2019-2023年物理高考真题分类练--专题十一 磁 场（有解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2023年物理高考真题分类练--专题十一 磁 场（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2024-04-27 13:05:08 | ||
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文档简介
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2019-2023年物理高考真题分类
专题十一 磁 场
磁场的基本性质
题组一
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B. 形导线通以恒定电流 ,放置在磁场中.已知 边长为 ,与磁场方向垂直, 边长为 ,与磁场方向平行.该导线受到的安培力为( )
A. 0 B. C. D.
2. [2023浙江1月选考，3分]某兴趣小组设计的测量大电流的装置如图所示，通有电流 的螺绕环在霍尔元件处产生的磁场 ，通有待测电流 的直导线 垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元件处产生的磁场 .调节电阻 ，当电流表示数为 时，元件输出霍尔电压 为零，则待测电流 的方向和大小分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
3. [2022江苏，4分]如图所示，两根固定的通电长直导线 、 相互垂直， 平行于纸面，电流方向向右， 垂直于纸面，电流方向向里.则导线 所受安培力方向( )
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
4. [2022湖南，4分]如图（a），直导线 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴 上，其所在区域存在方向垂直指向 的磁场，与 距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示.导线通以电流 ，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为 .下列说法正确的是( )
图（a） 图（b）
A. 当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由 指向
B. 电流 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C. 与电流 成正比
D. 与电流 成正比
5. [2021江苏，4分]在光滑水平桌面上将长为 的软导线两端固定，固定点的距离为 ，导线通有电流 ，处于磁感应强度大小为 、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为( )
A. B. C. D.
6. [2021全国甲，6分]两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内， 与 在一条直线上， 与 在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流 ，电流方向如图所示.若一根无限长直导线通过电流 时，所产生的磁场在距离导线 处的磁感应强度大小为 ，则图中与导线距离均为 的 、 两点处的磁感应强度大小分别为( )
A. 、0 B. 0、 C. 、 D. 、
7. [2021广东，4分]截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线.若中心直导线通入电流 ，四根平行直导线均通入电流 ， ，电流方向如图所示.下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是( )
A. B.
C. D.
8. [2019江苏，4分，多选]如图所示,在光滑的水平桌面上, 和 是两条固定的平行长直导线,通过的电流强度相等.矩形线框位于两条导线的正中间,通有顺时针方向的电流,在 、 产生的磁场作用下静止.则 、 的电流方向可能是( )
A.均向左 B. 均向右
C. 的向左, 的向右 D. 的向右, 的向左
二、非选择题
9. [2023海南，12分]如图所示， 形金属杆上边长为 ，质量为 ，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为 的匀强磁场.
（1）若插入导电液体部分深 ，闭合电键，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度 ，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；
（2）若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度 ，通电时间 ，求通过金属杆横截面的电荷量.
题组二
一、选择题
1. [2022福建，6分，多选]奥斯特利用如图所示实验装置研究电流的磁效应.一个可自由转动的小磁针放在白金丝导线正下方，导线两端与一伏打电池相连.接通电源瞬间，小磁针发生了明显偏转.奥斯特采用控制变量法，继续研究了导线直径、导线材料、电池电动势以及小磁针位置等因素对小磁针偏转情况的影响.他能得到的实验结果有( )
A. 减小白金丝直径，小磁针仍能偏转
B. 用铜导线替换白金丝，小磁针仍能偏转
C. 减小电源电动势，小磁针一定不能偏转
D. 小磁针的偏转情况与其放置位置无关
2. [2022北京，3分]如图所示平面内，在通有图示方向电流 的长直导线右侧,固定一矩形金属线框 ， 边与导线平行.调节电流 使空间各点的磁感应强度随时间均匀增加，则( )
A. 线框中产生的感应电流方向为
B. 线框中产生的感应电流逐渐增大
C. 线框 边所受的安培力大小恒定
D. 线框整体受到的安培力方向水平向右
3. [2022全国乙，6分，多选]安装适当的软件后,利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度 .如图,在手机上建立直角坐标系,手机显示屏所在平面为 面.某同学在某地对地磁场进行了四次测量,每次测量时 轴指向不同方向而 轴正向保持竖直向上.根据表中测量结果可推知( )
测量序号
1 0 21
2 0
3 21 0
4 0
A. 测量地点位于南半球 B. 当地的地磁场大小约为
C. 第2次测量时 轴正向指向南方 D. 第3次测量时 轴正向指向东方
4. [2021河北，4分]如图，距离为 的两平行金属板 、 之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为 ，一束速度大小为 的等离子体垂直于磁场喷入板间.相距为 的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ，导轨平面与水平面夹角为 ，两导轨分别与 、 相连.质量为 、电阻为 的金属棒 垂直导轨放置，恰好静止.重力加速度为 ，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力.下列说法正确的是( )
A. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
D. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
5. [2021福建，6分，多选]如图，四条相互平行的细长直导线垂直坐标系 平面，导线与坐标平面的交点为 、 、 、 四点.已知 、 、 、 为正方形的四个顶点，正方形中心位于坐标原点 ， 为 的中点且在 轴上；四条导线中的电流大小相等，其中过 点的导线的电流方向垂直坐标平面向里，其余导线的电流方向垂直坐标平面向外.则( )
A. 点的磁感应强度为0 B. 点的磁感应强度方向由 指向
C. 点的磁感应强度方向沿 轴正方向 D. 点的磁感应强度方向沿 轴负方向
6. [2021浙江6月选考，6分，多选]如图所示，有两根用超导材料制成的长直平行细导线 、 ，分别通以 和 、流向相同的电流,两导线构成的平面内有一点 ，到两导线的距离相等.下列说法正确的是( )
A. 两导线受到的安培力
B. 导线所受的安培力可以用 计算
C. 移走导线 前后, 点的磁感应强度方向改变
D. 在离两导线平面有一定距离的有限空间内,不存在磁感应强度为零的位置
二、非选择题
7. [2022上海，4分]如图，四根电阻均匀分布且相等的电阻丝连接成一个闭合的正方形线框, 为正方形线框的中心.当大小为 的电流从 点流入、 点流出时， 边在 点产生的磁场方向为 （选填“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）.已知直导线在 点产生的磁感应强度大小与流经导线的电流大小成正比，若 边在 点产生的磁场的磁感应强度为 ,则整个线框在 点产生的磁场的磁感应强度大小为 .
