8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案

2023~2024学年高一下学期 数学必修第二册导学案 编号：038
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
班级 姓名
学习目标
1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．
2．会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体 INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-79.TIF" \* MERGEFORMATINET 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是 的面积
阅读教材，完成右边的内容 二、棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ S为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝ S为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝ S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1、如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1．当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积．变式1、(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是 (2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．
棱柱、棱锥、棱台的体积 例2、如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1．(1)求V1，V2以及V1∶V2； (2)求点A到平面A1BD的距离d．变式2、(1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．(2)在三棱台ABC A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1 ABC，三棱锥B A1B1C，三棱锥C A1B1C1的体积之比．
与正棱柱、正棱锥、正棱台有关的体积和表面积问题 例3、正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2．求其体积．变式3、一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________ cm3，表面积为________ cm2．
课后作业
一、基础训练题
1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于(　　)
A．12 B．48
C．64 D．72
2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是(　　)
A． B．
C． D．
3．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　　)
A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
4．(多选题)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝4，
点M为棱AA1的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．三棱锥A－MBC的体积为
B．四棱锥A1－BB1C1C的侧面积为20
C．三棱锥A1－ABC与三棱锥M－ABC的体积之比为1∶2
D．四棱锥A1－BB1C1C与三棱锥A1－MBC的体积之比为4∶1
5．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．
6．如图，已知正三棱锥S ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的
高SO＝3，则此正三棱锥的表面积________．
7．三棱锥P ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ABE的体积为V1，
P ABC的体积为V2，则＝________.
8．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________．
9．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．
10．现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
11．已知正六棱锥被过高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积．
二、综合训练题
12．鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图1是一个鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为(　　)
图1　　 　　　　　　图2
A．8(6＋6＋) B．6(8＋8＋)
C．8(6＋6＋) D．6(8＋8＋)
13．(多选题)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，以下结论正确的是(　　)
A．V三棱锥B1－EFB＝V三棱锥B1－EFD1
B．四棱锥B1－EBFD1为正四棱锥
C．四棱锥B1－EBFD1的体积为
D．多面体BCDD1EF的体积为
三、能力提升题
14．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)
A． B．2 C． D．
15．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
16．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
参考答案
1、【答案】D　【解析】该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.
2、【答案】B
【解析】设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D－A1BC1的棱长为，
表面积为4××sin 60°×＝2，∴正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是.
3、【答案】B　
【解析】由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．
4、【答案】AD
【解析】依题意，△ABC的底边BC上的高为＝2，面积S＝×2×2＝2，
故V三棱锥A－MBC＝V三棱锥M－ABC＝S·MA＝×2×2＝，故A正确；
四棱锥A1－BB1C1C的侧面积为S侧＝S△A1B1C1＋S△A1BC＋S△A1B1B＋S△A1C1C
＝2＋×2×＋3×4＝2＋2＋12，故B错误；
由三棱锥A1－ABC与三棱锥M－ABC同底，得其体积之比为＝2，故C错误；
因为V四棱锥A1－BB1C1C＝V三棱柱ABC－A1B1C1－V三棱锥A1－ABC
＝S·AA1－S·AA1＝S·AA1，V三棱锥A1－MBC＝V三棱锥A1－ABC－V三棱锥M－ABC
＝S·AA1－S·AA1＝S·AA1，则＝S·AA1×＝4，故D正确．
5、【答案】　
【解析】设三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝．
6、【答案】27　
【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，
与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′．
∵S侧＝2S底，∴·3a·h′＝a2×2，∴a＝h′．∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．
∴32＋＝h′2．∴h′＝2，∴a＝h′＝6．
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18，∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27．
7、【答案】
【解析】如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，
则V2＝Sh，V1＝VE ADB＝×S×h＝Sh，所以＝.
8、【答案】
【解析】设正四棱台的高、斜高分别为h，h′.由题意得，4××(1＋2)×h′＝12＋22，解得h′＝.
根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h2＋，解得h＝.
9、【答案】a
【解析】设题图1中容器内液面的高度为h，液体的体积为V，则V＝S△ABCh.题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为S△ABC，高为2a，则V＝S△ABC·2a，∴h＝＝a.
10、【解】由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m，因为A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B12·PO1＝×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
11、【解】(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，又大棱锥的侧棱长为12 cm，
∴棱台的侧棱长为6 cm.
所以棱台的一个侧面的高h′＝＝4(cm)，∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝144＋120(cm2)．
12、【答案】A
【解析】由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，
则该鲁班锁玩具的表面积为6×[4×(1＋)2－4×××]＋8××2×＝8(6＋6＋)．
13、【答案】ACD
【解析】由已知得EB＝BF＝FD1＝D1E＝，D1F∥BE，则四边形EBFD1是菱形．
A中两个三棱锥等底同高，所以V三棱锥B1－EFB＝V三棱锥B1－EFD1，故A正确；
明显底面EBFD1不是正方形，故B错误；
V四棱锥B1－EBFD1＝2V三棱锥B1－EFB＝2V三棱锥F－B1EB
＝2×S△B1EB×2＝2××2×2＝，故C正确；
连接DE，BD，则多面体BCDD1EF的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥B－ADE的体积，
即V＝×2×2×2－××2×1×2＝，故D正确．故选ACD.
14、【答案】B　
【解析】所求凸多面体的表面积是两个底面
边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝，
所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8××1×1×sin 60°＝2．
15、【答案】90　138　
【解析】该几何体的体积V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，
表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138．
16、【解】如图，连接EB，EC，AC，V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
PAGE
1