2022-2023学年河南省郑州四禾美术学校高二（下）期中数学试卷 (含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年河南省郑州四禾美术学校高二（下）期中数学试卷 (含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-27 17:02:05 | ||
图片预览
文档简介
2022-2023学年河南省郑州四禾美术学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
3.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
6.名学生和位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
9.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
10.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为
( )
A. B. C. D.
11.的展开式共有七项，且常数项为，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ．
14.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______用数字作答
15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第行第个数是______．
16.若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
由，，，，，这六个数字可组成多少个：
三位数？
没有重复数字的三位数？
没有重复数字的末位数字是的三位数？
18.本小题分
已知等差数列满足，前项和．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设等比数列满足，，求前项和．
19.本小题分
在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从件正品和件次品共件产品中，任意抽出件检查．
共有多少种不同的抽法？
恰好有一件是次品的抽法有多少种？
至少有一件是次品的抽法有多少种？
恰好有一件是次品，再把抽出的件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
20.本小题分
某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，改造后旅游增加值万元与投入万元之间满足：为常数当万元时，万元；当万元时，万元．
参考数据：，，
写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；利润旅游增加值投入
投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？精确到
21.本小题分
已知二项展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：．
求的值；
求展开式中项的系数；
计算式子的值．
22.本小题分
设．
求曲线在处的切线方程；
求的单调区间与极值；
若有实数解，求实数的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数列，，
则该数列的第项为．
故选：．
观察数列各项的特点即可求解第项．
本题考查了通过观察分析猜想归纳数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
先根据导数的运算法则求导，再判断．
【解答】
解：，，，，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：在等差数列中，由，，
得，即，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及性质求解．
本题考查等差数列的通项公式与性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：设人分到的面包从小到大记下为，
则，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以．
故选：．
由已知结合等差数的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由导数的图象可得，导函数的值在上的逐渐增大，
故函数在上增长速度逐渐变大，故函数的图象是下凹型的．
导函数的值在上的逐渐减小，
故函数在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，先将名老师分为、的两组，有种分组方法，
再将名学生全排列，有种情况，
人排好后有个空位，在其中任选个，安排两组老师，有种情况，
则一共有种不同排法；
故选：．
根据题意，分步进行分析：将名老师分为、的两组，再将名学生全排列，人排好后有个空位，在其中任选个，安排两组老师，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及插空法的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，解得．
故选：．
由题知，再求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题得的展开式的通项为，
令，得，
故；
令，得，
故，
所以．
故选：．
利用二项式展开式的通项求出，即得解．
本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，
，，
令，解得，
故的递减区间为，
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两个计数原理的综合应用，属于中档题．
分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，、不同色；、同色两大类．
【解答】
解：先涂有种颜色可选，再涂有种颜色可选，
剩下的分两种情况：
、不同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种；
、同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种，
共有种．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：因为的展开式共有七项，故，
且展开式通项公式为，
令，解得：，故，解得．
故选：．
根据展开式的项数得到，进而由展开式通项公式得到，求出的值．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，可得，
若在递增，
则在恒成立，
即在恒成立，
令，函数的对称轴为，当时，函数是增函数，所以，
故，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用二次函数的性质，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合数公式的计算，属于基础题．
根据排列数和组合数公式进行计算即可．
【解答】
解：
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：的展开式中，二项式系数最大的项是
，
其系数为．
故答案为：．
根据展开式中二项式系数最大的项是，由此求出它的系数．
本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，
观察表中数字，题中要求第行第个数，所以，，表中每一行的第个数是，所以第个数是，
所以，第行第个数为：．
故答案为：．
根据题意，将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，确定，，代入公式计算即可．
本题考查归纳推理，属于基础题．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．