磁场对运动电荷的作用
题组三
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是( )
A. 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B. 小球运动过程中的速度不变
C. 小球运动过程中的加速度保持不变
D. 小球受到的洛伦兹力对小球做正功
2. [2023全国乙，6分]如图，一磁感应强度大小为 的匀强磁场，方向垂直于纸面（ 平面）向里，磁场右边界与 轴垂直.一带电粒子由 点沿 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于 轴的接收屏上的 点； , 与屏的距离为 ，与 轴的距离为 .如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为 的匀强电场，该粒子入射后则会沿 轴到达接收屏.该粒子的比荷为( )
A. B. C. D.
3. [2022海南，3分]如图，两块圆弧形金属板间存在方向指向圆心 的电场，与 点等距处电场强度大小相等.一束正离子流沿纸面垂直电场方向以相同速度射入电场，其中一部分离子能沿着某一等势面通过电场，然后进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，则这部分离子中，沿相同轨迹通过磁场的离子都具有相同的( )
A. 质量 B. 电荷量 C. 比荷 D. 动能
4. [2021福建，4分]一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示.一质子 以速度 自 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动.下列粒子分别自 点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响） ( )
A. 以速度 射入的正电子 B. 以速度 射入的电子
C. 以速度 射入的氘核 D. 以速度 射入的 粒子
二、非选择题
5. [2023辽宁，13分]如图，水平位置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍.金属板外有一圆心为 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.质量为 、 电荷量为 的粒子沿中线以速度 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 点飞出电场，并沿 方向从图中 点射入磁场.已知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力.
（1）求金属板间电势差 .
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 .
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中 点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长.定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心 .
6. [2023浙江1月选考，11分]探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示. 轴上方存在垂直 平面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场. 轴下方的分析器由两块相距为 、长度足够的平行金属薄板 和 组成，其中位于 轴的 板中心有一小孔 （孔径忽略不计）， 板连接电流表后接地.位于坐标原点 的离子源能发射质量为 、电荷量为 的正离子，其速度方向与 轴夹角最大值为 ；且各个方向均有速度大小连续分布在 和 之间的离子射出.已知速度大小为 、沿 轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直 轴射入孔 .未能射入孔 的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）.不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞.
（1）求孔 所处位置的坐标 ；
（2）求离子打在 板上区域的长度 ；
（3）若在 与 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压 ；
（4）若将分析器沿着 轴平移，调节加载在 与 板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压 与孔 位置坐标 之间关系式.
题组四
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分）一电子和一 粒子从铅盒上的小孔 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 上的 和 两点， 点在小孔 的正上方， 点在 点的右侧，如图所示.已知 粒子的速度约为电子速度的 ,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为( )
A. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
2. [2022北京，3分]正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷.在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示.下列说法正确的是( )
A. 磁场方向垂直于纸面向里 B. 轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C. 轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D. 轨迹3对应的粒子是正电子
3. [2022重庆，4分]2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为 ，磁感应强度大小为 .若某电荷量为 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为 ，垂直于磁场方向的分量大小为 ，不计离子重力，则( )
A. 电场力的瞬时功率为 B. 该离子受到的洛伦兹力大小为
C. 与 的比值不断变大 D. 该离子的加速度大小不变
4. [2021湖北，4分，多选]一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成 、 和 三个微粒， 和 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示， 未在图中标出.仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是( )
A. 带负电荷 B. 带正电荷
C. 带负电荷 D. 和 的动量大小一定相等
二、非选择题
5. [2023江苏，15分]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 .质量为 、电荷量为 的电子从 点沿 轴正方向水平入射.入射速度为 时,电子沿 轴做直线运动;入射速度小于 时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
（1）求电场强度的大小 ;
（2）若电子入射速度为 ,求运动到速度为 时位置的纵坐标 ;
（3）若电子入射速度在 范围内均匀分布,求能到达纵坐标 位置的电子数 占总电子数 的百分比.
6. [2022江苏，8分]利用云室可以知道带电粒子的性质.如图所示，云室中存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，一个质量为 、速度为 的电中性粒子在 点分裂成带等量异号电荷的粒子 和 ， 、 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比 ，半径之比 .不计重力及粒子间的相互作用力.求：
（1）粒子 、 的质量之比 ；
（2）粒子 的动量大小 .
题组五
一、选择题
1. [2023海南，4分，多选]如图所示，质量为 、带电荷量为 的带电粒子，从坐标原点 以初速度 射入第一象限内的电、磁场区域，在 , 、 为已知量)区域内有竖直向上的匀强电场，在 区域内有垂直纸面向里、大小为 的匀强磁场，控制电场强度 值有多种可能)，可让粒子从 射入磁场后偏转打到足够长的接收器 上，不计重力，则( )
A. 粒子从 中点射入磁场，电场强度
B. 粒子从 中点射入磁场时的速度
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到 的距离为
D. 粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是
2. [2022辽宁，6分，多选]粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两个粒子先后从 点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的 点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的 点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是( )
A. 粒子1可能为中子
B. 粒子2可能为电子
C. 若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的 点
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的 点
3. [2022全国甲，6分]空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面 平面)向里，电场的方向沿 轴正方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点 由静止开始运动.下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是( )
A.
B.
C.
D.
二、非选择题
4. [2023浙江6月选考，11分]利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术.如图所示, 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为 、边界均平行 轴的区域Ⅰ和Ⅱ ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，区域Ⅱ 存在磁感应强度大小为 的磁场，方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ 的下边界与 轴重合.位于 处的离子源能释放出质量为 、电荷量为 、速度方向与 轴夹角为 的正离子束,沿纸面射向磁场区域.不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应.
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度 及其在磁场中的运动时间 ;
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度 ;
（3）若 ,且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 ~ 范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比 .
5. [2021广东，15分]如图所示是一种花瓣形电子加速器简化示意图.空间有三个同心圆 、 、 围成的区域，圆 内为无场区，圆 与圆 之间存在辐射状电场，圆 与圆 之间有三个圆心角均略小于 的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能 从圆 上 点沿径向进入电场.电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速.已知圆 与圆 之间电势差为 ，圆 半径为 ，圆 半径为 ，电子质量为 ，电荷量为 .忽略相对论效应.取 .
（1）当 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角 均为 ,最终从 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示.求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当 时，要保证电子从出射区域出射，求 的最大值.
题组六
一、选择题
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.图中 、 、 三点在同一直线上， 与 垂直，且与电场和磁场方向均垂直. 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线 运动的粒子才能进入区域Ⅱ.若区域Ⅰ中电场强度大小为 、磁感应强度大小为 ,区域Ⅱ中磁感应强度大小为 ,则粒子从 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为 .若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 ,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是( )
A. 若仅将区域 Ⅰ 中磁感应强度大小变为 ，则
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为 ,则
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
2. [2022湖北，4分，多选]在如图所示的平面内，分界线 将宽度为 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 ， 与磁场左右边界垂直.离子源从 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 成 角.已知离子比荷为 ，不计重力.若离子从 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为 ，则离子的入射速度和对应 角的可能组合为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. [2021北京，3分]如图所示，在 坐标系的第一象限内存在匀强磁场.一带电粒子在 点以与 轴正方向成 的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于 轴射出磁场.已知带电粒子质量为 、电荷量为 ， .不计重力.根据上述信息可以得出( )
A. 带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B. 带电粒子在磁场中运动的速率
C. 带电粒子在磁场中运动的时间 D. 该匀强磁场的磁感应强度
4. [2021全国乙，6分]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 、电荷量为 的带电粒子从圆周上的 点沿直径 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 ；若射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 .不计重力，则 为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
5. [2023浙江6月选考，11分]某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置(简化为与火箭绝缘的导电杆 和装置 组成，并形成闭合回路.装置 能自动调节其输出电压确保回路电流 恒定，方向如图所示.导轨长度远大于导轨间距,不论导电杆运动到什么位置，电流 在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 (其中 为常量),方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小 ,方向与 相同.火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度 进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停.已知火箭与导电杆的总质量为 ,导轨间距 ，导电杆电阻为 .导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置 的内阻.在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小 和运动的距离 ;
（2）求回路感应电动势 与运动时间 的关系;
（3）求装置 输出电压 与运动时间 的关系和输出的能量 ;
（4）若 的阻值视为0,装置 用于回收能量,给出装置 可回收能量的来源和大小.
