数学：第三章《不等式》学案（新人教b版必修5）

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《不等式》复习小结 学案
一、学习目标
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、重点，难点
不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
三、掌握的知识点
1.本章知识结构
2、知识梳理
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；
(5)倒数法则：
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法
3、应用不等式性质证明
（二）一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1、如果a,b是正数，那么
2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
五、知识运用
1． 已知正数满足,则的最小值为 .
2． 已知且则的最小值为 .
(2)已知则的取值范围是 .
3．已知函数在点的切线方程为,若函数在上单调递增,求的取值范围.
4．对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
5．已知二次函数和一次函数,其中满足
.
(1) 求证:两函数的图象交于不同的两点;
(1) 求线段在轴上的射影的长的取值范围.
参考答案：
1．法一:
因为,
所以 .
法二:结论向条件靠,将次数升上去,方便使用条件,
=
=4(4-2+(.
又,故
2．（1）解:当且仅当时等号成立.
或解：由得,则,后略.
（2）解:由题意,
故,,
当且仅当时等号成立,.
3．解:由及得到,则.
由题设可得对恒成立.
即对恒成立 对恒成立
只需在上的最大值.对于这个最大值的计算方法可以是平均值定理法,也可以是导数法,下面我选择其中一种.
(当时等号成立)
故.
4．令,则问题转化为对于任意,恒成立,则问题
或或.
5．解: (1)由消得,由题意且.由条件不难得到,故即.可得两函数图象有两个不同的交点.
(2)设上述方程的两个根分别为,则
=
令,则原式=4(1.
由有,又,,
因此且,且.即.
所以,.
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