2022-2023学年湖北省武汉十一中高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉十一中高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.展开式中，二项式系数最大的项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.将编号为，，，的四个档案袋放入个不同档案盒中，每个档案盒不空且恰好有个档案盒放有个连号档案袋的所有不同放法种数有( )
A. B. C. D.
3.在最强大脑的节目中，作为脑力角逐的考题，阿基米德多面体成为了难倒一众天才的“元凶”，因此“一夜爆红”“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美例如足球一般是有个正五边形和个正六边形构成的阿基米德多面体如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是( )
A. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好
B. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系
5.已知离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，则( )
A. B. C. D.
6.过双曲线：的左焦点作的其中一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，为上的动点，为圆：的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量，若，，则
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C. 对于事件，，若，则
D. 若随机变量，，则
10.甲袋中有个红球，个白球和个黑球；乙袋中有个红球，个白球和个黑球先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件，，是两两互斥的事件 B. 事件与事件为相互独立事件
C. D.
11.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，记小李在星期一到星期五这天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则( )
A.
B.
C. 小李星期一到星期五上班路上恰有天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D. 当时，
12.已知编号为，，的三个盒子，其中号盒子内装有两个号球，一个号球和一个号球；号盒子内装有两个号球，一个号球；号盒子内装有三个号球，两个号球若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是( )
A. 在第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率为
B. 第二次抽到号球的概率为
C. 如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最大
D. 如果将个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放个，则不同的放法有种
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中，含项的系数是______．
14.已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程，则______．
15.若函数图像上有且仅有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是______．
16.已知为正方体表面上的动点，若，，则当取最小值时，三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在数列中，，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
为了解某地观众对“中国诗词大会”的收视情况，某机构随机抽取了名观众进行调查，其中女性观众名定义日均收看该节目时间不低于分钟的观众为“诗词迷”已知“诗词边”中有名男性，非“诗词边”共有名．
根据调查结果，判断是否有的把握认为“诗词迷”与性别有关？
采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取人进行问卷调查，再从这人中任取人奖励“诗词大礼包”以表示获得“诗词大礼包”的男性人数，表示获得“诗词大礼包”的女性人数记，求的分布和期望．
附：，；．
19.本小题分
某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务货物全部用统一规格的包装箱包装，现统计了最近天内每天可配送的货物量，按照可配送的货物量单位：箱分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率．
该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前组中随机抽出天的数据来分析每日的可配送货物量少的原因，并从这天的数据中再抽出天的数据进行财务分析，求这天的数据中至少有天的数据来自这一组的概率；
该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为三级，时，奖励元；时，奖励元；时，奖励元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于样本的中位数时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于样本的中位数时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率为
奖金
概率
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量单位：箱近似服从正态分布，其中近似为样本平均数试利用该正态分布，估计该物流公司天内日货物配送量在区间内的天数结果保留整数．
附：若，则，．
20.本小题分
甲、乙运动员进行乒乓球选拔赛，每场比赛采用局胜制即有一运动员先胜局即获胜，比赛结束比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以：或：取胜的运动员积分，负者积分，以：取胜的运动员积分，负者积分，以：取胜的运动员积分，负者积分已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
甲、乙两人比赛场后，求甲的积分的概率分布列和数学期望；
甲、乙两人比赛场后，求两人积分不相等的概率．
21.本小题分
已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
Ⅰ求椭圆的方程和离心率；
Ⅱ设直线：与椭圆交于两点，，点在线段上，点关于点的对称点为当四边形的面积最大时，求的值．
22.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
