2023-2024学年山东省菏泽市鲁西新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省菏泽市鲁西新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线
2.已知，下列不等式变形不正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸于点处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是( )
A. 垂线段最短 B. 点到直线的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短
4.如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.如图，已知点，，若将线段平移至，在轴正半轴上，在轴上，则的纵坐标、的横坐标分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.如图，等腰中，点是底边上的动点不与点，重合，过点分别作、的平行线、，交、于点、，则下列数量关系一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与直线的交点的横坐标是下列结论：；；方程的解是；不等式的解集是其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
9.在中，，，点在直线上，且，则线段的长为( )
A. B.
C. 或 D. 或
10.对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.用不等式表示“的倍与的差不小于”______．
12.可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个值可以是 ．
13.如图，在三角形中，，于点，比较线段，，长度的大小，用“”连接为______．
14.如图，是等腰直角三角形，，，将绕点旋转，得到，此时点的坐标为______．
15.关于的不等式的解集是写出一组满足条件的，的值：______，______．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着轴无滑动的滚动第一次滚动到的位置，点的对应点记作点；第二次滚动到的位置，点的对应点记作点；第三次滚动到的位置，点的对应点记作点；；依次进行下去，发现点，，，，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式，并写出它的所有正整数解．
18.本小题分
如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角中，，如果，那么请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．
19.本小题分
某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．
若，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止；
若该程序只运行了次就停止了，求的取值范围．
20.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．
画出关于原点的中心对称图形；
平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
请写出中点的平移距离______．
21.本小题分
如图，中，，平分，交于点，，．
求点到直线的距离；
求线段的长．
22.本小题分
阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交点横坐标，是一元一次方程的解；在轴下方的图象所对应的的所有值是的解集，在轴上方的图象所对应的的所有值是的解集．
例，如图，一次函数的图象与轴交于点，则可以得到关于的一元一次方程的解是；的解集为．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
通过图可以得到的解集为______；
通过图可以得到
关于的一元二次方程的解为______；
关于的不等式的解集为______．
23.本小题分
如图，数轴上两点、对应的数分别是，，点是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点，满足，那么我们把这样的点表示的数称为连动数，特别地，当点表示的数是整数时我们称为连动整数．
，，是连动数的是______；
关于的方程的解满足是连动数，求的取值范围______；
当不等式组的解集中恰好有个解是连动整数时，求的取值范围．
24.本小题分
【提出问题】
如图，等腰直角三角形中，，，点为上一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点作的垂线与相交于点如图，通过证明≌，最终探究出，，之间的数量关系．
根据小明的思路，补全≌的证明过程；
直接写出，，之间的数量关系：______；
【拓展思考】
如图，延长、相交于点，点是的中点，若，，三点共线时，求线段的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意．
故选：．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，不等式的性质，，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、，不等式的性质，，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、，不等式的性质，，原变形不正确，故此选项符合题意；
D、，不等式的性质、，，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3.【答案】
【解析】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸于点处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故选：．
根据垂线段最短得出即可．
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，此不等式的解集表示与之间的部分，其中不包含，而包含，故得到答案．
【解答】
解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是空心圆，表示，
从出发向左画出的折线且表示的点是实心圆，表示，
所以这个不等式组的解集为：，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：，，在轴正半轴上，在轴上，
线段向左平移了个单位，向下平移了个单位，
纵坐标为，横坐标为．
故选：．
根据上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减，可得结论．
本题考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是理解上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
证明，得，证明四边形为平行四边形得，进而便可得．
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，关键证明，．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质．
根据旋转的性质得出，，再根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】
解：绕点逆时针旋转得到，
，，
点，， 共线，
