第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度．如右图，沿着这条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝，坡度k＞0表示这段道路是上坡，k值越大上坡越陡，如果k太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；k＝0表示是平路；k＜0表示下坡，|k|值越大说明下坡越陡，|k|太大同样也容易出事故．因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么，如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？
1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴所在的直线按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.故α的取值范围是[0，180°)．
2．我们将一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值tan α，称为这条直线的斜率，通常用k表示．即k＝tan α.由定义知，倾斜角为90°的直线没有斜率．
3．求直线斜率的两种常用方法是：(1)定义k＝tan α(α≠90°)；(2)斜率公式k＝(x1≠x2)．
4．平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等．因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．
5．在平面直角坐标系中，已知直线上的一个定点不能确定一条直线的位置．同样，已知直线的倾斜角α，也不能确定一条直线．但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点和它的倾斜角，二者缺一不可．
6．倾斜角不等于90°的直线都有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
7．任何一条直线都有唯一的倾斜角，但是任何一条直线并不是都存在斜率．
8．若直线l的方程为y＝x·tan α＋2，则直线的斜率是tan_α，但α不一定是直线l的倾斜角．,
一、直线的斜率公式
经过两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的直线的斜率公式：k＝，其适用范围是x1≠x2.
①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示，很多时候比利用几何法由倾斜角求斜率更方便；
②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)；
③如果y2＝y1(x1≠x2)，则直线与x轴平行或重合，k＝0；如果x1＝x2，y1≠y2，则直线与x轴垂直，倾斜角α＝90°，斜率k不存在．
二、直线的倾斜角和斜率的概念
(1)直线的倾斜角的定义分为两个部分：一是与x轴相交的直线，其倾斜角是用旋转角来定义的；二是与x轴平行和重合的直线，其倾斜角是规定的．
关于与x轴相交的直线的倾斜角的理解，要抓住3个要素：
①将x轴绕着交点旋转到和直线重合；
②按逆时针方向旋转；
③α为最小正角．
(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角α，其范围是0°≤α＜180°，倾斜角是一个几何概念，它直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．
(3)直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．倾斜角不是90°的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴，斜率k＝tan α(α≠90°)表示直线相对于x轴的倾斜程度．
特别当α∈(0°，90°)时，k＞0；当α∈(90°，180°)时，k＜0.
知识点一 直线的斜率
1．经过点M(1，－2)、N(－2，1)的直线的斜率是________，倾斜角是________．
解析：由斜率公式得k＝＝－1.
答案：－1 135°
2．过点M(－2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于2，则m的值为________．
解析：由斜率公式得＝2，解得m＝0.
答案：0
3．设A(t，－t＋3)、B(2，t－1)、C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数 t 的值为________．
解析：由题意得：kBC＝，∴kAC≠0.故kAC＝＝－1.
于是：＝－，即t＝4.
答案：4
知识点二 直线的倾斜角
4．若直线x＝1的倾斜角为α，则α为________．
解析：直线x＝1与y轴平行，故α＝90°.
答案：90°
5．直线l经过原点O和点P(－1，－1)，则它的倾斜角是________．
解析：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，则在Rt△POA中，∠POA＝45°，即倾斜角是45°.
答案：45°
6．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为________．
解析：若直线l的倾斜角为锐角，则为90°－α；若直线l的倾斜角为钝角，则为90°＋α.
答案：90°－α或90°＋α
知识点三 直线的倾斜角与斜率的关系
7．若直线的斜率为－，则直线的倾斜角是________．
解析：由k＝－，则tan α＝－，得α＝120°.
答案：120°
8．已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如图所示，则k1、k2、k3的大小关系为________．
解析：由图可知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1＜0.直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2倾斜角较大，∴k2＞k3＞0.
答案：k1＜k3＜k2
9．已知P(3，－1)、M(6，2)、N(－，)，直线l过点P，若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．
解析：考虑临界状态：令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，由已知得tan α1＝1，tan α2＝－，故直线PM的倾斜角为45°.直线PN的倾斜角为150°，依据倾斜角定义并结合图形可知符合条件的直线l的倾斜角的取值范围为[45°，150°]．
综合点一 直线的斜率与倾斜角的关系应用
10．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋5的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为(C)
A．1 B.
C. D．－
解析：直线y＝x＋5的斜率为，则其倾斜角为30°，故直线l的倾斜角为60°，∴kl＝.
11．若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．
解析：直线PQ的倾斜角为钝角，则意味着直线的斜率小于0，由kPQ＝＝＜0，解得：－2＜a＜1，故a的取值范围是(－2，1)．
综合点二 斜率与共线
12．若三点A(2，2)、B(a，0)、C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
解析：∵A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)三点共线，
∴kAB＝kAC.
∴＝.∴a－2＝.∴a＝.
∴＋＝＋＝＝＝.
答案：
13．已知A(1，1)、B(3，5)、C(a，7)、D(－1，b)四点共线，求a，b的值．
解析：∵A、B、C、D四点共线，
∴直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB＝＝2，
kAC＝，kAD＝.
∴2＝＝，解得a＝4，b＝－3.
综合点三 数形结合解题
14．已知两点A(－3，4)、B(3，2)，过点P(2，－1)且不垂直于x轴的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解析：如右图所示，由题可知：
kPA＝＝－1，
kPB＝＝3.
如图所示，当点P在线段AB上移动时，寻找分界线，即倾斜角为90°的分界线，并明确，当倾斜角从小于90°方向趋向于90°时，斜率逐步增大且趋向于正无穷；当倾斜角从大于90°的方向趋向于90°时，斜率逐步减小，且趋向于负无穷．
从而可知，所求的斜率的范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
课件16张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率
栏目链接课 标 点 击 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2．掌握直线的倾斜角及斜率的对应关系，会求两点的直线的斜率．
栏目链接典 例 剖 析 栏目链接求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． 栏目链接 栏目链接规律总结：在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点连线必与x轴垂直，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率，事实上此时，若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在．其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标． 栏目链接?变式训练
1．已知直线l1过点A(3，6)、B(－1，2)，直线l2过点C(1，－1)、D(0，3)，则kl1＝________，kl2＝________．
答案：1 －4 栏目链接求直线的倾斜角设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为________．
分析：解答此题应紧扣直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°.解析：倾斜角的范围是[0°，180°)，因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α＋45°－180°即α－135°(如上图)．∴应填：当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°.
答案：α＋45°(0°≤α＜135°)或α－135°(135°≤α＜180°) 栏目链接规律总结：注意直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α＜180°，其中直线与x轴平行或重合时α＝0°. 栏目链接?变式训练
2．在下图中，α能表示直线l的倾斜角的是________．
解析：由直线倾斜角的概念可知，①③中的α为直线l的倾斜角．故填①③.
答案：①③ 栏目链接直线倾斜角与斜率的关系 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)本例中，利用形象直观的图形挖掘出直线l1与l2的倾斜角之间的关系是解题的关键．
(2)公式tan(180°－α)＝－tan α是一个重要公式，同学们将会在必修4中学到，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．由这个公式可知，若α为直线l的倾斜角，k为直线l的斜率，则有：0°＜α＜90°?k＞0；90°＜α＜180°?k＜0；α＝0°?k＝0；α＝90°?k不存在．2．1.2 直线的方程
飞逝的流星形成一条美丽的弧线，这条弧线可近似看做是什么图形呢？若在平面直角坐标系中，能否确定出它的位置呢？如何确定呢？平面几何中两点确定唯一的一条直线，在平面直角坐标系内若确定一条直线，应知道哪些条件？你有几种确定方法？
1．一般地，如果一条直线l上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个实数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．
2．如果直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k.设点P(x，y)是直线l上的任意一点，则y－y0＝k(x－x0)(*)，我们称(*)式叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
3．直线的点斜式方程只适用于斜率存在的直线，不能表示垂直于x轴的直线．当直线的倾斜角为0°时，由y－y0＝0得y＝y0；当直线的倾斜角为90°时，此时直线的斜率不存在，直线与y轴平行或重合，其方程不能用点斜式表示．因为直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0或x＝x0．
4．经过点P(x0，y0)的直线有无数条，它们可分为两类：(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直线，方程为x＝x0．
5．如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则该直线的点斜式方程为y－b＝k(x－0)，将该方程化简得y＝kx＋b，即为直线l的斜截式方程．
6．我们把直线l：y＝kx＋b与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．
7．若一条直线l的方程能写成点斜式或斜截式，则直线l必满足条件：直线l不与x轴垂直即直线l的斜率存在．
8．已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中(x1≠x2)，由点斜式可得直线的方程为y－y1＝(x－x1)，当y1≠y2时，方程可以写成＝(x1≠x2，y1≠y2)，我们称其为直线的两点式方程，简称两点式．
9．若直线l与x轴的交点A(a，0)，与y轴的交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，称＋＝1为直线的截距式方程，其中l在x轴、y轴上的截距分别为a，b．
10．如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)：
(1)若x1＝x2，则直线l与x轴垂直，此时直线l的方程为x＝x1；
(2)若y1＝y2，则直线l与y轴垂直，此时直线l的方程为y＝y1；
(3)若x1≠x2，y1≠y2，则直线l方程为＝．
11．(1)当直线垂直于x轴或垂直于y轴时，直线方程不能用两点式．
(2)直线的截距式方程＋＝1中，a≠0，b≠0，因此直线l的截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示平行于坐标轴的直线．
12．关于x和y的一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示一条直线．我们把方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线；若A，B全不为0，它表示与两坐标轴都相交的直线．
13．(1)一般式化斜截式的步骤：①移项By＝－Ax－C；②当B≠0时，得y＝－x－．
(2)一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边Ax＋By＝－C；②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1，即＋＝1.
14．(1)直线方程的一般式可以表示任何一条直线．
(2)点斜式、斜截式、两点式、截距式都可化为一般式，但是直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能完全表示任一条直线．
(3)一般式不一定都能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式．,
一、直线的点斜式方程
若直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．
同学们在学习中要注意以下三点：①点斜式方程y－y0＝k(x－x0)是由k＝变形而得到的，但二者是有区别的，其区别是前者包括点(x0，y0)，而后者不包括点(x0，y0)，即前者的轨迹上比后者的轨迹上多了一个点；②该直线方程不能够表示经过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线x＝x0，因此，使用点斜式方程求直线方程时必须以直线的斜率存在为前提，这一点同学们一定要谨记；③直线方程的斜截式y＝kx＋b表示斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)的直线，该方程是由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)变形得到的，是点斜式方程的一种特殊情形，它与一次函数有必然的联系．斜截式方程y＝kx＋b的几何意义是：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．
二、直线的两点式方程
已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中(x1≠x2，y1≠y2)，则两点式方程为＝(x1≠x2，y1≠y2)．
直线的两点式方程只适用于求两个点的横坐标和纵坐标均不相等的直线方程．当x1＝x2时，直线与x轴垂直，直线方程为：x＝x1；当y1＝y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y＝y1.但若把两点式化为整式形式(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，则可以利用它求平面内过任意两点的直线的方程．直线的截距式方程为＋＝1是两点式方程的一种特殊情形(其中a、b的几何意义是直线在x、y轴上的截距)，只适用于过两点P1(a，0)，P2(0，b)，(ab≠0)，特别提示在两坐标轴上截距相等的直线方程，包括不过原点的直线＋＝1，即x＋y＝a(a≠0)和过原点的直线y＝kx.
三、直线方程的一般式
直线方程的一般式为：Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0)．
直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种“特殊式”的局限性．由于直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为0)是关于x、y的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不全为零)是一一对应的．
由于直线方程的一般式可以表示任何一条直线，故点斜式、斜截式、两点式、截距式都可化为一般式．但是由于直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示任一条直线，故一般式不一定能化为点斜式、斜截式、两点式、截距式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式各有特点，分别适用于不同条件下的直线．
知识点一 直线方程的点斜式和斜截式
1．方程y＝k(x－2)表示经过点________且________的一切直线．
解析：直线的点斜式方程表示过定点且斜率存在的一切直线．
答案：(2，0) 不垂直于x轴
2．设直线y＝x＋b与x轴、y轴分别交于点A，B，S△AOB＝1，则b＝________．
解析：∵A(0，b)，B(－2b，0)，∴S△AOB＝·|b|·
|－2b|＝1?b＝±1.
