2023-2024学年安徽省县中联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年安徽省县中联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设向量，，则“”是“”成立的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为( )
A. B. C. D.
4.九章算术是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长步，直径步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，，，则( )
A. B.
C. D.
7.在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.克罗狄斯托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系式成立的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数
B. 若恒成立，则的最大值为
C. 在上共有个解
D. 在上单调递增
11.点为所在平面内一点，则( )
A. 若，则点为的重心
B. 若，则点为的内心
C. 若，则点为的垂心
D. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，点在上，且，点是的中点，若，，则 ______， ______．
13.已知，是正实数，且，则的最小值是______．
14.窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
若是第一象限角，求的值；
求的值．
16.本小题分
已知向量，，，．
若，求的值；
若，，，求的值．
17.本小题分
给出以下三个条件：直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，，对任意的，请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解已知函数，，_____．
求的表达式；
将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．
用与表示，并计算的长；
求的余弦值．
19.本小题分
如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且．
求的大小；
求面积的最小值；
某同学在探求过程中发现的长也有最小值，结合他猜想“中边上的高为定值”，他的猜想对吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量，，
由，得或，或不存在，
即“”“或不存在”，
由，得，，，
“””，
则“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：．
由，得，能推导出或不存在，由，得，能推导出，从而“”是“”成立的必要不充分条件．
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】点从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以为坐标原点，
所以点坐标为，即为
故选：．
找到，利用三角函数定义即可求．
本题考查任意角三角函数定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆心角．
故选：．
利用弧长公式，可求圆心角．
本题考查任意角与弧度制，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得函数为为奇函数，
则，得，
又，则，．
故选：．
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，的取值范围，进而即可求得的值．
本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由函数，
因为，所以函数为偶函数，
令，其在上为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，
所以函数在上为单调递减函数，
令在上为单调递增函数，
当时，可得且，
根据对勾函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，
所以函数在上为单调递减函数，
所以函数在上为单调递减函数，
又由，
，，根据单位圆图形易知，
则，所以．
故选：．
根据题意，先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用诱导公式，结合正切函数的单调性，即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
设，
则，，
因为，
所以，
则，
即，
则．
故选：．
先建系，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
故选：．
由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解．
本题主要考查了圆的性质，正弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：：由正弦函数的值域可得，故A错误；
：由诱导公式可知，故B正确；
：因为，，所以，故C正确；
：因为，所以，故D错误．
故选：．
由正弦函数的值域可得A错误；由诱导公式可得B错误；由同角的三角函数关系可得C正确；由三角函数的值域可得D错误．
本题主要考查三角函数的性质，诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数，其定义域为，
有，即为偶函数，A正确；
对于，由于，则，
若恒成立，则，即的最大值为，B错误；
对于，若，则，解可得，，
易得在上共有个解，即在上共有个解，C正确；
对于，设，，
，在上单调递增，在上为增函数，
故在上单调递增，D正确．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性可得A正确，求出的最小值可得B错误，由指数函数的性质可得，由三角函数的性质分析可得C正确，由复合函数单调性的判断方法可得D正确．综合可得答案．
本题考查复合函数的单调性、值域，涉及函数的奇偶性和恒成立问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，由于，其中为的中点，
可知为边上中线的三等分点靠近线段，故为的重心，选项A正确；
选项B，向量分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，
当，即时，则点在的平分线上，
同理，由，可知点在的平分线上，故为的内心，选项B正确；
选项C，是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，
而是该平行四边形的另一条对角线的长，
由，可知这个平行四边形是菱形，
即，同理有，故为的外心，选项C错误；
选项D，设是的中点，则，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，选项D正确．
故选：．
根据三角形四心的定义，结合向量数量积的几何意义，对四个选项逐一进行运算判断，判断出点在中的特殊位置，即可得到答案．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：在中，点在上，且，若，，
则，
又点是的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平面向量的减法法则可求，以及三角形的中线对应的向量为两相邻边对应向量和的，再用向量的坐标运算求．
本题考查平面向量的基本定理相关知识，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，是正实数，且，
，，当且仅当时取““，
，当且仅当时取““，
故答案为：．
由题设和基本不等式，即可求得结果．
本题主要考查基本不等式在处理最值问题中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设四个全等的直角三角形的短直角边为，则长直角边为，
，
，化简得，解得或舍负，
在中，，
在中，，
．
故答案为：．
由勾股定理可求得直角三角形的两条直角边，由，根据两角和的正切公式展开运算即可求解．
本题考查勾股定理，两角和的正切公式在解三角形中的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：；
是第一象限角，
则，
，
则，解得，
故；
．
【解析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；
结合三角含的诱导公式，对原式化简，再弦化切，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
16.【答案】解：已知向量，，
又，
则，
即，
又，
则；
已知向量，，，
又，
则，
即，
又，
则，
即，
又，
则，
则，
即，
又，
则，
则．
【解析】由平面向量共线的坐标运算求解；
由平面向量垂直的坐标运算，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
17.【答案】解：因为
，
若选条件，直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
则，解得，
则；
若选条件，则，
则，，
因此，，又，
所以，则，
若选条件，对任意的，，
则有，，解得，，
又，所以当时，，
则．
综上，；
将函数的图象向右平移个单位得到，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到．
由，，解得，，
即函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上单调递增，
则在上单调递减；
因为，，，
因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或．
所以的取值范围为：．
【解析】先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式；
首先根据三角函数的变换规律得到解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围．
本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，
边上的中线为，，
为边上靠近的四等分点，可得．
设，代入坐标可解得，
且有．
为向量与的夹角，所以，
，，
，，
．
【解析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的线性运算得解；
结合的数据，利用平面向量的夹角公式直接求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：记，，则．
，
，
，
，
正方形的边长为，
，，
在中，，，由，
则，
，．
，
．
，．
，
，
．
，
当时，面积的最小值为．
设中边上的高为，由，得，
．
又，
，
且，
，
，即为定值，该同学猜想正确．
【解析】记，，根据已知条件可得，进而得到，化简即可得到的大小；
用表示出面积，再由三角函数的性质得解；
设中边上的高为，利用等面积法可得为定值，进而得出结论．
本题考查平面向量，解三角形与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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