6. [2021河北，16分]如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，极板与可调电源相连.正极板上 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 、电荷量为 .一足够长的挡板 与正极板成 倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子. 、 是负极板上的两点， 点位于 点的正上方， 点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子， 长度为 ,忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力, .
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在 点处的粒子靶上，求可调电源电压 的大小;
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 上,求电压的最小值 ;
（3）若粒子靶在负极板上的位置 点左右可调，则负极板上存在 、 两点 ， 、 两点未在图中标出),对于粒子靶在 区域内的每一点,当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到 种能量的粒子，求 和 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）.
题组七
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上 点开有一个小孔,过 的横截面是以 为圆心的圆,如图所示.一带电粒子从 点沿 射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是( )
A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心
B. 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连线
2. [2022湖北，4分，多选]如图所示，一带电粒子以初速度 沿 轴正方向从坐标原点 射入，并经过点 .若上述过程仅由方向平行于 轴的匀强电场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，到达 点的动能为 .若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，
到达 点的动能为 .下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
3. [2021海南，4分，多选]如图，在平面直角坐标系 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 .大量质量为 、电荷量为 的相同粒子从 轴上的 点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与 轴正方向的夹角为 .当 时，粒子垂直 轴离开磁场.不计粒子的重力.则( )
A. 粒子一定带正电
B. 当 时，粒子也垂直 轴离开磁场
C. 粒子入射速率为
D. 粒子离开磁场的位置到 点的最大距离为
4. [2020全国Ⅰ，6分]一匀强磁场的磁感应强度大小为 ,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径 共线， 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 、电荷量为 的粒子，在纸面内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
5. [2022河北，16分]两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示,金属板与可调电源相连形成电场,方向沿 轴正方向.在两板之间施加磁场,方向垂直 平面向外.电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示.板间 点放置一粒子源,可连续释放质量为 、电荷量为 、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量.求:
图1
图2
（1） 时刻释放的粒子,在 时刻的位置坐标;
（2）在 时间内，静电力对 时刻释放的粒子所做的功;
（3）在 点放置一粒子接收器,在 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获.
6. [2021天津，18分]霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中.长方体半导体材料厚为 、宽为 、长为 ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示.半导体中有电荷量均为 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 和 .当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，沿 方向，于是在 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 ，沿 方向.
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 方向定向移动的速率分别为 、 ，求 时间内运动到半导体 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 方向上形成的电流应满足的条件.
题组八
1. [2021辽宁，19分]如图所示，在 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场；在 区域内存在沿 轴正方向的匀强电场.质量为 、电荷量为 的粒子甲从点 由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点 、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙.（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用,忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小 ；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在 区域内加上与 区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间 ；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离 .
2. [2021全国甲，20分]如图，长度均为 的两块挡板竖直相对放置，间距也为 ，两挡板上边缘 和 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 ；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场.一质量为 ，电荷量为 的粒子自电场中某处以大小为 的速度水平向右发射，恰好从 点处射入磁场，从两挡板下边缘 和 之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞.已知粒子射入磁场时的速度方向与 的夹角为 ，不计重力
（1）求粒子发射位置到 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板 的最近距离.
3. [2020山东，14分]某型号质谱仪的工作原理如图甲所示. 、 为竖直放置的两金属板，两板间电压为 ， 板为记录板，分界面 将 、 间区域分为宽度均为 的Ⅰ、Ⅱ两部分， 、 、 、 所在平面相互平行， 、 为 、 上两正对的小孔.以 、 所在直线为 轴，向右为正方向，取 轴与 板的交点 为坐标原点，以平行于 板水平向里为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为 和 .一质量为 ，电荷量为 的粒子，从 孔飘入电场（初速度视为零），经 孔进入磁场，过 面上的 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板 上.不计粒子重力.
图甲
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径 以及 点到 轴的距离 ；
（2）求粒子打到记录板上位置的 坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的 坐标（用 、 表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点 、 、 ，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）.
图乙
4. [2020浙江7月选考，10分]某种离子诊断测量简化装置如图所示.竖直平面内存在边界为矩形 、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地. 、 、 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 水平射入磁场， 束中的离子在磁场中沿半径为 的四分之一圆弧运动后从下边界 竖直向下射出，并打在探测板的右边缘 点.已知每束每秒射入磁场的离子数均为 ，离子束间的距离均为 ,探测板 的宽度为 ，离子质量均为 、电荷量均为 ，不计重力及离子间的相互作用.
（1）求离子速度 的大小及 束中的离子射出磁场边界 时与 点的距离 ;
（2）求探测到三束离子时探测板与边界 的最大距离 ；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量 与板到 距离 的关系.
专题十一 磁 场
磁场的基本性质
题组一
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B. 形导线通以恒定电流 ,放置在磁场中.已知 边长为 ,与磁场方向垂直, 边长为 ,与磁场方向平行.该导线受到的安培力为( C )
A. 0 B. C. D.
[解析] , 对， 错
2. [2023浙江1月选考，3分]某兴趣小组设计的测量大电流的装置如图所示，通有电流 的螺绕环在霍尔元件处产生的磁场 ，通有待测电流 的直导线 垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元件处产生的磁场 .调节电阻 ，当电流表示数为 时，元件输出霍尔电压 为零，则待测电流 的方向和大小分别为( D )
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 霍尔元件输出的电压为零，则霍尔元件中的载流子不发生偏转，即霍尔元件所在处的磁感应强度为零，故螺绕环在霍尔元件处所产生磁场的磁感应强度与直导线在霍尔元件处所产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，即 ，解得 ，又由右手螺旋定则可知螺绕环在霍尔元件处产生的磁场方向竖直向下，则直导线在该处产生的磁场方向应竖直向上，由安培定则可知直导线中的电流方向由 到 ， 正确， 错误.