答案：±1
知识点二 直线方程的两点式和截距式
3．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是________．
解析：直线方程化为3x－2y＝4，∴x－＝1.
∴＋＝1.
答案：＋＝1
4．已知三角形的顶点是A(8，5)、B(4，－2)、C(－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．
解析：设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，如下图所示：
根据中点坐标公式得D、E、F(1，4)．
由两点式得DE的直线方程为＝，
整理得2x－14y＋9＝0，这就是直线DE的方程．
由两点式得EF的直线方程为＝，
整理得7x－4y＋9＝0，这就是直线EF的方程．
由两点式得DF的直线方程为＝，
整理得x＋2y－9＝0，这就是直线DF的方程．
知识点三 直线方程的一般式
5．直线Ax＋By＋C＝0过原点，则A、B、C应满足的条件是________．
解析：直线Ax＋By＋C＝0过原点有：C＝0，又A、B不同时为0，所以A2＋B2≠0.
答案：C＝0且A2＋B2≠0
6．直线kx－y－3k－1＝0经过点________．
解析：化为点斜式为y＋1＝k(x－3)．
答案：(3，－1)
7．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．
(1)在x轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.
解析：(1)令y＝0，∴＝－3.
∴2m－6＝－3m2＋6m＋9，即3m2－4m－15＝0.
∴m＝－，或m＝3.当m＝3时，m2－2m－3＝0.
此时方程为y＝0不符合题设条件，从而m＝－.
(2)由＝1，∴m2＋3m＋2＝0.
∴m＝－2，或m＝－1(舍去)．故m＝－2.
综合点一 直线方程几种形式的互化
8．过点A(3，－1)、B(5，4)的直线方程的两点式为__________________________________________________________，
一般式为________，截距式为________，斜截式为________．
解析：由直线方程的五种形式互化即可．
答案：＝ 5x－2y－17＝0
＋＝1 y＝x－
综合点二 三角形中的直线方程问题
9．已知△ABC的一个顶点为A(3，－1)，AB被y轴垂直平分，AC被直线y＝x垂直平分，则直线BC的方程是________．
解析：A(3，－1)关于y轴的对称点为B(－3，－1)，A(3，－1)关于直线y＝x的对称点为C(－1，3)，
∴BC的方程为：＝，即2x－y＋5＝0.
答案：2x－y＋5＝0
10．过点P(1，1)作直线l与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l有________条．
解析：设l为y＝k(x－1)＋1即为y＝kx－k＋1，则·＝2，解得k＝3±2或k＝－1.
答案：3
综合点三 直线方程的综合应用
11．过点(a，0)、(0，b)、(1，3)，且a，b均为正整数的直线方程为________．
解析：设所求直线方程为：＋＝1，则＋＝
1(a，b∈N*)，
所以a＝∈N*.故或所求方程为：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
12．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如右下图所示，试求：
(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李．
解析：(1)由图知，点A(60，6)、B(80，10)．
由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0.
(2)依题意，令y＝0，得x＝30.
即旅客最多可免费携带30 kg行李．
课件34张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.2 直线的方程 栏目链接课 标 点 击 1．理解直线方程五种形式的特征．
2．掌握直线方程的五种形式及其应用． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接直线的点斜式方程根据条件写出下列直线的方程：
(1)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(4，2)，倾斜角为90°；
(3)经过坐标原点，倾斜角为60°.
分析：根据倾斜角求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线的方程． 栏目链接 栏目链接
规律总结：利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标；③代入公式． 栏目链接?变式训练
1．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程．
分析：求出直线l的倾斜角及相应的斜率，再利用点斜式方程求解． 栏目链接直线两点式方程的应用已知三角形的三个顶点A(－2，2)，B(3，2)，C(3，0)，求这个三角形的三边所在的直线方程．
分析：已知两点坐标，故可根据两点式直接求得方程，要注意斜率为0和斜率不存在的情况． 栏目链接整理可得2x＋5y－6＝0，这就是所求直线AC的方程．
直线AB经过A(－2，2)，B(3，2)，由于其纵坐标相等，可知其方程为y＝2.
直线BC经过B(3，2)，C(3，0)，由于其横坐标相等，可知其方程为x＝3. 栏目链接规律总结：已知直线上两点坐标，应检验两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，本题也可用点斜式方程或斜截式方程求解． 栏目链接?变式训练
2．三角形的顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求AB边上的中线所在直线的方程．
分析：先求AB边中点的坐标，再利用两点式求解． 栏目链接直线截距式方程的应用已知直线经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
分析：直线在两坐标轴的截距相等分截距为0和不为0两种情况． 栏目链接 栏目链接规律总结：对于该题，容易产生如下的错误解法：
错解一：由于直线l的截距相等，故直线l的斜率为±1.
若k＝1，则直线方程为：y＋2＝x－3，即为x－y－5＝0；
若k＝－1，则直线方程为：y＋2＝－(x－3)，即为x＋y－1＝0. 栏目链接特点提醒：在上述两种错解中，错解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0，当k＝1时，直线x－y－5＝0在两轴上的截距分别为5和－5，它们是不相等的．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形；错解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解． 栏目链接?变式训练
3．直线l过点P(4，3)且在两坐标轴的截距互为相反数，求l的方程．
解析：设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，－a.
(1)若a＝0，则l过原点，此时l的方程为3x－4y＝0；
(2)若a≠0，则l的方程为x－y＝a，因为l过点P(4，3)，所以a＝1，故方程为x－y＝1.即x－y－1＝0.
综合(1)、(2)可知l的方程为：3x－4y＝0或x－y－1＝0. 栏目链接求直线的一般式方程 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程的适用范围，即要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，将最后的方程形式转化为一般式． 栏目链接 栏目链接 栏目链接直线方程各种形式的灵活运用已知定直线l：y＝4x和定点P(6，4)，点Q为第一象限内的点且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当△OMQ的面积最小时点Q的坐标．
分析：因为点在直线上，所以设点的坐标，把面积表示成关于某未知量的函数关系式即可转化为求函数的最小值问题． 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
分析：注意截距概念的运用和直线的图象特征． 栏目链接 栏目链接规律总结：由于截距可以为0，原点不属于任何象限，所以本例求解时，一定要进行讨论，否则将出现漏解的错误．注意第(2)问中对直线过原点的情况也要讨论． 栏目链接?变式训练
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2＋2m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，求m的值．
解析：∵直线在x轴的截距为1，
∴直线过点(1，0)．
∴2m2＋m－3＝4m－1.∴m＝2或－. 栏目链接2．1.3 两条直线的平行与垂直
如右图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC.或因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？
1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在，则它们的斜率相等．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.
这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．特别地，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90°，所以它们互相平行．
2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1∥l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都不存在或k1＝k2且b1≠b2.
3．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1，反之也成立，即：l1⊥l2?k1k2＝－1.
4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0或k1k2＝－1．,
一、两条直线平行与垂直的判定
设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，①两条直线平行的条件为：l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；②两条直线垂直的条件为：l1⊥l2?k1k2＝－1；③两条直线l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2.
以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．
若两条直线的方程是一般式l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则常有以下判定方法：
①l1与l2平行?A1B2－A2B1＝0且(B1C2－B2C1)2＋(A2C1－A1C2)2≠0或＝≠(A2B2C2≠0)；
②l1与l2垂直?A1A2＋B1B2＝0；
③l1与l2重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)．
知识点一 两条直线平行
1．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．
解析：kAB＝，∵过AB的直线与2x＋y－1＝0平行，∴＝－2，解得m＝－8.
答案：－8
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋5＝0平行，则k＝________．
解析：∵l1∥l2，∴－2(k－3)－2(4－k)(k－3)＝0，解得k＝3或5，经检验k＝3或5时，l1∥l2.
答案：3或5
3．已知点A(3，1)、B(0，－1)、C(1，3)，则点D满足什么条件时，可以使得AB∥CD.
解析：设D(a，b)，则kAB＝＝，kCD＝.
∵AB∥CD，∴＝.∴2a－3b＋7＝0.
∴当点D在直线2x－3y＋7＝0上时，AB∥CD.
知识点二 两条直线垂直
4．过点A(－1，0)和B(1，－1)的直线与过M(0，k)和N(k≠0)两点的直线的位置关系是________．
解析：kAB＝＝－，kMN＝＝2，
∴kAB·kMN＝－×2＝－1，即AB⊥MN.
答案：垂直
5．已知点A(2，2)、B(1，－2)，若点P在坐标轴上，且∠APB为直角，则这样的点P有________个．
解析：若点P在y轴上，则点P只有一个；若点P在x轴上，则点P有两个．故满足条件的点p共有3个．
答案：3
6．已知直线l1经过点A(－2，0)和点B(1，3a)，直线l2经过点M(0，－1)和点N(a，－2a)，若l1⊥l2，试确定实数a的值．
解析：(1)当直线l1、l2的斜率都存在，即a≠0时，直线l1、l2的斜率分别是k1＝a，k2＝.
∵l1⊥l2，∴a·＝－1.
∴a＝1.
(2)当a＝0时，k1＝0，k2不存在，此时l1⊥l2.
综合(1)(2)知，若l1⊥l2，则实数a的值为1或0.
知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用
7．已知点A(－4，2)、B(6，－4)、C(12，6)、D(2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．
①AB∥CD; ②AB⊥AD; ③AB⊥BD; ④AC⊥BD.
解析：由题意得kAB＝－，kAD＝，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAB·kAD＝－1，kAC·kBD＝－1.
∴AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD，①②④正确．
又kAB·kBD≠－1，∴③错误．
答案：①②④
8．若已知直线l1上的点满足ax＋2y＋6＝0，直线l2上的点满足x＋(a－1)y＋a2－1＝0(a≠0)，当a为何值时：(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
解析：k1＝－，k2＝－.
(1)l1∥l2时，k1＝k2，即－＝－，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，l1的方程为2x＋2y＋6＝0，即x＋y＋3＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，则l1与l2重合．
∴a＝－1.
(2)l1⊥l2时，由k1k2＝－1，得＝－1，解得a＝.
综上可知，a＝－1时，l1∥l2；a＝时，l1⊥l2.
综合点一 平行与垂直的简单应用
9．在直角坐标平面内有两个点A(4，2)、B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝90°，则点C的坐标是________．
解析：设C(x0，0)，由AC⊥BC，得·＝－1，∴x0＝0或x0＝5.
答案：(0，0)或(5，0)
10．若点A(1，2)在直线l上的射影为B(－1，4)，则直线l的方程是________．
解析：∵AB⊥l，kAB＝＝－1，∴kl＝1.又l过点B，∴l：y－4＝x＋1，即直线l的方程为x－y＋5＝0.
综合点二 平行与垂直的综合应用
11．已知两点A(2，0)、B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．
解析：由题意知，AB⊥BC，
∴kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，解得y＝.
答案：
12．过点A与B(7，0)的直线l1与过点(2，1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k为________．
解析：若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l1⊥l2，而kl1＝＝－，kl2＝＝k.而kl1·kl2＝－1，得k＝3.
答案：3
综合点三 平行直线系或垂直直线系问题
13．已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l2的方程．
解析：∵l1∥l2，∴设l2的方程为x＋y－m＝0.
设l1与x轴，y轴分别交于点A、D，l2与x轴，y轴分别交于点B、C，易得：A(1，0)、D(0，1)、B(m，0)，C(0，m)．
又l2在l1的上方，
∴m＞0.S梯形＝SRt△OBC－SRt△OAD，
∴4＝m·m－×1×1.
