鄞州中学2023学年第二学期期中考试
高一年级数学试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
3.本次考试期间不得使用计算器；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数，再求出对应点，再判断所在象限即可.
【详解】易知，
则该复数在复平面内所对应的点为，显然该点在第二象限，故B正确.
故选：B
2. 平面向量，满足，，向量与的夹角为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 12 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积定义结合模的性质求解即可.
详解】易知，
而向量与的夹角为，故，
故，故D正确.
故选：D
3. 一个水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形，已知，是的中点，则原四边形的周长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，如图，由勾股定理求出，即可求解.
【详解】由题意知，，，
则，将直观图还原为原图，如图，
在矩形中，，
则，
所以该矩形的周长为.
故选：C
4. 在，，，若，则（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可.
【详解】，
，
因为，
所以，
所以.
故选：A.
5. 在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过建立空间直角坐标系，设出边长，写出相关点坐标，由空间两向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，取分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，
则，故,,
设，则，
因异面直线与所成角是锐角，故它们所成角的余弦值为.
故选：D.
6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理求解出，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】在中，由余弦定理得，
可得，解得，
则，故A正确，
故选：A
7. 已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知易得四点均为长宽高分别为三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的体积公式可得答案.
【详解】因为平面，，
所以四面体的外接球半径等于以为长宽高的长方体的顶点的外接球，
又球的体积为，即，所以，
所以，
所以.
故选：B.
8. 如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是，上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，的周长为，根据余弦定理计算即可求解.
【详解】如图，
将以为旋转轴，旋转到与平面同一个平面，
由，得，所以，
又，所以的周长为，
又，所以，
在中，由余弦定理得，，
即的周长的最小值为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则可作为平面向量的一组基底
B. 若，都是非零向量，且，则
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 若，，则在上的投影向量的坐标是
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由基向量不共面即可判断；对于B，由向量的模的公式计算可得，即可判断；对于C，两向量夹角为锐角，要考虑数量积大于0，且两向量不共线，即即可判断；对于D，利用在上的投影向量定义计算即得.
【详解】对于A项，因，故不能作为平面向量的一组基底，即A项错误；
对于B项，由两边平方，，
即，则，故B项正确；
对于C项，依题意与的夹角为锐角，
则，解得且，故C项错误；
对于D项，在上的投影向量为，故D项正确.
故选：BD.
10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理解三角形判断A，利用正弦定理结合二倍角公式判断B，利用余弦函数的单调性判断C，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系判断D即可
【详解】对于A,若,
由正弦定理得，解得，又，
易知在内由两个符合题意的，
所以该三角形有两解，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理可得,
所以，即,
所以有或,
即或,
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误;
对于C，若锐角三角形， 则
因为在为减函数，所以，故C正确；
对于D，由题意可得，
由正弦定理可得,由余弦定理可得，
所以B为钝角，即该三角形为钝角三角形，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 平面
C. 平面
D. 二面角的余弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量算出点平面距离，利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出，进而得到三角形面积，再求体积判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，利用二面角的向量求法判断D即可.
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，
故，，，，，，
则，，，，，
设平面法向量为，故有，得，
令，解得，，故，
设点到平面的距离为，由距离公式得，
对于A，设，的夹角为，则，
则，故，
则三棱锥的体积为，故A正确，
对于B，易知，，故，
且设平面的法向量为，可得，
则平面成立，故B正确，
对于C，易知，，则，
故，则平面成立，故C正确，
对于D，连接，易知平面的法向量，
设二面角为，则，故D正确.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________.
【答案】
【解析】
【分析】令，由复数相等可求出复数z,从而得到虚部.
【详解】令，
所以，可得
，其虚部为.
故答案为：
13. 如图，为了测量河对岸铁塔的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.在C点测得塔顶A的仰角为30°，塔底B在北偏东75°方向，然后向正东方向前进40米到达D，此时测得塔底B在北偏东30°方向，则此铁塔高为______米.
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求出，进而在中求即可.
