2023-2024学年广东省梅州市东山中学高一（下）月考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年广东省梅州市东山中学高一（下）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集的个数是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，表示同一函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D.
3.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
4.已知、都是锐角，的值为( )
A. B. C. D.
5. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息其中取，( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知函数若在区间内没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B. 为奇函数 C. D. 的周期为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.
B. 若，则对任一非零向量都有
C. 若向量满足，且与夹角为，与同方向的单位向量为，则在方向上的投影向量为
D. 若向量共线，则点，，，必在同一直线上
10.函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的周期为
C. 函数的图象关于点对称
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为函数的“倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是( )
A. 若为函数的“伴随区间”，则
B. 函数存在“伴随区间”
C. 若函数存在“伴随区间”，则
D. 二次函数存在“倍伴随区间”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为奇函数，则 ______．
13.已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为 ．
14.若，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是第二象限的角，若，求，的值；
已知，求的值．
16.本小题分
已知二次函数满足条件：的解集为；的最大值为．
求，，的值；
在区间上，二次函数的图象恒在一次函数图象的下方无公共点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数在区间上的最小值为．
求常数的值；
求函数单调递减区间．
18.本小题分
如图，有一条宽为的笔直的河道假设河道足够长，规划在河道内围出一块直角三角形区域图中种植荷花用于观赏，，两点分别在两岸，上，，顶点到河两岸的距离，，设．
若，求荷花种植面积单位：的最大值；
若，且荷花的种植面积为，求．
19.本小题分
已知集合是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使得对定义域内任意实数都成立．
判断函数，是否属于集合，并说明理由；
若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合含有个元素，
所以集合的子集个数是．
故选：．
先判断集合含有个元素，再求子集个数即可．
本题考查了集合的子集的个数的判断，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：选项，，与不是同一个函数；
选项，的定义域为，的定义域为，
所以与不是同一个函数；
项，，定义域都为，是同一函数，正确；
选项，，，
所以与不是同一个函数．故选C．
判断函数三要素是否相同逐项检验即可．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，函数在定义域上单调递增，
，，
，，
零点所在的一个区间是．
故选：．
根据函数表达式，结合零点定理即可得出零点所在的一个区间．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：、都是锐角，
又，
，
故选C
由已知中、都是锐角，，我们根据同角三角函数关系公式，可以求出，，代入两角差的正弦函数公式，即可求出答案．
本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系公式，两角差的正弦函数公式，其中根据已知条件求出，，为两角差的正弦函数公式的使用准备好所有的数据是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
，
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：设需要休息小时，依题意，，
整理得，
两边取以为底的对数得，
所以，
所以至少需要小时．
故选：．
根据已知条件列不等式，由此求得正确答案．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若函数在区间内无零点，则
此时需要分情况讨论：当时，，，
解得，，
又因为，所以当时，可得．
当时，，，
解得，，
又因为，所以当时，可得，
综上可知，的取值范围为．
故选：．
利用三角函数性质，再进行分情况讨论，最后对得出的不同取值范围取并集即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题意，，，
令，得，
所以或，
当时，，不符合题意，
所以，故A错误；
令得，
所以，故为偶函数，故B错误；
令，得，所以，
所以，所以，