∴m2＝9，m＝3.
故l2的方程是x＋y－3＝0.
课件28张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.3 两条直线的平行与垂直 栏目链接课 标 点 击 1．理解并掌握两条直线平行与垂直的判定方法．
2．会利用斜率判断两条直线平行与垂直． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接两直线平行 栏目链接分析：根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况． 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．课本中的条件只有在斜率都存在的情况下才可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．
(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件：同位角相等，则两直线平行．
(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合[如第(4)题]．?变式训练
1．判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)、B(2，1)，l2经过点M(3，4)、N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)、B(2，2)；
(3)l1经过点A(0，1)、B(1，0)，l2经过点M(－1，3)、N(2，0)；
(4)l1经过点A(－3，2)、B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)、N(5，5)． 栏目链接 栏目链接两直线垂直已知直线l1经过点A(3，a)、B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)、D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
分析：两直线斜率都存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.据题目所给条件表示出k1，k2，进而求出a的值． 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：由C，D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在，由A，B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在，因此应注意a的取值范围的讨论．
(1)由l1∥l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在．当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．
(2)由l1⊥l2比较k2，k1时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0. 栏目链接?变式训练
2．判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－1，－2)、B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)、N(2，1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)、B(20，3)；
(3)l1经过点A(3，4)、B(3，10)，l2经过点M(－10，40)、N(10，40)；
(4)l1，l2的斜率是方程x2－2014x－1＝0的两根．
分析：求出斜率，利用l1⊥l2?k1k2＝－1进行判断，注意数形结合． 栏目链接 栏目链接平行与垂直的综合运用分析：证明四边形为矩形有两种方法，一是首先证明四边形是平行四边形，再证明有一对邻边互相垂直；二是直接证明四组邻边都互相垂直． 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)很多时候我们都可以结合平行和垂直的条件确定多边形的形状，也可以由多边形的形状得到斜率之间的关系，最终求得多边形各顶点坐标．
(2)利用斜率判断三角形及四边形形状，首先要由各顶点坐标求出各边所在直线的斜率，再由斜率判断边与边的关系进而确定四边形形状． 栏目链接已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，使得：
(1)l′与l平行，且过点(－1，3)；
(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.
分析：利用一般式下两直线平行与垂直的条件，求解出未知直线的斜率，然后根据所给条件求出直线的方程． 栏目链接方法二 因为l′∥l，所以设直线l′方程为3x＋4y＋m＝0.又因为点(－1，3)在直线l′上，所以代入3x＋4y＋m＝0，可得m＝－9.所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A，B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax＋By＋m＝0是与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程，参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax＋By＋C＝0平行的平行线系．当m＝C时，Ax＋By＋m＝0与Ax＋By＋C＝0重合．
(2)一般地，经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 栏目链接(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0(A，B不同时为零)．
(4)求解有关直线与坐标轴围成的三角形面积问题，我们可以设直线的截距式方程，直接利用截距写出三角形的面积，也可以利用设直线的其他形式的方程，求解出与坐标轴的交点坐标，然后写出三角形的面积．同学们应特别注意无论是截距还是与坐标轴的交点坐标都有正负，从而求面积的应加上绝对值． 栏目链接?变式训练
3．已知四边形ABCD的顶点为A(m，n)、B(6，1)、C(3，3)、D(2，5)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形． 栏目链接2．1.4 两条直线的交点
如下图，在平面方格纸上有4个村庄A、B、C、D.现在要在相对的村庄所在直线的交线上建造一水厂M向四个村庄供水，则水厂应当建在什么地方？
1．已知直线l：Ax＋By＋C＝0，点A(a，b)，若点A在直线l上，则a、b的关系为Aa＋Bb＋C＝0．
2．在同一个平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解也有三种情况：有唯一解、无解、有无穷多解．设两条直线的方程l1：Ax1＋By1＋C＝0，l2：Ax2＋By2＋C＝0，则这两条直线的方程所组成的方程组为 ①
若方程组①无解，则两直线l1，l2平行，反之也成立；若方程组①有无穷多解，则直线l1，l2重合，反之也成立；若方程组①有唯一解，则两直线相交，该解组成的有序实数对就是两条直线的交点坐标．
3．用代数法求两条直线的交点坐标的基本思路就是：首先写出由两条直线的方程所组成的方程组，然后解方程组求出方程组的解，最后写出两条直线的交点坐标．
一、两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线有交点(即l1与l2相交)?A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)，由方程所组成的方程组的解组成的有序实数对就是两条直线的交点坐标．
该判断方法充分体现了直线交点的个数与相应二元一次方程组解的个数之间的一一对应关系，求两直线交点的一般步骤是：①写出由两条直线的方程所组成的联立方程组；②解方程组求出方程组的解；③写出两条直线的交点坐标．
两条直线的交点即“形”的关系，可化归为方程组的解，即以“数”解“形”，这就是我们常说的数形结合思想．
知识点一 直线的交点
1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是________．
解析：联立两直线方程解得交点坐标为(2，－1)．
答案：(2，－1)
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为________．
解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－.
答案：－
3．已知直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l倾斜角的取值范围．
解析：由?
于是有
∴k>.
故直线l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．
知识点二 直线公共点的判定与求解
4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是________．
解析：将直线方程化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，
当即时等式成立，即直线过定点(－2，3)．
答案：(－2，3)
5．若直线x＋my＋1＝0和直线(m－2)x＋3y＋m＝0相交，则m的取值范围是________．
解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行，
∴m(m－2)－1×3≠0.∴m2－2m－3≠0.
∴m≠－1且m≠3.
答案：(－∞，－1)∪(－1，3)∪(3，＋∞)
6．已知直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，求a的值．
解析：由3a－a2(a－2)＝0得：a(a＋1)(a－3)＝0.∴a＝0或a＝－1或a＝3.其中当a＝3时，两直线重合；当a＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．
故a＝0或－1.
知识点三 利用交点求字母参数的范围
7．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
解析：两直线联立，求出交点坐标为(，)，又交点在第一象限，得＞0且＞0，解得－＜k＜.
答案：
8．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．
解析：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．
由
解得将x＝1，y＝－1代入l1的方程中，得m＝2.
即m＝2时，三条直线共点．
由－6－3m＝0，即m＝－2时，l1∥l2；
由3－6m＝0，即m＝时，l1∥l3.
∴当m＝±2或m＝时，l1、l2、l3不能围成三角形．
综合点一 求过直线交点的直线方程
9．求过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且过点(4，0)的直线方程为________．
解析：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0(λ∈R)，则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－.
∴所求直线方程为2x－y＋4－(x－y＋5)＝0，
即2x＋y－8＝0.
答案：2x＋y－8＝0
10．求经过两直线7x＋7y－24＝0和x－y＝0的交点，并且与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程．
解析：方法一 由方程组解得两直线的交点为A.
设与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程为7x－14y＋C＝0，
将点A的坐标代入，求得C＝12，故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.
方法二 设过已知两直线交点的直线系方程为
7x＋7y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(7－λ)y－24＝0.
又所求直线与直线7x－14y－3＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝－21.
故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.
综合点二 对称的应用
11．直线x－2y＋1＝0关于直线y＝x对称的直线方程是________．
解析：设M(x，y)为所求直线上的任意一点，则M(x，y)关于直线y＝x的对称点M′(y，x)在已知直线x－2y＋1＝0上，故y－2x＋1＝0.即：2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
12．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解析：(1)如下图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.∴a＋3b－12＝0.①
又由于BB′的中点坐标为，且在直线l上，∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0.②
解①②得a＝3，b＝3.
∴B′(3，3)．
于是直线AB′的方程为：＝，
即2x＋y－9＝0.
∵|PA－PB|＝|PA－PB′|≤AB′，
∴当且仅当A，B′，P三点共线时|PA－PB|最大．
由l与AB′的方程组解得l与AB′的交点坐标为(2，5)，所以点P坐标为(2，5)．
(2)如右图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为.
∴AC′所在直线的方程为：
19x＋17y－93＝0，
∵PA＋PC＝PA＋PC′≥AC′，
∴当且仅当P，A，C′三点共线时，PA＋PC最小．
∵AC′和l交点坐标为，
故点P坐标为.
课件17张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点 栏目链接课 标 点 击 1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关系．
2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接两条直线的交点问题求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方程，也可利用直线系方程表示出所求的方程，再结合两直线平行的条件求解． 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：两条直线的交点坐标就是直线方程组的解．本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；而方法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求出待定系数即可．特别提示：这种设法的直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0.如果根据已知条件判断所求直线可能包括直线：A2x＋B2y＋C2＝0，可改设为：A2x＋B2y＋C2＋ λ(A1x＋B1y＋C1)＝0即可．?变式训练
1．用两种方法求过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程． 栏目链接 栏目链接对称问题△ABC的顶点A的坐标为(1，4)，∠B、∠C平分线的方程分别为x－2y＝0和x＋y－1＝0，求BC所在直线的方程．
分析：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A关于∠B、∠C平分线的对称点都在BC所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC所在直线的方程． 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它是解答其他对称问题的基础． 栏目链接?变式训练
2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
分析：设光线反射点为P，点A关于x轴的对称点为A′，根据光学上入射角等于反射角的原理可知点A′、P、B三点共线，因此，可用两点式求直线方程． 栏目链接2．1.5 平面上两点间的距离
在一条直线型的河流l的同侧有两个村庄A、B.现在要在河流旁边共建造一水厂C向两个村庄供水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当建在什么地方？我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短，那么，应当铺设的管道最短是多少？
1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P1P2＝．
特别，当直线P1P2垂直于y轴时，P1P2＝|x2－x1|；当直线P1P2垂直于x轴时，P1P2＝|y2－y1|；当P1，P2中有一个是原点时，则有OP＝_或OP＝．
2．利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为：第一步，建立坐标系用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系．,
两点间的距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P1P2＝.特别：当直线P1P2垂直于y轴时，P1P2＝|x2－x1|；当直线P1P2垂直于x轴时，P1P2＝|y2－y1|；当P1，P2中有一个是原点时，则有OP＝或 OP＝.
两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决几何问题的基本思路．
知识点一 两点间距离公式的正用
1．已知点A(1，3)，B(2，6)，则AB等于________．
解析：AB＝＝.
答案：
2．三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(3，7)、B(5，－1)、C(－2，－5)，则AB边中线CD的长是________．
解析：由中点公式求出AB边的中点D的坐标为(4，3)，再由两点间的距离公式求出CD.
答案：10
3．光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一点B(2，15)．
(1)求入射线与反射线的方程；
(2)求这条光线从A到B的长度．
解析：(1)设点A关于直线l的对称点为A1(x0，y0)，由直线AA1与已知直线垂直，且AA1中点也在直线上，则有
解得x0＝3，y0＝－3，即A1(3，－3)．
于是反射光线方程为＝，即18x＋y－51＝0.
同理B1(14，－1)，入射光线方程为6x＋17y－67＝0.
(2)光线从A到B的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝＝5.
知识点二 两点间距离公式的逆用
4．已知点M(a，0)到点A(5，12)的距离为13，则a的值为________．
解析：由两点间的距离公式得＝13，解得a＝0或10.
答案：0或10
5．与两点A(－2，2)、B(2，4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是________．
解析：设点P(a，0)或(0，b)由两点间的距离公式计算．
答案：和(0，3)
综合点一 两点间距离公式的综合应用
6．已知A(5，2a－1)、B(a＋1，a－4)，则AB的最小值是________．
解析：由两点间的距离公式得
AB＝＝＝≥.
答案：
7．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为________．
解析：A(－3，5)关于x轴对称点A′(－3，－5)，故A到B的距离即为A′B＝＝＝5.
