人教版数学八年级上册 第15章《分式》 作业设计（共15课时，含解析）+单元质量检测作业（无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 第15章《分式》 作业设计（共15课时，含解析）+单元质量检测作业（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 540.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-26 16:19:43 | ||
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文档简介
目 录
一、单元信息 2
二、单元分析 2
三、单元学习与作业目标 4
四、 单元作业设计思路 4
五、 课时作业 4
(一)课时作业单元规划 4
(二)作业内容
第一课时( 15.1.1 从分数到分式) 5
第二课时( 15.1.2 ①分式的基本性质) 7
第三课时( 15.1.2 ②约分通分) 9
第四课时( 15.2.1 ①分式的乘除) 12
第五课时(15.2.1 ②分式的乘方) 41
第六课时( 15.2.2 ①分式的加减) 61
第七课时( 15.2.2 ②分式的混合运算) 02
第八课时(15.2.3 ①整数指数幂) 22
第九课时(15.2.3 ②科学记数法) 42
第十课时(15.3.①分式方程的概念) 62
第十一课时(15.3.②分式方程的解法) 28
第十二课时(15.3.③分式方程的应用) 03
第十三课时 (数学活动) 33
第十四课时 (小结①) 53
第十五课时(小结②) 73
六、 单元质量检测作业 39
(一)单元质量检测作业内容 39
(二) 单元质量检测作业属性表 41
第十五章 分式
一、单元信息
基本 信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 八年级 第一学期 人教版 分式
单元 组织 方式 团 自然单元 重组单 元
课 时 信 息 序号 课时名称 对应教材内容
1 分式的概念 第 15.1.1(P127-129)
2 分式的基本性质 第 15.1.2(P129-130)
3 约分和通分 第 15.1.2(P130-132)
4 分式的乘除 第 15.2.1(P135-138)
5 分式的乘方 第 15.2.1(P138-139)
6 分式的加减 第 15.2.2(P139-141)
7 分式的混合运算 第 15.2.2(P141-142)
8 整数指数幂 第 15.2.3(P142-145)
9 科学记数法 第 15.2.3(P145)
10 分式方程的概念 第 15.3(P149)
11 分式方程的解法 第 15.3(P150-152)
12 分式方程与实际问题 第 15.3(P152-154)
13 数学活动 P156
14 小结① P157
15 小结② P158-159
16 单元质量检测作业
二、单元分析
(一) 课标要求
本单元在《全日制义务教育数学课程标准(2022 版)》中， 属于“数与代数” 领域中的“数与式”和“方程与不等式”内容．
“数与代数”领域的学习有助于学生形成抽象能力、 逻辑推理能力和模型观 念，发展几何直观和运算能力.作业设计中要帮助学生达成以下要求：
1 ．内容要求
(1) “数与式” 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行 约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算．
(2) “方程与不等式” 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题 列出方程．能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程．
2 ．学业要求
(1) 知道分式的分母不能为零， 能利用分式的基本性质进行约分、通分，
并化简分式， 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将结果化为最简分式．在 计算的过程中体验“数感和符号感”，培养学生的数学抽象、数学运算能力．
(2) 掌握列方程解应用题的一般步骤， 能针对具体问题列出可化为一元一 次方程的分式方程． 在列分式方程的过程中建立模型观念，培养学生的逻辑推理、 数学建模能力，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
(二)教材分析
1 ．单元知识结构图
2 ．单元内容分析
“15.1 分式” 分式有意义时分式中分母应满足的条件；分式的基本性质， 在此基础上讨论分式的约分、通分等分式变形，本节内容是全章的理论基础．
“15.2 分式的运算” 分式的运算是本章的一个重点内容，分式的混合运算 也是本章教学中的一个难点， 克服这一难点的关键是通过一定数量的例题示范和 必要的练习掌握分式的运算法则及运算顺序． 接着学习了整数指数幂从特殊到一 般地归纳出整数指数幂的 3 条运算性质， 指数幂的概念就从正整数扩大到全体整 数， 这给运算带来了便利．最后讨论用科学记数法表示小于 1 的正数， 构建了完 整的科学记数法的知识体系．
“15.3 分式方程” 讨论分式方程的概念及其解法，它更适合作为某些类型 实际问题的数学模型，成为分析、解决问题的又一工具．
“数学活动” 展现了获得数学结论的一种重要途径：先通过合情推理提出 猜想， 再通过逻辑推理． 证明猜想， 从而获得结论， 教会学生自主独立探究新知 的一种方法和途径．
“小结” 通过知识结构图和回顾思考的问题串，教会学生自主独立及时复 习整理知识的方法．
(三) 学情分析
本章内容面对的学生是初二年级十三、四岁左右， 他们思维活跃， 模仿性强， 已经开始占主导地位的抽象逻辑思维， 逐步由经验型向理论型转化．观察、记忆、 想象等能力迅速发展，能超出直接感知的事物提出假设和进行推理、论证．
分式是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型之一．前面学生已经学习了 整式加、减、乘、除、乘方运算和幂的运算性质与因式分解等知识， 在此基础上 继续学习分式相关知识；其二，分式的很多知识和数具有“相通性”，所以本章 学习的主要方法是类比分数的知识去学习分式的知识， 而分数的知识小学学段已
经牢固掌握， 因此学习本章的难度不是太大； 第三， 分式方程的解法， 对于解方 程的基本思路学生已经比较熟悉， 按照这种思路继续学习分式方程的解法轻车熟 路， 只要关注如何将分式方程转化成整式方程(一元一次方程) 即可．本章的学 习将为后续的反比例函数等知识点铺垫好基础．
三、单元学习与作业目标
1 ．以描述实际问题中的数量关系为背景， 抽象出分式的概念，了解分式的 概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式，培养学生建立符号意识；
2 ．类比分数的基本性质和运算法则，了解分式的基本性质，能利用分式的 基本性质进行约分和通分， 进行简单的分式加、减、乘、除运算， 培养学生的类 比推理能力和运算能力；
3 ．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的 化归思想，培养学生思维的严谨性，发展数学思维能力；
4 ．结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问 题数量关系的一种重要数学模型，培养学生的数学建模意识；
5 ．关注不同学生的个体差异，让不同层次、不同学习能力的学生都能有收 获、有成长、有成就感．
四、单元作业设计思路
1．单元作业可分为课时作业和单元质量检测作业两部分；
2 ．分层设计课时作业，每课时均设计“基础性作业” (面向全体学生， 侧
重体现课标， 要求学生必做) 和“发展性作业” (体现个性化， 侧重考查探究能 力，要求学生有选择的完成)．
具体如下图：
五、课时作业
(一) 课时作业单元规划
根据实际教学，本章作业课时划分如下：
15.1 分式……………………………………………………………3课时作业
15.2 分式的运算……………………………………………………6 课时作业
15.3 分式方程………………………………………………………3课时作业
数学活动……………………………………………………………1课时作业
小结…………………………………………………………………2 课时作业
单元质量检测作业
(二) 作业内容
第一课时(15.1.1从分数到分式)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)在 ， ， 21冗 ， a 5一x ， 2x一4y 中分式的个数为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【设计意图】 本题从分式的定义出发， 紧扣分式定义 (形如 ，A 和 B 都是整
式， 并且 B 中含有字母) 作出正确选择，本题考查学生的数学观察和抽象能力．
【解】分式有和 a 5一x ，共两个 (要注意冗 是常数，不是定义里所说的字母)．故
选 B．
(2)要使分式 x 3一1 有意义，则x 的取值范围是( )
A．x≠1 B ．x >1 C ．x <1 .D．x≠-1
【设计意图】本题考查分式的意义． 分式有意义的条件是分母不能为 0，即当 B≠0
时，分式 才有意义．
【解】根据分式有意义的条件，一般通过列不等式或者方程解决问题． 由 x-1≠0， 得 x≠1，故选择 A．
(3)已知当x = 2 时， 分式 x 一32k 无意义，则 k = ． 【设计意图】本题考查分式无意义的条件，即分母为 0．
【解】 当x = 2 时，分式x 一32k 无意义，即 2 一 2k =0 ，所以k = 1．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
① ； ②
．
)(1)当 x 为何值时，下列分式的值为0？ x2 1 |x| 2
x 1 (x 3)(x 2)
【设计意图】本题考查分式值为 0 的条件，即分子为 0 且分母不为 0．学生在求 分式值为 0 的条件时， 易忽视分式有意义的条件． 本题培养了学生的观察素养．
【解】 ①由x2 1 0 ，得 x=±1；
由x 1 0 ，得 x 1 ．
(
x
2
1
)即当x 1时，分式 的值为 0．
x 1
②由|x|-2=0 ，得：x=±2；
由(x+3)(x-2)≠0，得 x≠-3 且 x≠2，
(
即当
x
2
时，分式 的值为
0
．
) |x| 2
(x 3)(x 2)
(2)若 a ，b 为实数，且 0 ，求 3a b 的值．
【设计意图】本题综合考查分式值为 0 的条件、分式值有意义的条件和非负数的 意义．
【解】 由 0 ，得(a 2)2 | b2 16 | 0 且b 4 0 ，
所以有 a-2=0 ，b2-16=0 ，b+4≠0．
解得 a=2 ，b=4．
即 3a-b=2．
【注意】讨论分式值为 0，一定要针对原分式讨论， 不能将分式化简后再讨论． 不 能忽视分式有意义的条件．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
+
2
b
3
+
2
b
1
+
6
b
)第二课时 (15.1.2①分式的基本性质)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)若 A ，B 表示不等于 0 的整式，则下列各式成立的是( )．
A ． = .B ． = .C ． = . D ． = 【设计意图】本题应用分式的基本性质判断，分式的分子与分母同时乘(或除以)
同一个不等于零的整式，分式的值不变． 备选答案中四个选项均较简单， 起点低， 易上手．
【解】 A．当 M = 0 时， 该等式不成立， 故本选项错误； B．分式的分子与分母同 时加上一个数(或式子)，分式的值有可能不改变， 故本选项错误； C．分子与分
(
母同时平方， 分式的值有可能不改变， 例如：
一
才
，故本选项错误；
D
．分子
)1 1
2 4
与分母乘以同一个不为零的式子， 分式的值不变， 由于 x2+1≠0，故本选项正确．故 选 D．
(
(
2
)如果把分式 中的
x
和
y
都扩大
3
倍，那么分式的值( )
．
x
A
．扩大
3
倍
.
B
．缩小
3
倍
C
．不变
D
．扩大
9
倍
)x + y
【设计意图】本题继续利用分式的基本性质解决问题， 先根据题意列出算式， 再 根据分式的基本性质进行化简，帮助学生理解分式的基本性质．
【解】根据题意，得 3x + 3y = x + y ，所以分式的值不变，故选 C．
3x x
(3)在分式① ，② ，③ x2x11 ，④ x (1)1 (x) ，⑤ 中，属于最简分
式的个数是( )．
A ．1 个 B ．2 个 .C ．3 个 .D ．4 个
【设计意图】本题考查了最简分式． 解题关键是明确最简分式的定义， 准确判断 分子分母是否含有公因式． 本题中包含多种公因式， 有的可以直接得出， 有的需 要因式分解后得出，难度不大．帮助学生理解掌握有关最简分数的定义．
【解】②和⑤ 分子分母无公因式， 是最简分式， 共两个．故选 B．
(4)不改变分式b (b) 的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数．
【设计意图】本题利用分式的基本性质， 直接把分式的分子与分母同时乘以相同 的数，一般来说， 是各分数系数中分母的最小公倍数， 可把分子与分母中各项系 数都化成整数．
2 ( 2 )
(
【解】
= =
．
)a 一 3 b 3 |\a 一 3 b)| 3a 一 2b
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
2
) (
(
1
)将分式
中的
x
、
y
的值同时扩大
3
倍，则分式的值( )．
x
+
y
A
．扩大
3
倍
B
．缩小
倍
C
．扩大
9
倍
D
．保持不变
) x
【设计意图】本题是作业 1 中第(2) 题的变式练习， 仿照第(2) 题的解题方法， 紧扣分式的基本性质，结合积的乘方进行化简， 目的是让学生把一种题型“吃 透”．
(
x
2
(3
x
)
2
9
x
2
x
2
)【解】 当 中的 x ，y 的值同时扩大 3 倍时， = = 3 . ，所
x + y 3x + 3y 3x + 3y x + y
以分式的值扩大 3 倍．故选 A．
(2)不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
① = ； ② = ．
【设计意图】本题是作业 1 中第(4) 题的变式练习， 仿照第(4) 题的解题方法， 紧扣解题关键，目的还是让学生把一种题型“吃透”．特别是第②小题， 各项系数 有小数， 也有分数， 可以统一化为小数或分数， 具体情况具体分析． 另外， 有的 学生会在分式的分子分母同时乘以 100，这时要求学生给出的最后答案必须是最 简分式，或者在分子分母同时乘以 20．
( 1 1 )
(
\
5 10
)
18
x
_
9
y
)| x _ y |〉90
(
\
3 9
)
)【解】 ①原式= 1 x + 1 y 〉90 = 30x +10y ；
(
0.2
x
+
0. 15
y
(0.2
x
+
0. 15
y
)
〉
100
20
x
+
15
y
4
x
+
3
y
)②原式= = = = ，
0.3x _ 0.5y (0.3x _ 0.5y)〉100 30x _ 50y 6x _ 10y
1 3 ( 1 3 )
5 x + 20 y |\5 x + 20 y )|〉20 4x + 3y
或：原式= x _ y = x _ y 〉20 = 6x _ 10y ．
(3)填空：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“- ”号．
① = ；② = ；③ = ．
【设计意图】对于一个分式 ，有可能分子 A 带有“- ”，也有可能分母 B带有 “- ”或者分式本身带有“- ”．例如， ，和_ ，同时改变分子、分母和
分式本身的三个符号中的两个， 分式的值不变，根据此原理逐一解答各题．
(
_
x
_
x
x
)【解】 ①把 的分子、分母的符号都改为“ + ”： = ；
(
③把
的分母的符号改为“
+
”，分式本身的符号改为“- ”：
= _
．
_
3
n
_
3
n
3
n
)②把 _a 的分子的符号改为“ + ”，分数本身的符号都改为“- ”： _a = _ a ； 2b 2b 2b 4m 4m 4m
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第三课时(15.1.2②约分通分)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(
(
1
) 分式
2
的分子，分母系数的最大公约数是
，相同字母的最低指
15
xy
z
)25x2 yz3
(
24
a
12
x
3
y
2
ma
mb
mc
a
2
4
ab
4
b
2
)数幂的乘积是 ，所以公因式是 ，约分后为 ．
(
(
2
) 分式 的分子分解因式为
，分母分解因式为
，所
m
2
6
m
9
) m2 9
以公因式为 ，约分后为 ．
(3) 三个分式 ， ， 的分母系数的最小公倍数是 ，相同字母的 最高指数幂的乘积是 ，所以最简公分母是 ，通分后为 ．
(4)三个分式 ， ， 的最简公分母是 ．
【设计意图】四道题目的选择主要是使学生会找分式的分子与分母的公因式或几 个分式中各分母的最简公分母， 从而熟练地进行约分和通分，当然因式分解是其 中必不可少的技能．
【解】(1) 5，xyz，5xyz ， ；(2) (m 3)(m 3) ，(m 3)2 ， (m 3) ， ；
(
(
3
)
12
，
xy
2
，
12
xy
2
，
2
，
2
，
2
；(
4
)
x
(
x
1)(
x
1)
．
1
2
xy
12
xy
12
xy
) 6y3 4x2 3y
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)约分： ① ；② ；③ ． 18a6 x3 a b c a2 4b2
【设计意图】此类题型较为重要，是学习分式基本性质的主要作用之一．为后 面分式的计算打下基础，承上启下．用到的知识点较多，如：①最简分式；② 公因式；③分式的基本性质；…其中关键是正确确定分子分母的公因式．
【解】 ①约去分子分母的公因式6a6 x3 即可得：
(
a
y
；
)24a12 x3y2 6a6 x3 4a6 y2 4 6 2
18a6 x3 6a6 x3 3 3
②将分子进行因式分解，约去公因式(a b c )即可得：
(
m
；
)ma mb mc m(a b c)
a b c a b c
③将分子进行因式分解，约去公因式 a 2b 即可得：
(
a
2
4
b
2
(
a
2
b
)(
a
2
b
)
a
2
b
．
)a2 4ab 4b2 (a 2b)2 a 2b
(2)通分： ① 与 ；② 与 ．
【设计意图】此类题型是学习分式基本性质的主要作用之一． 为后面分分式的加 减做准备， 承上启下． 解答此题的关键是熟知找公分母的方法： ①系数取各系数 的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取； ③相同因式的次数取最高次幂．
(
【解】 ①∵ 与
2
的最简公分母是
6
y
2
， ∴
2
，
2
2
；
) x 3x x 2xy 3x 9x
3y 2y 3y 6y 2y 6y
(
②
∵ 与
2
的最简公分母是
3
(
a
3
)(
a
3
)
，
3
a
9
a
9
) 2 a 1
(
∴
=
．
) 2 2a 6 a 1 3a 3
3a 9 3(a 3)(a 3)， a2 9 3(a 3)(a 3)
(3)从三个式子： a2 2ab b2 ；3a 3b ；a2 b2 中任意选择两个式子构成分式， 然后进行化简，并求当 a＝6 ，b＝3 时该分式的值．
【设计意图】开放性题目，熟练掌握分式的约分．
【解】共有六种计算方法和结果(当 a＝6，b＝3 时)：① = =1；
② = =3 ；③ = = ； … ．(其他省略， 任选其一)
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
A
．
) (
.
