8.2立体图形的直观图 学案

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8.2立体图形的直观图
班级 姓名
学习目标
1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、水平放置的平面图形的直观图画法1、斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2、平面图形直观图的画法及要求【即时训练1】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的(　　)
阅读教材，完成右边的内容 二、空间几何体直观图的画法1、与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；2、平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；3、已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4、成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．【即时训练2】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是(　　)
画空间几何体的直观图 例2、画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．例3、画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
直观图的还原与计算 例4、一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．变式、(1)已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A'B'C '的面积为 (2)如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(　　)
A　　　　　 B　　　　 C　　　　 　D
2．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．在如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′∥y′轴，那么在A′B′，A′D′，A′C′三条线段分别对应的原图形中的线段AB，AD，AC中(　　)
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
4．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，
A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)
A．等边三角形　　　B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
5．下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是(　　)
A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D
6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A．2＋ B． C． D．1＋
7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________．
8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图△A′B′C′如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°且∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
10．用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台．
二、综合训练题
11．(多选题)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是(　　)
A．AB＝BC＝AC
B．AD⊥BC
C．AB⊥BC
D．AC>AD>AB>BC
12．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为________．
13．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为________.
8.2立体图形的直观图
参考答案
1、【答案】CD
【解析】原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．
2、【答案】ACD
【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．
3、【答案】C
【解析】由直观图易知A′D′∥y′轴，由斜二测画法知在原图形中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则有AB，AC相等且最长，AD最短．
4、【答案】A　
【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：
由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．
5、【答案】C　
【解析】C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，高变为原来的，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高OC不变，底边AB变为原来的，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．
6、【答案】A　
【解析】画出其相应平面图易求，故选A．
7、【答案】(4,2)　
【解析】在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′．
8、【答案】2　
【解析】△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD，所以与BD的长相等的线段有2条．
9、[解]　(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
①　　　　　　　②　　　　　③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC．
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，
四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
10、[解]　(1)画轴．如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
(2)画下底面．在平面xOy上以O为中心，画边长为2 cm的正方形的直观图ABCD．
(3)画上底面．在Oz上截取OO′＝2 cm，过O′分别作平行于轴Ox，轴Oy的轴O′x′，轴O′y′，在平面x′O′y′上用画正四棱台下底面直观图的方法画出以O′为中心，边长为1 cm的正四棱台的上底面的直观图A′B′C′D′．
(4)依次连接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图(2)所示．
(1)　　　　　　　(2)
11、【答案】CD
【解析】由直观图知△ABC为直角三角形，
AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，
D为BC的中点，如图所示，
又A1B1＝B1C1，
故A、B错误，C、D正确．
12、【答案】72　
【解析】如图所示，
作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，
作C′D′⊥x′轴于点D′．
S直观图＝O′A′×C′D′．又S正方形＝OC×OA．
所以＝，
又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝C′D′，
即C′D′＝O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，
所以＝＝＝2．
又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72．
13、【答案】6
【解析】如图所示，过C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°，
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∵B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，∴C′D′＝3.
根据斜二测画法知△ABC的边AB上的高等于2C′D′＝6.
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