答案：5
8．过点P(2，1)作直线l交x，y正半轴于A，B两点，当PA·PB取到最小值时，求直线l的方程．
解析：设直线l的方程为：y－1＝k(x－2)(k≠0)，
令y＝0，解得x＝2－；令x＝0，解得y＝1－2k.∴A，B(0，1－2k)．
∴PA·PB＝＝
≥＝4.
当且仅当k2＝1即k＝±1时，PA·PB取到最小值．又根据题意k＜0，∴k＝－1.
所以直线l的方程为：x＋y－3＝0.
综合点二 两点间距离公式在几何证明题中的应用
9．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)．求证：△ABC为等腰直角三角形．
证明：根据两点间距离公式可得：
AB＝＝2，
BC＝＝2，
CA＝＝2，
∴AB＝CA，且AB2＋CA2＝BC2.
故△ABC为等腰直角三角形．
综合点三 两点间距离公式在实际生活中的应用
10．甲船在某港口东50 km，乙船在同一港口的东14 km，南18 km处，那么甲、乙两船的距离是________．
解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50，0)，乙船坐标为(14，－18)，由两点间距离公式得甲、乙两船的距离为＝18.
答案：18 km
11．已知0求证：＋＋＋≥2，并求等号成立的条件．
证明：设四边形OABC是正方形，O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)，设P(x，y)为正方形内一点，如下图，PO＝，PA＝，PB＝，PC＝，
OB＝，AC＝.
因为PO＋PB≥BO，PA＋PC≥AC，
所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋AC，
即＋＋＋≥2.当且仅当PO＋PB＝BO，且PA＋PC＝AC时，等号成立．此时点P既在OB上，又在AC上，因此，点P是正方形的中心，即x＝y＝.
课件15张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.5 平面上两点间的距离 栏目链接课 标 点 击 1．掌握在平面直角坐标系下的两点间的距离公式．
2．初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接两点间的距离问题已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，0)、B(2，－3)、C(5，6)、D(－4，9)，判断这个四边形的形状．
分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以及边所在直线的平行及垂直关系． 栏目链接 栏目链接规律总结：根据斜率判断对边是否平行、邻边是否垂直，再根据对角线的长度、边的长度来确定是哪种四边形． 栏目链接?变式训练
1．已知点A(1，2)、B(3，4)、C(5，0)．求证：△ABC是等腰三角形．
分析：求出三边之长，比较三边的大小下结论． 栏目链接用解析法解决平面几何问题已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A、B、C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．
分析：取直角边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，再写出各顶点坐标，给出证明．解析：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如右图，则三个顶点的坐标分别为A(a，0)、B(0，0)、C(0，b)． 栏目链接规律总结：在建立平面直角坐标系时，适当的坐标系能使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，故在建坐标系时要有效地利用条件中的垂直、对称等关系． 栏目链接?变式训练
2．A、B两个厂距一条河分别为400 m和100 m，且在河的同侧，A、B两厂之间距离500 m，把小河看做一条直线，今在小河边上建一座抽水站，供A、B两厂用水，要使抽水站到A、B两厂铺设的水管长度之和最短，问抽水站应建在什么地方？
分析：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点B的连线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点即为所求(证明略)． 栏目链接解析：如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)，过点B作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，∴B(400，100)． 栏目链接2．1.6 点到直线的距离
有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB＝AC＝a，BC＝2a，今计划合建一个中心医院，为同时方便三个城镇，准备建在BC的垂直平分线上的点P处，若希望点P到三个城镇距离平方和为最小，点P应位于何处？
1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝，特别地：①点P(x0，y0)到x轴的距离为d＝|y0|；②点P(x0，y0)到y轴的距离为d＝|x0|；③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离为d＝|y0－a|；④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离为d＝|x0－b|．
2．我们定义“夹在两条平行线间的公垂线段的长度称为两条平行线间的距离”．若两条平行线分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则它们之间的距离为d＝．
特别地，若两直线中x，y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l1：x＋y＋1＝0，l2：3x＋3y＋9＝0，须把l2：3x＋3y＋9＝0化为l2：x＋y＋3＝0，然后再用公式求距离．,
一、点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
点到直线的距离公式是解析几何中的又一基本公式，它解决了平面直角坐标系内任意一点到一已知直线的距离问题，此方法也可以用来判断点与直线的位置关系——点在直线外或点在直线上，在学习中应当特别注意以下两点：
(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，然后再利用公式求距离；
(2)灵活应用点P(x0，y0)到几种特殊直线的距离公式，即：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；②点P(x0，y0)到y轴的距离 d＝|x0|；③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.同学们要谨记“若点P(x0，y0)在直线上，点P(x0，y0)到直线的距离为零，距离公式仍然适用”．
二、平行线间的距离
若两条平行线分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则它们之间的距离为d＝.
两条平行线间的距离公式的结构特征是：两平行线方程皆为一般式时，分子是两式中常数项的差的绝对值；分母为两系数平方和的算术平方根，这一结构特征更有助于同学理解和记忆公式．但是同学们在使用公式时谨记：①若两直线的方程不是一般式，要先把直线方程化为一般式，然后再利用公式求距离；②若两直线中x，y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l1：x＋y＋1＝0，l2：3x＋3y＋9＝0，须把l2：3x＋3y＋9＝0化为l2：x＋y＋3＝0，然后再用公式求距离．
知识点一 点到直线的距离公式的正用
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是________．
解析：由点到直线的距离公式得：
d＝＝.
答案：
2．求点P(－1，2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；
(2)3x＝2.
解析：(1)根据点到直线的距离公式得
d＝＝＝2.
(2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以
d＝＝.
知识点二 点到直线的距离公式的逆用
3．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离小于1，则a的取值范围是________．
解析：由点到直线的距离公式得＜1，解方程得－－1＜a＜－1.又a＞0，故0＜a＜－1.
答案：(0，－1)
4．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．
解析：由两条直线方程得交点坐标为P(1，3)，因PO＝＞1，故和原点相距为1的直线有2条．
答案：2
5．已知△ABC中A(3，2)、B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．
解析：由AB＝5，△ABC的面积为10得点C到直线AB的距离为4.设点C坐标为(t，3t＋3)，再由距离公式可求得．
答案：(－1，0)或
知识点三 两条平行直线间的距离公式
6．已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于________．
解析：由两直线平行得m＝4，方程6x＋4y＋1＝0可化为3x＋2y＋＝0.故两直线向m距离d＝＝.
答案：
7．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是________．
解析：设所求直线方程为3x－4y＋c＝0，则＝3，化简得|c－1|＝15，解得c＝16或－14.即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
答案：3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
综合点一 用点到直线的距离公式解决有关问题
8．直线x＋y＋2＝0上的点到原点的距离的最小值为________．
解析：直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度．故dmin＝＝.
答案：
9．△PQR的顶点P(2，－4)、Q(－1，2)、R(3，4)，则△PQR的面积是________．
解析：由已知得PQ＝＝3，
kPQ＝＝－2，
∴lPQ：y＋4＝－2(x－2)，即2x＋y＝0.
∴R到lPQ的距离为d＝＝.
故S△PQR＝PQ·d＝×3×＝15.
答案：15
10．正方形中心为M(－1，0)，一条边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解析：由已知设所求正方形相邻两边方程为3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0，该正方形的中心为(－1，0)，
∵中心(－1，0)到四边距离相等，
∴＝＝.
解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7.
∴所求方程为3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.
综合点二 用平行直线间的距离公式解决有关问题
11．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．
解析：将直线3x＋4y＋12＝0化为6x＋8y＋24＝0，用两平行直线间的距离公式得圆的直径为＝，半径为，故圆的面积为π.
答案：π
12．与两平行直线3x－4y－13＝0和3x－4y＋7＝0距离相等的直线方程为________．
解析：设所求的直线方程为3x－4y＋m＝0，由两平行直线间的距离公式得关于m的等式．
答案：3x－4y－3＝0
综合点三 点到线、平行线间的距离公式的综合运用
13．两条平行线l1，l2分别过点(1，0)与(0，5)，设l1，l2之间的距离为d，则d的取值范围是________．
解析：设A(1，0)、B(0，5)，则|AB|＝＝.显然当l1与l2均和AB垂直时d最大，且dmax＝|AB|＝.
∵l1∥l2，∴d＞0.∴0＜d≤.
答案：(0，]
14．已知△ABC中，A(1，1)、B(m，)、C(4，2)(1＜m＜4)，求m为何值时，△ABC的面积S最大．
解析：∵A(1，1)，C(4，2)，
∴AC＝＝.
又直线AC的方程为x－3y＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝，
∴S＝|AC|·d＝|m－3＋2|
＝.
∵1＜m＜4，
∴1＜＜2?－＜－＜.
∴0≤＜.
∴S＝.
∴当－＝0，即m＝时，S最大．
故当m＝时，△ABC的面积S最大．
课件22张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．1 直线与方程
2．1.6 点到直线的距离 栏目链接课 标 点 击 1．掌握点到直线的距离公式，了解公式的推导过程．
2．掌握两条平行直线的距离公式． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接点到直线的距离问题求过点M(－2，1)，且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程．
分析：先利用点M确定直线(含参数)，再利用点到直线的距离公式求解． 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)待定系数法是本题用到的主要方法，但不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式．
(2)待定系数法设方程时，要考虑到直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在．
(3)综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用．?变式训练
1．(1)已知点A(a，2)到直线3x－4y－2＝0的距离等于4，求a的值；
(2)在x轴上求到直线3x＋4y－5＝0的距离等于5的点的坐标． 栏目链接 栏目链接两条平行线间的距离问题求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．
分析：(1)根据直线平行的性质特点设出所求直线方程，进而利用公式求解；
(2)设出所求直线上任意一点P(x，y)，利用条件和距离公式即可求解． 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：平行直线间的距离问题可用公式直接求解，也可转化为点到直线的距离问题． 栏目链接综合应用问题如图，已知P是等腰△ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，用解析法证明PM＋PN为定值．
分析：建立平面直角坐标系，利用点到直线的距离公式求出PM和PN的长度． 栏目链接证明：过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B(－a，0)，C(a，0)(a＞0)，A(0，b)，P(x1，0)，a，b为定值，x1为参数，－a＜x1＜a，
∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，
AC的方程是bx＋ay－ab＝0. 栏目链接 栏目链接规律总结：解析法(坐标法)即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解决，这种方法是联系平面解析几何的纽带．求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后求出定值． 栏目链接?变式训练
2．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
解析：设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0, 由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5), 即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0，1)， 栏目链接 栏目链接若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程
1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
2．A、B两镇相距10 km，现要修建一游乐场，使其到两地距离的平方和为60，那么游乐场应修在何处？
仅仅根据问题中的几个数据无法表示距离，如果将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就很容易表示出各个距离了．首先以AB两镇所在的直线为x轴，以AB中点为原点建立直角坐标系，则A(－5，0)、B(5，0)，设P(x，y)为游乐场的位置，则有(x＋5)2＋y2＋(x－5)2＋y2＝60，化简得x2＋y2＝5.你能说明一下游乐场应建在哪吗？
1．在平面直角坐标系中，当圆心与半径确定后，圆就唯一确定了．因此，确定圆的最基本要素是圆心和半径．
2．在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心为A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．若点M(x0，y0)在圆上，则点M的坐标就适合方程，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；反之，若点M(x0，y0)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离为r，即点M在圆心为A，半径为r的圆上．
3．圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．
4．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内，则满足条件x20＋y20＜r2；若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则满足条件x20＋y20＞r2；同理，若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内，则满足条件(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则满足条件(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
5．△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心，即△ABC三边垂直平分线的交点；
△ABC内切圆的圆心是△ABC的内心，即△ABC三内角平分线的交点．
6．已知P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，以P1P2为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
7．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得＋＝.
