2023-2024学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线：和直线：平行，则( )
A. B. 或 C. D. 不存在
2.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3.过点与抛物线有且只有一个交点的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
4.设椭圆的左右焦点为，，点在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.双曲线的离心率为______．
6.若直线：的倾斜角为，则实数的值为______．
7.已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ______．
8.已知两点、，则直线的斜截式方程是______．
9.若三点、、共线，则的值为______．
10.已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为______．
11.若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______．
12.若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为______．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______．
14.省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米
15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为______．
16.能使得命题“曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知中，，．
若，求边上的高所在直线的一般式方程；
若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为．
求抛物线的焦点坐标和准线方程；
过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长．
19.本小题分
如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
20.本小题分
已知点是椭圆：的一个顶点．
若椭圆的焦点分别为、，求的面积；
设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由．
21.本小题分
已知椭圆：，抛物线：若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、当时，则称直线是曲线与的“等弦线”．
求椭圆的离心率；
直线同时满足以下两个条件：直线经过原点直线是与的“等弦线”请求出的方程；
已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，即，解得或．
经过验证：时两条直线重合，舍去．
．
故选：．
由，即，解得经过验证即可得出．
本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的一般方程，属于基础题．
根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析位置即可得答案．
【解答】
解：由题意知，
圆：，即，其圆心为，半径，
圆：，即，其圆心为，半径，
圆心距，
因为，
所以两个圆相交．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：当过点的直线存在斜率时，设其方程为：，
由方程组，消得，
若，方程为，解得，此时直线与抛物线只有一个交点；
若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
当过点的直线不存在斜率时，
该直线方程为，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线有条．
故选：．
过点的直线与抛物线只有一个交点，则方程组只有一解，分两种情况讨论即可：当该直线存在斜率时；该直线不存在斜率时；
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是：代数法，转化为方程组解的个数问题；几何法，数形结合；
4.【答案】
【解析】解：椭圆的左右焦点为，，
则，，，
故，
若，由椭圆的对称性可知，这样的点有两个，
，
设，
故，有两组解，即满足条件点有两个；
同理可得，当时，满足条件的点也有两个，
综上所述，使得为等腰三角形的点的个数为．
故选：．
根据已知条件，先求出椭圆焦距的距离，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查分类讨论的思想，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为双曲线的方程为，
所以，，，
所以，，
所以离心率．
故答案为．
根据事务性的方程可得，，的数值，进而求出双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线的有关数值之间的关系，以及离心率的公式．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
故．
故答案为：．
由已知结合直线的斜率与倾斜角关系即可求解．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，
则，，
不妨设，，
则．
故答案为：．
由椭圆的性质，结合两点的距离公式求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了两点的距离公式，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知两点、，故直线的方程为：，整理得，
转化为直线的斜截式为．
故答案为：．
直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．
本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为三点、、共线，
又，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
由已知结合三点共线与向量共线转化关系及向量共线定理即可求解．
本题主要考查了三点共线与向量共线转化关系的应用，属于基础题．
10.【答案】．
【解析】解：圆的标准方程为，
圆心坐标为，即焦点坐标为，
，抛物线的标准方程为．
故答案为：．
先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程．
本题考查圆的标准方程及抛物线的标准方程，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．属于基础题．
根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，又由双曲线过点，将点的坐标代入可得的值，进而可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线方程为，
双曲线过点，
，即．
所求双曲线方程为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：由为坐标原点，坐标为，
是直线上的动点，
要使的最小值，即到直线的距离最短
所以的最小值
故答案为：
根据点到直线的距离公式即可求解；
本题考查点到直线的距离公式的计算，比较基础．
13.【答案】
【解析】解：已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，
又，，
又直线的斜率为，
则，，
，
，
即，
即，
则的值为．
故答案为：．
由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义和正切函数、余弦函数的定义即可得出关于的方程，解出的值即可．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆方程的求法，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：建系如图，设抛物线方程为，
则根据题意可知图中坐标为，
，，
抛物线方程为，令，可得，
水面的宽度为米．
故答案为：．
建系，设抛物线方程为，从而可得在抛物线上，从而可求出抛物线方程，再令，即可求解．
本题考查抛物线的实际应用，方程思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，则根据题意可知，，
，，又易知，
在中，由勾股定理可得：
，
解得，又，
，，
的面积为．
故答案为：．
设，则根据题意可知，，，，又易知，在中，由勾股定理建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：要使曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形，
则直线必与曲线有交点，
又曲线的一条渐近线为，
即可，则或，
故实数可以是．
故答案为：．
依题意，只需直线必与曲线有交点即可，根据曲线的一条渐近线为与的位置关系，即可求解．
本题考查了双曲线的性质，考查了转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：因为，，
所以，
因为是边上的高，
所以，
所以高所在直线的方程为；
因为点为边的中点，
所以，
因此边所在直线的方程为．
【解析】根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可．
本题考查直线的斜率的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题．
18.【答案】解：因为，
解得，
则抛物线的焦点坐标，准线方程为；
不妨设，，
因为，
所以，
当时，
解得，
不妨令，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
则．
【解析】由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可；
先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和定义进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得，，，
，，
经过口时最短距离：．
经过口时最短距离：．
因为，
所以经过入口运送较近．
设点，已知，即，
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点．
【解析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论；
设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论．
本题主要考查实际应用问题，轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为点是椭圆：的一个顶点，
所以；
不妨设，，
若，
即，
即，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
即，
整理得，
当时，，对称；
当时，，
因为，，
所以，
则存在，
此时，不关于轴对称．
综上，命题：“若，则与关于轴对称．”为假命题．
【解析】由题意，结合题目所给信息以及三角形面积公式进行求解即可；
设出，两点的坐标，将转化成，结合，两点均在椭圆上，推出，分别讨论当和这两种情况，进而即可求解．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：根据椭圆性质知，，，所以离心率为．
直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有公共点，显然不合题意．
直线方程斜率存在时，斜率设为，直线方程为联立方程，消去可得，解得，．
联立方程，消去可得，解得，．
当时，即，等价于，代代入联立结果得，解得，舍去，即．
综上所述，直线方程为．
证明：直线为时，与抛物线有且仅有一个交点，不合题意，舍去．
设直线方程为，联立方程，消去可得，当时，．
由根与系数的关系可得，，所以，
联立方程，消去可得，
此时必有两个交点，由根与系数的关系可得，，
所以．
如果存在等弦线使得，等价于，化简可得，
将联立结果代入可得，
换元，令，代入上式可得．
由于，化简得到．
题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意，在上有解．
令，则，
令，由于且，
所以对任意，有，即；
由于，
所以．
根据零点存在定理，一定存在，使得．
综上所述，对任意，在上有解，命题得证．
【解析】根据椭圆性质，求出离心率的值．
讨论直线方程斜率不存在时，直线方程斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，令，求解即可．
讨论直线为时，设直线方程为时，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，由，得出等式，将联立结果代入，化简求解，即可证明命题成立．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题．
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