2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知点是平行四边形的对角线的交点，则( )
A. B. C. D.
3.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D. 或
7.已知，是平面向量，满足，，且，记与的夹角为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角、、的对边分别是、、，下面四个结论正确的是( )
A. ，，则的外接圆半径是
B. 若，则
C. 若，则一定是钝角三角形
D. 若，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图像关于直线对称
B. 的图像的一个对称中心是
C. 在区间上单调递减
D. 若的最大值为，则的最小值为
11.已知函数，有下列四个结论正确的是( )
A. 图像关于直线对称 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D. 在上恰有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为______．
13.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是______．
14.已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角，，满足：．
求的值；
求角的大小．
16.本小题分
已知向量，的夹角为，且．
若，求的坐标；
若，，求的最小值．
17.本小题分
设的内角、、的对边长分别为、、设为的面积，满足．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求的最大值．
18.本小题分
函数的部分图像如图所示，
求函数的解析式和单调递增区间；
将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值．
19.本小题分
设，我们常用来表示不超过的最大整数如：，．
求证：；
解方程：；
已知，，若对，使不等式成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，满足，，，
可得，
，即，
解得，
所以．
故选：．
通过向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：四边形为 ，
如图：
故，，，故AB错，对，
又因为平行四边形对角线不一定相等，故D错．
故选：．
根据平行四边形的性质以及向量共线即可求解结论．
本题主要考查平行四边形的性质以及向量共线，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当时，或，
即或，
即是的充分不必要条件．
故选：．
解出的的值，即可判断出答案．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了特殊角的三角函数值的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由图可知，函数是上的奇函数，且，，，
若，则，不合题意，故A错误；
若，由得，不合题意，故B错误；
若，则，不合题意，故C错误；
故排除，得D正确．
故选：．
由图可知，函数是上的奇函数，且，，，利用排除法求解．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，．
故选：．
根据已知，利用向量的线性运算即可求解．
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
．
故选：．
利用二倍角公式，同角函数关系即可求值．
本题考查二倍角公式，同角函数关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算和应用，涉及函数单调性的性质和应用，属于中档题．
根据题意，设，则，又由，由数量积的计算公式变形可得，设，结合的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设，则，
，则有，
变形可得，
设，其导数，
在区间上，，则在区间上递减，
则时，取得最大值，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，由为奇函数，得，变形可得，
故函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得，
则函数的图象关于直线对称；
由得，
则，
故的周期为，则有；
又由，令得，即，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以，联立解得，
故时，，则，
又由，则，
故．
故选：．
根据题意，由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，，再利用周期性和解析式求解即得．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，设的外接圆半径是，则，解得，因此不正确；
B.，由正弦定理可得：，，，因此B正确；
C.，则，为钝角，一定是钝角三角形，因此C正确；
D.，，，，因此不正确．
故选：．
A.设的外接圆半径是，利用正弦定理可得，解得，即可判断出正误；
B.，由正弦定理可得：，求出，即可判断出正误；
C.由，利用余弦定理，判断出为钝角，即可判断出正误；
D.由，，，利用余弦函数的单调性即可判断出正误．
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
对于选项A，由，得到，当时，，所以选项A正确，
对于选项B，由，得到，所以的对称中心为，
当时，对称中心为，所以选项B错误，
对于选项C，由，得到，
当时，，又，所以选项C正确，
对于选项D，因为，
当时，由题有，得到，
此时的最小值为，
当时，由题有，得到
此时的最小值为，所以选项D错误．
故选：．
根据条件得到，再利用的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可得到结果．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的对称性，单调性及最值的求解，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
图像关于直线对称，A正确；
对于，，
由，得，
的值域为，B错误；
对于，，
为的周期，
在上的单调性与它在上的单调性相同，
当时，，
又，
令，则，
则可化为，当时，，
在上单调递减，且，
在上单调递增，又在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，在上单调递减，即在上单调递减，C正确；
对于，令，得或，
又为偶函数，
当时，由，得，，，，，共个零点，
在上恰有个零点，D正确．
故选：．
利用余弦函数的单调性、对称性、值域、零点等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查余弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力及逻辑思维能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
所以，而，则，
故，
则在方向上的投影向量为，
即在方向上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据数量积的运算律求得，根据投影向量的概念，即可求得答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题设可得平移后图象对应的函数解析式为，
因为，故，
因为在不单调，故或，
即或，
所以或，故．
故答案为：
先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：；
由于，
所以，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
所以，即时，关于的方程有两个实数根．
故实数的取值范围为．
故答案为：．
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的单调性求出实数的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：，
因为，，
故C为锐角且，
所以；
因为，，
故A为锐角且，
故，
故，
而，
故．
【解析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求的值；
先求出，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求，故可求角的大小．
本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：向量，的夹角为，且，设，若，
则，．
，，故
若，，则，．
，
故当时，取得最小值为．
【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出的值．
由题意利用两个向量垂直的性质，求得再根据求向量的摸的方法，二次函数的性质，求得取得最小值．
本题主要考查两个向量的数量积，两个向量垂直的性质，求向量的摸，二次函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ，，即，
由变形得：，
整理得：，
又，
；
Ⅱ，，
，
由正弦定理知，
，
，
当且仅当时取最大值，
故的最大值为．
【解析】本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
Ⅰ利用三角形的面积公式表示出，利用余弦定理表示出，代入已知等式求出的值，即可求出；
Ⅱ先求出的范围，再根据正弦定理表示出，，根据两角和差的正弦公式化简，再由正弦函数的图象和性质即可求出最大值．
18.【答案】解：根据函数的图象：，且，故，解得；
由于，由于，
故；
故
令，，
整理得，，
故函数的单调递增区间为，．
将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图像；
由于，
所以，
由于的图像与直线恰有三个公共点，
如图所示：
令，则，由函数的图象性质得：，，
且，
得到，由于，
所以，
由于，，，
得到，
所以，
由于，
所以．
【解析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间；
利用函数图象的伸缩变换求出函数的解析式，进一步利用函数的图象性质求出函数的值．
本题考查的知识点：函数的解析式的求法，函数图象的伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设，，，
若，则，，，
故，而，，故．
若，则，，，，
故，而，，故．
综上，．
因为，故，
因为，故，故，故，，，，
若，则，又，，故符合；
若，则，故，又，不符合，均舍；
若，则，故，又，故符合；
若，则，故，又，，故符合；
综上，或或．
，
当时，，故，故，
因为对，使不等式成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，而在上恒成立，
故在上恒成立，
设，，
因为在上均为增函数，故，为增函数，
故，
设，
设，，，
则，
而，故，，，故，
即，故为减函数，
故，
故的取值范围为．
【解析】设，，，就、分类讨论后可证该恒等式；
利用可得，求出其解后逐个检验可得原方程的解；
求出的最大值后参变分离，从而可求参数的取值范围．
本题主要考查了与取整函数有关的证明问题，可将实数表示整数部分和小数部分，从而便于证明，而与绝对值有关的不等式恒成立或有解问题，注意利用公式去掉绝对值符号，便于参变分离，属于难题．
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