B
．
) (
D
．
)第四课时(15.2.1①分式的乘除)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)计算 . 的结果是( )
y3
8x3
y
2x
C ．2xy
xy
2
【设计意图】此题属简单的分式乘法计算题，目的是巩固分式的乘法法则 ，提 升学生的运算素养．
【解】 C．根据分式乘法法则，有 . = = 2xy ，故此题选 C．
(
(
2
)计算
：
x
.
y
2
=
．
)y 2 y
【设计意图】此题属分式乘除法混合运算题， 设计意图是熟悉和巩固分式的除 法和乘法法则，会把乘除法混合运算统一为乘法运算．
(
【解】
xy
．计算过程为：
x
.
y
2
=
x
.
y
.
y
=
xy
2
=
xy
．
) 4 y 2 y y 2 2 4y 4
(3)计算： 2 a2 一 1 ．
a 一 a a 一 2a +1
【设计意图】这题是含有多项式的分式除法运算，目的是让学生知道分子或分 母中的多项式需要分解因式， 统一为乘法运算后按照分式乘法法则进行计算．
【解】 原式= a +1 . (a 一 1)2
a(a 一 1) (a +1)(a 一 1)
= ．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)对于a 政 b . ，小明是这样计算的： a 政 b . =a政1 = a ．他的计算过程正确吗？
若不正确，请给出正确的解题过程．
【设计意图】在进行乘除法混合运算时， 可把算式统一为乘法运算，注意：
1 ( 1 )
(
b
\
b
)
)a 政 b . 丰 a 政 | b . | ．选此题的目的是防止学生出现类似错误．
【解】 他的计算过程不正确，正确的解题过程为： a 政 b . 1 =a . 1 . 1 = ．
b b b b
(2) 若 x 等于它的倒数，则x2 一 x 一 6 政 2 x 一 3 的值是_______．
x 一 3 x 一 5x + 6
【设计意图】此题属化简求值类题型， 设计意图为让学生熟悉此种题型的一般做 法： 先利用分式的除法法则进行计算， 得到一个关于 x 的最简单的式子， 再将 x 的值代入这个最简单的式子即可求得算式的最后结果．
【解】先计算 x2 一 x 一 6 政 2 x 一 3 = (x + 2)(x 一 3) . (x 一 2)(x 一 3) = x2 一 4 ，因为 x 等
x 一 3 x 一 5x + 6 x 一 3 x 一 3
于它的倒数，即x = ，得 x2 = 1 ，所以原式=1一 4= 一 3．
(3) 如果两种灯泡的额定功率分别是P1 = ，P2 = ，那么第一只灯泡的额定
功率是第二只灯泡额定功率的_____倍．
【设计意图】这是关于分式计算的简单应用题，利用分式除法的法则可求出结果．
U2 U2 U2 5R
(
R
5
R
R
U
)【解】因为P1 政 P2 = 政 = . 2 = 5 ，所以第一只灯泡的额定功率是第二只
灯泡额定功率的 5 倍．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
.
B
．
) (
C
．
) (
D
．
) (
A
．
) (
C
．
)第五课时(15.2.1②分式的乘方)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(
\
3
a
)
)(1)计算2 的结果是( )
A ．
4b2
6a6
4b2
9a5
4b2
9a6
【设计意图】本题考查的是分式的乘方法则， 积的乘方， 幂的乘方等知识， 分式 的乘方就是要把分子、分母分别乘方，学生要能熟练掌握应用，提高运算素养．
(
\
3
a
)
)【解】 2 的分子、分母分别是 2b 和 3a3 ，则(2b)2 =4b2 ，(3a )32 = 9a6 ．A 选
项分子乘方时 b 也要平方， 而分母(3a3 )2 忽略了a 的 3 次方； B 选项 32 等于 3 乘 3，而不是 3 乘 2；C 选项这里考查了幂的乘方和积的乘方， (a3 )2 是底数不变， 指数相乘，而不是相加，这里学生很容易出错，故选 D．
(2)计算 一 x2 3 的结果是( )
\ y )
x6
y3
x6
B ． 一
y3
(
6
)x
y
x5
D ． 一
y3
【设计意图】这里仍然考查的是分式的乘方法则， 较题 1，这里多了负号， 考查 学生符号的运算，也是学生特别容易出错的地方，这里的“ 一 ”号，其实是一1， 所以(一1)3 = 一1，故结果符号为“ 一 ”．
【解】 一 x2 3 = (一1)3 . = 一 ，故选 B．
\ y ) y y
(3)下列分式运算正确的是( )
A ． . = B ． . =
C ． 一 a2a一b 2 = a 2 (4)a一2b2 D ． n =
【设计意图】这里考查的是分式的乘方、乘除等混合运算， 要求学生能够熟练掌 握分式的乘方、乘除等混合运算， 较题 1、题 2 对学生的运算素养提出更进一步 的要求．
【解】 分式的乘法运算，分子、分母分别相乘， . = ，然后约分，
(
得
到
答案 ．
故选
A
．
)m
n
(
\
b
)
\
a
) \
a
)
)(4)计算 一 3 . 2b2 政 一 2b2 ，正确的结果是( )
A ．一 .B ．一 C ． D ．一
【设计意图】本题考查了分式的乘方， 乘除混合运算， 以及符号的运算， 是学生
易错的地方，提升了学生的运算素养．
(
(
2
a
)
3
(
2
b
)
2
(
2
b
)
2
8
a
6
4
b
2
4
b
2
8
a
6
4
b
2
a
2
) (
\
b
)
\
a
) \
a
)
b
a
a
b
a
4
b
8
a
3
)【解】 | 一 2 | . | | ：| 一 | = 一 6 . 2 ： 2 = 一 6 . 2 . 2
= 一 ，故选 B． b6
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
．
)(1) 彤彤做错了下列计算题中的一道题，你认为她做错的题是( )
(
x
x
xy
\
2
y
)
\
3
x
)
3
x
)A ． ：(一y)． 一 3x 2 . 一 2y3 = 一 2y
C ． ： = 1 D ． . x2 一 1 = x(x +1)
x 一 2xy + y x 一 y x 一 y x + 2x +1 x 一 1
.
【设计意图】本题涉及利用分式乘除、乘方等运算法则进行混合运算， 并且辨析 正确与否，属于应用层次．
【解】 D．
(
\
2
b
)
\
8
a
)
)(2)计算： 4a2b： 一 a 2 . 一 b
【设计意图】本题涉及利用分式的乘除、乘方运算法则进行混合运算，提升了学 生的运算素养．
(
\
2
b
)
\
8
a
)
)【解】 4a2b： 一 a 2 . 一 b
. =4a2b 政 . -
. = - 4a2b . . b
\ a 8a )
(
.
= -
．
)2b4
a
(3) 2 政 - 2 = 6 ，则x8y4 的值为 ．
\y ) \ y )
【设计意图】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算， 以及整体代入的方程思想， 属于能力提高部分．
【解】 因为 2 政 - 2 = 政 = . = x4 y2 ，
即x4y2 =6 ，
所以x8y4 =(x4y2 )2 = 62 = 36 ．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第六课时(15.2.2①分式的加减)
作业 1 (基础性作业)
1 ．作业内容
(1)计算： ① -x - 2y + x + 6y ； ② 24 - 3 ．
2xy 2xy (x + 4)(x - 4) x - 4
【设计意图】本题要求学生会用分式的加减法则进行计算， 加深对法则的理解和 运用．其中： ①查了学生对同分母分式相加减法则的理解， 分母不变， 分子相加 减；②考查了学生对异分母分式相加减法则的理解，先通分，变为同分母的分 式．计算本题的关键是通分， 学生需观察各分式的分母， 确定最简公分母，培养 了学生观察、分析和解决问题的能力．
【解】 ①原式= x 2y x 6y ②原式= 24 3(x 4)
2xy (x 4)(x 4) (x 4)(x 4)
(
=
=
) 4y 3x 12
2xy (x 4)(x 4)
(
=
；
.
=
)2 3(x 4)
x (x 4)(x 4)
(
=
．
x
4
)3
【注意】分式运算的结果是最简分式或整式；分子相加减时，分子如是多项式， 应加上括号作为整体相加减．
(2)计算： a 2 ．(考虑用不同方法)
【设计意图】本题考查的是整式与分式相加减．学生观察算式， 考虑解决问题的
方法．方法一： 把a 2 分开看， 各自转化为分母为 1 的式子 a 2 ；方法二： 把
1 1
a 2 作为一个整体转化成 ．通过类比计算， 首先让学生掌握解决整式与分
式相加减的方法，其次比较方法选择的优劣．
【解】 方法一： 方法二：
原式= a 2 a2 原式= a 2 a2
1 1 a 2 1 a 2
(
=
=
)a(a 2) 2(a 2) a2 (a 2)(a 2) a2
a 2 a 2 a 2 . a 2 a 2
= = ．
(3)下面是小强化简式子的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
1 2
x 1 x2 1
(
=
(
第一步)
) x 1 2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
= x 1 2 (第二步)
= x 1． (第三步)
①小强解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
②请写出此题正确的解答过程．
【设计意图】本题考察的是学生对分式加减过程纠错的能力， 属应用层次．本题 列出分式加减的计算过程， 由学生指出错误之处并解释错误原因．培养了学生纠 错的能力并感悟了分式的加减法则——分母不变而不是去分母！
【解】①小强解答过程是从第二步开始出错的， 其错误原因是对同分母分式相加 减法则理解错误，分母不变，分子相加减．..
...②正确的解题过程为：
原式= x 1 2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
(
B
．
) (
.
C
．
) (
.
D
．
) x 1 2
=
(x 1)(x 1)
x 1
=
(x 1)(x 1)
(
=
．
)1
x 1
2 ．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
2
x
1
) (1)若 x 1 ， y 2 ，则 2 2 的值等于( )
x 64y x 8y
A ．
1
17
1
16
1
15
【设计意图】本题考查的是学生对分式的化简并求值的能力．学生通过分式的化 简，巩固对异分母分式相加减的计算步骤和注意事项的理解， 然后把字母的值代 入最简分式完成求值．
【解】
(
．
) 2x 1 2x x 8y x 8y 1
x2 64y2 x 8y (x 8y)(x 8y) (x 8y)(x 8y) (x 8y)(x 8y) x 8y
(
当
x
1
，
y
2
时，原式
=
=
，故选
B
．
)1 1
1 8 2 17
(2) 已知 a2+3ab+b2=0 (a≠0 ，b≠0)，则代数式 b a 的值等于 ． a b
(考虑不同的方法解决)
【设计意图】本题考查的是对已知算式(整式或分式) 的变形， 以达到求值的目 的，属应用层次．本题可以对 a2+3ab+b2=0 (a≠0，b≠0) 两边同时除以 ab，转化
为b +a 求值；或者把b +a 相加减， 再用已知转化求值．本题培养了学生的发散
a b a b
思维及一题多解的能力．
【解】
方法一： a2+3ab+b2=0 ， ∵a≠0 ，b≠0 ， ∴等式两边可以同时除以 ab，
则 a + 3+ b = 0 ， ∴ b + a = -3 ．
b a a b
方法二： b + a = b2 + a2 ，∵a2+3ab+b2=0，∴ a2 + b2 = -3ab ，∴原式= -3ab = -3．
a b ab ab
故本题的答案是-3．
(3)甲、乙两工程队分别承担一条长为 2 千米的公路的维修工作，甲队有一半 时间每天维修公路 x 千米， 另一半时间每天维修公路y 千米， 乙队维修前 1 千米 公路时每天维修 x 千米，维修后 1 千米公路时每天维修y 千米．(x≠y)
①求甲、乙两队完成任务需要的时间(用含x，y 的式子表示)
②甲、乙两队谁先完成任务？为什么？
【设计意图】本题是一道实际问题， 考查学生阅读与分析问题的能力， 属于应用 层次 ．这道题目需要学生考虑如何比较两个分式的大小， 可以通过作差法
( (> 0 不 A > B)
(
A
-
B
〈
|
l
0
0
不
不
解决，培养学生解决实际问题的能力同时加强了学
生对分
)| | |
式加减的理解和掌握．
【解】 ①设甲队完成任务需要的时间为 t 天，
1 1
tx + ty = 2
2 2
解得t = ．
4 ( 1 1 )
即甲队完成任务需要 天，乙队完成任务需要 | + |天．
x + y \x y )
②作差：
( 1 1 ) 4
| + | -
\x y ) x + y
x + y 4
= - xy x + y
(x + y)2 - 4xy
=
xy(x + y)
(
=
．
) (x - y)2
xy(x + y)
∵ x≠y，即 (x - y)2 > 0 ，又 x > 0 ，y > 0 ，
∴ (x - y)2 > 0 ，即 1 + 1 > 4 ，
xy(x + y) x y x + y
∴甲队先完成任务．
(
\
x
+
1
)
x
一
1
)2．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第七课时(15.2.2②分式的混合运算)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(
(
1
)
|
1
一
|
政
2
的结果是( )
)( 2 ) 1
(
(
x
+
1)
.
