2023-2024学年甘肃省武威市天祝一中、民勤一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年甘肃省武威市天祝一中、民勤一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点是正三角形的中心，则向量，，是( )
A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量
2.已知，在上的投影为，则( )
A. B. C. D.
3.已知为不共线的非零向量，，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，、三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
4.设的内角，，所对边的长分别为，，，若：：：：，则角( )
A. B. C. D.
5.已知向量，它们的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
8.在平行四边形中，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中，错误的是( )
A. B. 若，，则
C. D. 若，则
10.在中，，，，则的面积可以是( )
A. B. C. D.
11.若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A. 可以表示平面内的所有向量
B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D. 若存在实数，，使，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则与向量平行的单位向量为______．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，则的外接圆的面积为______．
14.在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且．
求的值；
求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，且．
求角；
若，的面积为，求．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，向量且．
求角；
若，求内切圆的半径．
18.本小题分
如图，在等腰三角形中，，是线段上的动点异于端点，．
若是边的中点，求的值；
当时，请确定点的位置．
19.本小题分
在平面四边形中在的两侧，，．
若，求；
若，求四边形的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是正的中心，向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
是正三角形的中心，到三个顶点的距离相等，
即，
但是向量，，它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量．
故选：．
根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解．
本题考查相等向量的定义，属基础题，正三角形中心的定义，正确理解相等向量的定义是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：因为，在上的投影为，
所以，
所以．
故选：．
根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解．
本题考查平面向量的数量积运算，涉及投影，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
不存在，使，
故A，，三点不共线，
故选项A错误；
，
，
，、三点共线，
故选项B正确；
，，
不存在，使，
故B，，三点不共线，
故选项C错误；
，，
不存在，使，
故A，，三点不共线，
故选项D错误；
故选：．
利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．
本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不妨设，，，
则由余弦定理可得：，
又，解得：．
故选：．
不妨设，，，余弦定理可得，又，即可解得的值．
本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为向量满足，且它们的夹角为，
所以，
所以．
故选：．
先根据已知条件计算出，然后根据化简计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：中，，
由正弦定理可得：，可得，
所以，
所以．
故选：．
由正弦定理可得的值，可得的值，再由两角和的正弦可得的值．
本题考查正弦定理的应用及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，
因为是的中线，所以．
故选：．
根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果．
本题考查了平面向量数量积的定义和运算律，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，符合平面向量数量积的运算律，故A项正确；
对于，若，则满足且，但是不一定平行，故B项不正确；
对于，表示与共线的向量，表示与共线的向量，
因此不一定成立，项不正确；
对于，若，则，可知与互相垂直，
不一定有，即不一定成立，故D项不正确．
故选：．
根据平面向量数量积的运算律，判断出项的正误；根据两个向量平行的概念与性质，判断出项的正误；根据数量积的定义，结合举反例加以说明，判断出、两项的正误．
本题主要考查平面向量平行的概念、向量的数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，，，
由正弦定理可得：，
，
，，
或，，．
故选：．
先由正弦定理求得的值，进而求得，根据三角形内角和求得，最后利用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的应用．考查了学生对解三角形基础知识的灵活运用．
11.【答案】
【解析】解：由题意知，，可以看成一组基底向量，
根据平面向量基本定理知，，D正确，B错误；
对于，当时，则，
此时任意实数均有，所以选项C错误；
故选：．
根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断．
本题考查了平面向量基本定理应用问题，是基础题．
12.【答案】或
【解析】解：因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或．
故答案为：或．
利用与向量平行的单位向量为，求解即可．
本题考查的知识点：单位向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为的面积为，所以，
根据余弦定理得即，即，
又，，所以，
设的外接圆的半径为，所以，解得，
所以的外接圆的面积为．
故答案为：．
利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，是直线上的一点，且，
记，
又，
则，
所以，
所以，
解得．
故答案为：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
15.【答案】解：，，
所以，解得．
故的值为．
，
所以，
所以．
故与的夹角的余弦值为．
【解析】运用平面向量垂直的坐标公式计算即可．
运用平面向量夹角公式计算即可．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．
16.【答案】解：由正弦定理及，得，
因为，所以，即，
因为，
所以．
由得，，
因为，所以，
又，所以，
由余弦定理得，，
所以．
【解析】利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，可得，结合，得的值；
先利用三角形的面积公式，求的值，从而得，再利用余弦定理，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为向量与平行，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，
所以，
又，所以．
由余弦定理得，
所以，解得或舍，
所以的面积，
设内切圆的半径为，
所以，解得．
【解析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得；
利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径．
本题考查向量平行的坐标运算、正弦定理、余弦定理、等面积法、三角形内切圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：因为，所以，
由于是边的中点，因此，
因此；
因为是线段上的动点异于端点，
所以可设，因此，
因为，，
所以
，解出，
故F是线段靠近处的四等分点．
【解析】由平面向量的线性运算将用表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可；
设，由将用表示出来，再由平面向量的数量积运算建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
19.【答案】解：在中，由余弦定理得，
即．
因为，，所以，
又，所以．
在中，由正项定理得，
所以，
又，所以，所以；
设，所以．
在中，由余弦定理得．
所以的面积
，
所以，此时，
又的面积，
所以四边形的面积的最大值为．
【解析】在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出；
将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
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