3. [2022江苏，4分]如图所示，两根固定的通电长直导线 、 相互垂直， 平行于纸面，电流方向向右， 垂直于纸面，电流方向向里.则导线 所受安培力方向( C )
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
[解析]
4. [2022湖南，4分]如图（a），直导线 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴 上，其所在区域存在方向垂直指向 的磁场，与 距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示.导线通以电流 ，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为 .下列说法正确的是( D )
图（a） 图（b）
A. 当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由 指向
B. 电流 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C. 与电流 成正比
D. 与电流 成正比
[解析] 当导线静止在图（a）右侧时，导体棒 在重力、拉力和安培力的作用下处于平衡状态，由平衡条件可知，导体棒所受安培力指向右侧，又安培力与磁场方向垂直，所以安培力垂直于轻绳指向右上方，由左手定则可知，导线中电流方向由 指向 ， 项错误；由平衡条件有轻绳拉力 ，又 ，得 ，分析易知 、 项错误， 项正确.
5. [2021江苏，4分]在光滑水平桌面上将长为 的软导线两端固定，固定点的距离为 ，导线通有电流 ，处于磁感应强度大小为 、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为( A )
A. B. C. D.
[解析]
软导线在安培力与两固定点拉力的作用下处于平衡状态，张紧后的形状为一半圆，如图所示，由于软导线在磁场中的有效长度为 ，故受到的安培力 ，则两固定点对软导线的拉力均为 ,因此软导线中张力 ， 正确， 、 、 错误.
6. [2021全国甲，6分]两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内， 与 在一条直线上， 与 在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流 ，电流方向如图所示.若一根无限长直导线通过电流 时，所产生的磁场在距离导线 处的磁感应强度大小为 ，则图中与导线距离均为 的 、 两点处的磁感应强度大小分别为( B )
A. 、0 B. 0、 C. 、 D. 、
[解析] 根据安培定则可知沿 的等效电流产生的磁场在 点的磁感应强度方向垂直纸面向里、在 点的磁感应强度方向垂直纸面向外，且大小均为 ，沿 的等效电流产生的磁场在 、 两点的磁感应强度方向均垂直纸面向里且大小均为 ，根据磁场的叠加原理可得 点的合磁感应强度大小为 ， 点的合磁感应强度大小为 ，故选项 、 、 错误，选项 正确.
7. [2021广东，4分]截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线.若中心直导线通入电流 ，四根平行直导线均通入电流 ， ，电流方向如图所示.下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是( C )
A. B.
C. D.
[解析] 由于 ，故长管外面的四根通电平行直导线间的安培力可忽略，只考虑长管内通入电流 的直导线对长管外四根平行直导线的安培力作用，中心直导线四周产生顺时针方向的环形磁场，结合左手定则可知，通电后左右两根平行直导线挤压绝缘弹性长管靠近固定长直导线，上下两根平行直导线远离固定长直导线，选项 正确.
【光速解法】 利用“同向通电直导线相互吸引、异向通电直导线相互排斥”的结论可快速解题.
8. [2019江苏，4分，多选]如图所示,在光滑的水平桌面上, 和 是两条固定的平行长直导线,通过的电流强度相等.矩形线框位于两条导线的正中间,通有顺时针方向的电流,在 、 产生的磁场作用下静止.则 、 的电流方向可能是( CD )
A.均向左 B. 均向右
C. 的向左, 的向右 D. 的向右, 的向左
[解析] 若 、 的电流方向均向左，根据安培定则和磁场的叠加可知， 直导线到 、 直导线正中间部分的磁场方向垂直纸面向外，而 直导线到 、 直导线正中间部分的磁场方向垂直纸面向里，再根据左手定则可知，矩形线框受到的安培力的合力不为零，与题中线框在磁场作用下静止不符；同理，若 、 的电流方向均向右，可知矩形线框受到的安培力的合力不为零，与题中线框在磁场作用下静止也不符.选项 、 均错误.若 的电流方向向左、 的电流方向向右，根据安培定则和磁场的叠加可知， 、 直导线在 、 直导线中间所有空间产生的磁场方向均垂直纸面向外，根据左手定则可知，矩形线框受到的安培力的合力为零，与题中线框在磁场作用下静止相符；同理，若 的电流方向向右、 的电流方向向左，根据安培定则和磁场的叠加可知， 、 直导线在 、 直导线中间所有空间产生的磁场方向均垂直纸面向里，根据左手定则可知，矩形线框受到的安培力的合力也为零，与题中线框在磁场作用下静止相符，选项 、 均正确.
【快解秘诀】 根据“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，可快速判断C、D正确.
二、非选择题
9. [2023海南，12分]如图所示， 形金属杆上边长为 ，质量为 ，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为 的匀强磁场.
（1）若插入导电液体部分深 ，闭合电键，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度 ，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；
[答案] 对金属杆，离开液面后跳起的高度为 ，由运动学公式有
（2分）
解得 （1分）
对金属杆从刚闭合电键至其下端离液面高度为 的过程，由动能定理有 （2分）
解得 （1分）
（2）若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度 ，通电时间 ，求通过金属杆横截面的电荷量.
[答案] 对金属杆，由动量定理有 （2分）
由运动学公式有 （1分）
又 （2分）
解得 （1分）
题组二
一、选择题
1. [2022福建，6分，多选]奥斯特利用如图所示实验装置研究电流的磁效应.一个可自由转动的小磁针放在白金丝导线正下方，导线两端与一伏打电池相连.接通电源瞬间，小磁针发生了明显偏转.奥斯特采用控制变量法，继续研究了导线直径、导线材料、电池电动势以及小磁针位置等因素对小磁针偏转情况的影响.他能得到的实验结果有( AB )
A. 减小白金丝直径，小磁针仍能偏转
B. 用铜导线替换白金丝，小磁针仍能偏转
C. 减小电源电动势，小磁针一定不能偏转
D. 小磁针的偏转情况与其放置位置无关
[解析] 减小白金丝直径，仍存在电流，其产生的磁场仍能使小磁针偏转， 正确；白金丝换成铜导线，仍存在电流，产生的磁场仍能使小磁针偏转， 正确；减小电源电动势，只要导线中有电流，小磁针还是会发生偏转， 错误；通电导线产生的磁场与地磁场叠加后，其空间磁场方向与位置有关，当小磁针摆放在不同位置时其偏转情况不同， 错误.
2. [2022北京，3分]如图所示平面内，在通有图示方向电流 的长直导线右侧,固定一矩形金属线框 ， 边与导线平行.调节电流 使空间各点的磁感应强度随时间均匀增加，则( D )
A. 线框中产生的感应电流方向为
B. 线框中产生的感应电流逐渐增大
C. 线框 边所受的安培力大小恒定
D. 线框整体受到的安培力方向水平向右
[解析] 根据安培定则可知，通电直导线右侧的磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度随时间均匀增加，根据楞次定律可知线框中产生的感应电流方向为 ， 错误.线框中产生的感应电流为 ，空间各点的磁感应强度随时间均匀增加，故线框中产生的感应电流不变， 错误.线框 边感应电流保持不变，磁感应强度随时间均匀增加，根据安培力表达式 ，知所受的安培力变大， 错误.线框所处空间的磁场方向垂直纸面向里，线框中产生的感应电流方向为 ，根据左手定则可知，线框 边所受的安培力水平向右，线框 边所受的安培力水平向左， 边和 边所受的安培力大小相等、方向相反.由通电直导线的磁场分布特点可知 处的磁感应强度较大，结合安培力表达式 可知，线框整体受到的安培力方向水平向右， 正确.