①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
③当D2＋E2－4F＜0时，方程没有实数解，它不表示任何图形．
8．圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
9．求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
一、圆的标准方程
圆的标准方程是由圆心坐标和半径确定的，所以已知圆心坐标和半径就能直接写出圆的方程，反之已知圆的标准方程也可以直接得到圆心坐标和半径．
二、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断方法是将所给的点M与圆心C的距离跟半径r的大小进行比较．
若CM＝r，则点M在圆上；
若CM＞r，则点M在圆外；
若CM＜r，则点M在圆内．
三、求圆的方程的方法
求圆的方程有两种基本方法：
(1)直接法．即求出圆心坐标和半径，直接得到圆的标准方程；
(2)待定系数法．先设出圆的方程，再根据题目条件解出系数得到圆的方程．基本思路为：
①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)；
②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
四、求轨迹方程的基本步骤
①建立适当直角坐标系(题目中已经涉及坐标系的不用建)；
②设所求轨迹上点的坐标为M(x，y)；
③根据题意，列出方程f(x，y)＝0；
④化简方程；
⑤检验是否方程所有的解都满足题意，若有不满足的要删去多余的解，若有遗漏则应补上失去的解．
五、转换法求轨迹方程
①转换法一般是求与已知曲线相关曲线的方程，如求圆上一点与某一定点的中点的轨迹方程．
②转换法是利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的相关动点的关系，把所求动点转换为已知动点．
知识点一 点与圆位置关系的判定
1．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围为________．
解析：由(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴2＋2a2<4.
∴a2<1.
答案：(－1，1)
2．点P与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
解析：将点P坐标代入得＋＝＝＝1，∴点P在圆上．
答案：在圆上
3．(2014·北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)、B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，把问题转化为求圆上动点到坐标原点距离的最大值，数形结合求解．
根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m，要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离，因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
答案：B
知识点二 圆的标准方程
4．圆心在y轴上，半径为5，且经过点(3，－4)的圆的方程为________．
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
5．圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线y＝x－1对称的圆是________．
解析：求出圆心(－1，4)关于直线y＝x－1的对称点为(5，－2)，半径不变．
答案：(x－5)2＋(y＋2)2＝1
6．过点A(3，1)，B(－1，3)且圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程是________．
解析：方法一 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意
解得
所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法二 线段AB的中垂线方程为2x－y＝0.由得圆心的坐标为(2，4)．∴r＝，故所求圆方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝10
知识点三 圆的一般方程
7．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是________．
解析：圆过原点，∴F＝0.又圆心在直线y＝x上，
∴D＝E≠0.
答案：D＝E≠0，F＝0
8．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．
解析：由题意得∴
∴＋－F＝20－F＝16.
∴F＝4.
答案：4
9．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)、B(－2，－2)、C(5，5)，求其外接圆的方程．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因圆过A、B、C三点，故得
解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，
∴△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
综合点一 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件及应用
10．已知圆：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，求实数m的值．
解析：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m2－6m＋4＝0，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.
当m＝1时，原方程为x2＋y2＝0，不表示圆，故舍去．
当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0表示圆，故所求的实数m的值为2.
11．已知点A(－1，1)在圆2x2＋2y2＋kx－2y＋＝0内，求k的取值范围．
解析：将已知方程化为x2＋y2＋x－y＋k＝0，该方程表示圆的条件为D2＋E2－4F>0，
即＋1－4×k>0，化简，得k2－5k＋4>0.
解得k<1或k>4.①
又知点A(－1，1)在圆内，所以有
2(－1)2＋2－k－2＋<0，解得k>.②
由①、②可知，满足条件的k的取值范围为.
综合点二 利用轨迹法求圆的方程
12．已知Rt△ABC中，A(－1，0)、B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．
解析：设点C的坐标为(x，y)．
由勾股定理，知AC2＋BC2＝AB2.
由两点间的距离公式，得
(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝42.
化简，得x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
即直角顶点C的轨迹方程是
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
13．求与定点O(0，0)、A(3，0)的距离的比为的点的轨迹方程．
解析：设M(x，y)是所求轨迹上任意一点，则由题意得：＝，化简整理得：(x＋1)2＋y2＝4，即为所求动点的轨迹方程．
综合点三 与圆有关的对称问题
14．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________．
解析：圆心(－2，1)关于原点的对称点(2，－1)，即为圆C的圆心，半径不变为1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
综合点四 利用对称性探求最值问题
15．如图，已知：点A(0，2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝8，M和P分别是x轴和圆C上的动点，求AM＋MP的最小值．
解析：先作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连接A′和圆心C，
A′C交x轴于点M，交圆C于点P，这时AM＋MP最小(如图)．因为A′(0，－2)，C(6，4)，所以A′C＝＝6，
所以A′P＝A′C－R＝6－2＝4(R为圆的半径)．
所以AM＋MP的最小值是4.
课件27张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程 栏目链接课 标 点 击 1．理解圆的方程的意义．
2．掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征．
3．会根据圆的方程求圆心坐标和半径．
4．会用待定系数法求圆的方程． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接圆的方程设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．
分析：设圆心(a，b)、半径r ，然后利用平面几何知识解决问题． 栏目链接解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|. 栏目链接∴5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1，
当且仅当a＝b时，上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值． 栏目链接规律总结：(1)求圆的方程的一般步骤：
①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)；
②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
(2)本题是解析几何和代数的一个综合题，实质是根据已知条件求最值问题，有机地将代数和几何联系在一起，利用圆的有关性质是解决本题的关键． 栏目链接 栏目链接动点的轨迹问题如右下图所示，已知O为坐标原点，P在圆C：
(x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
栏目链接分析：点P运动引起点M运动，而点P在已知圆上运动，点P的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，建立点M与点P坐标之间的关系，就可以得到点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程，或利用圆的定义求出点M的轨迹方程． 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握．
(2)直接法求点的轨迹方程的步骤： 栏目链接①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M(x，y)；②几何点集：写出满足题设的点M的集合P＝{M|P(M)}；③翻译列式：将几何条件P(M)用坐标x，y表示，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程：通过同解变形化简方程；⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．该方法常用于解答与圆相关的应用性问题． 栏目链接?变式训练
2．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l交圆于A、B两点，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．解析：方法一 设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．
因为A、B在圆上，所以x21＋y21＝4，x22＋y22＝4.两式相减得x21－x22＋y21－y22＝0，
所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 栏目链接 栏目链接 栏目链接与圆有关的最值问题 栏目链接 栏目链接规律总结：研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地：
①形如u＝形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；
②形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 栏目链接已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的点P的坐标．
分析：设出点P的坐标，转化为求函数最值问题． 栏目链接解析：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y 20＋(x0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，
欲求d的最值，只需求ω＝x 20＋y 20的最值，即求圆C上的点到原点的距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求． 栏目链接 栏目链接规律总结：研究圆上的点到定点(或到定直线)的距离的最值问题，一般在点与定点的连线(点与直线的垂线)过圆心时寻求，解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外，还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换，化成关于sin θ(或cos θ)的函数，再利用正、余弦函数的有界性求解．2．2.2 直线与圆的位置关系
为了更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处(如右图所示)把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点，测得数据如下表(设鲸沿海面游动)．然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测．已知AB＝15 km，观测站B的观测半径为5 km.写出a，b近似满足的关系式，并预测：若按此关系式运动，那么鲸经过多长时间可进入观测站B的范围？
观测时刻t/min
跟踪观测点到放归点的距离x/km
鲸位于跟踪观测点正北方的距离y/km
10
1
0.999
20
2
0.333 4
30
3
0.111 1
40
4
0.037 0
1．直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种．
2．(1)若直线与圆相交?圆心到直线的距离d<圆的半径r；
(2)若直线与圆相切?圆心到直线的距离d＝圆的半径r；
(3)若直线与圆相离?圆心到直线的距离d>圆的半径r.
3．由方程组消去y，可得关于x的一元二次方程2x2＋2bx＋b2－2＝0，方程的根的判别式Δ＝16－4b2．
(1)当－20，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆相交；
(2)当b＝±2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆相切；
(3)当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆相离．
4．若P(x0，y0)(y0≠0)是圆x2＋y2＝r2上一点，过P(x0，y0)的直线与圆相切，则切线的斜率为－，切线方程为x0x＋y0y＝r2．
5．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2外一点P(x0，y0)作圆的切线PT(T为切点)，则切线长PT＝．
一、直线与圆的位置关系
①直线与圆相交，有两个公共点；
②直线与圆相切，只有一个公共点；
③直线与圆相离，没有公共点．
二、判定直线与圆的位置关系的方法
有两种：代数法和几何法．
方法一：代数法．
判断直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系，可将联立，可得mx2＋nx＋p＝0.然后利用Δ，当Δ＝0时相切，当Δ＞0时相交，当Δ＜0时相离．
方法二：几何法．
已知直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆心到直线的距离d＝.
相交?d＜r；相切?d＝r；相离?d＞r.
三、圆中的弦长公式
直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有＋d2＝r2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形的三边，数形结合，利用勾股定理求解．
知识点一 直线与圆的位置关系
1．已知直线x＝a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是________．
解析：由已知|a－1|＝2，∴a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.
答案：3
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程是__________________________________________________________．
解析：设圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为＝－，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为，由点斜式得切线方程y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案：x－y＋2＝0
3．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x＋1}，则A∩B的元素个数为(C)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x＋1上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.
知识点二 圆的弦长及切线长
4．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________．
解析：∵AB＝2，R＝2，∴圆心(1，2)到直线ax－y＋3＝0的距离为＝1，即＝1，∴a＝0.
答案：0
5．由直线x－y＋1＝0上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：圆心C(3，0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝2，故直线上的点P到圆心的距离的最小值为2，从而切线长的最小值为.
答案：
6．过点P(3，－4)的直线l被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求该直线方程．
解析：当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y＋4＝k(x－3)，即kx－y－3k－4＝0.
因l被圆所截得的弦长为8，又圆的半径R＝5，故知圆心到直线l的距离等于3.由点到直线的距离公式，得＝3，解得k＝－.
此时，l的方程为y＋4＝－(x－3)，
即7x＋24y＋75＝0.
又当l垂直于x轴时，这时的直线方程为x＝3，满足题目要求，故所求的直线l的方程为x＝3或7x＋24y＋75＝0.
综合点一 直线与圆的位置关系的判定
7．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是________．
解析：圆心(2，3)到直线3x－4y＋6＝0的距离为d＝＝0.∴直线过圆心且与圆相交．
答案：相交且过圆心
8．直线(x＋1)a＋(y＋1)b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．
解析：直线方程为ax＋by＋a＋b＝0过定点(－1，－1)，又(－1，－1)在圆x2＋y2＝2上，故直线和圆相切或相交．
答案：相切或相交
9．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是________．
解析：由题意得：<1，即a2＋b2>1，故点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外．
答案：在圆外
综合点二 求圆的切线和割线
10．从点P(4，5)向圆(x－2)2＋y2＝4引切线，求切线方程．
解析：若切线的斜率不存在，切线方程为x＝4，满足条件；若切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0，又圆心坐标为(2，0)，r＝2，
因为圆心到切线的距离等于半径，即
＝2，k＝.
所以切线方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.
11．圆x2＋y2＋4y－21＝0的割线l被圆截得的弦长为4，若l过点M(－3，－3)，求l的方程．
解析：将圆写成标准式方程，得x2＋(y＋2)2＝25，
所以圆心为(0，－2)，半径 r＝5.
设圆心到直线l的距离为d，则
d＝＝.
设l的方程为y＋3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－3＝0，
所以d＝＝.
解得k＝－，或k＝2.
故所求直线l有两条，其方程分别为
y＋3＝－(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.
综合点三 数形结合解决有关的问题
12．当b取何值时，直线y＝x＋b与曲线y＝；
(1)有一个公共点；
(2)有两个公共点；
(3)没有公共点．
解析：由y＝得，y2＝1－x2(y≥0)，
即x2＋y2＝1(y≥0)．
由此可知，曲线y＝是x2＋y2＝1位于x轴上方的半圆，当直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切时，b＝±，
故知直线与半圆y＝相切时，b＝.