所以，
所以的周期为，故D错误；
令，得，又，，
可得，
所以，
所以，故C正确．
故选：．
利用赋值法令，即可求出，从而判断；令，可判断函数的奇偶性，从而判断；令，可得，从而可得，进而推出函数的周期，即可判断；令，可求出，由奇偶性可得，再由周期性求得，即可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由向量数量积的计算公式，，故A正确，
对于，当非零向量时，必有，故B错误．
对于，，则在方向上的投影向量为，故C正确，
对于， 中，满足，即向量共线，显然点，，，不在同一直线上，故D错误．
故选：．
根据题意，根据平面向量的数量积的计算公式分析、，由投影向量的计算公式分析，由共线向量的性质分析，综合可得答案．
本题考查向量数量积的运算、投影向量的计算以及向量共线的定义，注意向量数量积的计算公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由图知，所以，故选项B错误，
又由，得到，又，所以，
由图易知，，且图象过点，所以，
得到，又，所以，所以选项A正确，
因为，由，得到，
令，得到，即的一个对称中心为，所以选项C正确，
又将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，所以选项D正确．
故选：．
根据图象，求出的周期，即可判断出选项B的正误，利用图象过点，可求得值，从而可判断出选项A的正误，利用的图象与性质，求出的对称中心，即可判断出选项C的正误，再利用图象的平移，即可判断出选项D的正误，从而求出结果．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，在上单调递增，且，
，即，
舍或，故A正确；
对于选项B，在和上单调递减，
若存在“伴随区间”，则，，
即，，
解得或，与矛盾，故选项B错误；
对于选项C，在上单调递减，
假设存在“伴随区间”，，
则且，
，
，即或，
因此，
在内有两个不同根，
令，，，，，
，故选项C错误；
对于选项D，不妨取，则，
所以，解得，
故存在，，故选项D正确．
故选：．
对于：利用伴随区间的定义来判断；对于：不妨取，则，列方程求解即可．
本题考查了函数的定义域和值域，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：若函数为奇函数，
则恒成立，
即，
故，
所以，，
所以．
故答案为：．
先由奇函数定义求出，然后可求．
本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量夹角的求法，涉及向量数量积的计算，属于基础题．
根据题意，设向量，的夹角为，由数量积的运算性质可得，求出的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量，的夹角为，
若，两边平方可得，
解可得，
又由，故，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为，的地位相同，，地位相同，故只要讨论其一，
假设最大，设为，则，
要使得最小，则其余数尽可能大，最大取，最大取，
剩下的也要尽可能的大，取，则，，
要使尽可能大，则，，
故．
故答案为：
因为，的地位相同，，地位相同，故只要讨论其一，假设最大，设为，则，然后分析取得最值的条件可求．
本题主要考查了函数最值的求解，考查了逻辑推理的能力．
15.【答案】解：，是第二象限的角，故，
因为，
所以，；
因为，所以．
【解析】根据同角三角函数关系结合是第二象限的角，求出正弦值和正切值；
化弦为切，代入求值．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：因为不等式的解集为，
所以，是方程的两根，
所以，，即，
函数的对称轴为，
且函数在处取得最大值，即有，
所以，因此，，．
依题意，在上恒成立，
即有在上恒成立，
而在上单调递减，
所以，
必有，即的取值范围为．
【解析】根据不等式解集的端点即为对应方程的根，得到根与系数的关系，再由最大值可得出，，；
转化为不等式恒成立，分离参数后，由二次函数求区间上的最大值即可得解．
本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：因为
，
当时，，
所以，
则，
因为的最小值为，
所以；
由得，
令，
则，
即的单调递减区间为，
【解析】首先化简函数的解析式，再根据函数的定义域求函数的最小值，即可求解；
根据的结果，代入正弦函数单调递减区间，即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】解：由题可得，，．
当时，，，
所以，
又因为，，，
所以，当且仅当时取等号．
所以荷花种植区域面积的最大值为．
因为，，所以，，
故，，，
从而，
所以，
所以．
又因为，所以，
由解得：．
【解析】由三角形的面积公式和基本不等式计算即可求得；
由三角形的面积公式和同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于中档题．
19.【答案】解：当时，不是常数，所以；
当时，，故存在实数，使得对定义域内的任意实数都成立．故．
依题意得且，
在中令得，
当时，，，
时，，
又由得，故，即，则有，
时，，
时，，
以此类推可知：时，，
故时，，
综上所述：时，
【解析】本题考查了反函数，属难题．
根据已知中集合的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；
利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将用代替，两等式结合得到函数的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．
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