3. [2022全国乙，6分，多选]安装适当的软件后,利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度 .如图,在手机上建立直角坐标系,手机显示屏所在平面为 面.某同学在某地对地磁场进行了四次测量,每次测量时 轴指向不同方向而 轴正向保持竖直向上.根据表中测量结果可推知( BC )
测量序号
1 0 21
2 0
3 21 0
4 0
A. 测量地点位于南半球 B. 当地的地磁场大小约为
C. 第2次测量时 轴正向指向南方 D. 第3次测量时 轴正向指向东方
[解析] 地磁北极在地理南极附近，地磁南极在地理北极附近，根据测量数据可知， 为负值，测量地点位于北半球， 错误；利用第1次测量的数据可得当地的地磁场大小为 ， 正确；第2次测量时 为负值， 轴正向指向南方，选项 正确；第3次测量时 为正值， 轴正向指向北方， 轴正向指向西方，选项 错误.
【温馨提示】 要注意地球表面的地磁场方向指向地理北极附近，在北半球，地磁场竖直分量向下，在南半球，地磁场竖直分量向上.
4. [2021河北，4分]如图，距离为 的两平行金属板 、 之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为 ，一束速度大小为 的等离子体垂直于磁场喷入板间.相距为 的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ，导轨平面与水平面夹角为 ，两导轨分别与 、 相连.质量为 、电阻为 的金属棒 垂直导轨放置，恰好静止.重力加速度为 ，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力.下列说法正确的是( B )
A. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
D. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
[解析] 等离子体在磁场中运动，设 两板间电压为 ，有 ,根据左手定则可知，金属板 带负电、金属板 带正电，由金属棒 静止可知，金属棒受到的安培力沿导轨向上，根据左手定则可知磁场 垂直导轨平面向下，有 ，根据闭合电路欧姆定律有 ，联立解得 ，选项 正确， 、 、 错误.
5. [2021福建，6分，多选]如图，四条相互平行的细长直导线垂直坐标系 平面，导线与坐标平面的交点为 、 、 、 四点.已知 、 、 、 为正方形的四个顶点，正方形中心位于坐标原点 ， 为 的中点且在 轴上；四条导线中的电流大小相等，其中过 点的导线的电流方向垂直坐标平面向里，其余导线的电流方向垂直坐标平面向外.则( BD )
A. 点的磁感应强度为0 B. 点的磁感应强度方向由 指向
C. 点的磁感应强度方向沿 轴正方向 D. 点的磁感应强度方向沿 轴负方向
[解析] 由安培定则可知，通电直导线 、 在 点产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，相互抵消；通电直导线 、 在 点产生的磁场方向均垂直 连线指向 ，故 点的磁感应强度不为零，方向由 指向 ,选项 错误， 正确.通电直导线 、 在 点产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，相互抵消；通电直导线 、 在 点产生磁场的磁感应强度大小相等、方向分别垂直 连线和 连线，二者的合磁场方向沿 轴负方向，故选项 错误， 正确.
6. [2021浙江6月选考，6分，多选]如图所示，有两根用超导材料制成的长直平行细导线 、 ，分别通以 和 、流向相同的电流,两导线构成的平面内有一点 ，到两导线的距离相等.下列说法正确的是( BCD )
A. 两导线受到的安培力
B. 导线所受的安培力可以用 计算
C. 移走导线 前后, 点的磁感应强度方向改变
D. 在离两导线平面有一定距离的有限空间内,不存在磁感应强度为零的位置
[解析] 、 导线受到的安培力是相互作用力，所以大小应该相等，选项 错误；根据通电直导线的磁场分布特点，导线所受的安培力可以用 进行计算，选项 正确；根据右手定则可知， 在 处产生的磁场方向垂直纸面向外，而 在该处产生的磁场方向垂直纸面向里，由于 导线中电流强，所以合磁场方向垂直纸面向里，若撤走 导线，则 点的磁场方向垂直纸面向外，故选项 正确；根据通电直导线的磁场分布特点，两导线所在平面内存在一条磁感应强度为零的线，但在两导线所在平面外的有限空间内不可能存在磁感应强度为零的地方，选项 正确.
二、非选择题
7. [2022上海，4分]如图，四根电阻均匀分布且相等的电阻丝连接成一个闭合的正方形线框, 为正方形线框的中心.当大小为 的电流从 点流入、 点流出时， 边在 点产生的磁场方向为 （选填“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）.已知直导线在 点产生的磁感应强度大小与流经导线的电流大小成正比，若 边在 点产生的磁场的磁感应强度为 ,则整个线框在 点产生的磁场的磁感应强度大小为 .
[答案] 垂直纸面向外（2分）; 0（2分）
[解析] 当大小为 的电流从 点流入、 点流出时，根据安培定则可知， 边在 点产生的磁场方向为垂直纸面向外.由于四根电阻丝电阻相等，设每根电阻丝的电阻为 ， 边电流为 ， 边、 边、 边电流为 ，根据并联电路规律有 ，解得 .根据安培定则可知， 边、 边、 边在 点产生的磁场方向都是垂直纸面向里，由于 正比于 ，则 边、 边、 边在 点产生的磁场的磁感应强度大小均为 ，根据磁场叠加原理可知，整个线框在 点产生的磁场的磁感应强度大小为 .
磁场对运动电荷的作用
题组三
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是( A )
A. 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B. 小球运动过程中的速度不变
C. 小球运动过程中的加速度保持不变
D. 小球受到的洛伦兹力对小球做正功
[解析] 小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右， 对；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为零，所以小球运动过程中的速度变化， 错；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化， 错；洛伦兹力永不做功， 错.
2. [2023全国乙，6分]如图，一磁感应强度大小为 的匀强磁场，方向垂直于纸面（ 平面）向里，磁场右边界与 轴垂直.一带电粒子由 点沿 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于 轴的接收屏上的 点； , 与屏的距离为 ，与 轴的距离为 .如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为 的匀强电场，该粒子入射后则会沿 轴到达接收屏.该粒子的比荷为( A )
A. B. C. D.
[解析]
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示
3. [2022海南，3分]如图，两块圆弧形金属板间存在方向指向圆心 的电场，与 点等距处电场强度大小相等.一束正离子流沿纸面垂直电场方向以相同速度射入电场，其中一部分离子能沿着某一等势面通过电场，然后进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，则这部分离子中，沿相同轨迹通过磁场的离子都具有相同的( C )
A. 质量 B. 电荷量 C. 比荷 D. 动能
[解析]
4. [2021福建，4分]一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示.一质子 以速度 自 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动.下列粒子分别自 点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响） ( B )
A. 以速度 射入的正电子 B. 以速度 射入的电子
C. 以速度 射入的氘核 D. 以速度 射入的 粒子
[解析] 根据题述，质子 以速度 自 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，可知质子所受的电场力和洛伦兹力平衡，即 .因此凡是满足速度 的粒子都能够做匀速直线运动，所以选项 正确.