(
x
一
1)
.
)A ． B ． C ．(x +1)2 D ．(x 一 1)2
【设计意图】本题涉及了分式的混合运算属于掌握层次， 分式四则混合运算的步 骤：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
(
\
x
+
1
x
+
1
)
x
一
1
x
+
1
)【解】 原式= x +1 一 2 政 = x 一 1 . (x +1)(x 一 1) = (x 一 1)2 ．故选 D．
(
\
b
)
\
b
)
b
)(2) 1 3 . (ab)2 一 a 3 政 = ．
【设计意图】本题是分式的混合运算， 加入了乘方， 先算乘方， 再乘除， 最后加 减，属于掌握层次．
(
\
b
)
\
b
)
b
b
b
b
b
b
a
b
b
)【解】 1 3 . (ab)2 一 a 3 政 = . a2b2 一 政 = 一 . b2 = a2 一 a2 = 0 ．
(3) m + 政 2 的结果是 ．
m +3 m 一 9 m 一 3
【设计意图】本题是分式的混合运算， 不能忽视分数线的括号作用， 运算结果要 是最简分式或整式．
【解】 原式= m + 6 . m 一 3
m +3 (m +3)(m 一 3) 2
(
=
+ = =
1
．
m
+
3
m
+
3
m
+
3
) m 3 m +3
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
\
1
_
x
)
x
_
1
x
_
2
)(1) 计算： 1 + 1 政 x _ 2 . x _ 1 ．
【选择意图】 本题是分式的混合运算，应注意运算顺序．
【解】 原式 = . .
= x _ 1 ．
x _ 2
(
(
2
)计算
：
|
_ .
|
_
|
|
政
．
L
3
x
x
+
y
\
3
x
y
)」
x
)「 2 2 ( x + y x + y )] x _ y
【选择意图】分式的加减混合运算能灵活应用法则进行化简是解此题的关键， 如 果先算小括号里面的，过程就会比较复杂而用分配律进行计算比较简单．
(
【
解】 原式
=
|
_ . + .
|
政
)( 2 2 x + y 2 x + y ) x _ y
\3x x + y 3x x + y y ) x
( 2 2 2 ) x
= | _ + | .
\3x 3x y ) x _ y
2x
=
y(x _ y)
(
=
2
．
) 2x
xy _ y
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第八课时 (15.2.3①整数指数幂)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)如果 10m = 12 ，10n = 3，那么 10m一n = ______．
【设计意图】本题考查同底幂的运算， 熟练掌握同底幂的除法法则并能逆用是解 题关键．
10m 12
【解】 逆用同底幂的除法法则可得：原式= 10n = 3 = 4 ，故答案为 4．
(
x
一
1
)
)(2)代数式 x 0 = 1 成立的条件是( )
A ．x 1 B ．x 0 .C ．x 0 或x 1 D ．x 0 且x 1
【设计意图】本题考查了零指数幂及分式有意义的条件， 牢记零次幂公式a0 = 1 中的条件a 0 及分式有意义的条件是分母不为 0 是解答此题的关键．
【解】根据零指数幂成立的条件和分式成立的条件知x 0 且x 一 1 0 ．故选 D．
(3)若102y = 25 ，则10一y 等于( )
(
5
.
625
5
5
25
)A ． 1 B ． 1 C ．一 1 或 1 D ． 1
【设计意图】本题考查幂的乘方运算的逆运算和负指数幂的运算法则．根据幂的 乘方运算法则： (am )n = amn (m，n都是正整数) ． 负指数幂的运算法 则：
a一m = (a 0，m为正整数) ， 将102y 变形为(10y )2 ，求得10y 的值， 再将10一y 变 为 ，代入即可得解．
【解】 ∵ 102y = 25 ， ∴(10y )2 = 25 ， ∴ 10y = 5或10y =一5 (舍去)，
(
∴
10
一
y
=
10
y
=
5
．故选
A
．
)1 1
(4)下列各式计算正确的是( )
A ．a + 3a = 3a2 B ．(2a )23 = 2a6 . .C ．a3 . a4 = a12 .D ．(一a )3一2 =
【设计意图】本题考查与幂相关的运算法则，熟悉幂的运算法则和负指数的意义 是关键，应用有关运算法则逐一检查，排除不合题意选项，选出符合题意选项．
【解】对于 A ，运用合并同类项法则得a + 3a = (1+ 3)a = 4a 不是3a2 ，故运算错 误；对于 B，运用积的乘法法则和幂的乘方法则得(2a2 )3 = 2 (a )323 = 8a23 = 8a6 ， 不是2a6 ，故运算错误； 对于 C，运用同底数幂相乘法则得a3 . a4 = a3+4 = a7 不是 a12 ，故运算错误；对于 D ， 运 用 负 指 数 定 义 和 幂 的 乘 方 法 则 得 ：
(
(
一
a
)
=
(
一
a
)
32
=
(
a
)
32
=
a
3
2
=
a
6
，故运算正确．故选
D
．
)3 一2 1 1 1 1
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)已知 a = 255 ，b = 333 ，c = 522 ，则 a ，b ，c 的大小关系是 ． (用“ ”连接)
【设计意图】此题主要考查幂的大小比较， 解决此类问题的关键是将各个数或式 子化为相同指数或相同底数， 即可解题． 本题中将各数转化为相同指数的幂， 然 后再比较大小，即可得解．
【解】 ∵a = 255 = (25 )11 = 3211 ，b = 333 = (33 )11 = 2711 ，c = 522 = (5 )211 = 2511 ，
∴ c b a ．
(2)化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂．
① 一2m2 n一3 . 3m一3n一1 ； ② 一2m2n一3 (3m一3n一1 )．
【设计意图】本题考查负整数指数幂和同底数幂的运算法则， 解答本题的关键是 利用运算法则解答问题． 先利用同底数幂相乘(相除)，底数不变， 指数相加(相 减)，再利用负整数指数幂的性质，将结果用正整数指数幂表示即可．
【解】 ① 原式=(23) (m2 m3) (n3 n1) 6m1n4 ．
② 原式=(2 3) (m2 m3) (n3 n1) 2 m5 n2 ．
3 3n
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第九课时(15.2.3②科学记数法)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1) 人体中成熟的红细胞的平均直径为 0.000.007.7 米，用科学记数法表示为 ( )
A ．77×10－5 米 B ．77×10－6 米 C ．7.7×105 米 D ．7.7×10－6 米
【设计意图】科学记数法就是将一个数字表示成a 10n 的形式)，其中 1≤|a|＜10， n 表示整数，n 为整数位数减 1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上 小数点，再乘以 10n ．此题 n＜0 ，n= 6 ．
【解】 0.000.007.7=7.7×10－6，故选 D．
【注意】本题考查了用科学记数法表示较小的数， 用科学记数法表示一个数的方 法是：(1) 确定 a：a 是只有一位整数的数；(2) 确定 n：当原数的绝对值不小于 10 时，n 为正整数， n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值小于 1 时，n 为 负整数， n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前 0 的个数(含整数位数上的 零)．
(2)将数字 2.03×10－3 化为小数是( )；
A ．0.203 B ．0.020 3 C ．0.002 03 D ．0.000 203
【解】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示， 与较大数的科学记数法 不同的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 所以 2.03×10－3 化为小数是 0.002 03．故选 C．
(3)下列等式正确的是( )
①0.000 126=1.26×10－4； ②3. 10×104=31 000；
③1. 1×10－5=0.000 011 ； ④12 600 000=1.26×106．
A ．①② B ．②④ C ．①②③ D ．①③④
【设计意图】此题考查科学记数法的表示方法， 表示时关键要正确确定 a 的值以 及 n 的值．
【解】根据科学记数法的意义， 能够把较大或较小的数用科学记数法表示， 或把 科学记数法表示的数，还原即可．由 0.000 126=1.26×10－4，故①正确；
10×104=31 000，故②正确； 1. 1×10－5=0.000 011，故③正确；
12 600 000=1.26×107 ，故④不正确．故选 C．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1) 受不良气象条件影响， 我市接连出现重污染天气， 细颗粒物(PM2.5) 平均 浓度持续上升， 严重威胁人民群众的身体健康， PM2.5 是直径小于或等于 2.5 微 米(1 微米相当于 1 毫米的千分之一)的颗粒物，可直接进入肺部．2.5 微米用 科学记数法表示为( )
A ．2.5×10-6 米 B ．25×10-5 米 .C ．0.25×10-4 米 D ．2.5×10-4 米
【设计意图】涉及到了物理学科上的单位换算， 对于刚刚接触到物理学科的八年 级学生来说是个很好的知识铺垫， 考察了单位之间的进制及科学记数法．先把 2.5 微米化为米，然后用科学记数法表示， 故选 A ． (2)一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑 食的同学会把吃剩的米饭倒掉． 针对这种浪费粮食的现象， 老师组织同学们进行 了实际测算，称得 500 粒大米重约 10 克．现在请你来计算：
①一粒大米重约 克．
②按我国现有人口 14 亿，每年 365 天，每人每天三餐计算，若每人每餐节 约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？(结果用科学记数法表示)
③若贫因地区每名儿童每天需 0.4 千克大米， 则②节约下来的大米供多少名 贫困地区儿童生活一年？(结果用科学记数法表示)
(
x
1
)【设计意图】该题体现了数学知识在实际生活中的应用， 通过计算让学生体会到 数学知识无处不在，也能够让学生在无形之中自觉地提高节约的意识．
【解】 ①10÷500=0.02 (克)；
②14×108 ×365×3×0.02×0.001=3.066×107 (千克)；
③3.066×1070.4365=2. 1×105 (人)．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十课时(15.3①分式方程的概念)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1) 方程① x 一 x = 3 ；② 1 一 1 = 2x ；③ 2 x 一 1 = x 中， 是分式方程．
2 x 3 12 4
【设计意图】本题考查学生对分式方程定义的理解， 根据定义“分母中含有未知 数的方程叫做分式方程”，从而做出正确的选择．
【解】 ②．
(2)分式 12一x 与分式 的值互为相反数，可列方程为___________．
【设计意图】通过设计此题， 考查学生对最基本的列方程方法的掌握程度， 先认 真审题，找出相等关系，进而列出方程．
【解】可利用“互为相反数的两数和为零”作为相等关系列出方程：
2 4
+ = 0 ．
1一 x x +1
(3)把分式方程 + 2 = 化为整式方程 ． x 一 2 2 一 x
【设计意图】考查学生利用解分式方程的基本思路的掌握情况， 有意将两个分母 设计成相反数， 目的是让学生知道分母为相反数时， 只需要把其中一个分母作为 最简公分母； 另外， 设计将方程中某项不含分母， 目的是让学生记住“去分母” 时不能漏乘不含分母的项．
【解】方程两边同乘(x-2)，得整式方程x 2(x 2) 1．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1) 甲、乙两个班学生参加植树活动，已知甲班每天比乙班多植 5 棵树，甲班
植 80 棵树所用的天数与乙班植 70 棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意可列出的方程为_____________．
【设计意图】通过设计一个实际问题， 考查学生列分式方程的技能： 审题→设未 知数→根据题中的相等关系列出正确的方程．
80 70
【解】 ．
x x 5
(2)若分式方程 2的解是 2，则 a 的值是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【设计意图】此题考查学生解决含有字母的分式方程的问题， 根据所给的未知数 x 的值， 将其代入原方程， 得到一个关于字母 a 的等式(把字母 a 看作未知数的 整式方程)，此方程的解即为字母 a 的值．
【解】将 x=2 代入方程，有 2 ，即 2 ，解得：a=4．故选 D．
1 1 3
(3) 定义运算a b ，根据这个规定， 则x 2x 可列方程为 ，将 a b 2
其化成整式方程为_________．
【设计意图】这是一道“新定义”的题目， 考查学生通过阅读、理解“新定义”， 再利用“新定义”列出分式方程，最后利用分式方程的解法求出方程的解．
1 1 3
【解】根据“新定义”，可列出分式方程 ，去分母可将其化成整式方程 x 2x 2
2+1=3x．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十一课时(15.3②分式方程的解法)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)把分式方程 = 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A ．x .B ．2x . C ．x + 4 .D ．x(x + 4)
【设计意图】本题考查如何将分式方程转化为整式方程．方程两边同乘各分母的 最简公分母．
【解】 D．
(2)已知关于 x 的方程 2a (a)x一3 = 的解为x = 1，则 a 等于( )
A ．一 1 . B ．一 3 C ．1 D ．3
【设计意图】本题考查了分式方程的解的概念以及解分式方程．学生要知道把方 程的解代入原方程， 从而得到关于a 的分式方程， 解出分式方程并检验即可．培 养学生的观察、思维能力，提升运算素养．
【解】 B．
(3)若关于 x 的分式方程x (2x)2 (b) = 3 的解是非负数，则b 的取值范围是( )
A ．b 4 B ．b≤6 且b 4 C ．b ﹤ 6 且b 4 D ．b ﹤ 6
【设计意图】本题考查解分式方程， 根据方程的解列出关于b 的不等式， 解答本 题时，要注意易漏掉分母不等于 0 这个隐含的条件．
【解】先解关于x 的分式方程， 求得x 的值， 然后再依据“解是非负数”建立不 等式求b 的取值范围．
去分母得2x 一 b = 3x 一 6，x = 6 一 b ，∵x≥0，即6 一 b ≥0，解得 b≤6，又∵x 一 2 0 ， ∴ x 2 ，即 6 一 b 2 ，b 4 ，则b 的取值范围是 b≤6 且b 4 ，故选 B．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1 ．作业内容
(1) 若关于x 的分式方程x 2一3 + 3 (x)x (a) = 2 无解，则a 的值为( )
A ．3 . B ．0 C ．一 1 D ．0 或 3
【设计意图】本题的解题关键是明确分式方程无解的条件，即所化成的整式方程 的解使得最简公分母的值为 0，培养了学生的逻辑思维能力．
【解】x 2一3 + x (a) = 2 ，去分母(两边同乘以最简公分母x-3)，得2 一 x 一 a = 2(x 一 3) ， 解得：x = 8 3 (一)a ．因为当 8 3 (一)a = 3，即 a = 一1时，方程无解，故选 C．
(2) 若关于 x 的分式方程 xx一1 一 1m一x = 3有增根，则这个增根是_____． 【设计意图】此题考查分式方程产生增根的条件，难度不大．
【解】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根， 所以应先让最简公分
母x 一 1 = 0 ，得到 x=1 ， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x 一 1 = 0 ，解得 x=1． 故答案为x = 1．
(3) 解分式方程 x x一1 一 1 = (x 一 1)x + 2) ．
【设计意图】本题考查解分式方程，注意解分式方程一定要验根．
【解】去分母，两边同时乘以 (x 一 1)(x + 2) 得： x(x + 2) 一 (x 一 1)(x + 2) = 3 ，
即x2 + 2x 一 (x2 + x 一 2) = 3 ，即x2 + 2x 一 x2 一 x + 2 = 3 ，即 x = 1． 检验：当x = 1时， (x 一 1)(x + 2) = 0 ．
即x = 1不是原方程的解，
所以原方程无解．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十二课时(15.3③分式方程的应用)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1) 2020 年初， 受疫情影响， 医用防护服生产车间有 7 人不能到厂生产．为了 应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时，每 人每小时的工作量不变．原来生产车间每天生产防护服 800 套，现在每天生产防 护服 650 套．求原来生产车间的工人有多少人？在这个问题中， 设原来生产车间
的工人有 x 人，则根据题意可得方程为( )
(
A
．
7
.