将点(1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝1＋b，解得b＝－1；将点(－1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝－1＋b，解得b＝1.
由下图可知，
(1)当b＝或－1≤b＜1时，直线与曲线只有一个公共点；
(2)当1≤b＜时，直线与曲线有两个公共点；
(3)当b＜－1或b＞时，直线与曲线没有公共点．
13．已知圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2，直线4x＋3y＝11，问当圆半径R取何值时，圆上：
(1)有一点到直线的距离等于1；
(2)有两点到直线的距离等于1；
(3)有三点到直线的距离等于1；
(4)有四点到直线的距离等于1.
解析：圆心C(1，－1)到直线4x＋3y－11＝0的距离d＝＝2.
(1)当R＝1时，圆上仅有一个点到直线的距离等于1；
(2)当1＜R＜3时，圆上有两个点到直线的距离等于1；
(3)当R＝3时，圆上有三个点到直线的距离等于1；
(4)当R＞3时，圆上有四个点到直线的距离等于1.
课件32张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．2 圆与方程
2．2.2 直线与圆的位置关系 栏目链接课 标 点 击 1．了解直线与圆的三种位置关系，理解直线与圆的位置关系的两种判定方法．
2．会用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接直线与圆位置关系的判定已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过点P的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离．并写出过点P的切线方程．
分析：(1)代数法：设出直线的点斜式方程，与圆的方程联立，根据直线与圆的位置关系确定Δ与0的关系，求出k的范围． 栏目链接(2)几何法：设直线的点斜式方程，求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆的位置关系确定d与r的大小，进而求出k的范围． 栏目链接消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8，
即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0，
Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)．
(1)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，解得k＝±1.
∴当k＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0. 栏目链接(2)令Δ＞0，即32(1－k2)＞0，解得－1＜k＜1.
∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交．
(3)令Δ＜0，即32(1－k2)＜0，解得k＞1或k＜－1.
当k＞1或k＜－1时，直线与圆相离．
方法二 设过点P直线的斜率为k(由已知k存在)．则其方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0. 栏目链接?变式训练
1．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程． 栏目链接 栏目链接切线方程求经过点(1，－7)并且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．
分析：显然点(1，－7)在圆外，因此可用点斜式方程求解，同时也可以求切点，利用两点式求切线方程． 栏目链接解析：点(1，－7)代入圆方程12＋(－7)2＝50＞25，过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种．
方法一 设切线的斜率为k，由点斜式有y＋7＝k(x－1)．
即y＝k(x－1)－7.①
将①代入圆方程x2＋y2＝25得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，
整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0，
Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)·(k2＋14k＋24)＝0. 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：求切线一般有三种方法：(1)设切点，用切线公式法；(2)设切线斜率，用判别式法；(3)设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径法．
一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况，即若求出的切线只有1条，那么另一条切线的斜率必不存在． 栏目链接综合应用根据气象台预报：在A市正东方向300 km的B处有一台风中心形成，并以40 km/h速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过多长时间，台风将影响A市？持续时间多长(精确到0.1 h)?
分析：解决实际问题的关键是如何把实际问题数学化，通常通过建系来实现． 栏目链接
解析：以A为圆心，250 km为半径作圆A.当台风中心移动所经过的直线l与圆A相交或相切时，A市将受到台风影响．
建立如图所示的平面直角坐标系，那么点A、B的坐标分别为(0，0)、(300，0)，圆A的方程为x2＋y2＝2502，直线l的方程为y＝－(x－300)，即x＋y－300＝0(y≥0)． 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)在学习中要注意联系实际，重视数学在生产、生活及相关学科中的运用．
(2)解有关实际应用问题时，关键要明确题意，掌握建立数学模型的基本方法． 栏目链接?变式训练
2．设有半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？ 栏目链接解析：如图所示，由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h、v km/h，再设A出发后x0小时，在点P处改变方向，又经y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为(3vx0，0)、(0，vx0＋vy0)．由于A从P到Q行走的时间是y0小时，于是由勾股定理有OP2＋OQ2＝PQ2，有(3vx0)2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2，
化简得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0. 栏目链接 栏目链接 栏目链接有关最值问题已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值． 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接?变式训练
3．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________．
答案：42．2.3 圆与圆的位置关系
“……把你的心、我的心串一串，串一株幸运草，串一个同心圆……”这是风靡一时的小虎队在一首歌中唱到的．那么你知道数学上是怎样理解同心圆的吗？两个同心圆是什么位置关系？
设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆的圆心距为d.
1．(1)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；
(2)当d＝r1＋r2时，两圆外切；
(3)当d＝|r1－r2|时，两圆内切；
(4)当d＞r1＋r2时，两圆外离；
(5)当d＜|r1－r2|时，两圆内含．
2．(1)若⊙O1与⊙O2外离，两圆的公切线有四条；
(2)若⊙O1与⊙O2外切，两圆的公切线有三条；
(3)若⊙O1与⊙O2内切，两圆的公切线有一条；
(4)若⊙O1与⊙O2相交，两圆的公切线有二条．
3．若⊙O1与⊙O2相交，两圆的公共弦的垂直平分线方程就是直线O1O2．
4．已知⊙O1与⊙O2无交点，P、Q分别是⊙O1、⊙O2上的两点，则PQ的最大值为d＋r1＋r2，PQ的最小值为d－(r1＋r2)．
5．已知⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0是相交的两圆，则⊙O1与⊙O2的公共弦的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
一、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系有五种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
(2)判定圆C1和圆C2位置关系的主要方法．
方法一(代数方法)：解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．
方法二(几何方法)：依据圆心距d与半径r1和r2之间的关系判断．
①当d＞r1＋r2时，两圆外离；
②当d＝r1＋r2时，两圆外切；
③当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；
④当d＝|r1－r2|时，两圆内切；
⑤当d＜|r1－r2|时，两圆内含．
二、两圆位置关系的特征
位置关系
几何特征
代数特征
外离
d＞R＋r
无实数解
外切
d＝R＋r
一组实数解
相交
R－r＜d＜R＋r
两组实数解
内切
d＝R－r
一组实数解
内含
d＜R－r
无实数解
知识点一 圆与圆的位置关系
1．(2014·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(C)
A．21 B．19 C．8 D．－11
解析：将圆C2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解．
圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
2．已知0＜r＜2，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝
2的位置关系是________．
解析：∵两圆的圆心距为O1O2＝，又R＝，0＜
r＜2，∴|R－r|＜O1O2＜|R＋r|，故两圆相交．
答案：相交
3．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.
答案：(－∞，－100)
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．
解析：两圆相交其交点所在的直线方程为：
(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即
x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
知识点二 利用圆与圆的关系确定圆的方程
5．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线x－y＋3＝0对称的圆的方程是________．
解析：已知圆方程为(x－1)2＋y2＝2，则该圆圆心关于直线x－y＋3＝0的对称点为(－3，4)，半径也是.
答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝2
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是________．
解析：半径为1的圆内切于半径为6的圆．
答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36
7．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．
解析：求出两圆的交点后用待定系数法；或利用圆系方程：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，又过点(3，1)代入求出λ＝－.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
知识点三 两圆的公切线与公共弦
8．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有________条．
解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．
答案：3
9．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A、B两点，求公共弦AB的长．
解析：由方程消去二次项得6x－6y＋6＝0，即x－y＋1＝0为所求的公共弦AB所在的直线的方程．圆C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－2，2)到直线AB的距离
d＝＝.
又圆C1半径r＝3，故弦长AB＝2＝3.
综合点一 与圆有关的最值问题
10．若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，则mn的最大值是________．
解析：由直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2，1)，∴2m＋2n－4＝0，m＋n＝2.
∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.
答案：1
11．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．
解析：圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1关于x轴的对称圆C′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1.
∴A(－1，1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离AC′＝5.
∴从A发出的光线经x轴反射到圆C上一点的最短距离等于A到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即dmin＝5－1＝4.
答案：4
12．过直线x＝2上一点M向以C为圆心的圆(x＋5)2＋(y－1)2＝1作切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为________．
解析：易知SMACB＝2S△MAC＝MA·AC＝.显然MC的最小值为7，故四边形MACB的面积的最小值为＝4.
答案：4
综合点二 圆的位置关系及其应用
13．求圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距的最小值及相应的k值，并指出此时两圆的位置关系．
解析：两圆的圆心C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，
∴圆心距C1C2＝＝，
当k＝－时，C1C2有最小值.
此时，两圆的方程为C1：＋y2＝1，
C2：x2＋＝1，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，可知两圆相交．
14．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，集合B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}．若A∩B中有且仅有一个元素，求r的值．
解析：∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆C1：x2＋y2＝4与圆C2∶(x－3)2＋(y－4)2＝r2外切或内切．又∵圆心距C1C2＝5，∴r＝3或7.
综合点三 轨迹与证明问题
15．已知两定圆O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆O2：(x＋5)2＋(y＋3)2＝4，动圆P恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P的轨迹方程．
解析：设动圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
将此方程分别与圆O1，圆O2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x＋(2－2b)y＋a2＋b2－r2－1＝0.(10＋2a)x＋(6＋2b)y＋30－a2－b2＋r2＝0.由于圆P平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：
消去r2得：12a＋8b＋35＝0.
用(x，y)替换(a，b)，得点P的轨迹方程为：
12x＋8y＋35＝0.
课件22张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．2 圆与方程
2．2.3 圆与圆的位置关系 栏目链接课 标 点 击 1．了解圆与圆的位置关系．
2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法，会用圆心距与两圆半径之间的关系判断两圆的位置关系． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接两圆位置关系的判断a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；
(2)相交；
(3)无交点．
分析：两圆位置关系的判断，应该先求两圆的圆心距． 栏目链接解析：将两圆方程写成标准方程：
(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5，或a＝2. 栏目链接(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，或d＜1，即2a2＋6a＋5＞25，或2a2＋6a＋5＜1时，两圆无交点，此时a＞2或a＜－5，或－2＜a＜－1. 栏目链接规律总结：判断两圆的位置关系有两种方法：一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交．二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系．
第一种方法在计算上比较繁琐，而且不能区分外离与内含，也不能区分外切与内切，因此一般采用第二种方法．?变式训练
1．圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是________．
解析：圆x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.所以它的圆心O1(1，0)，半径r1＝1；圆x2＋y2＋4y＝0，即x2＋(y＋2)2＝4，所以它的圆心O2(0，－2)，半径r2＝2. 栏目链接求过两圆交点的圆的方程求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．
分析：本题可采用三种方法求解：方法一求出圆心坐标及半径；方法二利用圆的一般方程求解；方法三利用圆系方程，确定未知数λ即可． 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接规律总结：本例主要考查了直线和圆、圆与圆的位置关系．解答这类问题，要牢牢抓住几个阶段的转化：(1)由题设转化为图形的具体位置关系，这常用到平面几何的基础知识；(2)由图形的位置关系转化为数量关系，这需要使用解析几何中的基本原理或基本公式；(3)由数量关系化简整理为所求的方程．在这类问题的思考过程中，要把握由题设探求位置关系，进一步揭示数量关系这样一个思考方向． 栏目链接综合应用题如右图，在圆O上任取一点C为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E、F，求证：EF平分CD.