16.【答案】
【解析】解：在上恒成立，，
令，，
当时，，
当时，，
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
，则实数的取值范围为．
故答案为：．
利用隔离参数法将不等式转化为，进而求得实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，，，，，这六个数字，可组成个可重复的三位数；
可组成个不重复的三位数；
末尾为，先选择末尾数，有种，
再从剩下的个数中选择两个元素有种，
故没有重复数字的末位数字是的三位数有个
【解析】根据排列数公式和分步计数法求出即可．
本题考查简单的计数原理的应用，考查了排列数公式，基础题．
18.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
，前项和．
，，解得，．
；
Ⅱ，，
可得等比数列的公比满足，
解得．
前项和．
【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
Ⅰ设等差数列的公差为，由题意，可得，，解得，即可得出
Ⅱ，，可得等比数列的公比，利用求和公式即可得出．
19.【答案】解：件产品，从中任意抽出件检查，共有 种不同的抽法，
事件分两步完成，第一步从件次品中抽取件次品，第二步从件正品中抽取件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有 种不同的抽法．
利用间接法，从中任意抽出件检查，共有种不同的抽法，全是正品的抽法有，则至少有一件是次品的抽法有种不同的抽法．
恰好有一件是次品，再把抽出的件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有种不同的排法．
【解析】本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．
件产品，从中任意抽出件检查，共有种不同的抽法；
事件分两步完成，第一步从件次品中抽取件次品，第二步从件正品中抽取件正品，根据乘法原理计算求得；
利用间接法，从中任意抽出件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；
在的基础上，再进行全排，即可得出结论．
20.【答案】解：由已知得：，
化简得：，，
，
则该景点改造升级后旅游增加利润为：．
由得：，
则，
令得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
时，取得最大值，且，
当投入万元时，旅游增加利润最大，最大利润为万元．
【解析】本题主要考查了函数的的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．
先利用待定系数法求出关于的函数解析式，再由利润旅游增加值投入得到旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式．
由得：，利用导数得到函数的单调性，进而求出函数的最大值即可．
21.【答案】解：由第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：，
可得，
化简可得，求得．
由于二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为．
由二项式定理可得，
所以令，得．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
直接利用条件可得，求得的值．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数．
在二项展开式中，令，可得式子的值．
22.【答案】解：的定义域为，
，，又，
曲线在处的切线方程为，即；
，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，无极大值；
由知在处取极小值，无极大值，则，无最大值，所以的值域为
因为方程有实数解，即方程有实数解，
所以实数的范围为．
【解析】根据导数的几何意义可求得结果；
利用导数可求得单调区间与极值；
将方程有实数解问题转化为求函数值域问题即可求解．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
3.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
6.名学生和位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
9.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
10.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为
( )
A. B. C. D.
11.的展开式共有七项，且常数项为，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ．
14.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______用数字作答
15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第行第个数是______．
16.若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
由，，，，，这六个数字可组成多少个：
三位数？
没有重复数字的三位数？
没有重复数字的末位数字是的三位数？
18.本小题分
已知等差数列满足，前项和．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设等比数列满足，，求前项和．
19.本小题分
在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从件正品和件次品共件产品中，任意抽出件检查．
共有多少种不同的抽法？
恰好有一件是次品的抽法有多少种？
至少有一件是次品的抽法有多少种？
恰好有一件是次品，再把抽出的件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
20.本小题分
某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，改造后旅游增加值万元与投入万元之间满足：为常数当万元时，万元；当万元时，万元．
参考数据：，，
写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；利润旅游增加值投入
投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？精确到
21.本小题分
已知二项展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：．
求的值；
求展开式中项的系数；
计算式子的值．
22.本小题分
设．
求曲线在处的切线方程；
求的单调区间与极值；
若有实数解，求实数的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数列，，
则该数列的第项为．
故选：．
观察数列各项的特点即可求解第项．
本题考查了通过观察分析猜想归纳数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
先根据导数的运算法则求导，再判断．
【解答】
解：，，，，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：在等差数列中，由，，
得，即，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及性质求解．
本题考查等差数列的通项公式与性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：设人分到的面包从小到大记下为，
则，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以．