二、非选择题
5. [2023辽宁，13分]如图，水平位置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍.金属板外有一圆心为 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.质量为 、 电荷量为 的粒子沿中线以速度 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 点飞出电场，并沿 方向从图中 点射入磁场.已知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力.
（1）求金属板间电势差 .
[答案] 设平行金属板间距为 ，则平行金属板板长为 （1分）
粒子在两平行金属板间做类平抛运动
水平方向： （1分）
竖直方向： （1分）
又 （1分）
联立解得 （1分）
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 .
[答案] 粒子进入磁场时的速度 （1分）
设其与水平方向的夹角为 ，则 ,即 由 得，粒子在磁场中做圆周运动的半径 （1分）
已知磁场圆半径 ,则 （1分）
作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图1所示
粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可得 （1分）
故 （1分）
图1
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中 点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长.定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心 .
[答案] 根据几何关系，将磁场圆绕 点顺时针旋转，当 点转到 点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长.作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的圆心 ，如图2所示.（3分）
图2
6. [2023浙江1月选考，11分]探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示. 轴上方存在垂直 平面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场. 轴下方的分析器由两块相距为 、长度足够的平行金属薄板 和 组成，其中位于 轴的 板中心有一小孔 （孔径忽略不计）， 板连接电流表后接地.位于坐标原点 的离子源能发射质量为 、电荷量为 的正离子，其速度方向与 轴夹角最大值为 ；且各个方向均有速度大小连续分布在 和 之间的离子射出.已知速度大小为 、沿 轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直 轴射入孔 .未能射入孔 的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）.不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞.
（1）求孔 所处位置的坐标 ；
[答案] 离子在磁场中做圆周运动，根据由洛伦兹力提供向心力可得
（1分）
（1分）
（2）求离子打在 板上区域的长度 ；
[答案] 如图所示，与 轴夹角为 的离子经磁场偏转后进入孔 后仍与 轴成 角
（1分）
（1分）
进入孔 后离子速度方向与 轴的最大夹角为
，即
由几何关系可得 （1分）
（3）若在 与 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压 ；
[答案] 进入孔 的离子速度大小 及其与 轴夹角 必须满足
（1分）
由动能定理可得
（1分）
解得 （1分）
（4）若将分析器沿着 轴平移，调节加载在 与 板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压 与孔 位置坐标 之间关系式.
[答案] 由上述分析及离子速度方向、大小的范围可知，离子经偏转后能进入孔 的位置范围为 （1分）
且
由动能定理得 （1分）
解得 （1分）
题组四
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分）一电子和一 粒子从铅盒上的小孔 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 上的 和 两点， 点在小孔 的正上方， 点在 点的右侧，如图所示.已知 粒子的速度约为电子速度的 ,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为( C )
A. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
[解析] 假设电子打在 点，即其所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，故 ，由于 粒子的速度 小于电子的速度 ，所以 ， 粒子经过电、磁组合场后向右偏转，即其所受合力方向向右，由于 粒子带正电，所以电场方向水平向右， 错误；电子所受电场力方向水平向左，则其所受洛伦兹力方向水平向右，则磁场方向垂直纸面向里， 错误， 正确.假设 粒子打在 点，同样可以得出 正确.
【考情速递】 题目源自速度选择器模型，根据两种粒子在速度选择器中运动的轨迹情况及两种粒子的速度特点反推电场、磁场方向的可能情况，考查逻辑推理能力，需要经过猜想、验证、再猜想、再验证的过程.
2. [2022北京，3分]正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷.在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示.下列说法正确的是( A )
A. 磁场方向垂直于纸面向里 B. 轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C. 轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D. 轨迹3对应的粒子是正电子
[解析]
3. [2022重庆，4分]2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为 ，磁感应强度大小为 .若某电荷量为 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为 ，垂直于磁场方向的分量大小为 ，不计离子重力，则( D )
A. 电场力的瞬时功率为 B. 该离子受到的洛伦兹力大小为
C. 与 的比值不断变大 D. 该离子的加速度大小不变
[解析]
4. [2021湖北，4分，多选]一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成 、 和 三个微粒， 和 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示， 未在图中标出.仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是( BC )
A. 带负电荷 B. 带正电荷
C. 带负电荷 D. 和 的动量大小一定相等
[解析] 由左手定则可知，粒子 、粒子 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应保持不变，则粒子 应带负电， 错误， 、 正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即 ，解得 ，由于粒子 与粒子 的电荷量大小关系未知，则粒子 与粒子 的动量大小关系不确定， 错误.
二、非选择题
5. [2023江苏，15分]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 .质量为 、电荷量为 的电子从 点沿 轴正方向水平入射.入射速度为 时,电子沿 轴做直线运动;入射速度小于 时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
（1）求电场强度的大小 ;
[答案] 电子沿 轴做直线运动，则电子受平衡力的作用，即
（2分）
解得 （1分）
（2）若电子入射速度为 ,求运动到速度为 时位置的纵坐标 ;
[答案] 电子在电、磁叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由 到 的过程，由动能定理得
（2分）
联立解得 （1分）
（3）若电子入射速度在 范围内均匀分布,求能到达纵坐标 位置的电子数 占总电子数 的百分比.
[答案] 设电子的入射速度为 时刚好能达到纵坐标为 的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为 ，则
电子在最低点的合力为 （1分）
电子在最高点的合力为 （1分）
由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等，即 （1分）
整理得
电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得
（1分）
整理得
解得 （2分）
又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大（1分）
则能到 的位置的电子数占总电子数的比例为
（1分）
解得 （1分）
6. [2022江苏，8分]利用云室可以知道带电粒子的性质.如图所示，云室中存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，一个质量为 、速度为 的电中性粒子在 点分裂成带等量异号电荷的粒子 和 ， 、 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比 ，半径之比 .不计重力及粒子间的相互作用力.求：
（1）粒子 、 的质量之比 ；
[答案] 分裂后带电粒子在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 （1分）
解得 （1分）
由题干知半径之比
故 （1分）
因为相同时间内的径迹长度之比
则分裂后粒子在磁场中的速度之比为
（1分）
联立解得 （1分）
（2）粒子 的动量大小 .
[答案] 中性粒子在 点分裂成带等量异号电荷的粒子 和 ，分裂过程中，没有外力作用，动量守恒，根据动量守恒定律有 （1分）
因为分裂后动量关系为 （1分）
联立解得 （1分）
【图形剖析】
题组五
一、选择题
1. [2023海南，4分，多选]如图所示，质量为 、带电荷量为 的带电粒子，从坐标原点 以初速度 射入第一象限内的电、磁场区域，在 , 、 为已知量)区域内有竖直向上的匀强电场，在 区域内有垂直纸面向里、大小为 的匀强磁场，控制电场强度 值有多种可能)，可让粒子从 射入磁场后偏转打到足够长的接收器 上，不计重力，则( AD )
A. 粒子从 中点射入磁场，电场强度
B. 粒子从 中点射入磁场时的速度
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到 的距离为
D. 粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是
[解析] 若粒子从 中点射入磁场，在电场中，水平方向有 ，竖直方向有 ，解得 ， 对；粒子在电场中运动，由动能定理有 ，结合 项分析可得 ， 错；粒子在电场中的运动过程，竖直方向有 ，粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有 ，设粒子从电场中射出时的速度方向与 轴正方向的夹角为 ，根据几何关系可知，圆心到 的距离为 ， 错；经分析可知，粒子从 点进入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径最大，在电场中运动时，水平方向有 ，竖直方向有 ，由动能定理有 ，粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有 ，联立解得 ， 对.