分析：本题圆O没有给出方程，我们给出方程为x2＋y2＝1，且以AB为x轴，AB的中点为原点，AB方向为x轴的正方向． 栏目链接证明：令圆O的方程为x2＋y2＝1.①
EF与CD相交于点H，令C(x1，y1)，则可得圆C的方程(x－x1)2＋(y－y1)2＝y12，
即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x12＝0.②
①－②得2x1x＋2y1y－1－x12＝0.③ 栏目链接规律总结：解析法解决平面几何问题的关键是分析条件建立适当的模型，转化为解析几何问题利用代数方法求解． 栏目链接?变式训练
2．求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．
(1)过原点；
(2)圆面积最小． 栏目链接 栏目链接 栏目链接2．3 空间直角坐标系
2．3.1 空间直角坐标系及其应用
或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，其生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能被打败”．这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么，怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多远呢？
1．如图，OABCD′A′B′C′是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点；x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．如图，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．有序实数组(x，y，z)叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标，原点O的坐标为(0，0，0)．
3．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A、B两点的中点坐标为．,
一、空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz.点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．
(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
(3)空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出点M在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，其相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
(4)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数．
(5)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．
二、空间直角坐标系中与平面直角坐标中重要结论对照表[设P为(x，y，z)或(x，y)]
空间直角坐标系中
平面直角坐标系中
P在坐标轴上
在x轴上
(x，0，0)
(x，0)
在y轴上
(0，y，0)
(0，y)
在z轴上
(0，0，z)
P的对称点
关于原点
(－x，－y，－z)
(－x，－y)
关于x轴
(x，－y，－z)
(x，－y)
关于y轴
(－x，y，－z)
(－x，y)
关于z轴
(－x，－y，z)
知识点一 空间中点的位置的确定
1．点A(0，－2，3)在空间直角坐标系的位置是在________平面上．
解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．
答案：yOz
2．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．
其中正确叙述的序号是________．
解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．
答案：②③④
3．如右图所示，空间直角坐标系中OABCD′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．
解析：点的横坐标为0，∴点在平面yOz上，竖坐标为2.∴点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.
答案：G点
知识点二 空间中点的坐标的确定
4．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．
解析：连接AC、BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A、C坐标求得中点P，再由B(2，－5，1)求得点D的坐标为(5，13，－3)．
答案：(5，13，－3)
5．点M(－1，2，1)在x轴上的射影为M′，则M′关于原点的对称点是________．
解析：M(－1，2，1)在x轴上的射影M′的坐标为(－1，0，0)，则M′关于原点的对称点为(1，0，0)．
答案：(1，0，0)
6．若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy的距离为1，则点A的坐标为________．
解析：设A(a，0，0)、B(0，0，c)，则AB中点P，
∴＝1.
∴|c|＝2.又a2＋c2＝16.
∴a2＝12，a＝±2.
答案：(±2，0，0)
知识点三 空间中点的对称
7．点(1，1，1)关于z轴的对称点为________．
解析：由对称知点(x，y，z)关于z轴的对称点为
(－x，－y，z)．
答案：(－1，－1，1)
8．点P(3，4，5)关于yOz平面的对称点的坐标为________．
解析：点(a，b，c)关于yOz平面的对称点为(－a，b，c)．
答案：(－3，4，5)
9．点M(2，－3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是________．
解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2－a，2－b，2－c)．
答案：(0，5，1)
综合点一 求空间中点的坐标
10．如右图，三棱锥OABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
解析：∵A(a，0，0)、B(0，0，b)、C(0，c，0)，
∴G.
答案：
11．已知矩形ABCD中，AB＝，AD＝，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD.以D为原点，射线DB为y轴的正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．试求A，C两点的坐标．
解析：如下图，过点C作CF⊥BD于点F，过点A作AE⊥BD于点E，由面BCD⊥面ABD，得CF⊥面ABD，AE⊥面BCD.
又在Rt△BCD中，BD＝＝5，
∴DF＝＝3，CF＝＝.
同理可得AE＝，DE＝2，故A(，2，0)、C(0，3，)．
综合点二 空间中的对称问题
12．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：
①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．
其中正确命题的序号是________．
解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)、(－x，y，z)、(－x，y，－z)、(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．
答案：①④
13．如图，已知一长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．
解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2，3，－1)、C(2，3，－1)、D(2，－3，－1)．
A1、B1、C1、D1与A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)、B1(－2，3，1)、C1(2，3，1)、D1(2，－3，1)．
课件18张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系
2．3.1 空间直角坐标系及其应用 栏目链接课 标 点 击 1．掌握空间直角坐标系的有关概念．
2．会利用空间直角坐标系表示空间中的点的坐标． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接空间直角坐标系如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1.求点E，F的坐标．
分析：以正方体顶点为坐标原点建立空间直角坐标系．给出顶点D1、B1、B的坐标，利用中点坐标公式写出E、F点的坐标． 栏目链接解析：建立如下图所示的坐标系． 栏目链接 栏目链接规律总结：(1)能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础，因此一定要掌握如下方法：过点M分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，确定x、y、z.具体理解可以以长方体为模型来进行．
(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的坐标表示的特征．?变式训练
1．如右下图，在棱长为a的正方体OABCD′A′B′C′中，对角线AC′与BD′相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，试写出点Q的坐标． 栏目链接 栏目链接空间中点对称问题求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
分析：解决本题的关键是明确各坐标轴，各坐标平面对称的两点的坐标关系，可借助图形． 栏目链接解析：如右图所示，过点A作AM⊥xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1，2，1)．
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点 B(1，－2，1)．
∴A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1，2，1)；
A(1，2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2，1)． 栏目链接规律总结：对称关系可简记为“关于谁对称谁不变，其余的均相反”．特别地，关于原点对称，三个坐标符号都要变． 栏目链接?变式训练
2．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
解析：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1，－2，－3)；
关于xOz平面的对称点坐标为(1，2，3)；
关于yOz平面的对称点坐标为(－1，－2，3)． 栏目链接(2)关于x轴的对称点坐标为(1，2，－3)；
关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－3)；
关于z轴的对称点坐标为(－1，2，3)．
(3)关于原点的对称点坐标为(－1，2，－3)． 栏目链接空间直角坐标系的应用晶体的基本单位称为晶胞，下图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中黑点代表钠原子，如下图(2)所示，建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 栏目链接2．3.2 空间两点间的距离
如下图所示，一只小蚂蚁站在水泥构件点O处，在A，B，C，D，E处放有食物，建立适当的空间直角坐标系，可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？
1．若在空间直角坐标系Oxyz中点P的坐标是(x，y，z)，则P到坐标原点O的距离OP＝．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，设点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1与P2之间的距离P1P2＝．
3．在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x0，y0，z0)到平面xOy的距离为|z0|，到x轴的距离为．
空间两点间的距离公式
(1)已知空间中两点A、B的坐标为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则这两点间的距离为AB＝.特别地点A(x，y，z)到原点的距离为：OA＝.记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式．
(2)空间两点间的距离公式的推导思路．
思路一：当两点连线与坐标平面不平行时，过两点分别作三个坐标平面的平行平面，转化为求长方体的对角线长，从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可，而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．
思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．
(3)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系；b.依题意确定各相应点的坐标；c.通过坐标运算得到答案．
知识点一 空间中两点间的距离公式
1．点P到原点的距离是________．
解析：由两点间距离公式可得．
答案：1
2．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．
解析：设x轴上的点的坐标为(x，0，0)，则由距离公式得：(x＋4)2＋|－1|2＋(－7)2＝(x－3)2＋(－5)2＋22.
解得x＝－2.
答案：(－2，0，0)
3．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到A(1，1，1)的距离是________．
解析：设P(0，0，c)，∵PO＝1，∴c＝±1.当c＝1时，PA＝；当c＝－1时，PA＝.
答案：或
知识点二 空间中两点间距离公式的简单应用
4．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________．
解析：∵A(1，2，3)在平面yOz内的射影为B(0，2，3)，∴OB＝.
答案：
5．设A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，AB的中点M，则CM＝________．
解析：由中点公式得M，
∴CM＝＝.
答案：
6．已知空间三点A(0，0，3)、B(4，0，0)、C(4，5，0)，求△ABC的周长．
解析：∵AB＝＝5，
BC＝＝5，
AC＝＝5，
∴△ABC的周长为10＋5.
综合点一 空间中有关距离的计算问题
7．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为，则x等于________．
解析：由＝，
∴x＝2或－8.
答案：2或－8
8．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．
解析：AB＝2OA＝2＝2.
答案：2
综合点二 两点间距离公式的综合应用
9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．
解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得：b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.
∴2(a2＋b2＋c2)＝3.
故PO＝＝＝.
答案：
10．已知A(1－t，1－t，t)、B(2，t，t)，则AB的最小值为________．
解析：∵AB＝
＝
＝
＝，
∴当t＝时，ABmin＝.
答案：
11．在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)、B(2，0，0)、C(0，2，0)，则△ABC的面积是多少？
解析：AB＝＝，
BC＝＝2，
AC＝＝，
∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
则BC边上的高h＝＝，
∴S△ABC＝BC·h＝×2×＝.
综合点三 应用距离解决角度问题
12．如图，已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中，B(m，m，0)、C(0，2m，0)、P(0，0，2n)．
(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与Ox轴的正方向的夹角；
(2)若M为BC的中点，n＝m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．
解析：(1)如图，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.
(2)连接AM、PM，
∵AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2，
又M为BC中点，∴AM⊥BC，PM⊥BC.
∴∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角．
又n＝m，∴PA＝AM＝m.
∴AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.
课件13张PPT。第2章 平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系2．3.2 空间两点间的距离 栏目链接课 标 点 击 1．掌握空间中两点间的距离公式．
2．会用空间中两点间的距离公式解决有关问题． 栏目链接典 例 剖 析 栏目链接求几何体中两点间的距离已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)、B(2，3，4)、C(3，1，5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
分析：本题是考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可． 栏目链接 栏目链接规律总结：熟练运用距离公式求线段的长度，解决一些与长度有关的问题． 栏目链接 栏目链接空间坐标系中距离公式的几何意义试解释方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义．
分析：分析方程的结构可知，这是空间两点(x，y，z)和(12，－3，5)距离的平方等于36. 栏目链接规律总结：如何理解公式的内涵是学习公式时应值得关注的问题，应该说两点间距离公式提供了进行数形结合这种思维训练的平台，因此不仅要注意公式的外在表现形式，还要挖掘其内在的东西．当然本题中方程结构形式比较整齐，容易看出来，还应注意结构不整齐的情形，可尝试进行配方解决． 栏目链接?变式训练
2．与A(－1，2，3)、B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)满足的条件为________，表示的图形是________．模块综合检测卷
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x－＝0的倾斜角是(C)
A．45° B．60° C．90° D．不存在
2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(D)
A．－3或4 B．－6或2 C．3或－4 D．6或－2
3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是(D)
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(C)
5．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)
A．12 B．18 C．24 D．30
解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．
由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABCA1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱锥PA1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABCPA1C1的体积为30－6＝24.故选C.
6．(2013·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(A)
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P(x，0)，C1(2，3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5.
而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，
∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC 2|－4≥5－4.
7．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有(B)
A．4对 B．3对
C．2对 D．1对
8．(2013·辽宁卷)已知点O(0，0)、A(0，b)、B(a，a3)，若△AOB为直角三角形，则必有(C)
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0
解析：根据直角三角形的直角的位置求解．
若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若∠A＝，则b＝a3≠0.
若∠B＝，根据斜率关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．
9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为(A)
A．1∶1 B．1∶ C.∶ D．3∶2
10．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(D)
A．l1⊥l4 B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定
解析：在长方体模型中进行推理论证，利用排除法求解．
如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置关系是________．
答案：平行
12．(2014·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2－(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.
圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2.所以＋12＝22.解得a＝4±.
答案：4±
13．两条平行线2x＋3y－5＝0和x＋y＝1间的距离是________．
答案：
14．(2013·大纲全国卷)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．
解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．
如图所示，公共弦为AB，设球的半径为R，则AB＝R.取AB中点M，连接OM、KM，由圆的性质知OM⊥AB ，KM⊥AB，所以∠KMO为圆O与圆K所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO＝60°.
在Rt△KMO中，OK＝，
所以OM＝＝.
在Rt△OAM中，因为OA2＝OM2＋AM2，所以R2＝3＋R2，解得R2＝4.所以球O的表面积为4πR2＝16π.