．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式有关知识，根据题目要求画出直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象，观察图象即可得出答案．
【解答】
解：如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；
如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；
如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；
综上所述，错误，正确结论为．
9.【答案】
【解析】解：如图所示：
，，点在直线上，且，
；
当点在延长线上时，；
当点在延长线上时，；
故选：．
由勾股定理求出，分两种情况，即可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是：，
不等式组有个整数解，
，
解得：．
故选：．
先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于的不等式组，求出的范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：“的倍与的差不小于”，用不等式表示为．
故答案为．
的倍与的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，从而可得出不等式．
本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，注意理解“不小于”的含义．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个值可以是，
故答案为：答案不唯一．
由整除的性质得出是假命题，即可得出结论．
本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在三角形中，，于点，
，
故答案为：．
根据垂线段的性质即可得到结论．
本题考查了垂线段，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转中的坐标变化，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握这些知识是解题的关键．
过点作轴，根据等腰直角三角形的性质得到和，从而推出，根据旋转中的坐标变化，得到点和点关于原点对称，即可得到答案．
【解答】
解：过点作轴，
在等腰中，，，
，
，
，
，
将绕点旋转，得到 ，
点和点关于原点对称，
．
15.【答案】；
【解析】解：由不等式的解集是知，
满足条件的、的值可以是，，
故答案为：，
根据不等式的基本性质即可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，掌握不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
由题意得：三角形滚动次为一个周期，向右移动，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据图形的变化，找到规律，再计算求解．
本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
17.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
则不等式的正整数解为：，，．
【解析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可求得不等式的解集，然后确定解集中的正整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依据是不等式的性质，要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向改变．
18.【答案】解：此命题是真命题，
理由如下：延长至点，使，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【解析】本题考查的是命题的证明，掌握等边三角形的性质、正确作出辅助线是解题的关键．
延长至点，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
19.【答案】解：根据题意得：程序运行次：，
程序运行次：，
程序运行次：，
程序运行次：．
，，
若，则该程序需要运行次才停止；
根据题意得：，
解得：．
答：若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围为．
【解析】分别求出程序运行，，，次的运算结果，结合，，即可得出该程序需要运行次才停止；
根据该程序只运行了次就停止了，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
20.【答案】解：如图即为所求；
如图即为所求；
．

【解析】【分析】
本题考查作图平移变换，旋转变换作图，掌握平移的性质、中心对称的性质是解题的关键．
根据中心对称的性质即可求得；
根据平移的性质即可求得；
根据勾股定理求得的长即为点的平移距离．
【解答】
解：见答案；
见答案；
，
故答案为：．
21.【答案】解：过点作于，
平分，，，
，
点到直线的距离为；
在和中，
，
≌
，
在中，，
在中，，即，
解得，．
【解析】作，根据角平分线的性质得到，得到答案；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：；，；，．
【解析】解：通过图可以得到的解集为；
通过图可以得到
关于的一元二次方程的解为，；
关于的不等式的解集为，．
故答案为：；，；，．
利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
利用抛物线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
利用不等式的解集即为轴上方对应的值，即可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解、一次函数与不等式，二次函数与不等式，正确利用数形结合解题是解题关键．
23.【答案】解：，；
或；
由得，；
由得，，
不等式组的解集中恰好有个解是连动整数时，
四个连动整数解为，，，，
，
的取值范围是．
【解析】解：，，是连动数的是，，
故答案为，；
解关于的方程得，，
关于的方程的解满足是连动数，
或
解得或，
故答案为或；
见答案．
根据连动数的定义即可确定；
求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可；
求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于的不等式，解不等式即可求得．
本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，
24.【答案】
【解析】证明：如图中，过点作的垂线与相交于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
结论：．
理由：是等腰直角三角形，
，
≌，
，
．
故答案为：；
如图中，过点作于点．
如图中，由可知≌，
，
如图中，，
，
，
，，
，
，，三点共线，
垂直平分线段，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
．
如图中，过点作的垂线与相交于点，根据证明三角形全等即可；
利用全等三角形的性质证明即可；
过点作于点证明，设，构建方程求解．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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