南山中学2024年春季2022级半期考试数学试题
数学参考答案
单选题：1-5ABCCB 6-8 DAD
多选题：9.CD 10.AB 11.BCD 12.ABD
填空题：13. 14. 15. 16.
解答题
17.解:(1)产品能销售的概率为.-----------------------------------------------------------5分
(2)令事件A={3件产品中至少有1件能销售},
则P(A)=.--------------------------------------------------------------------10分
18.解：(1)函数，定义域为，
，因为是的极值点，
所以，所以，.----------------------------------------------------------3分
当时，，
，解得或；，解得，
所以单增区间为，，单减区间为.------------------------------------6分
(2)由(1)作出，随x的变化情况表如：
x 1 2 3
+ 0 0 +
单增 极大值 单减 极小值 单增
--------9分
所以在上的最大值只可能在或处取到，
，，而，
所以在上的最大值为.------------------------------------------------------12分
19.解：(1)因为，①
当时可得，即.
当时，，②
由①-②得，即，
即是以为首项，为公比的等比数列，所以.---------------6分
(2)因为，
所以，
，
两式相减得，，---------------------------8分
即，则，
故.---------------------------------------------------------------------------12分
20.解：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，
由，得，而，．
由，解得．．
由，可得①，
由，可得②，
联立①②，解得，，由此可得．
数列的通项公式为，数列的通项公式为．-----------------6分
(2)由(1)知：，则．---------------------------------------8分
，
，----------------------------------------10分
，
不超过的最大整数．------------------------------------------------------------12分
21.(1)当时，，，
，，故切线方程为：.----------------------------4分
(2)函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．-------------------------------------------------5分
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，-----------------------------------------7分
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，--------------------------------------------9分
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．----------------------------------------------------------11分
综上，．-------------------------------------------------------12分
解(1)设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得，
所以数列为“M-数列”.-------------------------------------------------------------------------------4分
(2)①因为，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；-------------------------------8分
②由①知，，
因为数列为“M-数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立
设，则，----------------------------------------------------------10分
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.-------------------------------------------------------------12分2024年4月
南山中学2024年春季2022级半期考试数学试题
第Ⅰ卷
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的。）
1.已知等差数列中，，则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知，则若，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，
与以上事件吻合得最好的图象是( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足：，则( )
A.20 B.18 C.15 D.10
5.已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为( )
A.或 B.3或 C. D.9或
6.设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为( )
A.36 B.24 C.18 D.16
7.我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为( )
A. B.
C. D.
8.定义在R上的偶函数的导函数为，且当x＜0时，．则( )
A. B.
C. D.
多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项符合题目要求，全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是( )
A. B.若，则
C.若,则 D.
11.已知函数,下列说法正确的是( )
A.函数的单调递减区间为
B.函数的切线过原点，则该切线的斜率为
C.若方程有两个不同的实数根，则
D.函数在区间上不单调，则
12.设等差数列的前n项和为，公差为．已知，则( )
A. B.
C.时，n的最小值为14 D.数列中最小项为第7项
第Ⅱ卷
填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分，把答案直接填在答题卡中的横线上。）
数列满足：，则 .
数列中，若，，则 .
15.已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范是 .
16.已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是_________.
四、解答题（本大题共6题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。）
17.(10分)某产品在进入市场前必须进行两轮某项指标的检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该产品能销售的概率；
(2)已知一箱中有该产品3件,求3件产品中至少有1件能销售的概率.
18. (12分)已知函数，是的极值点．
(1)求实数a的值及函数的单调区间；
(2)求在上的最大值．
19. (12分)已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
20. (12分)已知{}为等差数列，前n项和为()，{}是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求不超过的最大整数m．
21. (12分)已知函数，其中．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
(12分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列满足：.求证：数列为“M-数列”.
(2)已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前n项和.
①求数列的通项公式；
②已知是“M-数列”，且对任意正整数k，都有成立，求数列公比的取值范围.