2. [2022辽宁，6分，多选]粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两个粒子先后从 点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的 点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的 点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是( AD )
A. 粒子1可能为中子
B. 粒子2可能为电子
C. 若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的 点
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的 点
[解析] 由于粒子1在磁场中沿直线运动，则粒子1不带电，因此粒子1可能为中子， 正确；粒子2在磁场中向上偏转，由左手定则可知，粒子2一定带正电， 错误；由于粒子1不带电，在磁场中不发生偏转，增大磁感应强度，粒子1仍打在 点， 错误；由 得 ，若增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的轨迹半径增大，粒子2可能打在探测器上的 点， 正确.
3. [2022全国甲，6分]空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面 平面)向里，电场的方向沿 轴正方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点 由静止开始运动.下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是( B )
A.
B.
C.
D.
[解析] 分析可知，开始一段较短时间内，粒子具有沿 方向的速度，由左手定则可知，粒子应向左侧偏转， 、 项错误；由于粒子所受电场力沿 方向，且粒子初速度为零、初始位置在坐标原点，故粒子运动轨迹的最低点在 轴上， 项错误， 项正确.
二、非选择题
4. [2023浙江6月选考，11分]利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术.如图所示, 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为 、边界均平行 轴的区域Ⅰ和Ⅱ ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，区域Ⅱ 存在磁感应强度大小为 的磁场，方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ 的下边界与 轴重合.位于 处的离子源能释放出质量为 、电荷量为 、速度方向与 轴夹角为 的正离子束,沿纸面射向磁场区域.不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应.
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度 及其在磁场中的运动时间 ;
[答案] 离子恰不进入区域Ⅱ时的速度为离子不进入区域Ⅱ的最大速度，作出其此时的运动轨迹，如图1所示
由轨迹图中的几何关系得 （1分）
解得
由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得
由图1的几何关系可得运动轨迹所对圆心角为
则离子在磁场中的运动时间 （1分）
图1
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度 ;
[答案] 解法一 作出离子恰好能到达 处的运动轨迹，如图2所示
若 ，由 可知离子在区域Ⅰ中的运动轨迹半径为
图2
由几何关系可等效为 时离子恰好运动到 处，如图3（1分）
图3
由轨迹图中几何关系可得 （1分）
解得
离子在区域Ⅰ磁场中运动，有 （1分）
解得 （1分）
解法二 当离子运动到 处时的速度方向水平向右时，速度最小，设为 ，又 ，则由 可知
作出离子的轨迹如图所示
由几何关系可知
设 ，在 中
又由几何关系得
解得
结合 可解得
（3）若 ,且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 ~ 范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比 .
[答案] 解法一 由区域Ⅱ中磁场磁感应强度 ,可知其可等效为匀强磁场，磁感应强度为 ，若再把区域Ⅱ中磁场等效为磁感应强度为 的匀强磁场，则磁场宽度则等效为 .画出恰好不能进入第四象限的离子运动轨迹，如图4
图4
由轨迹图中几何关系得 （1分）
解得
由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得
即速度大于 的离子都能够进入第四象限（1分）
进入第四象限的离子数与总离子数之比为 （1分）
解法二 离子在水平方向上的洛伦兹力
在磁场Ⅰ中，由动量定理得
则
即
在磁场Ⅱ中，由动量定理得
则
即
故在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中有
解得
又速度越小，离子越不容易进入第四象限
所以 时离子进入第四象限
故
5. [2021广东，15分]如图所示是一种花瓣形电子加速器简化示意图.空间有三个同心圆 、 、 围成的区域，圆 内为无场区，圆 与圆 之间存在辐射状电场，圆 与圆 之间有三个圆心角均略小于 的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能 从圆 上 点沿径向进入电场.电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速.已知圆 与圆 之间电势差为 ，圆 半径为 ，圆 半径为 ，电子质量为 ，电荷量为 .忽略相对论效应.取 .
（1）当 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角 均为 ,最终从 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示.求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在 点出射时的动能；
[答案] 根据题述情境，由动能定理得电子在Ⅰ区磁场中运动的动能为 （1分）
解得 （1分）
由几何关系得 ，解得电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹半径 （1分）
电子在Ⅰ区匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得
（1分）
解得Ⅰ区的磁感应强度大小 （1分）
电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹所对圆心角为
（1分）
则电子在Ⅰ区磁场中的运动时间 （1分）
电子总共经过8次加速，由动能定理得 （1分）
解得电子在 点出射时的动能 （1分）
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当 时，要保证电子从出射区域出射，求 的最大值.
[答案] 电子运动轨迹与Ⅰ区磁场外边界相切时 最大，由几何关系得
（1分）
解得电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹半径 （1分）
电子在Ⅰ区匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得
（1分）
解得 （1分）
由动能定理得 （1分）
即 ，解得 的最大值为 （1分）
题组六
一、选择题
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.图中 、 、 三点在同一直线上， 与 垂直，且与电场和磁场方向均垂直. 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线 运动的粒子才能进入区域Ⅱ.若区域Ⅰ中电场强度大小为 、磁感应强度大小为 ,区域Ⅱ中磁感应强度大小为 ,则粒子从 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为 .若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 ,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是( D )
A. 若仅将区域 Ⅰ 中磁感应强度大小变为 ，则
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为 ,则
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
[解析] 粒子在Ⅰ中 粒子在Ⅱ中运动的轨迹半径为
所用时间
仅将 变为 从 的四等分点处竖直向下射出
仅将 变为 从 点竖直向下射出
粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图1所示
粒子转过的圆心角均为 ，粒子在Ⅱ中运动的时间仍为 ， 错
图1
仅将 变为 半径 ，粒子从 边离开，如图2所示 对应圆心角的正弦值 粒子转过圆心角 粒子运动时间 ， 错
图2
仅将 变为 半径 ，粒子从 边离开,如图3所示 对应圆心角的正弦值 粒子转过圆心角 粒子运动时间 , 对
图3
2. [2022湖北，4分，多选]在如图所示的平面内，分界线 将宽度为 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 ， 与磁场左右边界垂直.离子源从 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 成 角.已知离子比荷为 ，不计重力.若离子从 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为 ，则离子的入射速度和对应 角的可能组合为( BC )
A. ， B. ， C. ， D. ，
[解析] 若 ，则半径 ,则轨迹如图甲所示，从图中可以看出 ，选项 错误；若 ，则半径 ,则轨迹如图乙所示，从图中可以看出 ，选项 正确；若 ，则半径 ,则轨迹如图丙所示，从图中可以看出 ，选项 正确；若 ，则半径 ,则轨迹如图丁所示，从图中可以看出离子不从 点射出，选项 错误.
