嘉陵一中高二下期中考试
数学试题
考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题(40分，每小题5分）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
3．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．64种 D．81种
4．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A． B．60 C．80 D．160
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（18分，每小题6分）
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．平面
C．直线与为异面直线 D．二面角大小为
11．不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，其应用非常广泛．对于函数，定义方程的根称为的不动点．已知有唯一的不动点，则（ ）
A． B．的不动点为
C．极大值为2 D．极小值为1
第II卷（非选择题）
三、填空题（15分，每小题5分）
12．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
13．在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ．
14．已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求的在上的最大值和最小值；（6分）
(2)当时，求的单调区间．（7分）
16已知是等差数列，，，数列的前项和为，且．(13)
(1)求、的通项公式；(7分）
(2)若，求数列的前项和．（8分）
17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
(1)若为棱的中点，求证：平面；（7分）
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.（8分）
18．已知椭圆：．
(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；（8分）
(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．（9分）
19．已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；（7分）
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．（10分）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页嘉陵一中高二下期中考试数学试题
1．【答案】D
【分析】利用复合函数的导数公式求导即可得解.
【详解】因为，所以.故选：D.
2．【答案】D
3．【答案】D【分析】由分步计数原理计算.
【详解】四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种.故选：D
4．【答案】D
【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解.
【详解】由，，得,即，解得.
因为，所以，两式相减得，即.
又，，所以，所以是首项为2，公比为3的等比数列，
∴，．故选:D.
5．【答案】B
【分析】根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】由，得，
因为，则，可知在上单调递减，且，
由不等式可得，解得，所以不等式的解集为.故选：B
6．【答案】C
【分析】根据题意，得到构成公比的等比数列，设，得到，进而求得的值.
【详解】由等比数列中，公比，
可得构成公比的等比数列，
设，则，
因为数列的87项和，所以，解得，所以.
故选：C.
7．【答案】D
【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值.
【详解】因为，则，解得，
故
.故选：D.
8．【答案】A
【分析】令，得到，关于的函数式，进而可得关于的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】令，则，，，，所以，
若，则，，有，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，，
即的最小值为.故选：A.
【点睛】关键点点睛：令确定关于的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
9．【答案】CD
【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD.
10．【答案】ACD
【分析】取的中点，连接，则平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断选项.
【详解】取的中点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，
的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，则，故A正确；
，易知平面的一个法向量为
，故与平面不平行，故B错误；
由图知直线与为异面直线，故C正确；
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角为，故D正确．故选：ACD．
11．【答案】ABC
【分析】根据题意，转化为有唯一解，令，求得函数 的单调性和最大值，结合，可得，求得，进而求得函数的的单调性和极值.
【详解】由方程有唯一解，即有唯一解，
令，可得，解得，
当，可得；当，；
所以函数在内单调递增，在在单调递减，
所以，且当趋近于0或时，趋近于，
由题意可知：，可得，此时，故AB正确；
此时，可得，当，可得；当，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以的极大值为，无极小值，故C正确，D错误；故选：ABC.
12．【答案】
【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】在天里，连续天的情况，一共有种，
则剩下的人全排列有种排法，故一共有种排法．故答案为：．
13．【答案】
【分析】借助所给条件可构造，即可得数列为等比数列，即可得，借助等比数列前项和公式即可得.
【详解】由，即，则，又，
故数列是以为公比、为首项的等比数列，
即，则，.
故答案为：；.
14．【答案】
【分析】由题意得，利用点到直线的距离公式得到，根据，有，代入即可求解.
【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为 ，
由，有，
F 到渐近线的距离，
，，
，，
则 ，
由，有， 即 ，
解得 ，则有 ，所以离心率 故答案为：
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
15．【答案】(1)最大值为9，最小值为
(2)答案见解析
【分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值；
（2）求导可得，分类讨论当、、时函数对应的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，则，
令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以在上的最大值为9，最小值为.
（2），则，令，解得或，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
16．【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，进而求出通项公式；利用前项和与第n项的关系求出的通项.
（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，
得，解得，因此；
数列中，，当时，，
两式相减得，即，而，解得，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以、的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
将两式相减得：
，则，
所以求数列的前项和.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）合理构造图形，利用线线平行证明线面平行即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法处理即可.
【详解】（1）取中点，连接分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，
故四边形是平行四边形，，又平面平面，//平面.
（2）假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，则是四棱锥的高，设，则，
∴，所以，
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
设，
．
设平面的一个法向量为，
则所以可取.
易知平面的一个法向量为，
，，
故存在点满足题意.
18．【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】
（1）将与椭圆联立得到、、和，进而得到；
（2）设直线：，联立椭圆与直线得到韦达定理以及，利用进而得到，由得到的值，最后舍去不符合题意的即可.
【详解】（1）
将直线与椭圆方程联立，即，
得，
即，
故；
（2）
设直线：，，，
由得，
，，
又，，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线：，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线：，过定点，
，符合题意．
19．【答案】(1)0
(2)证明见解析【分析】（1）根据极值点得到的值，但是不要忘了检验是否符合题意.
（2）先通过换元，得到与直线交于两点，再求出点轨迹方程，从而通过证明，得到，进而解决问题.
【详解】（1）因为，所以，
因为是函数的极值点，所以，解得，
所以，所以令，所以，
所以当时，，函数单调递减．
又，所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以确实是函数的极大值点．
综上所述，实数的值为0．
（2）因为，函数的两个极值点为，且，
所以
设，，则．
构建函数，则函数的图象与直线交于，两点．
因为，所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以．
构建函数，所以函数的图象与直线交于点．
构建函数，所以，
所以当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，所以当时，函数取
得最小值，
所以，所以，
所以，
所以，所以．
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