数学：1.2《空间几何体的三视图》学案（新人教版a必修2）
文档属性
| 名称 | 数学：1.2《空间几何体的三视图》学案（新人教版a必修2） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-07 22:11:00 | ||
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文档简介
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1.2 空间几何体的三视图
一、三维目标
1．了解平行投影与中心投影的概念和简单性质。
2 理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则。
3．能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形。
二、导学提纲
1．平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线 。在平行投影中，投影线 时，叫做正投影，否则叫做 。21世纪教育网
2．空间几何体的三视图是指 、 、 。
3．三视图的排列规则是 放在正视图的下方，长度与正视图一样， 放在正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。
4．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
5．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
三小试牛刀
1．下列命题正确的是（ ）
A．一个点在一个平面内的投影仍是一个点
B．一条线段在一个平面内的投影仍是线段
C．一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线
D．一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形
2．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆
3．一个正方形的平行投影的形状可能是 。
4．一个几何体的三视图如下图。
则这个几何体的名称是 。
四、典例剖析
1．如图甲所示，在正方体中，E、F分别是、的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 。
分析：在面ABCD和面上的投影是图乙（1）；在面和面上的投影是图乙（2）；在面和面上的投影是图乙（3）。
答案：（1）（2）（3）
点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力。画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。
2．如图（1）所示，E、F分别为正方体面、面的中心，则四边形在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的 。
分析：四边形在正方体的面、面上的投影是C；在面上的投影是B；同理，在面、面、面上的投影也全是B。
答案：B C
3．右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。
分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。
答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C。
答案：D
点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题。
5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。
答案：B
6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体。
答案：C
空间几何体的三视图
No.038 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．直线的平行投影可能是（ ）
A．点 B．线段 C．射线 D．曲线
2．如图所示，空心圆柱体的正视图是（ ）
3．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．三棱柱，如图所示，以的前面为正前方画出的三视图正确的是（ ）
B 组
5．如图所示是一个几何体，则其几何体俯视图是（ ）
6．下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（ ）
7．下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（ ）
8．如图，图（1）、（2）、（3）是图（4）所表示的几何体的三视图，其中图（1）是 ，图（2）是 ，图（3）是 。（说出视图名称）
C 组
9．根据图中的三视图想象物体原形，并分别画出物体的实物图。
10．如图，E、F分别是正方体的面和面的中心，则四边形在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是图中 （把所有可能图形的序号都填上）。
1.2 空间几何体的直观图
一、三维目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
二、导学提纲
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
三、小试牛刀
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）
A．正三角形的直观图是正三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．矩形的直观图是矩形 D．圆的直观图一定是圆
2．下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
C．两个全等三角形的直观图一定也全等
D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形
3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB//轴，则画出直观图后对应的线段 ，若轴，则画出直观图后对应的线段= 。
4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则AB边上的中线的实际长度为 。
四、典例剖析
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
分析：根据直观图的画法，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于轴，则正方形边长为8，面积是64。
答案：C
2．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是 。
分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错。
答案：①②
3．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．都不对
分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为，于是其面积为
答案：A
4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
分析：平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形。计算得面积为
答案：D
5．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点的直观图中对应点是，则点的找法是 。
分析：在轴的正方向上取点，使，在轴上取点，使，过和分别作平行于轴和轴的直线的交点就是
答案：在中，过点和轴平行的直线与过和轴平行的直线的交点即是。
6．根据图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。
分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔。从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔。
解：由此可以推测该物体大致形状如图所示。
7．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
分析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化。直观图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的，则直观图的面积是原来三角形面积的倍。
答案：A
空间几何体的直观图
No.039 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为（ ）
A． B． C． D．或
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．两条相交直线的平行投影是（ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
B 组
5．水平放置的有一边在水平线上，它的直观图是正，则（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为、腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是（ ）
8．如图所示的水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，那么、、三条线段对应原图形中线段AB、AD、AC中（ ）
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC
9．平面直角坐标系中点在直观图中对应点，则的找法是 。
10．若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且，则O的平行投影分AB的平行投影的长度之比为 。
C 组
11．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
12．画水平放置的正五边形的直观图。
1.3 空间几何体的表面积与体积
一、三维目标
1．体会球的体积和表面积公式的推导过程，了解无限分割取极限的思想方法。
2．记住球的体积公式和表面积公式，会运用公式进行计算。
二、导学提纲自学
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
4．柱体、锥体、台体的体积有何关系？
三、小试牛刀
1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ）
A．2 B． C． D．8
3．长、宽、高分别为的长方体的表面积S= 。
4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V= 。
三、典例剖析
1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得
2．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）
A．1:2:3 B．1:7:19 C．3:4:5 D．1:9:27
分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1:2:3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为· ，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为
答案：B
3．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。
答案：B
4．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为
答案：D
点评：本题订考查几何体的三视图和体积，给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得，此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视。
5．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为
答案：C
6．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为