当时，求在上的最大值；
若对任意的，恒有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于二项式，因为，
所以二项式系数最大的项为第项．
故选：．
根据二项式定理以及二项式系数的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用以及二项式系数的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，分步分析：
、将四个档案袋分成组，其中组为个连号档案袋，
有、、，、、，、、，共种分组方法；
、将分好的三组全排列，对应三个不同档案盒，有种情况，
则有种不同放法；
故选：．
根据题意，分步分析：、将四个档案袋分成组，其中组为个连号档案袋，、将分好的三组全排列，对应三个不同档案盒，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，关键是正确的将个档案袋分成组．
3.【答案】
【解析】解：将该多面体放入正方体中，如图所示：
由于多面体的棱长为，所以正方体的棱长为，
因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，
所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点，
其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以，
所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积．
故选：．
根据给定条件，把多面体放在棱长为的正方体中，结合正方体的结构特征确定球心，求出球半径作答．
本题考查了球的表面积计算，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好，故选项A错误；
由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心，故选项B正确；
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项C正确；
若变量和之间的相关系数，故，所以变量与之间具有线性相关关系，故选项D正确．
故选：．
由相关指数的大小与拟合效果间的关系判断；由线性回归方程恒过样本点的中心判断；由残差平方和大小与拟合效果的关系判断；由线性相关系数的范围与线性相关的强弱判断．
本题考查的知识要点：回归直线，相关系数，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可知：，
解得，
由，，可得，
由表可知．
故选：．
根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示：
设、为双曲线的渐近线，由题意得，
，
为中点，故为等腰三角形，即，故，
，即的渐近线方程为．
故选：．
由图形的几何性质求渐近线的倾斜角与斜率，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据已知得到，圆：，所以，圆的半径为，
抛物线的准线为：，过点作，垂足为点，则，
由抛物线的定义可得，
所以，
当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，两个等号成立，
因此，的最小值为．
故选：．
作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，取最小值，即可得解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，从而在上单调递增，
则，即，
设，则，从而在上单调递增，
则，即，
所以．
故选：．
根据给定条件，构造函数，，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，实数大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为随机变量，则，，解得，A错误；
对于，两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法；两位女生不相邻的排法有种，
所以两位女生不相邻的概率是，B正确；
对于，由，得发生，必发生，，则，C正确；
对于，因为随机变量，，
则，D错误．
故选：．
利用二项分布的数学期望和方差的公式计算判断；根据古典概率公式结合排列组合计算判断；利用条件概率公式计算判断；利用正态分布的对称性计算判断作答．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确，
，，
因为，故事件与事件不是相互独立，故B错误，
，故C正确，
，故D正确．
故选：．
根据互斥事件和相互独立事件即可判断、，由概率计算值即可判断、．
本题考查互斥事件、相互独立事件、概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，小李在星期一到星期五这天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，
故A错误，B正确；
对于，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，
星期一到星期五上班路上恰有天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则舍去或或，
当时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，故C正确；
对于，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，故D错误．
故选：．
确定，即可求出和，判断，；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断．
本题考查了概率和导数的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：记第一次抽到第号球的事件分别为，则有，，
对于，在第一次抽到号球的条件下，将号球放入号盒子内，
因此第二次抽到号球的概率为，故A选项正确；
对于，记第二次在第号盒子内抽到号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到号球的事件为，，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，
，
，
，
即如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最大，故C选项正确；
对于，记第二次在第号盒子内抽到号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
即第二次抽到号球的事件为，，
故B选项正确；
对于，把个不同的小球分成组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在个盒子中有种不同方法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误．
故选：．
对于，利用条件概率公式求解；对于，利用全概率公式求解；对于，利用贝叶斯公式求解；对于，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解．
