数学·必修2(苏教版)
第1章立体几何初步
1．1 空间几何体
1．1.1 棱柱、棱锥和棱台
诗云：“锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。”在我们生活的大千世界中，各式建筑物中都蕴含着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体，它们各自具有不同的几何结构特征．
1．一般地，我们把由一些平面多边形围成的几何体叫做多面体．
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，多面体至少有四个面．
2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体．
3．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱，平移起止位置的两个面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．
4．棱柱按照底面边数分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱．
5．棱柱的结构特征：①两个底面互相平行；②侧棱都互相平行；③棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形．
6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥．
8．棱锥的结构特征：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
9．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，底面与侧面的公共点叫做棱台的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
10．棱台的侧棱的延长线相交于一点．
一、棱柱的结构特征
棱柱的结构特征有：①两个底面互相平行；②侧棱都互相平行；③棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形．
学习时要从相关概念、表示及分类上进行，特别要注意平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱的区别与联系．谨记：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；棱柱的任何两个面并不都可以作为棱柱的底面．
二、棱锥的结构特征
棱锥的结构特征有：①有一个面(底面)是多边形；②其余的各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底面、高入手，以棱锥的记法、棱锥的分类进行归纳整理，类比平面几何的相关性质对知识和方法进行拓宽，如由多边形相似的定义，容易得到：截面与底面面积的比等于相似比的平方，等于所截得的小棱锥与大棱锥对应高的比的平方．同学们要谨记：①正棱锥的底面是正多边形，并且顶点在过正多边形中心且垂直于底面的直线上；②“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的多面体不一定是棱锥．
三、棱台的结构特征
正棱锥被平行于底面的平面所截，截得的棱台是正棱台，主要结构特征有：①两个底面平行且相似；②侧棱(母线)延长线相交于一点；③各侧面是全等的梯形．
理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥的转化关系两个方面展开．
知识点一 棱柱的结构特征
1．下列命题正确的是________(填序号)．
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；
②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
③棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；
④棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．
解析：根据棱柱的定义可知④正确．
答案：④
2．一个棱柱至少有________个面，它既叫做________面体，又叫________棱柱．
解析：根据棱锥的特征判断．
答案：五 五 三
3．如下图所示的图形中，不可能是正方体的展开图的是(C)
解析：根据正方体的结构特征沿不同的棱剪开展在一个平面内对照．
知识点二 棱锥的结构特征
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①底面是正方形的棱锥是正四棱锥；
②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③底面是正三角形，其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥；
④正四面体是正三棱锥．
解析：根据定义判定．
答案：④
5．若一个三棱锥的侧棱长都相等，则棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的________心．
解析：侧棱在底面的射影也相等．
答案：外
6．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有________个．
解析：从长方体中寻找四棱锥模型．
答案：4
知识点三 棱台的结构特征
7．下列三个命题，其中正确的有________个．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
解析：由棱台定义知3个命题均不正确．
答案：0
综合点一 空间图形与平面图形的转化
8．把下图中正三角形按虚线折起，可以得到一个________．
解析：想象或试着做一下模型均可．
答案：三棱锥
综合点二 根据多面体的结构进行计算
9．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为，，，这个长方体的对角线的长是________．
解析：设三边分别为a，b，c，则ab＝，bc＝，ca＝，解得：a＝，b＝1，c＝，∴对角线长为＝＝.
答案：
10．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，求最长的对角线的长度．
解析：当一个长方体放在另一个长方体的上方时，这时新的长方体的对角线长
d1＝＝(cm)；
当一个长方体放在另一个长方体的右边时，这时新的长方体的对角线长
d2＝＝5(cm)；
当一个长方体放在另一个长方体的前方时，这时新的长方体的对角线长
d3＝＝7(cm)．
综上可知，新长方体中，最长的对角线的长度为5 cm.
11．如下图，已知正四棱锥VABCD的底面面积为16，一条侧棱长为2，点E是BC的中点，计算它的高和斜高．
解析：∵正方形ABCD的面积为16，
∴边长为4，OB＝2.
又侧棱长为2，
∴VO＝＝6.
又OE＝2，∴斜高VE＝＝2.
故它的高为6，斜高为2.