答案：A
7．已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S。
解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥。设底面矩形为ABCD。如图所示，，高
（1）
（2）设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，
在中，BC边上的高为，
在中，AB边上的高为
所以此几何体的侧面积
点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问。
8．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为
答案：C
9．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
分析；可得正三棱锥的高，于是
答案：D
10．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的 倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的 倍。
分析：圆柱的体积公式为，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的倍。
答案：4 16
11．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？
分析：因为锯掉的正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥。
解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为
三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为
又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的
12．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是 。
分析：如图，设圆锥底面半径为母线长为由题意得解得所以圆锥的底面积为
答案：
13．如图，一个正三棱柱容顺路，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是 。
分析：图中容器内水面的高度为，水的体积为V，则又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为，则
答案：
14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
分析：该几何体是四棱锥，并且长为20cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20cm，底面是边长为20cm的正方形（如俯视图），所以底面积是，所以该几何体的体积是
答案：B
15．问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是 。
探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：
四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为，三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为，边长为的边重合在一起，表面积为，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为，
最小的是一个四棱柱，这说明
答案：
空间几何体的表面积与体积
No.040 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．正方体的全面积是96，则正方体的体积是（ ）
A． B． C．16 D．96
2．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ）
A．2 B．2.5 C．5 D．10
3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）
A．倍 B．3倍 C．2倍 D．5倍
4．如图，在四正体中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且分别截BC、DC于点E、F。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分为、，则必有（ ）
A． B． C． D．不能确定
5、如图，在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
B 组
5．六棱柱的两底面是正六边形，侧面是全等的矩形，它的底面边长为4，高为12，则它的全面积是（ ）
A． B．
C． D．
6．若长方体的三个面的面积分别是则长方体的体积为（ ）
A． B． C．6 D．12
7．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为4cm和6cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是5cm，则它的侧面积是 。
8．正三棱锥的底面边长是，高是，则它的全面积为 。
9．圆台的两个底面半径是2cm、4cm，截得这个圆台的圆锥的高为6cm，则这个圆台的体积是 。
C 组
10．由8个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，且有四个顶点A、B、C、D在同一个平面内，ABCD是边长为20cm的正方形，求此几何体的表面积和体积。
11．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。
12．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点均在上、下底面的圆周上是正三角形，如果三棱柱的体积为V，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积为多少？
13：如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。
14：如图，已知三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1且，M、N分别在棱AC和AD上，求BM+MN+NB的最小值。
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1.2 空间几何体的三视图
一、三维目标
1．了解平行投影与中心投影的概念和简单性质。
2 理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则。
3．能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形。
二、导学提纲
1．平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线 。在平行投影中，投影线 时，叫做正投影，否则叫做 。21世纪教育网
2．空间几何体的三视图是指 、 、 。
3．三视图的排列规则是 放在正视图的下方，长度与正视图一样， 放在正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。
4．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
5．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
三小试牛刀
1．下列命题正确的是（ ）
A．一个点在一个平面内的投影仍是一个点
B．一条线段在一个平面内的投影仍是线段
C．一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线
D．一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形
2．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆
3．一个正方形的平行投影的形状可能是 。
4．一个几何体的三视图如下图。
则这个几何体的名称是 。
四、典例剖析
1．如图甲所示，在正方体中，E、F分别是、的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 。
分析：在面ABCD和面上的投影是图乙（1）；在面和面上的投影是图乙（2）；在面和面上的投影是图乙（3）。
答案：（1）（2）（3）
点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力。画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。
2．如图（1）所示，E、F分别为正方体面、面的中心，则四边形在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的 。
分析：四边形在正方体的面、面上的投影是C；在面上的投影是B；同理，在面、面、面上的投影也全是B。
答案：B C
3．右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。
分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。
答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C。
答案：D
点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题。
5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。
答案：B
6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体。
答案：C
空间几何体的三视图
No.038 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．直线的平行投影可能是（ ）
A．点 B．线段 C．射线 D．曲线
2．如图所示，空心圆柱体的正视图是（ ）
3．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．三棱柱，如图所示，以的前面为正前方画出的三视图正确的是（ ）
B 组
5．如图所示是一个几何体，则其几何体俯视图是（ ）
6．下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（ ）
7．下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（ ）
8．如图，图（1）、（2）、（3）是图（4）所表示的几何体的三视图，其中图（1）是 ，图（2）是 ，图（3）是 。（说出视图名称）
C 组
9．根据图中的三视图想象物体原形，并分别画出物体的实物图。
10．如图，E、F分别是正方体的面和面的中心，则四边形在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是图中 （把所有可能图形的序号都填上）。
1.2 空间几何体的直观图
一、三维目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
二、导学提纲
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
三、小试牛刀
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）
A．正三角形的直观图是正三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．矩形的直观图是矩形 D．圆的直观图一定是圆
2．下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
C．两个全等三角形的直观图一定也全等
D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形
3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB//轴，则画出直观图后对应的线段 ，若轴，则画出直观图后对应的线段= 。
4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则AB边上的中线的实际长度为 。
四、典例剖析
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
