
二、填空题（每小题 5分,共 25分)
题号 1 2 3 4 5
1 9 2
答案 2, 1 ; 2; 10 ;( , 2),( 2,+ ) ②③④
3 4 4
三、解答题（共 35分）
16.解:(I) f (x)的定义域为R, f
(x) = 3x2 6x 9 .
f (1) = 12, f (1) = 2.
因此, f (x)

在 x = 1处的切线方程为: y f (1) = f (1)(x 1) .
化简得 y = 12x +10 .
2
(II) f (x) = 3x 6x 9 = 3(x 3)(x +1) ,

令 f (x) = 0 ,解得 x = 1或 3.

当 x变化时, f (x), f (x) 的变化情况如下表:
x ( , 1) -1 ( 1,3) 3 (3,+ )
f (x) + 0 - 0 +
f (x) 极大值 极小值
因此, f (x)的单调递增区间为 ( , 1),(3,+ ) ;单调递减区间为 ( 1,3) . f (x)的极大值为 f ( 1) = 14 ,极小
值为 f (3) = 18 .
1 1 1
17.解:(I) a2 = ,a3 = ,a4 = .
4 9 16
1
(II)猜想: an = .(*)
n2
下用数学归纳法证明:
①当n = 1时,(*)成立.
1
②假设n = k(k 1) 时(*)成立,即: ak = .
k 2
1 1
a 2 2 1
则当n = k +1时：ak+1 =
k = k = k = .
2 2
( a +1) 1 (k +1)
2
(k +1)2
k
+12 k 2
k
故(*)对 n=k+1 也成立.
* 1
由①②，对任意n N ，(*)成立，即an = .
n2
18.解：(I)设 an 的公差为d , b qn 的公比为 .
第4页/共7页
a2 = a1 + d = 4
由题知: .
a6 = a1 + 5d =16
*
解得: a1 = 1,d = 3 ,则an =1+ 3(n 1) = 3n 2,n N .
b3 = b1 q
2 = 4
,
a5 = b1 q
4 =16
解得: b1 = 1,q = 2 .
n 1
因为 b 各项均为正数,所以 q = 2,bn = 2 ,n
*
N
n .
(II)记 a + b 的前n 项和为 Sn n n .
n(n 1) 3
n 2
1 2 3n n
Sn = n + + = + 2
n 1.
2 1 2 2
an 3n 2 3n 2 3n +1 3n 2 5 3n(III)由题意， = 恒成立.记 cn = , 则 cn+1 cn = = .
b 2n 1 2n 1 2n 2n 1n 2
n
当n = 1时， cn+1 cn 0;当n 2时， cn+1 cn 0.
因此 (cn ) = c2 = 2. 因此 的最小值为 2. max
a

5 =
20k a = 100
19.解:(I)由题意, ,解得 .
a25 =
k = 1
4k
100 100
(II)曲线C : y = ,5 x 25 . y = .
x x2
100 100 100 200
曲线在 x = t处的切线方程为 y = (x t) ,即 y = x + .
t t2 t2 t
200
切线与坐标轴的交点为 0, , (2t,0) .
t
2 40000
公路 l 的长度 L满足: L = + 4t
2
.
t2
40000
根据均值不等式 L2 2 4t2, = 800 ,
t2
2
当且仅当 t = 100 ,即 t = 10 时取等.
所以当 t = 10 时,公路 l 的长度最短,最短长度为20 2 千米.
20.解: f (x) = ax x ln x 的定义域为 (0,+ ) .
(I)当 a = 1时, f (x) = x x ln x ,零点为 x = e .

(II) f (x) = a 1 ln x .

令 f (x) = 0 ,则 x = e
a 1
.
在区间 (0,+ ) 内,
X (0,ea 1) ea 1 (ea 1,+ )
f (x) + 0 -
第5页/共7页
f (x) 极大值
当 e
a 1 1（即a 1）时,在[1,e]上 f (x)单调递减, f (x)max = f (1) = a .
a 1
当 e e (即a 2 )时,在[1,e]上, f (x)单调递增, f (x)max = f (e) = ae e .
当1 e
a 1 e a 1 a 1(即1 a 2 )时,在 e ,e 上 f (x)单调递增,在 1,e 上 f (x)单调递减,
f (x) = f (ea 1) = aea 1 ea 1max (a 1) = ea 1 .
综上:(略)
(0,+ ) f (x) = f (ea 1 a 1(III)由(II)知在 上, max ) = e .
构造函数 g(a) = f (ea 1) a = ea 1 a a 1,由题意,应使 g(a) 0 . g (a) = e 1 .
令 g
(a) = 0 ,得a = 1 .
a ( ,1) 1 (1,+ )
g (a) - 0 +
g(a) 极小值
所以 g(a)min = g(1) = 0 .
所以使 g(a) 0的实数a 只有a = 1 ,即a 的取值范围是a = 1 .
21.解:(I)① A3 :1,2,1或 1,3,1 或 1,3,2；②A4:1,2,4,3；(或 A4:1,3,4,3,A4:1,3,5,3)
(II)当 N=2024 时, M {2,3, ,2023} .
由a1 = 1,a2 a1 1, ,aM aM 1 1 ,累加得aM M ;①
由a2024 1,a2023 a2024 1, ,aM aM +1 1 ,累加得aM 2025 M .②
①+②得2aM 2025 .
a *又 M N ,所以aM 1013 .
所以数列 A2024 的最大项aM 的最小值为 1013,一个满足条件的数列为
n (n =1,2, ,1013)
an =
2026 n (n =1014,1015, ,2024)
(III) a1 = 1,a2 a1 2, ,aM aM 1 2 ,累加得aM 2M 1 .
又 M N 1 ,所以aM 2N 3 .
同理, bM 2N 3 .
所以T1 T2 {1,2, ,2N 3},card (T1 T2 ) 2N 3 .
因为 card (T1 ) = card (T2 ) = N ,
所以 card (T1 T2 ) = card (T1 ) + card (T2 ) card (T1 T2 ) 3 .
所以T1 T2 中元素个数的最小值为 3.
当 N 4 时,一组满足条件的数列为
1 (n =1)
2n 1 (n =1,2, , N 1)
an = bn = 2n 2 (n = 2,3, , N 1)
2N 4 (n = N )
2N 5 (n = N )
第6页/共7页
此时T1 T2 = {1,2N 4,2N 5} .
当 N = 3时,由题意, A3和 B3只能均为 1,3,2,结论仍成立.
第7页/共7页