故选：．
由已知结合等差数的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由导数的图象可得，导函数的值在上的逐渐增大，
故函数在上增长速度逐渐变大，故函数的图象是下凹型的．
导函数的值在上的逐渐减小，
故函数在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，先将名老师分为、的两组，有种分组方法，
再将名学生全排列，有种情况，
人排好后有个空位，在其中任选个，安排两组老师，有种情况，
则一共有种不同排法；
故选：．
根据题意，分步进行分析：将名老师分为、的两组，再将名学生全排列，人排好后有个空位，在其中任选个，安排两组老师，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及插空法的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，解得．
故选：．
由题知，再求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题得的展开式的通项为，
令，得，
故；
令，得，
故，
所以．
故选：．
利用二项式展开式的通项求出，即得解．
本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，
，，
令，解得，
故的递减区间为，
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两个计数原理的综合应用，属于中档题．
分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，、不同色；、同色两大类．
【解答】
解：先涂有种颜色可选，再涂有种颜色可选，
剩下的分两种情况：
、不同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种；
、同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种，
共有种．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：因为的展开式共有七项，故，
且展开式通项公式为，
令，解得：，故，解得．
故选：．
根据展开式的项数得到，进而由展开式通项公式得到，求出的值．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，可得，
若在递增，
则在恒成立，
即在恒成立，
令，函数的对称轴为，当时，函数是增函数，所以，
故，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用二次函数的性质，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合数公式的计算，属于基础题．
根据排列数和组合数公式进行计算即可．
【解答】
解：
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：的展开式中，二项式系数最大的项是
，
其系数为．
故答案为：．
根据展开式中二项式系数最大的项是，由此求出它的系数．
本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，
观察表中数字，题中要求第行第个数，所以，，表中每一行的第个数是，所以第个数是，
所以，第行第个数为：．
故答案为：．
根据题意，将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，确定，，代入公式计算即可．
本题考查归纳推理，属于基础题．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．
16.【答案】
【解析】解：在上恒成立，，
令，，
当时，，
当时，，
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
，则实数的取值范围为．
故答案为：．
利用隔离参数法将不等式转化为，进而求得实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，，，，，这六个数字，可组成个可重复的三位数；
可组成个不重复的三位数；
末尾为，先选择末尾数，有种，
再从剩下的个数中选择两个元素有种，
故没有重复数字的末位数字是的三位数有个
【解析】根据排列数公式和分步计数法求出即可．
本题考查简单的计数原理的应用，考查了排列数公式，基础题．
18.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
，前项和．
，，解得，．
；
Ⅱ，，
可得等比数列的公比满足，
解得．
前项和．
【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
Ⅰ设等差数列的公差为，由题意，可得，，解得，即可得出
Ⅱ，，可得等比数列的公比，利用求和公式即可得出．
19.【答案】解：件产品，从中任意抽出件检查，共有 种不同的抽法，
事件分两步完成，第一步从件次品中抽取件次品，第二步从件正品中抽取件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有 种不同的抽法．
利用间接法，从中任意抽出件检查，共有种不同的抽法，全是正品的抽法有，则至少有一件是次品的抽法有种不同的抽法．
恰好有一件是次品，再把抽出的件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有种不同的排法．
【解析】本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．
件产品，从中任意抽出件检查，共有种不同的抽法；
事件分两步完成，第一步从件次品中抽取件次品，第二步从件正品中抽取件正品，根据乘法原理计算求得；
利用间接法，从中任意抽出件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；
在的基础上，再进行全排，即可得出结论．
20.【答案】解：由已知得：，
化简得：，，
，
则该景点改造升级后旅游增加利润为：．
由得：，
则，
令得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
时，取得最大值，且，
当投入万元时，旅游增加利润最大，最大利润为万元．
【解析】本题主要考查了函数的的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．
先利用待定系数法求出关于的函数解析式，再由利润旅游增加值投入得到旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式．
由得：，利用导数得到函数的单调性，进而求出函数的最大值即可．
21.【答案】解：由第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：，
可得，
化简可得，求得．
由于二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为．
由二项式定理可得，
所以令，得．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
直接利用条件可得，求得的值．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数．
在二项展开式中，令，可得式子的值．
22.【答案】解：的定义域为，
，，又，
曲线在处的切线方程为，即；
，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，无极大值；
由知在处取极小值，无极大值，则，无最大值，所以的值域为
因为方程有实数解，即方程有实数解，
所以实数的范围为．
【解析】根据导数的几何意义可求得结果；
利用导数可求得单调区间与极值；
将方程有实数解问题转化为求函数值域问题即可求解．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．
第1页，共1页