B
．
7
8
x
10
x
8
x
10
x
)800 650 800 650
(
C
．
D
．
)800 650 800 650
8x 10(x 7) . 8(x 7) 10x
【设计意图】本题应用分式方程模型解决当前社会实际问题(疫情防控)，让学 生感受到数学来源于生活， 又应用于生活．在本题中， 学生需认真审题， 用 x 表 示出原来和现在每人每小时的工作量， 再根据“每人每小时的工作量不变”列出 方程．因而通过本题的解决可以培养学生阅读和梳理数量关系的能力．
【解】
原 来 现 在
生产量(套) 800 650
生产时间(小时) 8 10
车间工人数(人) x x 7
每人每小时的工作量(套) 800 8x 650 10(x 7)
(
根据“每人每小时的工作量不变”可以列方程
，故本题选择
C
．
8
x
10(
x
7)
)800 650
(2) 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题： “六贯二百一十钱，
倩人去买几株椽．每株脚钱三文足， 无钱准与一株椽．”其大意为： 现请人代买 一批椽， 这批椽的价钱为 6 210 文．如果每株椽的运费是 3 文， 那么少拿一株椽 后， 剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 问 6 210 文能买多少株椽？设这批 椽的数量为X株，则符合题意的方程是 ( )
A ．3(x 1)= B ． =3x
C ．3x 1 D ． =3
【设计意图】本题应用分式方程解决古代数学问题， 让学生感受到中国古代数学 成就， 产生民族自豪感．这种类型问题在中考中也是常见的， 因而通过训练， 提 高学生们解此类问题的能力．
【解】少拿一株椽后， 剩下的椽的数量为(x 1) 株， 其运费为3(x 1) 文， 一株椽
的价钱为 文，根据“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”可列方程 3(x 1)= ，故选 A．
2．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1) 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 8 万元购进这种衬衫， 面市后果然供不应求．商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是 第一批购进量的 2 倍，但是单价贵了 4 元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是
58 元，最后剩下 150 件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利 多少元？
【设计意图】本题应用分式方程模型解决销售问题．
【解】设第一批衬衫的单价为 x 元，
第一批衬衫 第二批衬衫
购买费用(万元) 8 17.6
单价(元) x x+4
购买数量(件) 80 000 x 176 000 x 4
根据“第二批衬衫所购数量是第一批购进量的 2 倍”可列方程：
80 000 176 000
2 =
x x 4
解得： X=40．
经检验： X=40 是分式方程的解．
即两批批衬衫所购数量分别为 2 000 件和 4 000 件，总成本为 256 000 元， 总销售额为(6 000－150)×58+150×58×0.8=346 260 元， 故商厦共盈利 90 260 元． (2) 2020 年夏， 我市发生洪涝灾害， 为了慰问驻守在灾区的部队官兵，某校九 年级的两个班各捐款 1 800 元．已知 2 班比 1 班人均捐款多 4 元， 2 班的人数比 1 班的人数少 10%．请你根据 上述信息， 分别就这两个班级的“人数”或“人均
(
．
．．．
)捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并列出方程．
【设计意图】此为开放性题目， 要求学生根据题中已知条件提出一个利用分式方 程解决的实际问题，所提问题还要符合实际意义．
【解】 ①求两个班人均捐款各多少元？
设 1 班人均捐款 x 元，则 2 班人均捐款(x＋4)元，根据题意得：
(
90%
．
)1800 1800
x x 4
②求两个班人数各多少人？
设 1 班有 x 人，则根据题意得：
(
4
．
)1800 1800
x 90%x
2．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十三课时 (数学活动)
作业 1 (基础性作业)
1 ．作业内容
(1) 将式子 ab=cd(a ，b ，c ，d 均不为 0)写成比例式，错误的是( )
(
A
．
=
.
B
．
=
.
C
．
=
.
D
．
=
)a d c a d b a c
c b b d a c b d
【设计意图】本题考查学生对比例的基本性质(比例式可以转化为等积式即比例 外项的积等于比例内项的积)的理解．
【解】选项 A ，B 和 C 中的比例式都可以转化为等积式ab = cd ，选项 D 转化为 ad = bc ．故本题选 D．
(2) 已知三个数： 1，2，4，请你添上一个数， 使它们能构成一个比例式， 则这 个数是______ (只填一个)．
【设计意图】本题考查学生对成比例定义的理解和分式基本性质的运用． 本题是 一道开放性问题，学生可以把 1 ，2 ，4 当作不同的比例项，求相应的第四个数．
【解】设第四个数为 x ，则有下列三种情况：
①若 1x=2×4 ，则 x=8；②若 2x=1×4 ，则 x=2；③若 4x=1×2 ，则 x= ．
2 ．时间要求(10 分钟以内)
3 ．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)已知 x = y = z ，求 x + y + z 的值． 2 3 4 2x + y 一 z
【设计意图】本题考查的是比例的等比性质证明方法的理解和运用， 即通过把连 比式设成一个字母 k，然后把 x、y、z 都转化为用k 表示，从而达到把多元转化 为一元的目的．培养了学生在解决问题时运用转化思想的意识和能力．
【解】设 x = y = z = k ，则 x=2k，y=3k，z=4k，
2 3 4
原式= 2k + 3k + 4k = 9k = 9．
2k + 3k 一 4k k
(2)先阅读，后解答问题：
(
a
c
)已知：a ，b ，c ，d 都是不为 0 的数，满足 = ，
b d
求证： a + b = c + d ．
b d
证明： ∵ a = c ， ∴ a +1 = c +1 ， ∴ a + b = c + d ．
b d b d b d
①已知：a ，b ，c ，d 都是不为 0 的数，满足 a = c ． b d
求证： a 一 b = c 一 d ； a 一 b = c 一 d ．
b d a + b c + d
②应用： 已知 = ，则 a (a)b (b) 的值为 ．
【设计意图】本题考查的是学生对比例的合比性质的证明和应用．本题先给出了 一种类型合比性质的证明过程， 学生通过阅读、思考， 给出其它类型合比性质的 证明， 并应用得出的结论回答问题． 通过本题的解决， 培养了学生阅读、思考并 应用新知识解决问题的能力．
【解】 ①证明： ∵ a = c ， ∴ a 一 1 = c 一 1 ， ∴ a 一 b = c 一 d ；
b d b d b d
∵ a 一 b = c 一 d ， a + b = c + d ， ∴ a 一 b a + b = c 一 d c + d ，
b d b d b b d d
∴ a 一 b . b = c 一 d . d ，即 a 一 b = c 一 d ．
b a + b d c + d a + b c + d
②根据 a = c a 一 b = c 一 d ，可得 a = 5 a 一 b = 5 一 13 = 一8 = 一 4 ． b d a + b c + d b 13 a + b 5 +13 18 9
2 ．时间要求(10 分钟以内)
3 ．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十四课时 (小结①)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)下列各式中，分式的个数是( )
(
，
， ， ， ，
a
+
．
x
2
a
x
+
2
b
)2 a 2b a+2b a+1 x2 + x 2
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【设计意图】考查分式的定义．判断分式的依据是看分子与分母是否均为整式， 且分母中是否含有字母， 同时满足两个条件的是分式， 否则不是分式． 培养学生 的观察能力，提升数学抽象素养．
【解】 ， ， 符合条件，因此共有 3 个分式．故选 B．
(2)在分式 ， ， ， ， 中，最简分式有 个． 【设计意图】考查最简分式的概念， 根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即 可得．
【解】 3b = 3b = b ； m2 n2 = (m + n)(m n) =m n ；
3 + 3a 3(a +1) a +1 m + n m + n
(
=
=
；
= =
1
，只有 是最简分式，
)x2 + xy x(x + y) x + y a + b c a + b c a2 + b2
2x 2x 2 c a b (a + b c) a2 b2
所以最简分式只有 1 个．
(3)已知 (x 1)0 有意义，则 x 的取值范围是 ．
【设计意图】考查分式有意义的条件：分母≠0 (零指数幂的底数≠0)． 【解】由题意得， x 2 士 0且x 1 士 0 ，解得 x士 2 且x 士 1．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
(
x
3)(
x
1)
)作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
1
x
2
)(1)已知分式 的值为 0，那么 x 的值是 ( )
A ．-1 B ．3 C ．1 D ．3 或-1
【设计意图】考查分式值为 0 的条件， 直接利用分式的值为 0 则分子为 0 分母不 为 0 进而得出答案．
(
【
解】 ∵分式
2
的值为
0
，∴
(
x
3)(
x
1)
0
，则
1
x
2
0
，解得
x
=3
，
)(x 3)(x 1)
1 x
故选 B．
(2) 下列等式成立的是( )
(
b
b
1
2
b
1
b
a
2
1
b
b
2
b
)A ． B ． C ． a 1 D ．
a a 1 2a 1 a a 1 . a c a c
【设计意图】考查分式的基本性质， 分式的分子与分母同乘(或除以) 一个不等 于 0 的整式，分式的值不变，从而求出答案．
【解】 a2 1 (a 1)(a 1) a 1 ，故选 C．
a 1 a 1
(3) 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的 5 纳米 刻蚀机已获成功， 5 纳米就是 0.000 000 005 米．数据 0.000 000 005 用科学记数 法表示为( )
A ．5108 B ．5109 C ．0.510 8 . D ．50 10 9
【设计意图】考查了绝对值小于 1 的正数的表示方法，其一般形式为 a 10n ． 【解】 0.000 000 005 5109 ．故选 B．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
=
x
_
2
=
a
_
b
.
a
+
b
=
=
．
=
x
+
2
；
)第十五课时 (小结②)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)化简下列各式．
(
x
2
4
(
a
2
b
)
ab
(
1
1
)
) (
x
_
2 2
_
x
\
a
_
b
a
_
b
)
a
_
2
b
\
a
b
)
【设计意图】本题考查了学生对分式四
则运算步骤的掌握，先乘除，后加减，
有括号先算括号里的，加
深对法则的理解，提升运算技能和运算素养．
【解】 ①原式
=
x
2
_
4
②原式
=
a
_
2
b
.