答案：16π
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知两点A(－1，2)，B(m，3)．
(1)求直线AB的斜率；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．
解析：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；
当m≠－1时，k＝.
(2)当m＝－1时，α＝；当m≠－1时，
k＝∈∪，
则α∈∪.
综上，α∈.
16．(本小题满分12分)(2013·上海卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
解析：因为CC1∥AA1，所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝.在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan ∠BC1C＝6×＝2，从而S△ABC＝BC2＝3，因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝3·6＝18.
17．(本小题满分14分)(2014·湖北卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点．求证：
(1)直线BC1∥平面EFPQ；
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
分析：借助三角形中位线的性质、线面平行的判定及线面垂直的判定和性质证明．
证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1?平面ACC1，
所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
18．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．
解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．
表面积为S，则
S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.
体积为V，则V＝8×4×6＋×22×8π＝192＋16π.
所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.
19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)求BD与平面EBC所成角的大小；
(3)求几何体EFBC的体积．
(1)证明：如图，连EA交BD于点F，
∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC.
又FG?平面ABC，AC?平面ABC，
∴FG∥平面ABC.
(2)解析：∵平面ABED⊥平面ABC，BE⊥AB，
∴BE⊥平面ABC.
∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝AB，
∴BC⊥AC.
又∵BE∩BC＝B，
∴AC⊥平面EBC.
由(1)知，FG∥AC，
∴FG⊥平面EBC.
∴∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．
又BF＝BD＝，FG＝AC＝，
sin ∠FBG＝＝，
∴∠FBG＝30°.
(3)VEFBC＝VFEBC＝S△EBC·FG＝··a···＝.
20．(本小题满分14分)(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解析：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
设圆心C(a，2(a－2))，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
整理，得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为
章末知识整合
若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．
解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法．
y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°.
∴k＝或－.
答案：或－
规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合．
1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化．
2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质．
?变式训练
1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．
解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±.
∴点C的坐标为(0，)．
又点M的坐标为(－1，0)，
∴kMC＝＝.
结合图形得0答案：(0，)
2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．
解析：方法一 ∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0表示的区域中，如图，－c为直线x＋y＋c＝0在y轴上的截距，可求出切线l的截距为－(－1)，∴－c≤－(－1)．∴c≥－1.
方法二 P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上的点，
∴
∴m＋n＝1＋cos α＋sin α.
∴－＋1≤m＋n≤＋1.
∴－(＋1)≤－(m＋n)≤－1.
若不等式m＋n＋c≥0恒成立，
∴c≥－(m＋n)．∴c≥－1.
答案：[－1，＋∞)
已知F(0，1)，直线l：y＝－2，圆C：x2＋(y－3)2＝1.(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求S的最小值．
分析：考虑四边形PACB的面积最小，首先应建立目标函数，通过函数解决问题．
解析：(1)设动点M(x，y)，据题意有＋1＝y－(－2)，化简得x2＝4y.
(2)设动点P(x0，y0)，考虑到切线长相等，所以四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝PA·AC，又由于圆C的半径为1，所以S＝PA＝＝.因为x02＝4y0，所以S＝＝≥，当且仅当y0＝1，x0＝±2时成立．
即S的最小值为.
规律总结：1.函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象等)，使问题得到解决．
2．方程的思想多用于曲线方程的求解(如求直线的方程、圆的方程，通常构造含确定曲线方程形态的特征常数的方程或方程组)；两直线位置关系的判定；圆的切线方程的求解等．
3．方程和函数这两种思想在本章有机地结合，帮助我们更好地解决了两曲线的位置关系及求函数的值域问题．
?变式训练
3．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.
(1)当t为何值时，方程表示圆？
(2)当t为何值时，方程表示的圆的半径最大？并求出半径最大时圆的方程．
解析：(1)方程表示圆的条件是[－2(t＋3)]2＋[2(1－4t2)]2－4(16t4＋9)>0，即(t－1)(7t＋1)<0，解得－(2)由(1)知，当－r＝
＝＝
＝.
所以当t＝时，半径r有最大值，且rmax＝＝，此时圆心坐标为，故圆的方程为＋＝.
圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．
解析：设圆心与直线的距离为d，d＝＝5，R＝3，∴圆上点到直线的距离最大值为d＋R＝8，最小值d－R＝2.∴(d＋R)－(d－R)＝8－2＝6.
答案：6
规律总结：通过各种变换，把复杂或未知转化为简单或已知，达到化归的目的．
1．运用恒等变换与同解变换，可以把角的关系变换为斜率的关系，把两直线的位置关系变换成斜率与截距间的关系，把点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系变换为两点间距离与半径的关系等．
2．运用“实际问题—数学问题”的变换，构建数学模型，通过数学知识寻求实际问题的答案，体现数学的作用，同时发展学生解决问题的能力．
3．通过化抽象为具体，化数为形，化形为数，化一般为特殊的数学思想综合处理直线和圆方程中的各类问题．
?变式训练
4．若线段OQ在xOy平面及yOz平面上的投影长分别为2和，试问线段OQ最长可为多少？最短可为多少？
解析：设Q(u，v，w)，据题意则有＝2，＝，
所以u2＝8－v2，w2＝17－v2.
而OQ＝，
从而有u2＋v2＋w2＝25－v2.
因为0≤v2≤8，故≤OQ≤5.
∴线段OQ最长可为5，最短可为.
5．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围为________．
解析：圆心(2，3)到直线y＝kx＋2的距离为：，∵MN≥2，∴4－≥3.
即≤1.
解得0≤k≤.
答案：
设A(1，－2，x)、B(x，3，0)、C(7，x，6)，且A、B、C三点构成直角三角形，求x的值．
解析：由已知条件知
AB2＝(x－1)2＋(3＋2)2＋(0－x)2
＝2x2－2x＋26，
BC2＝(7－x)2＋(x－3)2＋(6－0)2
＝2x2－20x＋94，
CA2＝(1－7)2＋(2＋x)2＋(x－6)2
＝2x2－8x＋76，
若AB2＋BC2＝CA2，
则4x2－22x＋120＝2x2－8x＋76，
即x2－7x＋22＝0，无实数解．
若AB2＋CA2＝BC2，
则4x2－10x＋102＝2x2－20x＋94，
即x2＋5x＋4＝0，解之得x1＝－4，x2＝－1.
若BC2＋CA2＝AB2，
则4x2－28x＋170＝2x2－2x＋26，
即x2－13x＋72＝0，无实数解．
综上可知，实数x的值为－4或－1.
规律总结：根据对象的属性，选择适当的标准，把研究对象不重复、不遗漏地划分为若干类，对于培养学生综合运用基础知识能力，严谨、周密的分析能力，良好的思维素质都有重要作用．
1．涉及的数学概念是分类定义的，应用的定理、公式，运算性质是分类给出的，解题中必然引起讨论．如求直线的斜率问题，用斜率表示的直线方程，用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆等都要分类讨论．
2．数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果，解题中需讨论，如判定两曲线的位置关系等．
?变式训练
6．设A(－c，0)，B(c，0)(c>0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离的比为定值a(a>0)，求点P的轨迹．
解析：设动点P的坐标为(x，y)，
由＝a(a>0)，得＝a，化简得
(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.
当a≠1时，得x2＋x＋c2＋y2＝0，
整理得＋y2＝.
当a＝1时，化简得x＝0.
所以当a≠1时，点P的轨迹是以为圆心，
为半径的圆．
当a＝1时，点P的轨迹为y轴．
7．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0无公共点，求实数m的取值范围．
解析：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程，得：
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)若圆C1与圆C2内含，则有：
<3－2.
即m2＋3m＋2<0.解得－2(2)若圆C1与圆C2外离，则有：
>3＋2.
即m2＋3m－10>0.解得m<－5或m>2.
综合(1)、(2)可知m的取值范围是
(－∞，－5)∪(－2，－1)∪(2，＋∞)．
章末过关检测卷(二)
第2章 平面解析几何初步
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1，2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是(A)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：直线斜率为k＝＝，故倾斜角为30°.
2．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为(A)
A．(－2，1) B．(2，1) C．(1，－2) D．(1，2)
解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为
(x＋2)m＋1－y＝0，
令得
3．过点(3，4)且与两点(4，－2)、(－2，2)等距离的直线方程是(C)
A．2x＋3y－18＝0和2x＋y－2＝0 B．3x－2y＋18＝0和x＋2y＋2＝0
C．2x＋3y－18＝0和2x－y－2＝0 D．3x－2y＋28＝0和2x－y－2＝0
4．(2013·重庆卷)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(B)
A．6 B．4 C．3 D．2
5．(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(B)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
6．空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是(B)
A．(－2，1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)
7．(2014·安徽卷)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(D)
A. B.
C. D.
解析：利用数形结合思想及圆的几何性质求解．
方法一 如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，OA＝1，则sin a＝，所以a＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是.故选D.
方法二 设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是.
8．以A(－2，－2)、B(－3，1)、C(3，5)、D(7，－7)为顶点的四边形是(D)
A．正方形 B．矩形
C．平行四边形 D．梯形
9．(2013·广东卷)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(A)
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
10．(2013·天津卷)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(C)
A．－ B．1 C．2 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)
11．直线5x＋12y＋13＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
解析：把5x＋12y＋13＝0化为10x＋24y＋26＝0，由平行线之间的距离公式d＝＝.
答案：
12．(2013·湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1.设圆O到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
解析：圆心O到直线xcos θ＋ysin θ＝1距离d＝1，即直线与圆相交．因为半径r＝＞2，所以O上到直线l的距离等于1的点的个数为4个，所以k＝4.
答案：4
13．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
解析：作出图象，数形结合解答．
依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°，如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.
答案：2
14．(2013·四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)、B(1，5)、C(3，6)、D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
又kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为 y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
由①②得∴∴M(2，4)．
答案：(2，4)
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)求经过A(－2，3)、B(4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．
解析：过A、B两点的直线方程是＝，
点斜式为：y＋1＝－(x－4)，
斜截式为：y＝－x＋，
截距式为：＋＝1，
一般式为：2x＋3y－5＝0.
16．(本小题满分12分)已知三条直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＝0交于一点，求k的值．
解析：l1与l2的相交，由得交点坐标为(－1，－2)，此点在l3上，故－1－2k＝0，得k＝－.
17．(本小题满分14分)(2013·江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，求圆C的方程．
解析：如图，因为圆C经过坐标原点O和点A(4，0)，所以圆心必在线段OA的中垂线上，所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C(2，b)，b＜0，半径为R.
因为圆与直线y＝1相切，所以R＝1－b，且b2＋22＝R2＝(1－b)2.解得b＝－，所以圆心为，半径R＝1－b＝1－＝.所以圆的方程为(x－2)2＋＝.
18．(本小题满分14分)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．
解析：设x＋y＝t，则直线y＝－x＋t与圆(x－3)2＋
(y－3)2＝6有公共点．
∴≤.
∴6－2≤t≤6＋2.
因此x＋y最小值为6－2，最大值为6＋2.
19．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0，2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6，0)，过P(0，2)且斜率k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0.
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36×(1＋k2)＝42×(－8k2－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得：
x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③
因为P(0，2)，Q(6，0)，＝(6，－2)．所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－.而由(1)知k∈，故没有符合题意的常数k.
20．(本小题满分14分)(2013·四川卷)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋，请将n表示为m的函数．
(1)解析：将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4得
(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)
由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0得k2＞3.所以k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则
|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22.
又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.
由(*)知x1＋x2＝，x1x2＝，
所以m2＝，因为点Q在直线上l上，所以k＝，代入m2＝可得5n2－3m2＝36，由m2＝及k2＞3得0＜m2＜3，即m∈(－，0)∪(0，)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝＝.于是，n与m的函数关系为n＝[m∈(－，0)∪(0，)]．
