高中数学教案：空间角的计算
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一讲 空间角的计算
洗马高中 蔡其友
1、 高考要求
空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合．
2、 两点解读
重点：①求异面直线所成的角；②求直线与平面所成的角；③求二面角．
难点：二面角的作法与求法．
3、 课前训练
1．正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ）
（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°
2． A1B1C1ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3． 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 ．
4． 已知正四棱锥的体积为12，底面的对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 ．
4、 典型例题
例1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 （ ）
（A）90° （B）60° （C ）45° （D）30°
例2 是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
例3如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____________．
例4若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 ____ （结果用反三角函数值表示）．
例5在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=．
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）．
例6已知如图斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离．
过关练习
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）
（A）75° （B）60° （C）45° （D）30°
2．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）
（A）60° （B）90° （C）105° （D）75°
3．已知球O的半径是1，A、、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角B－OA－C的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α ．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．
5．设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体”．那么，甲是乙的 条件．
6．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ．
7．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O ．
（Ⅰ）证明PA⊥PB；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小．
8．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD， 垂足为E．
（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（Ⅲ）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．
空间角计算参考答案
课前训练
1．B 2．A 3． 4． ；
典型例题
例1． B 例2． C 例3． 45° 例4．
例5 （Ⅰ）略
（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得
SC=== 4．
在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cos∠SCA=．
∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°．
（Ⅲ）解：过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角．如图9—65．
又四边形ABCD是平行四边形，
DC=AB=，
SA=，
SD==5．
在△SCD中，cosSCD=
∴SC与AB所成的角的大小为arccos．
例6．解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．
∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，
∴∠A1AD＝45°为所求．
（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，
∴DE＝1，AD＝A1D＝，tanA1ED＝＝．
故∠A1ED＝60°为所求．
（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．
∵B1B∥面A1ACC1，
∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．
在Rt△ABC中，AB＝，
∴BF＝为所求．
评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．
过关练习
1． 2． 3． 4． m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 5．必要不充分 6．30°
7．解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，ΔABF为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF．
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO＝，AO＝，BO＝．
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角．
在ΔAHO中，OH＝，tan∠AHO＝=．
在ΔDHO中，tan∠DHO＝；
而tan∠AHD＝tan(∠AHO＋∠DHO)＝
8．证明：∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，
在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
C1
A1
B1
图9—65
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
第一讲 空间角的计算
洗马高中 蔡其友
1、 高考要求
空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合．
2、 两点解读
重点：①求异面直线所成的角；②求直线与平面所成的角；③求二面角．
难点：二面角的作法与求法．
3、 课前训练
1．正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ）
（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°
2． A1B1C1ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3． 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 ．
4． 已知正四棱锥的体积为12，底面的对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 ．
4、 典型例题
例1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 （ ）
（A）90° （B）60° （C ）45° （D）30°
例2 是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
例3如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____________．
例4若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 ____ （结果用反三角函数值表示）．
例5在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=．
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）．
例6已知如图斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离．
过关练习
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）
（A）75° （B）60° （C）45° （D）30°
2．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）
（A）60° （B）90° （C）105° （D）75°
3．已知球O的半径是1，A、、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角B－OA－C的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α ．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．
5．设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体”．那么，甲是乙的 条件．
6．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ．
7．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O ．
（Ⅰ）证明PA⊥PB；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小．
8．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD， 垂足为E．
（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（Ⅲ）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．
空间角计算参考答案
课前训练
1．B 2．A 3． 4． ；
典型例题
例1． B 例2． C 例3． 45° 例4．
例5 （Ⅰ）略
（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得
SC=== 4．
在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cos∠SCA=．
∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°．
（Ⅲ）解：过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角．如图9—65．
又四边形ABCD是平行四边形，
DC=AB=，
SA=，
SD==5．
在△SCD中，cosSCD=
∴SC与AB所成的角的大小为arccos．
例6．解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．
∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，
∴∠A1AD＝45°为所求．
（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，
∴DE＝1，AD＝A1D＝，tanA1ED＝＝．
故∠A1ED＝60°为所求．
（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．
∵B1B∥面A1ACC1，
∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．
在Rt△ABC中，AB＝，
∴BF＝为所求．
评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．
过关练习
1． 2． 3． 4． m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 5．必要不充分 6．30°
7．解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，ΔABF为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF．
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO＝，AO＝，BO＝．
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角．
在ΔAHO中，OH＝，tan∠AHO＝=．
在ΔDHO中，tan∠DHO＝；
而tan∠AHD＝tan(∠AHO＋∠DHO)＝
8．证明：∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，
在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
C1
A1
B1
图9—65
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网