ab
政
a
+
b
x
_
2
x
_
2
a
_
b
a
_
2
b
ab
x
2
_
4
ab
ab
)① + ； ② | _ | . 政 | + | ．
(
x
_
1
x
_
3
\
x
_
1
)
5
)(2) 先化简，再求值： . x2 + 2x +1 +1 ，其中 x = _ 6 ．
【设计意图】本题考查学生进行分式化简与求值的能力．
(
x
_
1
x
_
3
\
x
_
1
)
)【解】 . x2 + 2x +1 +1
x _ 3 (x +1)2 ( 1 x _ 1)
(
(
x
+
1)(
x
_
1)
x
_
3
\
x
_
1
x
_
1
)
x
_
3
(
x
+
1)
2
x
)= . _ | + |
= . _
(x +1)(x _ 1) x _ 3 x _ 1
(
=
_
)x +1 x
x _ 1 x _ 1
(
=
．
)1
x _ 1
(
6
1 5
)故当x = _ 5 时， 原式= _ _ 1 = _ 11 ．
(3)解下列方程：
① 3 + x = 2 ； ② x +1 _ = 1．
x _ 2 x _ 2 x _ 1 x _ 1
【设计意图】本题考查学生解分式方程的能力，两边同乘以最简公分母，不能 漏乘不含分母的项，培养学生的观察、思维能力，提升运算素养．
【解】 ① 3 + x = 2 ，
x _ 2 x _ 2
方程两边同乘(x _ 2) 得：
3 + x = 2(x _ 2) ，
解得x = 7 ．
检验：当x = 7 时， x _ 2 丰 0．
所以原分式方程的解为x = 7 ．
② x 1 1
x 1 x 1
方程两边同乘(x2 1) 得：
(x 1)2 4 x2 1，
解得x 1．
检验：当x 1时， x2 1 0 ．
x 1不是原分式方程的解．
所以原分式方程无解．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1 ．作业内容
(1)甲做 360 个零件与乙做 480 个零件所用的时间相同， 已知两人每天共做 140
个零件，若设甲每天做x 个零件，则可列方程( )
360 480 360 480
A ． B ．
x 140 x 140 x x
360 480 360 480
C ． 140 D ． 140
x x x x
【设计意图】本题考查的是分式方程的应用， 考查学生能否从实际问题中分析出 等量关系，能针对具体问题列出分式方程，提升数学建模素养．
【解】 A．
(2) 甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发， 甲、乙的速度 比是 3:4，结果甲比乙提前 20 min 到达目的地．求甲、乙的速度．
【设计意图】本题考查了学生用分式方程解决实际问题的能力．这是分式方程实 际应用中的行程问题，学生可以通过时间来找等量关系．
【解】时间=路程 速度，可以设甲、乙的速度分别为 3x km/h 和4x km/h，则甲
的时间为 h，乙的时间为h，根据乙的时间 甲的时间=h 可列得方程：
10
一、单元信息 2
二、单元分析 2
三、单元学习与作业目标 4
四、 单元作业设计思路 4
五、 课时作业 4
(一)课时作业单元规划 4
(二)作业内容
第一课时( 15.1.1 从分数到分式) 5
第二课时( 15.1.2 ①分式的基本性质) 7
第三课时( 15.1.2 ②约分通分) 9
第四课时( 15.2.1 ①分式的乘除) 12
第五课时(15.2.1 ②分式的乘方) 41
第六课时( 15.2.2 ①分式的加减) 61
第七课时( 15.2.2 ②分式的混合运算) 02
第八课时(15.2.3 ①整数指数幂) 22
第九课时(15.2.3 ②科学记数法) 42
第十课时(15.3.①分式方程的概念) 62
第十一课时(15.3.②分式方程的解法) 28
第十二课时(15.3.③分式方程的应用) 03
第十三课时 (数学活动) 33
第十四课时 (小结①) 53
第十五课时(小结②) 73
六、 单元质量检测作业 39
(一)单元质量检测作业内容 39
(二) 单元质量检测作业属性表 41
第十五章 分式
一、单元信息
基本 信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
数学 八年级 第一学期 人教版 分式
单元 组织 方式 团 自然单元 重组单 元
课 时 信 息 序号 课时名称 对应教材内容
1 分式的概念 第 15.1.1(P127-129)
2 分式的基本性质 第 15.1.2(P129-130)
3 约分和通分 第 15.1.2(P130-132)
4 分式的乘除 第 15.2.1(P135-138)
5 分式的乘方 第 15.2.1(P138-139)
6 分式的加减 第 15.2.2(P139-141)
7 分式的混合运算 第 15.2.2(P141-142)
8 整数指数幂 第 15.2.3(P142-145)
9 科学记数法 第 15.2.3(P145)
10 分式方程的概念 第 15.3(P149)
11 分式方程的解法 第 15.3(P150-152)
12 分式方程与实际问题 第 15.3(P152-154)
13 数学活动 P156
14 小结① P157
15 小结② P158-159
16 单元质量检测作业
二、单元分析
(一) 课标要求
本单元在《全日制义务教育数学课程标准(2022 版)》中， 属于“数与代数” 领域中的“数与式”和“方程与不等式”内容．
“数与代数”领域的学习有助于学生形成抽象能力、 逻辑推理能力和模型观 念，发展几何直观和运算能力.作业设计中要帮助学生达成以下要求：
1 ．内容要求
(1) “数与式” 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行 约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算．
(2) “方程与不等式” 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题 列出方程．能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程．
2 ．学业要求
(1) 知道分式的分母不能为零， 能利用分式的基本性质进行约分、通分，
并化简分式， 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将结果化为最简分式．在 计算的过程中体验“数感和符号感”，培养学生的数学抽象、数学运算能力．
(2) 掌握列方程解应用题的一般步骤， 能针对具体问题列出可化为一元一 次方程的分式方程． 在列分式方程的过程中建立模型观念，培养学生的逻辑推理、 数学建模能力，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
(二)教材分析
1 ．单元知识结构图
2 ．单元内容分析
“15.1 分式” 分式有意义时分式中分母应满足的条件；分式的基本性质， 在此基础上讨论分式的约分、通分等分式变形，本节内容是全章的理论基础．
“15.2 分式的运算” 分式的运算是本章的一个重点内容，分式的混合运算 也是本章教学中的一个难点， 克服这一难点的关键是通过一定数量的例题示范和 必要的练习掌握分式的运算法则及运算顺序． 接着学习了整数指数幂从特殊到一 般地归纳出整数指数幂的 3 条运算性质， 指数幂的概念就从正整数扩大到全体整 数， 这给运算带来了便利．最后讨论用科学记数法表示小于 1 的正数， 构建了完 整的科学记数法的知识体系．
“15.3 分式方程” 讨论分式方程的概念及其解法，它更适合作为某些类型 实际问题的数学模型，成为分析、解决问题的又一工具．
“数学活动” 展现了获得数学结论的一种重要途径：先通过合情推理提出 猜想， 再通过逻辑推理． 证明猜想， 从而获得结论， 教会学生自主独立探究新知 的一种方法和途径．
“小结” 通过知识结构图和回顾思考的问题串，教会学生自主独立及时复 习整理知识的方法．
(三) 学情分析
本章内容面对的学生是初二年级十三、四岁左右， 他们思维活跃， 模仿性强， 已经开始占主导地位的抽象逻辑思维， 逐步由经验型向理论型转化．观察、记忆、 想象等能力迅速发展，能超出直接感知的事物提出假设和进行推理、论证．
分式是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型之一．前面学生已经学习了 整式加、减、乘、除、乘方运算和幂的运算性质与因式分解等知识， 在此基础上 继续学习分式相关知识；其二，分式的很多知识和数具有“相通性”，所以本章 学习的主要方法是类比分数的知识去学习分式的知识， 而分数的知识小学学段已
经牢固掌握， 因此学习本章的难度不是太大； 第三， 分式方程的解法， 对于解方 程的基本思路学生已经比较熟悉， 按照这种思路继续学习分式方程的解法轻车熟 路， 只要关注如何将分式方程转化成整式方程(一元一次方程) 即可．本章的学 习将为后续的反比例函数等知识点铺垫好基础．
三、单元学习与作业目标
1 ．以描述实际问题中的数量关系为背景， 抽象出分式的概念，了解分式的 概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式，培养学生建立符号意识；
2 ．类比分数的基本性质和运算法则，了解分式的基本性质，能利用分式的 基本性质进行约分和通分， 进行简单的分式加、减、乘、除运算， 培养学生的类 比推理能力和运算能力；
3 ．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的 化归思想，培养学生思维的严谨性，发展数学思维能力；
4 ．结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问 题数量关系的一种重要数学模型，培养学生的数学建模意识；
5 ．关注不同学生的个体差异，让不同层次、不同学习能力的学生都能有收 获、有成长、有成就感．
四、单元作业设计思路
1．单元作业可分为课时作业和单元质量检测作业两部分；
2 ．分层设计课时作业，每课时均设计“基础性作业” (面向全体学生， 侧
重体现课标， 要求学生必做) 和“发展性作业” (体现个性化， 侧重考查探究能 力，要求学生有选择的完成)．
具体如下图：
五、课时作业
(一) 课时作业单元规划
根据实际教学，本章作业课时划分如下：
15.1 分式……………………………………………………………3课时作业
15.2 分式的运算……………………………………………………6 课时作业
15.3 分式方程………………………………………………………3课时作业
数学活动……………………………………………………………1课时作业
小结…………………………………………………………………2 课时作业
单元质量检测作业
(二) 作业内容
第一课时(15.1.1从分数到分式)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)在 ， ， 21冗 ， a 5一x ， 2x一4y 中分式的个数为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【设计意图】 本题从分式的定义出发， 紧扣分式定义 (形如 ，A 和 B 都是整
式， 并且 B 中含有字母) 作出正确选择，本题考查学生的数学观察和抽象能力．
【解】分式有和 a 5一x ，共两个 (要注意冗 是常数，不是定义里所说的字母)．故
选 B．
(2)要使分式 x 3一1 有意义，则x 的取值范围是( )
A．x≠1 B ．x >1 C ．x <1 .D．x≠-1
【设计意图】本题考查分式的意义． 分式有意义的条件是分母不能为 0，即当 B≠0
时，分式 才有意义．
【解】根据分式有意义的条件，一般通过列不等式或者方程解决问题． 由 x-1≠0， 得 x≠1，故选择 A．
(3)已知当x = 2 时， 分式 x 一32k 无意义，则 k = ． 【设计意图】本题考查分式无意义的条件，即分母为 0．
【解】 当x = 2 时，分式x 一32k 无意义，即 2 一 2k =0 ，所以k = 1．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
① ； ②
．
)(1)当 x 为何值时，下列分式的值为0？ x2 1 |x| 2
x 1 (x 3)(x 2)
【设计意图】本题考查分式值为 0 的条件，即分子为 0 且分母不为 0．学生在求 分式值为 0 的条件时， 易忽视分式有意义的条件． 本题培养了学生的观察素养．
【解】 ①由x2 1 0 ，得 x=±1；
由x 1 0 ，得 x 1 ．
(
x
2
1
)即当x 1时，分式 的值为 0．
x 1
②由|x|-2=0 ，得：x=±2；
由(x+3)(x-2)≠0，得 x≠-3 且 x≠2，
(
即当
x
2
时，分式 的值为
0
．
) |x| 2
(x 3)(x 2)
(2)若 a ，b 为实数，且 0 ，求 3a b 的值．
【设计意图】本题综合考查分式值为 0 的条件、分式值有意义的条件和非负数的 意义．
【解】 由 0 ，得(a 2)2 | b2 16 | 0 且b 4 0 ，
所以有 a-2=0 ，b2-16=0 ，b+4≠0．
解得 a=2 ，b=4．
即 3a-b=2．
【注意】讨论分式值为 0，一定要针对原分式讨论， 不能将分式化简后再讨论． 不 能忽视分式有意义的条件．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
+
2
b
3
+
2
b
1
+
6
b
)第二课时 (15.1.2①分式的基本性质)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)若 A ，B 表示不等于 0 的整式，则下列各式成立的是( )．
A ． = .B ． = .C ． = . D ． = 【设计意图】本题应用分式的基本性质判断，分式的分子与分母同时乘(或除以)
同一个不等于零的整式，分式的值不变． 备选答案中四个选项均较简单， 起点低， 易上手．
【解】 A．当 M = 0 时， 该等式不成立， 故本选项错误； B．分式的分子与分母同 时加上一个数(或式子)，分式的值有可能不改变， 故本选项错误； C．分子与分
(
母同时平方， 分式的值有可能不改变， 例如：
一
才
，故本选项错误；
D
．分子
)1 1
2 4
与分母乘以同一个不为零的式子， 分式的值不变， 由于 x2+1≠0，故本选项正确．故 选 D．
(
(
2
)如果把分式 中的
x
和
y
都扩大
3
倍，那么分式的值( )
．
x
A
．扩大
3
倍
.
B
．缩小
3
倍
C
．不变
D
．扩大
9
倍
)x + y
【设计意图】本题继续利用分式的基本性质解决问题， 先根据题意列出算式， 再 根据分式的基本性质进行化简，帮助学生理解分式的基本性质．
【解】根据题意，得 3x + 3y = x + y ，所以分式的值不变，故选 C．
3x x
(3)在分式① ，② ，③ x2x11 ，④ x (1)1 (x) ，⑤ 中，属于最简分
式的个数是( )．
A ．1 个 B ．2 个 .C ．3 个 .D ．4 个
【设计意图】本题考查了最简分式． 解题关键是明确最简分式的定义， 准确判断 分子分母是否含有公因式． 本题中包含多种公因式， 有的可以直接得出， 有的需 要因式分解后得出，难度不大．帮助学生理解掌握有关最简分数的定义．
【解】②和⑤ 分子分母无公因式， 是最简分式， 共两个．故选 B．
(4)不改变分式b (b) 的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数．
【设计意图】本题利用分式的基本性质， 直接把分式的分子与分母同时乘以相同 的数，一般来说， 是各分数系数中分母的最小公倍数， 可把分子与分母中各项系 数都化成整数．
2 ( 2 )
(
【解】
= =
．
)a 一 3 b 3 |\a 一 3 b)| 3a 一 2b
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
2
) (
(
1
)将分式
中的
x
、
y
的值同时扩大
3
倍，则分式的值( )．
x
+
y
A
．扩大
3
倍
B
．缩小
倍
C
．扩大
9
倍
D
．保持不变
) x
【设计意图】本题是作业 1 中第(2) 题的变式练习， 仿照第(2) 题的解题方法， 紧扣分式的基本性质，结合积的乘方进行化简， 目的是让学生把一种题型“吃 透”．
(
x
2
(3
x
)
2
9
x
2
x
2
)【解】 当 中的 x ，y 的值同时扩大 3 倍时， = = 3 . ，所
x + y 3x + 3y 3x + 3y x + y
以分式的值扩大 3 倍．故选 A．
(2)不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
① = ； ② = ．
【设计意图】本题是作业 1 中第(4) 题的变式练习， 仿照第(4) 题的解题方法， 紧扣解题关键，目的还是让学生把一种题型“吃透”．特别是第②小题， 各项系数 有小数， 也有分数， 可以统一化为小数或分数， 具体情况具体分析． 另外， 有的 学生会在分式的分子分母同时乘以 100，这时要求学生给出的最后答案必须是最 简分式，或者在分子分母同时乘以 20．
( 1 1 )
(
\
5 10
)
18
x
_
9
y
)| x _ y |〉90
(
\
3 9
)
)【解】 ①原式= 1 x + 1 y 〉90 = 30x +10y ；
(
0.2
x
+
0. 15
y
(0.2
x
+
0. 15
y
)
〉
100
20
x
+
15
y
4
x
+
3
y
)②原式= = = = ，
0.3x _ 0.5y (0.3x _ 0.5y)〉100 30x _ 50y 6x _ 10y
1 3 ( 1 3 )
5 x + 20 y |\5 x + 20 y )|〉20 4x + 3y
或：原式= x _ y = x _ y 〉20 = 6x _ 10y ．
(3)填空：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“- ”号．
① = ；② = ；③ = ．
【设计意图】对于一个分式 ，有可能分子 A 带有“- ”，也有可能分母 B带有 “- ”或者分式本身带有“- ”．例如， ，和_ ，同时改变分子、分母和
分式本身的三个符号中的两个， 分式的值不变，根据此原理逐一解答各题．
(
_
x
_
x
x
)【解】 ①把 的分子、分母的符号都改为“ + ”： = ；
(
③把
的分母的符号改为“
+
”，分式本身的符号改为“- ”：
= _
．
_
3
n
_
3
n
3
n
)②把 _a 的分子的符号改为“ + ”，分数本身的符号都改为“- ”： _a = _ a ； 2b 2b 2b 4m 4m 4m
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第三课时(15.1.2②约分通分)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(
(
1
) 分式
2
的分子，分母系数的最大公约数是
，相同字母的最低指
15
xy
z
)25x2 yz3
(
24
a
12
x
3
y
2
ma
mb
mc
a
2
4
ab
4
b
2
)数幂的乘积是 ，所以公因式是 ，约分后为 ．
(
(
2
) 分式 的分子分解因式为
，分母分解因式为
，所
m
2
6
m
9
) m2 9
以公因式为 ，约分后为 ．
(3) 三个分式 ， ， 的分母系数的最小公倍数是 ，相同字母的 最高指数幂的乘积是 ，所以最简公分母是 ，通分后为 ．
(4)三个分式 ， ， 的最简公分母是 ．
【设计意图】四道题目的选择主要是使学生会找分式的分子与分母的公因式或几 个分式中各分母的最简公分母， 从而熟练地进行约分和通分，当然因式分解是其 中必不可少的技能．
【解】(1) 5，xyz，5xyz ， ；(2) (m 3)(m 3) ，(m 3)2 ， (m 3) ， ；
(
(
3
)
12
，
xy
2
，
12
xy
2
，
2
，
2
，
2
；(
4
)
x
(
x
1)(
x
1)
．
1
2
xy
12
xy
12
xy
) 6y3 4x2 3y
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)约分： ① ；② ；③ ． 18a6 x3 a b c a2 4b2
【设计意图】此类题型较为重要，是学习分式基本性质的主要作用之一．为后 面分式的计算打下基础，承上启下．用到的知识点较多，如：①最简分式；② 公因式；③分式的基本性质；…其中关键是正确确定分子分母的公因式．
【解】 ①约去分子分母的公因式6a6 x3 即可得：
(
a
y
；
)24a12 x3y2 6a6 x3 4a6 y2 4 6 2
18a6 x3 6a6 x3 3 3
②将分子进行因式分解，约去公因式(a b c )即可得：
(
m
；
)ma mb mc m(a b c)
a b c a b c
③将分子进行因式分解，约去公因式 a 2b 即可得：
(
a
2
4
b
2
(
a
2
b
)(
a
2
b
)
a
2
b
．
)a2 4ab 4b2 (a 2b)2 a 2b
(2)通分： ① 与 ；② 与 ．
【设计意图】此类题型是学习分式基本性质的主要作用之一． 为后面分分式的加 减做准备， 承上启下． 解答此题的关键是熟知找公分母的方法： ①系数取各系数 的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取； ③相同因式的次数取最高次幂．
(
【解】 ①∵ 与
2
的最简公分母是
6
y
2
， ∴
2
，
2
2
；
) x 3x x 2xy 3x 9x
3y 2y 3y 6y 2y 6y
(
②
∵ 与
2
的最简公分母是
3
(
a
3
)(
a
3
)
，
3
a
9
a
9
) 2 a 1
(
∴
=
．
) 2 2a 6 a 1 3a 3
3a 9 3(a 3)(a 3)， a2 9 3(a 3)(a 3)
(3)从三个式子： a2 2ab b2 ；3a 3b ；a2 b2 中任意选择两个式子构成分式， 然后进行化简，并求当 a＝6 ，b＝3 时该分式的值．
【设计意图】开放性题目，熟练掌握分式的约分．
【解】共有六种计算方法和结果(当 a＝6，b＝3 时)：① = =1；
② = =3 ；③ = = ； … ．(其他省略， 任选其一)
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
A
．
) (
.