本题考查排列组合以及条件概率相关知识，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为的二项展开式的通项公式为，
在的展开式中，
令，则含项的系数为．
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式，找出含有的项，即可求得项的系数．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由表中数据可得，，，
线性回归方程，
，解得，
，
，
，即．
故答案为：．
先求出，的平均数，将其代入性回归方程，求出，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，其关于轴对称的函数为，
因为函数图像上有且仅有两对点关于轴对称，
所以由，得到，
所以有两个不同的交点，
令，
则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
又当趋于时，趋于，
当趋于时，趋于，
故的图像如图：
所以．
故答案为：．
利用对称性，将问题转化成与有两个不同的交点，从而得到有两个解，再通过分离常量得到，构造函数，利用单调性求出的取值范围，进而求出结果．
本题考查了转化思想、数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，
点的轨迹点的轨迹是以为直径的球面与正方体表面的交线，是以为直径的两段半圆弧．
取中点，连接，当取最小值时，为线段与半圆弧的交点．
则，，
，
．
故答案为：．
由已知得，得点的轨迹是以为直径的球面与正方体表面的交线，为两段圆弧，根据圆的性质，取中点，连接，当取最小值时，为线段与半圆弧的交点，由此计算三棱锥体积即得．
本题考查三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：因为数列满足且，
当时，可得
，
当时，适合上式，所以数列的通项公式为．
由知，可得，
所以
，
设，
则，
两式相减得，
所以，
又由，
所以．
【解析】由，结合，利用等比数列的求和公式，即可求解；
由得到，结合等差、等比数的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可求解．
本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：在抽取的人中“非诗词迷”共有名，则“诗词迷”有名，又女性有名，
从而完成列联表如下所示：
非诗词迷 诗词迷 合计
男
女
合计
将列联表中的数据代入公式计算，得，
所以没有的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关；
由题意采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取人，则男性名，女性名，从人中任意选取人
当时，，当，，当，，
所以的所有取值为，，
所以，
所以的分布为：
所以期望．
【解析】绘制列联表，由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；
根据题意确定随机变量的取值情况，利用超几何的概率公式求解概率，然后完成分布列求解数学期望即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：由频率分布直方图可知：前组数据的频率之比为：：．
根据分层抽样的方法，天的数据有个来自第组，个来自第组，个来自第组，故有天的数据来自这一组．
用表示事件“抽取的天的数据中至少有天的数据来自”，
则．
若选择方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为，，，
由频率分布直方图可得其对应的概率分别为，，，
故E．
若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为，，，，
每日的可配送货物量不低于样本的中位数的概率为，低于样本中位数的概率也为．
故，，
，．
所以的分布列为
所以．
因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利．
由题可得，
所以．
故该物流公司天内日货物配送量在区间内的天数为．
【解析】由频率分布直方图结合分层抽样的方法得出各组抽取的人数，再求其概率即可；
若选择方案一，小张每日可获得的奖金为的可能取值为，，元，由频率分布直方图可得其对应的概率，再求其数学期望即可；若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为可能取值为，，，元，求其相应的概率得出数学期望并和方案一比较大小得出结果；
由频率分布直方图求解，再根据正态分布求给定区间的概率．
本题考查频率分布直方图的相关知识，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
20.【答案】解：由题意知：甲的积分可能是，，，，，，
则，，
，，
，，
故的分布列为：
所以；
记“甲、乙两人比赛场后，两人积分相等”的事件为 ，
第场比赛甲、乙两人的积分分别为，，则，
由两人积分相等得，
故，故，
故，
故两人积分不相等的概率为．
【解析】确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，计算得期望；
计算两人场比赛后积分相等的情况，计算出此时概率，根据对立事件的概率计算，可求得答案．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，相互独立事件的概率公式，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由题可得，，解得，，
所以椭圆的方程为，
又一个焦点为，所以，
所以椭圆，的离心率为．
Ⅱ设椭圆的另一个焦点为，则直线过点，
由，得，
设，，则，
由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等，
所以四边形的面积为面积的倍，
又，
所以，
设，则，
所以，当且仅当，即时，四边形的面积取得最大值，
所以四边形的面积最大时，．
【解析】Ⅰ根据，，求椭圆方程和离心率；
Ⅱ首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值．
本题考查了椭圆的几何性质和标准方程以及椭圆中四边形面积的最值问题，属于中档题．
22.【答案】解：由，，
又曲线在处的切线方程为，即，
；
当时，，，
由、在上分别单调递增、单调递减可得：
在上单调递增，而，，
即，使得，故在上单调递减，上单调递增，
且，即在上的最大值为；
，，令，
当时，，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；
当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，
又，故在上单调递增，
，恒有，符合题意；
当时，由知在时单调递增，
而，
即，使得，故在上单调递减，上单调递增，
又，则，不满足题意；
综上当，能满足任意的，恒有．
【解析】直接求导得出，解的值即可；
利用导函数判断在上的单调性即可得出最大值；
利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页