北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期中考试
数 学
2024．4
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设函数，若，则实数的值为
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知数列的前项和，则数列的通项公式为
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知函数，则等于
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知数列是等比数列，若，则的值为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知函数在处的导数为，则“”是“是的极值点”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）已知数列满足若，则的值为( )
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知数列满足，且，则的最小值是
（A） （B）
（C） （D）
（8）函数的图象如图所示，则等于
（A） （B）
（C） （D）
（9）“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契数列”，为数列的前项和，若，则
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C）　 （D）
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）和的等差中项是 ．
（12）已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在到这段时间里的平均速度为 ；物体在时的瞬时速度为 ．
（13）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为 ．
（14）对于数列，定义数列为数列的“差数列”.若，数列
的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则 ；数列的前项
和 ．
（15）设函数
若，则的最大值为 ；
若无最大值，则实数的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共14分）
设函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
（17）（本小题共14分）
设为等差数列的前项和，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）若成等比数列，求的值．
（18）（本小题共14分）
已知数列是首项为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且数列的前项和为．再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题共14分）
已知函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）设函数，当时，求证：．
（20）（本小题共14分）
某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第年的维护费用是万元，从第年到第年，每年的维护费用比上一年增加万元，从第年开始，每年的维护费用比上一年增加．
（Ⅰ）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；
（Ⅱ）若该生产线前年每年的平均维护费用大于万元时，则需要在下一年年初更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线
（21）（本小题共15分）
已知函数．
（Ⅰ）求在区间上的最大值；
（Ⅱ）求的零点个数．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D D B B A C B D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）
（12）；
（13）(答案不唯一，满足)
（14）；
（15）；
注：12、14、15题第一空3分，第二空2分.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：(Ⅰ) 由题意知，，即切点为，
又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即.…………7分
（Ⅱ），
令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如表所示
单调递增 单调递减
函数的极大值， ，
又，
所以在区间上的最大值是，最小值是． …………7分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得解得
故的通项公式为．…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．…………3分
（III）因为成等比数列，
所以，即，
又因为，则解得． …………5分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，
则，
当时，，解得，
所以，
当时，，
即，解得，
所以． …………7分
（Ⅱ）方案一：选择条件
由（Ⅰ）可得，，
则，
，
两式相减，可得
所以．
方案二：选择条件
由（Ⅰ）可得，，
则
所以．
方案三：选择条件
由（Ⅰ）可得，，
则
所以． …………7分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为.
由题意，得，令，解得，
当变化时，，的变化情况如表所示列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以有极大值，无极小值； …………6分
（Ⅱ）证明：，
令，
则．
当时，，从而，又， 所以，
所以在上单调递增．
所以， 当时，．
所以，当时，成立．………8分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）当时，数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，
又，
所以，
所以的表达式为 ………6分
（Ⅱ）设表示数列的前项和，
由等差及等比数列的求和公式得，
当时，，
当时，由
则
所以，该生产线前年每年平均的维护费用：
当，数列为递增数列，
当时，因为，
所以数列也为递增数列 ．
又，
综上，数列为递增数列．
又因为．
所以，第10年年初需要更新该生产线． …………8分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
即在上单调递增．
又，
故存在唯一，使得，
当变化时，，的变化情况如表所示列表如下：
单调递减 极小值 单调递增
故为在上的极小值，
又，
故函数在区间上的最大值为．…………6分
（Ⅱ）函数的定义域是，，
①当时，因为，
所以，
所以在上单调递减，
又，所以，故此时的零点为.
②当时，由（Ⅰ）知，，
函数在区间上有唯一零点.
③当时，令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
又，故对任意，都有，
所以函数在区间上没有零点，
综上，函数有且仅有个零点． …………9分
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