B
．
) (
D
．
)第四课时(15.2.1①分式的乘除)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)计算 . 的结果是( )
y3
8x3
y
2x
C ．2xy
xy
2
【设计意图】此题属简单的分式乘法计算题，目的是巩固分式的乘法法则 ，提 升学生的运算素养．
【解】 C．根据分式乘法法则，有 . = = 2xy ，故此题选 C．
(
(
2
)计算
：
x
.
y
2
=
．
)y 2 y
【设计意图】此题属分式乘除法混合运算题， 设计意图是熟悉和巩固分式的除 法和乘法法则，会把乘除法混合运算统一为乘法运算．
(
【解】
xy
．计算过程为：
x
.
y
2
=
x
.
y
.
y
=
xy
2
=
xy
．
) 4 y 2 y y 2 2 4y 4
(3)计算： 2 a2 一 1 ．
a 一 a a 一 2a +1
【设计意图】这题是含有多项式的分式除法运算，目的是让学生知道分子或分 母中的多项式需要分解因式， 统一为乘法运算后按照分式乘法法则进行计算．
【解】 原式= a +1 . (a 一 1)2
a(a 一 1) (a +1)(a 一 1)
= ．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)对于a 政 b . ，小明是这样计算的： a 政 b . =a政1 = a ．他的计算过程正确吗？
若不正确，请给出正确的解题过程．
【设计意图】在进行乘除法混合运算时， 可把算式统一为乘法运算，注意：
1 ( 1 )
(
b
\
b
)
)a 政 b . 丰 a 政 | b . | ．选此题的目的是防止学生出现类似错误．
【解】 他的计算过程不正确，正确的解题过程为： a 政 b . 1 =a . 1 . 1 = ．
b b b b
(2) 若 x 等于它的倒数，则x2 一 x 一 6 政 2 x 一 3 的值是_______．
x 一 3 x 一 5x + 6
【设计意图】此题属化简求值类题型， 设计意图为让学生熟悉此种题型的一般做 法： 先利用分式的除法法则进行计算， 得到一个关于 x 的最简单的式子， 再将 x 的值代入这个最简单的式子即可求得算式的最后结果．
【解】先计算 x2 一 x 一 6 政 2 x 一 3 = (x + 2)(x 一 3) . (x 一 2)(x 一 3) = x2 一 4 ，因为 x 等
x 一 3 x 一 5x + 6 x 一 3 x 一 3
于它的倒数，即x = ，得 x2 = 1 ，所以原式=1一 4= 一 3．
(3) 如果两种灯泡的额定功率分别是P1 = ，P2 = ，那么第一只灯泡的额定
功率是第二只灯泡额定功率的_____倍．
【设计意图】这是关于分式计算的简单应用题，利用分式除法的法则可求出结果．
U2 U2 U2 5R
(
R
5
R
R
U
)【解】因为P1 政 P2 = 政 = . 2 = 5 ，所以第一只灯泡的额定功率是第二只
灯泡额定功率的 5 倍．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
.
B
．
) (
C
．
) (
D
．
) (
A
．
) (
C
．
)第五课时(15.2.1②分式的乘方)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(
\
3
a
)
)(1)计算2 的结果是( )
A ．
4b2
6a6
4b2
9a5
4b2
9a6
【设计意图】本题考查的是分式的乘方法则， 积的乘方， 幂的乘方等知识， 分式 的乘方就是要把分子、分母分别乘方，学生要能熟练掌握应用，提高运算素养．
(
\
3
a
)
)【解】 2 的分子、分母分别是 2b 和 3a3 ，则(2b)2 =4b2 ，(3a )32 = 9a6 ．A 选
项分子乘方时 b 也要平方， 而分母(3a3 )2 忽略了a 的 3 次方； B 选项 32 等于 3 乘 3，而不是 3 乘 2；C 选项这里考查了幂的乘方和积的乘方， (a3 )2 是底数不变， 指数相乘，而不是相加，这里学生很容易出错，故选 D．
(2)计算 一 x2 3 的结果是( )
\ y )
x6
y3
x6
B ． 一
y3
(
6
)x
y
x5
D ． 一
y3
【设计意图】这里仍然考查的是分式的乘方法则， 较题 1，这里多了负号， 考查 学生符号的运算，也是学生特别容易出错的地方，这里的“ 一 ”号，其实是一1， 所以(一1)3 = 一1，故结果符号为“ 一 ”．
【解】 一 x2 3 = (一1)3 . = 一 ，故选 B．
\ y ) y y
(3)下列分式运算正确的是( )
A ． . = B ． . =
C ． 一 a2a一b 2 = a 2 (4)a一2b2 D ． n =
【设计意图】这里考查的是分式的乘方、乘除等混合运算， 要求学生能够熟练掌 握分式的乘方、乘除等混合运算， 较题 1、题 2 对学生的运算素养提出更进一步 的要求．
【解】 分式的乘法运算，分子、分母分别相乘， . = ，然后约分，
(
得
到
答案 ．
故选
A
．
)m
n
(
\
b
)
\
a
) \
a
)
)(4)计算 一 3 . 2b2 政 一 2b2 ，正确的结果是( )
A ．一 .B ．一 C ． D ．一
【设计意图】本题考查了分式的乘方， 乘除混合运算， 以及符号的运算， 是学生
易错的地方，提升了学生的运算素养．
(
(
2
a
)
3
(
2
b
)
2
(
2
b
)
2
8
a
6
4
b
2
4
b
2
8
a
6
4
b
2
a
2
) (
\
b
)
\
a
) \
a
)
b
a
a
b
a
4
b
8
a
3
)【解】 | 一 2 | . | | ：| 一 | = 一 6 . 2 ： 2 = 一 6 . 2 . 2
= 一 ，故选 B． b6
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
．
)(1) 彤彤做错了下列计算题中的一道题，你认为她做错的题是( )
(
x
x
xy
\
2
y
)
\
3
x
)
3
x
)A ． ：(一y)． 一 3x 2 . 一 2y3 = 一 2y
C ． ： = 1 D ． . x2 一 1 = x(x +1)
x 一 2xy + y x 一 y x 一 y x + 2x +1 x 一 1
.
【设计意图】本题涉及利用分式乘除、乘方等运算法则进行混合运算， 并且辨析 正确与否，属于应用层次．
【解】 D．
(
\
2
b
)
\
8
a
)
)(2)计算： 4a2b： 一 a 2 . 一 b
【设计意图】本题涉及利用分式的乘除、乘方运算法则进行混合运算，提升了学 生的运算素养．
(
\
2
b
)
\
8
a
)
)【解】 4a2b： 一 a 2 . 一 b
. =4a2b 政 . -
. = - 4a2b . . b
\ a 8a )
(
.
= -
．
)2b4
a
(3) 2 政 - 2 = 6 ，则x8y4 的值为 ．
\y ) \ y )
【设计意图】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算， 以及整体代入的方程思想， 属于能力提高部分．
【解】 因为 2 政 - 2 = 政 = . = x4 y2 ，
即x4y2 =6 ，
所以x8y4 =(x4y2 )2 = 62 = 36 ．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第六课时(15.2.2①分式的加减)
作业 1 (基础性作业)
1 ．作业内容
(1)计算： ① -x - 2y + x + 6y ； ② 24 - 3 ．
2xy 2xy (x + 4)(x - 4) x - 4
【设计意图】本题要求学生会用分式的加减法则进行计算， 加深对法则的理解和 运用．其中： ①查了学生对同分母分式相加减法则的理解， 分母不变， 分子相加 减；②考查了学生对异分母分式相加减法则的理解，先通分，变为同分母的分 式．计算本题的关键是通分， 学生需观察各分式的分母， 确定最简公分母，培养 了学生观察、分析和解决问题的能力．
【解】 ①原式= x 2y x 6y ②原式= 24 3(x 4)
2xy (x 4)(x 4) (x 4)(x 4)
(
=
=
) 4y 3x 12
2xy (x 4)(x 4)
(
=
；
.
=
)2 3(x 4)
x (x 4)(x 4)
(
=
．
x
4
)3
【注意】分式运算的结果是最简分式或整式；分子相加减时，分子如是多项式， 应加上括号作为整体相加减．
(2)计算： a 2 ．(考虑用不同方法)
【设计意图】本题考查的是整式与分式相加减．学生观察算式， 考虑解决问题的
方法．方法一： 把a 2 分开看， 各自转化为分母为 1 的式子 a 2 ；方法二： 把
1 1
a 2 作为一个整体转化成 ．通过类比计算， 首先让学生掌握解决整式与分
式相加减的方法，其次比较方法选择的优劣．
【解】 方法一： 方法二：
原式= a 2 a2 原式= a 2 a2
1 1 a 2 1 a 2
(
=
=
)a(a 2) 2(a 2) a2 (a 2)(a 2) a2
a 2 a 2 a 2 . a 2 a 2
= = ．
(3)下面是小强化简式子的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
1 2
x 1 x2 1
(
=
(
第一步)
) x 1 2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
= x 1 2 (第二步)
= x 1． (第三步)
①小强解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
②请写出此题正确的解答过程．
【设计意图】本题考察的是学生对分式加减过程纠错的能力， 属应用层次．本题 列出分式加减的计算过程， 由学生指出错误之处并解释错误原因．培养了学生纠 错的能力并感悟了分式的加减法则——分母不变而不是去分母！
【解】①小强解答过程是从第二步开始出错的， 其错误原因是对同分母分式相加 减法则理解错误，分母不变，分子相加减．..
...②正确的解题过程为：
原式= x 1 2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
(
B
．
) (
.
C
．
) (
.
D
．
) x 1 2
=
(x 1)(x 1)
x 1
=
(x 1)(x 1)
(
=
．
)1
x 1
2 ．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
2
x
1
) (1)若 x 1 ， y 2 ，则 2 2 的值等于( )
x 64y x 8y
A ．
1
17
1
16
1
15
【设计意图】本题考查的是学生对分式的化简并求值的能力．学生通过分式的化 简，巩固对异分母分式相加减的计算步骤和注意事项的理解， 然后把字母的值代 入最简分式完成求值．
【解】
(
．
) 2x 1 2x x 8y x 8y 1
x2 64y2 x 8y (x 8y)(x 8y) (x 8y)(x 8y) (x 8y)(x 8y) x 8y
(
当
x
1
，
y
2
时，原式
=
=
，故选
B
．
)1 1
1 8 2 17
(2) 已知 a2+3ab+b2=0 (a≠0 ，b≠0)，则代数式 b a 的值等于 ． a b
(考虑不同的方法解决)
【设计意图】本题考查的是对已知算式(整式或分式) 的变形， 以达到求值的目 的，属应用层次．本题可以对 a2+3ab+b2=0 (a≠0，b≠0) 两边同时除以 ab，转化
为b +a 求值；或者把b +a 相加减， 再用已知转化求值．本题培养了学生的发散
a b a b
思维及一题多解的能力．
【解】
方法一： a2+3ab+b2=0 ， ∵a≠0 ，b≠0 ， ∴等式两边可以同时除以 ab，
则 a + 3+ b = 0 ， ∴ b + a = -3 ．
b a a b
方法二： b + a = b2 + a2 ，∵a2+3ab+b2=0，∴ a2 + b2 = -3ab ，∴原式= -3ab = -3．
a b ab ab
故本题的答案是-3．
(3)甲、乙两工程队分别承担一条长为 2 千米的公路的维修工作，甲队有一半 时间每天维修公路 x 千米， 另一半时间每天维修公路y 千米， 乙队维修前 1 千米 公路时每天维修 x 千米，维修后 1 千米公路时每天维修y 千米．(x≠y)
①求甲、乙两队完成任务需要的时间(用含x，y 的式子表示)
②甲、乙两队谁先完成任务？为什么？
【设计意图】本题是一道实际问题， 考查学生阅读与分析问题的能力， 属于应用 层次 ．这道题目需要学生考虑如何比较两个分式的大小， 可以通过作差法
( (> 0 不 A > B)
(
A
-
B
〈
|
l
0
0
不
不
解决，培养学生解决实际问题的能力同时加强了学
生对分
)| | |
式加减的理解和掌握．
【解】 ①设甲队完成任务需要的时间为 t 天，
1 1
tx + ty = 2
2 2
解得t = ．
4 ( 1 1 )
即甲队完成任务需要 天，乙队完成任务需要 | + |天．
x + y \x y )
②作差：
( 1 1 ) 4
| + | -
\x y ) x + y
x + y 4
= - xy x + y
(x + y)2 - 4xy
=
xy(x + y)
(
=
．
) (x - y)2
xy(x + y)
∵ x≠y，即 (x - y)2 > 0 ，又 x > 0 ，y > 0 ，
∴ (x - y)2 > 0 ，即 1 + 1 > 4 ，
xy(x + y) x y x + y
∴甲队先完成任务．
(
\
x
+
1
)
x
一
1
)2．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第七课时(15.2.2②分式的混合运算)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(
(
1
)
|
1
一
|
政
2
的结果是( )
)( 2 ) 1
(
(
x
+
1)
.
