九年级下数学（沪科版）精品学案：24.5三角形的内切圆

24.5　三角形的内切圆
学前温故
1．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．
新课早知
1．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．三角形的内心到三角形的三边距离相等．
三角形的内切圆
【例1】如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.试猜想∠FDE与∠A的关系，并说明理由．
分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．
解：∠FDE＝90°－∠A.理由如下：
如图(2)，连接IE、IF.
∵CA、AB分别与圆I相切于点E、F，
∴IE⊥CA、IF⊥AB.
∴∠AEI＝∠AFI＝90°.
∴∠FIE＝360°－90°－90°－∠A＝180°－∠A.
∵∠FIE＝2∠FDE＝180°－∠A，
∴∠FDE＝90°－∠A.
点拨：连接圆心和切点是常作的辅助线．
【例2】 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.
(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；
(2)若a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)
分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．
解：(1)连接OF、OE，如图②.
在Rt△ABC中，
∵AC、BC分别是⊙O的切线，
∴OF⊥AC， OE⊥BC.
又∠C＝90°，OE＝OF＝r，
∴四边形OECF是正方形．
∴CF＝CE＝r，AD＝AF＝b－r，BD＝BE＝a－r.
∴c＝AD＋BD＝b－r＋a－r.
∴r＝.
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，
∴c＝＝10.
∴r＝＝＝2.
∴S内切圆＝π×22＝4π.
点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．
1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的(　　)．
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
答案：C
2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，则∠BOC为________度．
答案：115
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(＋1)，求⊙O的半径．
解：如图，四边形DOEC为正方形，△OEB为直角三角形．
又∠BOC=105°，∠COE=45°，所以∠BOE=60°，∠OBE=30°.
所以BE=OE.
设⊙O的半径为r，则BE+CE=r+=r(1+)=20(+1)，解得r=20.