【详解】在中，
所以，
由正弦定理
得，
所以.
故答案为：.
14. 如图，在边长为2的棱形中，，，点Q是内部（包括边界）的一动点，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】如图，设，根据平面向量的线性运算、定义和可得，结合即可求解.
【详解】如图，过B作，使得，过Q作，垂足为，
设，则，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
则，
所以
，
易知当在上时，取到最大值，
所以，则，
即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量与几何的最值问题，确定，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）当k为何值时，与垂直？
（2）若，，且三点共线，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示求解即可.
（2）利用平面向量共线的坐标表示求解即可.
【小问1详解】
易知，，
若与垂直，则，解得，
故当时，与垂直.
【小问2详解】
若三点共线，则与共线，
由题意得，，
可得，解得，
故的值为.
16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.
【小问1详解】
因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
【小问3详解】
由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，，点D在边上，且，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理角化边，最后整理得角即可.
（2）利用正弦定理结合同角三角函数的基本关系求解，再利用余弦定理求解，最后再利用余弦定理求解即可.
【小问1详解】
因为,
由余弦定理得，
整理可得,
所以，又，
所以.
【小问2详解】
因为
所以由正弦定理可得,
由,可得A为锐角，可得，
由余弦定理得故
整理可得解得或(舍去),
又点D边AC上, 且所以
所以在中，由余弦定理可得 .
18. 如图，在正方体中，，点E在棱上，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积；
（2）假设在线段上存在点F，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可.
【小问1详解】
过作，垂足为，
因为，所以面即面
明显面，
所以面，
又，，
所以
【小问2详解】
假设在线段上存在点F，使得平面，
取的三等分点，使，则四边形是平行四边形，
所以，又面，面，
所以面，又面，，
所以面面，又面，
所以面，
取的三等分点（靠近），则，
所以面面，又面，面，
所以，又为的中点，
所以；
【小问3详解】
延长交于点，作，垂足为，连接，则面，
从而，
所以为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以.
19. 已知的内角所对的边分别为且满足
（1）求证：；
（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理进行角化边，结合二倍角公式证明即可.
（2）将三角形的面积表示为一元解析式，后分析其单调性，利用为锐角三角形求出角度的范围，再求面积范围即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
故由余弦定理得，
，
而，
，
故成立，
因为，则，故，则，
所以又，则成立，故原命题得证.
【小问2详解】
易知，由正弦定理得，
故，由正弦定理得，
而，则，由题意得为锐角三角形，
故，由上问得，故有，解得，
由三角形内角和定理得，解得，
故，由，可得，
将原式化为，
，
令，故设，由，在上单调递减，
故在上单调递减，可得，
故，即的面积的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是合理表示三角形面积，然后化简成为一元函数，求出角度的范围，最后利用换元法得到所要求的取值范围即可．鄞州中学2023学年第二学期期中考试
高一年级数学试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
3.本次考试期间不得使用计算器；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 平面向量，满足，，向量与的夹角为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 12 D.
3. 一个水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形，已知，是的中点，则原四边形的周长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D.
4. 在，，，若，则（ ）
A. 3 B. C. D.
5. 在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是，上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则可作为平面向量的一组基底
B. 若，都是非零向量，且，则
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 若，，则在上的投影向量的坐标是
10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形
11. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 平面
C. 平面
D. 二面角的余弦值为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________.
13. 如图，为了测量河对岸铁塔的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.在C点测得塔顶A的仰角为30°，塔底B在北偏东75°方向，然后向正东方向前进40米到达D，此时测得塔底B在北偏东30°方向，则此铁塔高为______米.
14. 如图，在边长为2的棱形中，，，点Q是内部（包括边界）的一动点，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）当k何值时，与垂直？
（2）若，，且三点共线，求值.
16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，，点D在边上，且，求的长.
18. 如图，在正方体中，，点E在棱上，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（3）求二面角的余弦值.
19. 已知的内角所对的边分别为且满足
（1）求证：；
（2）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围.