(
x
一
1)
.
)A ． B ． C ．(x +1)2 D ．(x 一 1)2
【设计意图】本题涉及了分式的混合运算属于掌握层次， 分式四则混合运算的步 骤：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
(
\
x
+
1
x
+
1
)
x
一
1
x
+
1
)【解】 原式= x +1 一 2 政 = x 一 1 . (x +1)(x 一 1) = (x 一 1)2 ．故选 D．
(
\
b
)
\
b
)
b
)(2) 1 3 . (ab)2 一 a 3 政 = ．
【设计意图】本题是分式的混合运算， 加入了乘方， 先算乘方， 再乘除， 最后加 减，属于掌握层次．
(
\
b
)
\
b
)
b
b
b
b
b
b
a
b
b
)【解】 1 3 . (ab)2 一 a 3 政 = . a2b2 一 政 = 一 . b2 = a2 一 a2 = 0 ．
(3) m + 政 2 的结果是 ．
m +3 m 一 9 m 一 3
【设计意图】本题是分式的混合运算， 不能忽视分数线的括号作用， 运算结果要 是最简分式或整式．
【解】 原式= m + 6 . m 一 3
m +3 (m +3)(m 一 3) 2
(
=
+ = =
1
．
m
+
3
m
+
3
m
+
3
) m 3 m +3
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
\
1
_
x
)
x
_
1
x
_
2
)(1) 计算： 1 + 1 政 x _ 2 . x _ 1 ．
【选择意图】 本题是分式的混合运算，应注意运算顺序．
【解】 原式 = . .
= x _ 1 ．
x _ 2
(
(
2
)计算
：
|
_ .
|
_
|
|
政
．
L
3
x
x
+
y
\
3
x
y
)」
x
)「 2 2 ( x + y x + y )] x _ y
【选择意图】分式的加减混合运算能灵活应用法则进行化简是解此题的关键， 如 果先算小括号里面的，过程就会比较复杂而用分配律进行计算比较简单．
(
【
解】 原式
=
|
_ . + .
|
政
)( 2 2 x + y 2 x + y ) x _ y
\3x x + y 3x x + y y ) x
( 2 2 2 ) x
= | _ + | .
\3x 3x y ) x _ y
2x
=
y(x _ y)
(
=
2
．
) 2x
xy _ y
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第八课时 (15.2.3①整数指数幂)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)如果 10m = 12 ，10n = 3，那么 10m一n = ______．
【设计意图】本题考查同底幂的运算， 熟练掌握同底幂的除法法则并能逆用是解 题关键．
10m 12
【解】 逆用同底幂的除法法则可得：原式= 10n = 3 = 4 ，故答案为 4．
(
x
一
1
)
)(2)代数式 x 0 = 1 成立的条件是( )
A ．x 1 B ．x 0 .C ．x 0 或x 1 D ．x 0 且x 1
【设计意图】本题考查了零指数幂及分式有意义的条件， 牢记零次幂公式a0 = 1 中的条件a 0 及分式有意义的条件是分母不为 0 是解答此题的关键．
【解】根据零指数幂成立的条件和分式成立的条件知x 0 且x 一 1 0 ．故选 D．
(3)若102y = 25 ，则10一y 等于( )
(
5
.
625
5
5
25
)A ． 1 B ． 1 C ．一 1 或 1 D ． 1
【设计意图】本题考查幂的乘方运算的逆运算和负指数幂的运算法则．根据幂的 乘方运算法则： (am )n = amn (m，n都是正整数) ． 负指数幂的运算法 则：
a一m = (a 0，m为正整数) ， 将102y 变形为(10y )2 ，求得10y 的值， 再将10一y 变 为 ，代入即可得解．
【解】 ∵ 102y = 25 ， ∴(10y )2 = 25 ， ∴ 10y = 5或10y =一5 (舍去)，
(
∴
10
一
y
=
10
y
=
5
．故选
A
．
)1 1
(4)下列各式计算正确的是( )
A ．a + 3a = 3a2 B ．(2a )23 = 2a6 . .C ．a3 . a4 = a12 .D ．(一a )3一2 =
【设计意图】本题考查与幂相关的运算法则，熟悉幂的运算法则和负指数的意义 是关键，应用有关运算法则逐一检查，排除不合题意选项，选出符合题意选项．
【解】对于 A ，运用合并同类项法则得a + 3a = (1+ 3)a = 4a 不是3a2 ，故运算错 误；对于 B，运用积的乘法法则和幂的乘方法则得(2a2 )3 = 2 (a )323 = 8a23 = 8a6 ， 不是2a6 ，故运算错误； 对于 C，运用同底数幂相乘法则得a3 . a4 = a3+4 = a7 不是 a12 ，故运算错误；对于 D ， 运 用 负 指 数 定 义 和 幂 的 乘 方 法 则 得 ：
(
(
一
a
)
=
(
一
a
)
32
=
(
a
)
32
=
a
3
2
=
a
6
，故运算正确．故选
D
．
)3 一2 1 1 1 1
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)已知 a = 255 ，b = 333 ，c = 522 ，则 a ，b ，c 的大小关系是 ． (用“ ”连接)
【设计意图】此题主要考查幂的大小比较， 解决此类问题的关键是将各个数或式 子化为相同指数或相同底数， 即可解题． 本题中将各数转化为相同指数的幂， 然 后再比较大小，即可得解．
【解】 ∵a = 255 = (25 )11 = 3211 ，b = 333 = (33 )11 = 2711 ，c = 522 = (5 )211 = 2511 ，
∴ c b a ．
(2)化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂．
① 一2m2 n一3 . 3m一3n一1 ； ② 一2m2n一3 (3m一3n一1 )．
【设计意图】本题考查负整数指数幂和同底数幂的运算法则， 解答本题的关键是 利用运算法则解答问题． 先利用同底数幂相乘(相除)，底数不变， 指数相加(相 减)，再利用负整数指数幂的性质，将结果用正整数指数幂表示即可．
【解】 ① 原式=(23) (m2 m3) (n3 n1) 6m1n4 ．
② 原式=(2 3) (m2 m3) (n3 n1) 2 m5 n2 ．
3 3n
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第九课时(15.2.3②科学记数法)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1) 人体中成熟的红细胞的平均直径为 0.000.007.7 米，用科学记数法表示为 ( )
A ．77×10－5 米 B ．77×10－6 米 C ．7.7×105 米 D ．7.7×10－6 米
【设计意图】科学记数法就是将一个数字表示成a 10n 的形式)，其中 1≤|a|＜10， n 表示整数，n 为整数位数减 1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上 小数点，再乘以 10n ．此题 n＜0 ，n= 6 ．
【解】 0.000.007.7=7.7×10－6，故选 D．
【注意】本题考查了用科学记数法表示较小的数， 用科学记数法表示一个数的方 法是：(1) 确定 a：a 是只有一位整数的数；(2) 确定 n：当原数的绝对值不小于 10 时，n 为正整数， n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值小于 1 时，n 为 负整数， n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前 0 的个数(含整数位数上的 零)．
(2)将数字 2.03×10－3 化为小数是( )；
A ．0.203 B ．0.020 3 C ．0.002 03 D ．0.000 203
【解】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示， 与较大数的科学记数法 不同的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 所以 2.03×10－3 化为小数是 0.002 03．故选 C．
(3)下列等式正确的是( )
①0.000 126=1.26×10－4； ②3. 10×104=31 000；
③1. 1×10－5=0.000 011 ； ④12 600 000=1.26×106．
A ．①② B ．②④ C ．①②③ D ．①③④
【设计意图】此题考查科学记数法的表示方法， 表示时关键要正确确定 a 的值以 及 n 的值．
【解】根据科学记数法的意义， 能够把较大或较小的数用科学记数法表示， 或把 科学记数法表示的数，还原即可．由 0.000 126=1.26×10－4，故①正确；
10×104=31 000，故②正确； 1. 1×10－5=0.000 011，故③正确；
12 600 000=1.26×107 ，故④不正确．故选 C．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1) 受不良气象条件影响， 我市接连出现重污染天气， 细颗粒物(PM2.5) 平均 浓度持续上升， 严重威胁人民群众的身体健康， PM2.5 是直径小于或等于 2.5 微 米(1 微米相当于 1 毫米的千分之一)的颗粒物，可直接进入肺部．2.5 微米用 科学记数法表示为( )
A ．2.5×10-6 米 B ．25×10-5 米 .C ．0.25×10-4 米 D ．2.5×10-4 米
【设计意图】涉及到了物理学科上的单位换算， 对于刚刚接触到物理学科的八年 级学生来说是个很好的知识铺垫， 考察了单位之间的进制及科学记数法．先把 2.5 微米化为米，然后用科学记数法表示， 故选 A ． (2)一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑 食的同学会把吃剩的米饭倒掉． 针对这种浪费粮食的现象， 老师组织同学们进行 了实际测算，称得 500 粒大米重约 10 克．现在请你来计算：
①一粒大米重约 克．
②按我国现有人口 14 亿，每年 365 天，每人每天三餐计算，若每人每餐节 约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？(结果用科学记数法表示)
③若贫因地区每名儿童每天需 0.4 千克大米， 则②节约下来的大米供多少名 贫困地区儿童生活一年？(结果用科学记数法表示)
(
x
1
)【设计意图】该题体现了数学知识在实际生活中的应用， 通过计算让学生体会到 数学知识无处不在，也能够让学生在无形之中自觉地提高节约的意识．
【解】 ①10÷500=0.02 (克)；
②14×108 ×365×3×0.02×0.001=3.066×107 (千克)；
③3.066×1070.4365=2. 1×105 (人)．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十课时(15.3①分式方程的概念)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1) 方程① x 一 x = 3 ；② 1 一 1 = 2x ；③ 2 x 一 1 = x 中， 是分式方程．
2 x 3 12 4
【设计意图】本题考查学生对分式方程定义的理解， 根据定义“分母中含有未知 数的方程叫做分式方程”，从而做出正确的选择．
【解】 ②．
(2)分式 12一x 与分式 的值互为相反数，可列方程为___________．
【设计意图】通过设计此题， 考查学生对最基本的列方程方法的掌握程度， 先认 真审题，找出相等关系，进而列出方程．
【解】可利用“互为相反数的两数和为零”作为相等关系列出方程：
2 4
+ = 0 ．
1一 x x +1
(3)把分式方程 + 2 = 化为整式方程 ． x 一 2 2 一 x
【设计意图】考查学生利用解分式方程的基本思路的掌握情况， 有意将两个分母 设计成相反数， 目的是让学生知道分母为相反数时， 只需要把其中一个分母作为 最简公分母； 另外， 设计将方程中某项不含分母， 目的是让学生记住“去分母” 时不能漏乘不含分母的项．
【解】方程两边同乘(x-2)，得整式方程x 2(x 2) 1．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1) 甲、乙两个班学生参加植树活动，已知甲班每天比乙班多植 5 棵树，甲班
植 80 棵树所用的天数与乙班植 70 棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意可列出的方程为_____________．
【设计意图】通过设计一个实际问题， 考查学生列分式方程的技能： 审题→设未 知数→根据题中的相等关系列出正确的方程．
80 70
【解】 ．
x x 5
(2)若分式方程 2的解是 2，则 a 的值是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【设计意图】此题考查学生解决含有字母的分式方程的问题， 根据所给的未知数 x 的值， 将其代入原方程， 得到一个关于字母 a 的等式(把字母 a 看作未知数的 整式方程)，此方程的解即为字母 a 的值．
【解】将 x=2 代入方程，有 2 ，即 2 ，解得：a=4．故选 D．
1 1 3
(3) 定义运算a b ，根据这个规定， 则x 2x 可列方程为 ，将 a b 2
其化成整式方程为_________．
【设计意图】这是一道“新定义”的题目， 考查学生通过阅读、理解“新定义”， 再利用“新定义”列出分式方程，最后利用分式方程的解法求出方程的解．
1 1 3
【解】根据“新定义”，可列出分式方程 ，去分母可将其化成整式方程 x 2x 2
2+1=3x．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十一课时(15.3②分式方程的解法)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)把分式方程 = 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A ．x .B ．2x . C ．x + 4 .D ．x(x + 4)
【设计意图】本题考查如何将分式方程转化为整式方程．方程两边同乘各分母的 最简公分母．
【解】 D．
(2)已知关于 x 的方程 2a (a)x一3 = 的解为x = 1，则 a 等于( )
A ．一 1 . B ．一 3 C ．1 D ．3
【设计意图】本题考查了分式方程的解的概念以及解分式方程．学生要知道把方 程的解代入原方程， 从而得到关于a 的分式方程， 解出分式方程并检验即可．培 养学生的观察、思维能力，提升运算素养．
【解】 B．
(3)若关于 x 的分式方程x (2x)2 (b) = 3 的解是非负数，则b 的取值范围是( )
A ．b 4 B ．b≤6 且b 4 C ．b ﹤ 6 且b 4 D ．b ﹤ 6
【设计意图】本题考查解分式方程， 根据方程的解列出关于b 的不等式， 解答本 题时，要注意易漏掉分母不等于 0 这个隐含的条件．
【解】先解关于x 的分式方程， 求得x 的值， 然后再依据“解是非负数”建立不 等式求b 的取值范围．
去分母得2x 一 b = 3x 一 6，x = 6 一 b ，∵x≥0，即6 一 b ≥0，解得 b≤6，又∵x 一 2 0 ， ∴ x 2 ，即 6 一 b 2 ，b 4 ，则b 的取值范围是 b≤6 且b 4 ，故选 B．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1 ．作业内容
(1) 若关于x 的分式方程x 2一3 + 3 (x)x (a) = 2 无解，则a 的值为( )
A ．3 . B ．0 C ．一 1 D ．0 或 3
【设计意图】本题的解题关键是明确分式方程无解的条件，即所化成的整式方程 的解使得最简公分母的值为 0，培养了学生的逻辑思维能力．
【解】x 2一3 + x (a) = 2 ，去分母(两边同乘以最简公分母x-3)，得2 一 x 一 a = 2(x 一 3) ， 解得：x = 8 3 (一)a ．因为当 8 3 (一)a = 3，即 a = 一1时，方程无解，故选 C．
(2) 若关于 x 的分式方程 xx一1 一 1m一x = 3有增根，则这个增根是_____． 【设计意图】此题考查分式方程产生增根的条件，难度不大．
【解】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根， 所以应先让最简公分
母x 一 1 = 0 ，得到 x=1 ， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x 一 1 = 0 ，解得 x=1． 故答案为x = 1．
(3) 解分式方程 x x一1 一 1 = (x 一 1)x + 2) ．
【设计意图】本题考查解分式方程，注意解分式方程一定要验根．
【解】去分母，两边同时乘以 (x 一 1)(x + 2) 得： x(x + 2) 一 (x 一 1)(x + 2) = 3 ，
即x2 + 2x 一 (x2 + x 一 2) = 3 ，即x2 + 2x 一 x2 一 x + 2 = 3 ，即 x = 1． 检验：当x = 1时， (x 一 1)(x + 2) = 0 ．
即x = 1不是原方程的解，
所以原方程无解．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十二课时(15.3③分式方程的应用)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1) 2020 年初， 受疫情影响， 医用防护服生产车间有 7 人不能到厂生产．为了 应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时，每 人每小时的工作量不变．原来生产车间每天生产防护服 800 套，现在每天生产防 护服 650 套．求原来生产车间的工人有多少人？在这个问题中， 设原来生产车间
的工人有 x 人，则根据题意可得方程为( )
(
A
．
7
.
