2023-2024学年天津市河东区高一（下）期中数学试卷 (含解析）

2023-2024学年天津市河东区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若和都是单位向量，则
D. 零向量与其它向量都共线
2.化简以下各式：
；
；
；
．
其结果为的个数是( )
A. B. C. D.
3.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
6.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为且腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
7.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.在中，，则为( )
A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．
10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为______．
11.在中，，，，则______．
12.若向量满足：，则在上的投影向量为______．
13.某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，则此山的高度约为______．
14.正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面上一点，满足，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
；
16.本小题分
已知复数，当取何实数值时，复数是：
纯虚数；
．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，若，且．
求角；
求的面积．
18.本小题分
Ⅰ已知单位向量与夹角为，且，求的值．
Ⅱ已知，求与夹角的余弦值．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，．
求；
若，，求周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本概念，是基础题．
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定完全相同，A错误；
对于，模相等的两个平行向量，可能是相等向量，也可能是相反向量，B错误；
对于，和都是单位向量，则，但、不一定相等，C错误；
对于，零向量的方向是任意的，零向量与任意向量共线，D正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量加法，减法运算以及三角形法则与平行四边形法则，属于基础题．
可以利用向量加法、减法的三角形法则，逐一进行运算即可．
【解答】
解：；
；
；
．
故应选：．
3.【答案】
【解析】解：在中，若，，，
由余弦定理有，
，
，解得或舍去，
故选：．
在中，由余弦定理有，求解即可．
本题考查余弦定理，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
．
故选：．
先根据余弦定理求出夹角，再根据三角形的面积公式即可求出．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
根据棱柱和棱台的定义分别进行判断即可．
本题主要考查棱柱和棱台的概念，要求熟练掌握空间几何体的概念，比较基础．
【解答】
解：根据棱柱的定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，
根据棱台的定义可知，一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体叫棱台，
所以，，C错误，D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为，高为，下底为，
．
故选：．
水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．
7.【答案】
【解析】解：，
，
在复平面内对应的点，位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为在中，，，
，
；
；
为等边三角形；
故选：．
直接代入数量积的计算公式第一个条件求出；第二个条件得到即可求出结论
本题考查了数量积运算性质一季特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，
所以，
所以，
故答案为：．
由已知求出的关系式，然后根据复数的运算性质化简即可求解．
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设球的半径为，
则圆柱的底面半径为，高为，
，．
，
，．
．
故答案为：．
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由此能求出结果．
本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
11.【答案】
【解析】解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
则．
故答案为：．
由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以在上的投影向量为．
故答案为：．
由投影向量的求法计算即可求得．
本题考查投影向量的求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，，，
，，，且，
在中，根据正弦定理，可得，解得，
．
故答案为：
根据条件即可得出，，然后根据正弦定理即可求出的长度，然后即可求出的长度．
本题考查了正弦定理，直角三角形的边角关系，考查了计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立坐标系，
则，，
，
即点坐标为，
设，则，，
，
，
当且时，有最小值．
故答案为：．
建立坐标系，根据，求出点坐标，设出，坐标分别为，，将转化为关于，的函数，即可得到其最小值．
本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：．
．
【解析】利用复数运算法则直接求解．
利用复数运算法则直接求解．
本题考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：当且仅当时，复数是纯虚数，
解得，
解得，
即时，复数为纯虚数．
当且仅当 时，，
解得，
即时，复数．
【解析】利用，，即可求解．
利用复数相等的条件实部与虚部分别相等，即可求解．
本题考查复数的基本概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：由，得，
可得，
又因为，
所以可得．
因为，，
所以．
【解析】由题设条件，结合余弦定理可得，即可求角；
应用三角形面积公式直接求的面积即可．
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ单位向量与夹角为，
．
．
Ⅱ，，即，
，
．
故与夹角的余弦值为．
【解析】本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
Ⅰ由平面向量数量积的定义求得的值，而，代入所得数据进行运算即可；
Ⅱ将两边平方展开后得，从而求出的值，再由即可得解．
19.【答案】解：在中，，则，
即，而，得，
．
由，，为钝角，
又，则，
由正弦定理得，则，，
则，
，，
则，，
，
周长的取值范围为．
【解析】利用三角形的面积公式和平面向量的数量积得到，，再利用三角函数恒等变换求解即可．
先得到，再利用正弦定理得到，，最后利用三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质求解即可．
本题考查了三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，正弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，属于中档题．
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