2023-2024学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷 (含解析）

2023-2024学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、，，则下列不等式中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.下列各项与一定相等的是( )
A. B. C. D.
3.已知、均为非零向量，有下列四个命题：
若为任意实数，则是的充分非必要条件；
已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件；
“”是“”的既非充分也非必要条件．
其中命题正确的个数( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知，有下列两个结论：
设的值域为，则；
对于任意的正数，存在奇数个零点．
则下列判断正确的是( )
A. 均正确 B. 均错误 C. 对错 D. 错对
二、填空题：本题共12小题，共38分。
5.不等式的解集为______．
6.已知复数为虚数单位，则满足的复数为______．
7.已知，，则在方向上的数量投影为______．
8.在中，为边上一点，且满足，设，则 ______．
9.若，，则 ______．
10.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______．
11.已知函数的性质中以下两个结论是正确的：偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为______．
12.已知正六边形的边长为，点为其边界上的一个动点，则的取值范围是______．
13.如图所示为的部分图像，点和点之间的距离为，那么 ______．
14.已知，若满足、、互不相等，则的取值范围是______．
15.若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为______．
16.已知是正整数，且，则满足方程的有______个
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，满足，，，求．
18.本小题分
已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数．
求函数的表达式；
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，．
若，试判断的形状并证明；
若，边长，角，求的面积．
20.本小题分
某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物如图，经测量已知，现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙．
计算发现：无论多长，始终为定值请你验证该结论，并求出这个定值；
已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为记与的面积分别为和请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大．
21.本小题分
已知的最小正周期为．
化简函数的表达式，并求出的值；
若不等式在上有解，求实数的取值范围；
将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且为偶函数若对于任意的实数，函数，与的公共点个数不少于个且不多于个，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，，，，，则，一定成立；
对于，取，，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于，由，由于在上单调递减，则成立．
故选：．
根据不等式性质可判断，；举反例可判断；根据指数函数的单调性判断．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据，
对于：，故A错误；
对于：，故B错误；
对于：，故C错误；
对于：，故D正确．
故选：．
直接利用三角函数的诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，能推出，充分性成立，
，当时，不能推出，故必要性不成立，
故是的充分非必要条件；故正确；
对于，、为两个不平行向量，，
故是的充要条件，故错误；
对于，，二者反向共线时，不能推出，充分性不成立，
能推出，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，故错误．
故选：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：中，当为无理数时，；当为有理数时，，所以，故正确．
中，当为无理数时，由，解得，即一个正数对应一个无理数，所以函数有一个无理数零点；
当为有理数时，由，解得，即一个正数对应两个有理数零点，所以函数有两个有理数零点．
综上，当时，函数有三个零点，且一个为无理数，两个为有理数，故错误．
故选：．
分别讨论分段函数求出值域可得结果，根据零点存在定理可求出零点个数．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，
解可得：，
即原不等式的解集为；
故答案为：
根据题意，将原不等式变形为，结合一元二次不等式的解法分析可得其解集，即可得答案．
本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式．
6.【答案】
【解析】解：复数为虚数单位，
则，
，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
则在方向上的数量投影为．
故答案为：．
根据题意，由向量数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量投影的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为在中，为边上一点，且满足，
所以，
又因为，且不共线，
所以由平面向量基本定理可得：，
所以．
故答案为：．
由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可求得，的值，再代值计算即可．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由于，
所以；
且满足，
故，
所以，
故．
故答案为：．
直接利用三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，且在上为严格增函数，
故，解得．
故答案为．
根据正切函数的性质即可得．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数，
又因为，
所以是的一个周期，
所以当时，，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上单调递增，
所以，
由结论可得在区间上的取值范围也为，
即在区间上的取值范围为，
又由结论可得在定义域上的值域为．
故答案为：．
利用奇偶性和周期性的定义可得是周期为的偶函数，由所给的函数性质可得求在区间上的值域，即可得到在定义域上的值域．
本题主要考查函数值域的求法，函数的奇偶性与周期性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，分别过，作延长线的垂线，垂直为，，
由正六边形的结构特征计算可得：，
设的夹角为，
所以，
由平面向量数量积的几何意义知，为在方向上的投影，
所以当在点处时，投影取得最大值，
当在点处时，投影取得最小值，
所以的取值范围为．
故答案为：．
由平面向量数量积的几何意义结合图形计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积的几何意义的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据图像连接，过点，作轴的垂线和平行线，交于点．
在直角三角形中，，，可得，即函数的周期，
所以，所以，
又图像与轴交于点即，且，则，
所以，则．
故答案为：．
根据，两点之间的距离为可得函数的周期，得到的值，再根据图像与轴交于点，可求出，即可求值．
本题考查根据三角函数的图像求函数表达式，考查三角函数的图像性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：作出函数的图象，如图所示：
不妨设，
因为，
由函数的性质得，，即，
所以．
故答案为：．
作出函数的图象，根据，利用数形结合法求解．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：不妨设，，，其中、，
则，所以或，
，所以或，
所以，
因为，
当时，；
当时，；
当时，；
所以的所有可能的值组成的集合为．
故答案为：．
不妨设，，，其中、，根据平面向量数量积的坐标运算可得出、的值，求出的值，再利用平面向量数量积的坐标运算结合两角差的余弦公式可求得的值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查坐标法解决向量问题，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由正弦函数性质可知，，
，等式两边成立；
等式的两边都为时等式才成立，
，，，，，，，，，时等式成立．
综上，，，，，，，，，，，共个．
故答案为：．
依题意，时成立，等式的两边都为时的情况也成立，分析计数即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：已知，满足，，，
则，
则．
【解析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
18.【答案】解：依题意，可得为奇函数，在区间上是严格减函数，
可得，解得，
可得整数，，，
则，
只有成立，
所以所以；
不等式，即，
又在上是减函数，
而在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得为奇函数，在区间上是严格减函数，解不等式可得整数的值，检验可得所求值；
依题意，对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：为等腰三角形；
证明：因为，，，
所以，
由正弦定理：，其中是外接圆半径，
所以，
所以为等腰三角形；
因为，由题意可知，
所以，
所以，
由余弦定理可知，，
即，
所以或舍去，
所以．
【解析】由可得，再利用正弦定理即可证明结论；
由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积．
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查解方程的能力，属于中档题．
20.【答案】解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，则，
故为定值；
由题意可知该种植计划经济收益为，
则，
当时，取得最大值．
【解析】利用余弦定理推出与的关系，即可求得为一个定值；
由题意可知该种植计划经济收益为求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了二次函数和余弦函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：
，又的最小正周期为，解得，
；
，，，，
不等式在上有解在上有解，，
由得，，，
，即实数的取值范围为．
为偶函数，
，，
，，
又，，
，
，
又对于任意的实数，函数，与的公共点个数不少于个且不多于个，
且，解得，
正实数的取值范围．
【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简求得函数，再利用周期公式可求得的表达式及的值；
依题意，问题转化为，分别求得，可得答案；
根据函数的图象变换及函数性质可求得，进而求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围．
本题考查了三角函数恒等变换及的图象变换的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．
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