B
．
7
8
x
10
x
8
x
10
x
)800 650 800 650
(
C
．
D
．
)800 650 800 650
8x 10(x 7) . 8(x 7) 10x
【设计意图】本题应用分式方程模型解决当前社会实际问题(疫情防控)，让学 生感受到数学来源于生活， 又应用于生活．在本题中， 学生需认真审题， 用 x 表 示出原来和现在每人每小时的工作量， 再根据“每人每小时的工作量不变”列出 方程．因而通过本题的解决可以培养学生阅读和梳理数量关系的能力．
【解】
原 来 现 在
生产量(套) 800 650
生产时间(小时) 8 10
车间工人数(人) x x 7
每人每小时的工作量(套) 800 8x 650 10(x 7)
(
根据“每人每小时的工作量不变”可以列方程
，故本题选择
C
．
8
x
10(
x
7)
)800 650
(2) 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题： “六贯二百一十钱，
倩人去买几株椽．每株脚钱三文足， 无钱准与一株椽．”其大意为： 现请人代买 一批椽， 这批椽的价钱为 6 210 文．如果每株椽的运费是 3 文， 那么少拿一株椽 后， 剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 问 6 210 文能买多少株椽？设这批 椽的数量为X株，则符合题意的方程是 ( )
A ．3(x 1)= B ． =3x
C ．3x 1 D ． =3
【设计意图】本题应用分式方程解决古代数学问题， 让学生感受到中国古代数学 成就， 产生民族自豪感．这种类型问题在中考中也是常见的， 因而通过训练， 提 高学生们解此类问题的能力．
【解】少拿一株椽后， 剩下的椽的数量为(x 1) 株， 其运费为3(x 1) 文， 一株椽
的价钱为 文，根据“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”可列方程 3(x 1)= ，故选 A．
2．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1) 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 8 万元购进这种衬衫， 面市后果然供不应求．商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是 第一批购进量的 2 倍，但是单价贵了 4 元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是
58 元，最后剩下 150 件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利 多少元？
【设计意图】本题应用分式方程模型解决销售问题．
【解】设第一批衬衫的单价为 x 元，
第一批衬衫 第二批衬衫
购买费用(万元) 8 17.6
单价(元) x x+4
购买数量(件) 80 000 x 176 000 x 4
根据“第二批衬衫所购数量是第一批购进量的 2 倍”可列方程：
80 000 176 000
2 =
x x 4
解得： X=40．
经检验： X=40 是分式方程的解．
即两批批衬衫所购数量分别为 2 000 件和 4 000 件，总成本为 256 000 元， 总销售额为(6 000－150)×58+150×58×0.8=346 260 元， 故商厦共盈利 90 260 元． (2) 2020 年夏， 我市发生洪涝灾害， 为了慰问驻守在灾区的部队官兵，某校九 年级的两个班各捐款 1 800 元．已知 2 班比 1 班人均捐款多 4 元， 2 班的人数比 1 班的人数少 10%．请你根据 上述信息， 分别就这两个班级的“人数”或“人均
(
．
．．．
)捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并列出方程．
【设计意图】此为开放性题目， 要求学生根据题中已知条件提出一个利用分式方 程解决的实际问题，所提问题还要符合实际意义．
【解】 ①求两个班人均捐款各多少元？
设 1 班人均捐款 x 元，则 2 班人均捐款(x＋4)元，根据题意得：
(
90%
．
)1800 1800
x x 4
②求两个班人数各多少人？
设 1 班有 x 人，则根据题意得：
(
4
．
)1800 1800
x 90%x
2．时间要求(15 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十三课时 (数学活动)
作业 1 (基础性作业)
1 ．作业内容
(1) 将式子 ab=cd(a ，b ，c ，d 均不为 0)写成比例式，错误的是( )
(
A
．
=
.
B
．
=
.
C
．
=
.
D
．
=
)a d c a d b a c
c b b d a c b d
【设计意图】本题考查学生对比例的基本性质(比例式可以转化为等积式即比例 外项的积等于比例内项的积)的理解．
【解】选项 A ，B 和 C 中的比例式都可以转化为等积式ab = cd ，选项 D 转化为 ad = bc ．故本题选 D．
(2) 已知三个数： 1，2，4，请你添上一个数， 使它们能构成一个比例式， 则这 个数是______ (只填一个)．
【设计意图】本题考查学生对成比例定义的理解和分式基本性质的运用． 本题是 一道开放性问题，学生可以把 1 ，2 ，4 当作不同的比例项，求相应的第四个数．
【解】设第四个数为 x ，则有下列三种情况：
①若 1x=2×4 ，则 x=8；②若 2x=1×4 ，则 x=2；③若 4x=1×2 ，则 x= ．
2 ．时间要求(10 分钟以内)
3 ．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(1)已知 x = y = z ，求 x + y + z 的值． 2 3 4 2x + y 一 z
【设计意图】本题考查的是比例的等比性质证明方法的理解和运用， 即通过把连 比式设成一个字母 k，然后把 x、y、z 都转化为用k 表示，从而达到把多元转化 为一元的目的．培养了学生在解决问题时运用转化思想的意识和能力．
【解】设 x = y = z = k ，则 x=2k，y=3k，z=4k，
2 3 4
原式= 2k + 3k + 4k = 9k = 9．
2k + 3k 一 4k k
(2)先阅读，后解答问题：
(
a
c
)已知：a ，b ，c ，d 都是不为 0 的数，满足 = ，
b d
求证： a + b = c + d ．
b d
证明： ∵ a = c ， ∴ a +1 = c +1 ， ∴ a + b = c + d ．
b d b d b d
①已知：a ，b ，c ，d 都是不为 0 的数，满足 a = c ． b d
求证： a 一 b = c 一 d ； a 一 b = c 一 d ．
b d a + b c + d
②应用： 已知 = ，则 a (a)b (b) 的值为 ．
【设计意图】本题考查的是学生对比例的合比性质的证明和应用．本题先给出了 一种类型合比性质的证明过程， 学生通过阅读、思考， 给出其它类型合比性质的 证明， 并应用得出的结论回答问题． 通过本题的解决， 培养了学生阅读、思考并 应用新知识解决问题的能力．
【解】 ①证明： ∵ a = c ， ∴ a 一 1 = c 一 1 ， ∴ a 一 b = c 一 d ；
b d b d b d
∵ a 一 b = c 一 d ， a + b = c + d ， ∴ a 一 b a + b = c 一 d c + d ，
b d b d b b d d
∴ a 一 b . b = c 一 d . d ，即 a 一 b = c 一 d ．
b a + b d c + d a + b c + d
②根据 a = c a 一 b = c 一 d ，可得 a = 5 a 一 b = 5 一 13 = 一8 = 一 4 ． b d a + b c + d b 13 a + b 5 +13 18 9
2 ．时间要求(10 分钟以内)
3 ．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
第十四课时 (小结①)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)下列各式中，分式的个数是( )
(
，
， ， ， ，
a
+
．
x
2
a
x
+
2
b
)2 a 2b a+2b a+1 x2 + x 2
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【设计意图】考查分式的定义．判断分式的依据是看分子与分母是否均为整式， 且分母中是否含有字母， 同时满足两个条件的是分式， 否则不是分式． 培养学生 的观察能力，提升数学抽象素养．
【解】 ， ， 符合条件，因此共有 3 个分式．故选 B．
(2)在分式 ， ， ， ， 中，最简分式有 个． 【设计意图】考查最简分式的概念， 根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即 可得．
【解】 3b = 3b = b ； m2 n2 = (m + n)(m n) =m n ；
3 + 3a 3(a +1) a +1 m + n m + n
(
=
=
；
= =
1
，只有 是最简分式，
)x2 + xy x(x + y) x + y a + b c a + b c a2 + b2
2x 2x 2 c a b (a + b c) a2 b2
所以最简分式只有 1 个．
(3)已知 (x 1)0 有意义，则 x 的取值范围是 ．
【设计意图】考查分式有意义的条件：分母≠0 (零指数幂的底数≠0)． 【解】由题意得， x 2 士 0且x 1 士 0 ，解得 x士 2 且x 士 1．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
(
x
3)(
x
1)
)作业 2 (发展性作业)
1．作业内容
(
1
x
2
)(1)已知分式 的值为 0，那么 x 的值是 ( )
A ．-1 B ．3 C ．1 D ．3 或-1
【设计意图】考查分式值为 0 的条件， 直接利用分式的值为 0 则分子为 0 分母不 为 0 进而得出答案．
(
【
解】 ∵分式
2
的值为
0
，∴
(
x
3)(
x
1)
0
，则
1
x
2
0
，解得
x
=3
，
)(x 3)(x 1)
1 x
故选 B．
(2) 下列等式成立的是( )
(
b
b
1
2
b
1
b
a
2
1
b
b
2
b
)A ． B ． C ． a 1 D ．
a a 1 2a 1 a a 1 . a c a c
【设计意图】考查分式的基本性质， 分式的分子与分母同乘(或除以) 一个不等 于 0 的整式，分式的值不变，从而求出答案．
【解】 a2 1 (a 1)(a 1) a 1 ，故选 C．
a 1 a 1
(3) 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的 5 纳米 刻蚀机已获成功， 5 纳米就是 0.000 000 005 米．数据 0.000 000 005 用科学记数 法表示为( )
A ．5108 B ．5109 C ．0.510 8 . D ．50 10 9
【设计意图】考查了绝对值小于 1 的正数的表示方法，其一般形式为 a 10n ． 【解】 0.000 000 005 5109 ．故选 B．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
(
=
x
_
2
=
a
_
b
.
a
+
b
=
=
．
=
x
+
2
；
)第十五课时 (小结②)
作业 1 (基础性作业)
1．作业内容
(1)化简下列各式．
(
x
2
4
(
a
2
b
)
ab
(
1
1
)
) (
x
_
2 2
_
x
\
a
_
b
a
_
b
)
a
_
2
b
\
a
b
)
【设计意图】本题考查了学生对分式四
则运算步骤的掌握，先乘除，后加减，
有括号先算括号里的，加
深对法则的理解，提升运算技能和运算素养．
【解】 ①原式
=
x
2
_
4
②原式
=
a
_
2
b
.
ab
政
a
+
b
x
_
2
x
_
2
a
_
b
a
_
2
b
ab
x
2
_
4
ab
ab
)① + ； ② | _ | . 政 | + | ．
(
x
_
1
x
_
3
\
x
_
1
)
5
)(2) 先化简，再求值： . x2 + 2x +1 +1 ，其中 x = _ 6 ．
【设计意图】本题考查学生进行分式化简与求值的能力．
(
x
_
1
x
_
3
\
x
_
1
)
)【解】 . x2 + 2x +1 +1
x _ 3 (x +1)2 ( 1 x _ 1)
(
(
x
+
1)(
x
_
1)
x
_
3
\
x
_
1
x
_
1
)
x
_
3
(
x
+
1)
2
x
)= . _ | + |
= . _
(x +1)(x _ 1) x _ 3 x _ 1
(
=
_
)x +1 x
x _ 1 x _ 1
(
=
．
)1
x _ 1
(
6
1 5
)故当x = _ 5 时， 原式= _ _ 1 = _ 11 ．
(3)解下列方程：
① 3 + x = 2 ； ② x +1 _ = 1．
x _ 2 x _ 2 x _ 1 x _ 1
【设计意图】本题考查学生解分式方程的能力，两边同乘以最简公分母，不能 漏乘不含分母的项，培养学生的观察、思维能力，提升运算素养．
【解】 ① 3 + x = 2 ，
x _ 2 x _ 2
方程两边同乘(x _ 2) 得：
3 + x = 2(x _ 2) ，
解得x = 7 ．
检验：当x = 7 时， x _ 2 丰 0．
所以原分式方程的解为x = 7 ．
② x 1 1
x 1 x 1
方程两边同乘(x2 1) 得：
(x 1)2 4 x2 1，
解得x 1．
检验：当x 1时， x2 1 0 ．
x 1不是原分式方程的解．
所以原分式方程无解．
2．时间要求(10 分钟以内)
3．评价设计
作业评价表
评价指标 等级 备注
A B C
答题的准确性 A 等，答案正确、过程正确． B 等，答案正确、过程有问题． C 等，答案不正确，有过程不完整； 答案不准确， 过 程错误、或无过程．
答题的规范性 A 等，过程规范、答案正确． B 等，过程不够规范、完整，答案正确． C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
解法的创新性 A 等，解法有新意和独到之处， 答案正确． B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误． C 等，常规解法， 思路不清楚， 过程复杂或无过程．
综合评价等级 AAA 、AAB 综合评价为 A 等； ABB 、BBB 、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
作业 2 (发展性作业)
1 ．作业内容
(1)甲做 360 个零件与乙做 480 个零件所用的时间相同， 已知两人每天共做 140
个零件，若设甲每天做x 个零件，则可列方程( )
360 480 360 480
A ． B ．
x 140 x 140 x x
360 480 360 480
C ． 140 D ． 140
x x x x
【设计意图】本题考查的是分式方程的应用， 考查学生能否从实际问题中分析出 等量关系，能针对具体问题列出分式方程，提升数学建模素养．
【解】 A．
(2) 甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发， 甲、乙的速度 比是 3:4，结果甲比乙提前 20 min 到达目的地．求甲、乙的速度．
【设计意图】本题考查了学生用分式方程解决实际问题的能力．这是分式方程实 际应用中的行程问题，学生可以通过时间来找等量关系．
【解】时间=路程 速度，可以设甲、乙的速度分别为 3x km/h 和4x km/h，则甲
的时间为 h，乙的时间为h，根据乙的时间 甲的时间=h 可列得方程：
10