分析：根据直观图的画法，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于轴，则正方形边长为8，面积是64。
答案：C
2．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是 。
分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错。
答案：①②
3．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．都不对
分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为，于是其面积为
答案：A
4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
分析：平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形。计算得面积为
答案：D
5．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点的直观图中对应点是，则点的找法是 。
分析：在轴的正方向上取点，使，在轴上取点，使，过和分别作平行于轴和轴的直线的交点就是
答案：在中，过点和轴平行的直线与过和轴平行的直线的交点即是。
6．根据图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。
分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔。从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔。
解：由此可以推测该物体大致形状如图所示。
7．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
分析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化。直观图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的，则直观图的面积是原来三角形面积的倍。
答案：A
空间几何体的直观图
No.039 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为（ ）
A． B． C． D．或
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．两条相交直线的平行投影是（ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
B 组
5．水平放置的有一边在水平线上，它的直观图是正，则（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为、腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是（ ）
8．如图所示的水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，那么、、三条线段对应原图形中线段AB、AD、AC中（ ）
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC
9．平面直角坐标系中点在直观图中对应点，则的找法是 。
10．若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且，则O的平行投影分AB的平行投影的长度之比为 。
C 组
11．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
12．画水平放置的正五边形的直观图。
1.3 空间几何体的表面积与体积
一、三维目标
1．体会球的体积和表面积公式的推导过程，了解无限分割取极限的思想方法。
2．记住球的体积公式和表面积公式，会运用公式进行计算。
二、导学提纲自学
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
4．柱体、锥体、台体的体积有何关系？
三、小试牛刀
1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ）
A．2 B． C． D．8
3．长、宽、高分别为的长方体的表面积S= 。
4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V= 。
三、典例剖析
1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得
2．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）
A．1:2:3 B．1:7:19 C．3:4:5 D．1:9:27
分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1:2:3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为· ，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为
答案：B
3．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。
答案：B
4．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为
答案：D
点评：本题订考查几何体的三视图和体积，给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得，此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视。
5．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为
答案：C
6．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为
答案：A
7．已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S。
解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥。设底面矩形为ABCD。如图所示，，高
（1）
（2）设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，
在中，BC边上的高为，
在中，AB边上的高为
所以此几何体的侧面积
点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问。
8．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为
答案：C
9．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
分析；可得正三棱锥的高，于是
答案：D
10．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的 倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的 倍。
分析：圆柱的体积公式为，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的倍。
答案：4 16
11．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？
分析：因为锯掉的正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥。
解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为
三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为
又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的
12．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是 。
分析：如图，设圆锥底面半径为母线长为由题意得解得所以圆锥的底面积为
答案：
13．如图，一个正三棱柱容顺路，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是 。
分析：图中容器内水面的高度为，水的体积为V，则又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为，则
答案：
14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
分析：该几何体是四棱锥，并且长为20cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20cm，底面是边长为20cm的正方形（如俯视图），所以底面积是，所以该几何体的体积是
答案：B
15．问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是 。
探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：
四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为，三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为，边长为的边重合在一起，表面积为，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为，
最小的是一个四棱柱，这说明
答案：
空间几何体的表面积与体积
No.040 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．正方体的全面积是96，则正方体的体积是（ ）
A． B． C．16 D．96
2．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ）
A．2 B．2.5 C．5 D．10
3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）
A．倍 B．3倍 C．2倍 D．5倍
4．如图，在四正体中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且分别截BC、DC于点E、F。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分为、，则必有（ ）
A． B． C． D．不能确定
5、如图，在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
B 组
5．六棱柱的两底面是正六边形，侧面是全等的矩形，它的底面边长为4，高为12，则它的全面积是（ ）
A． B．
C． D．
6．若长方体的三个面的面积分别是则长方体的体积为（ ）
A． B． C．6 D．12
7．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为4cm和6cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是5cm，则它的侧面积是 。
8．正三棱锥的底面边长是，高是，则它的全面积为 。
9．圆台的两个底面半径是2cm、4cm，截得这个圆台的圆锥的高为6cm，则这个圆台的体积是 。
C 组
10．由8个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，且有四个顶点A、B、C、D在同一个平面内，ABCD是边长为20cm的正方形，求此几何体的表面积和体积。
11．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。
12．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点均在上、下底面的圆周上是正三角形，如果三棱柱的体积为V，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积为多少？
13：如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。
14：如图，已知三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1且，M、N分别在棱AC和AD上，求BM+MN+NB的最小值。
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