图甲 图乙
图丙 图丁
3. [2021北京，3分]如图所示，在 坐标系的第一象限内存在匀强磁场.一带电粒子在 点以与 轴正方向成 的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于 轴射出磁场.已知带电粒子质量为 、电荷量为 ， .不计重力.根据上述信息可以得出( A )
A. 带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B. 带电粒子在磁场中运动的速率
C. 带电粒子在磁场中运动的时间 D. 该匀强磁场的磁感应强度
[解析] 如图，找出轨迹圆心 ，画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，利用三角函数知识求出轨迹半径 ，则轨迹方程为 ，故 正确；由洛伦兹力提供向心力有 ，故 ，因为 和 均未知，故选项 、 错误；因为 ， 未知，不能求出周期 ，故不能求出带电粒子在磁场中运动的时间， 错误.
4. [2021全国乙，6分]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 、电荷量为 的带电粒子从圆周上的 点沿直径 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 ；若射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 .不计重力，则 为( B )
A. B. C. D.
[解析] 设圆形磁场区域的半径为 ，沿直径 方向以速度 射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转 ，则其轨迹半径为 ，由洛伦兹力提供向心力得 ，解得 ；沿直径 方向以速度 射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转 ，由几何关系得 ，可得其轨迹半径为 ，由洛伦兹力提供向心力得 ，解得 ,则 ，选项 正确.
二、非选择题
5. [2023浙江6月选考，11分]某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置(简化为与火箭绝缘的导电杆 和装置 组成，并形成闭合回路.装置 能自动调节其输出电压确保回路电流 恒定，方向如图所示.导轨长度远大于导轨间距,不论导电杆运动到什么位置，电流 在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 (其中 为常量),方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小 ,方向与 相同.火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度 进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停.已知火箭与导电杆的总质量为 ,导轨间距 ，导电杆电阻为 .导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置 的内阻.在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小 和运动的距离 ;
[答案] 导电杆所受的安培力大小 （1分）
又 、
整理得 （1分）
火箭落停过程中，由牛顿第二定律得 （1分）
解得
由运动学公式可得，火箭运动的距离
解得 （1分）
（2）求回路感应电动势 与运动时间 的关系;
[答案] 导电杆向下运动的速度为 （1分）
则回路中的感应电动势为
又
整理得 （1分）
（3）求装置 输出电压 与运动时间 的关系和输出的能量 ;
[答案] 由于电路中的电流恒为 ，导电杆下滑过程中的总电动势为
且有
整理得 （1分）
装置 输出的功率为
初始时刻， ,
到达停靠平台时， ,
由 关系可知，
则在火箭落停过程中，装置 输出的能量为
（1分）
（4）若 的阻值视为0,装置 用于回收能量,给出装置 可回收能量的来源和大小.
[答案] 可回收能量的来源为导电杆和火箭机械能的减少（1分）
由能量守恒定律得 （1分）
又由（1）得
整理得 （1分）
6. [2021河北，16分]如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，极板与可调电源相连.正极板上 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 、电荷量为 .一足够长的挡板 与正极板成 倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子. 、 是负极板上的两点， 点位于 点的正上方， 点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子， 长度为 ,忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力, .
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在 点处的粒子靶上，求可调电源电压 的大小;
[答案] 粒子由 到 的过程，根据动能定理有
（1分）
根据几何关系可知带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径
（1分）
根据牛顿第二定律有 （1分）
联立解得 （2分）
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 上,求电压的最小值 ;
[答案] 恰好不打在 上的粒子的运动轨迹如图1所示，设粒子在上方磁场的轨迹半径为 ，在下方磁场中的轨迹半径为 ，则 （1分）
（1分）
粒子进入下方磁场的速度为 ，则
（1分）
根据几何关系有 （1分）
联立解得 （2分）
图1
（3）若粒子靶在负极板上的位置 点左右可调，则负极板上存在 、 两点 ， 、 两点未在图中标出),对于粒子靶在 区域内的每一点,当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到 种能量的粒子，求 和 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）.
[答案] 根据题意可知，当粒子在下方磁场中的运动轨迹与 刚好相切时，再进入上方磁场做圆周运动，从上方打在板上，与上板交点为 ,此位置为距 最近且满足题意的位置，如图2所示，设在上方磁场中运动的轨迹半径为
在下方磁场有 （1分）
可得 （1分）
根据几何关系有
可得 （1分）
则 （1分）
当电压在此值基础上再增大时，在 右侧均可满足题意，故 趋近于 （1分）
图2
题组七
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上 点开有一个小孔,过 的横截面是以 为圆心的圆,如图所示.一带电粒子从 点沿 射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是( BD )
A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心
B. 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连线
[解析] 假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况.如图1所示，由几何关系可知 ，所以 ,又粒子沿直径射入， ，则 ， ,则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连线， 对；粒子在圆筒中先做圆周运动，与圆筒碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心， 错；粒子最少与圆筒碰撞2次，就可能从小孔射出，如图2所示， 对；根据 可知， ,则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与圆筒碰撞次数可能会增多，在圆内运动的时间不一定越短，如图3所示， 错.
图1 图2
图3
2. [2022湖北，4分，多选]如图所示，一带电粒子以初速度 沿 轴正方向从坐标原点 射入，并经过点 .若上述过程仅由方向平行于 轴的匀强电场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，到达 点的动能为 .若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，
到达 点的动能为 .下列关系式正确的是( AD )
A. B. C. D.
[解析] 若题述过程由方向平行于 轴的匀强电场实现，则粒子在 方向不受外力作用，做匀速运动， ，根据动能定理得 ，解得 ；若题述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，则粒子在 方向受沿 负方向的洛伦兹力的分力 作用，做减速运动，所以 ，因为洛伦兹力不做功，根据动能定理可得 .综上所述，选项 正确， 错误.
【技巧点拨】 根据电场力做正功，洛伦兹力不做功，很容易得出动能关系 .判断时间大小关系时，可以将运动分解到 轴方向和 轴方向，可知电场中沿 轴方向粒子做匀速直线运动，而在磁场中沿 轴方向粒子做减速运动，故在磁场中沿 轴方向运动相同位移所用时间更长.
3. [2021海南，4分，多选]如图，在平面直角坐标系 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 .大量质量为 、电荷量为 的相同粒子从 轴上的 点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与 轴正方向的夹角为 .当 时，粒子垂直 轴离开磁场.不计粒子的重力.则( ACD )
A. 粒子一定带正电
B. 当 时，粒子也垂直 轴离开磁场
C. 粒子入射速率为
D. 粒子离开磁场的位置到 点的最大距离为
[解析] 由于粒子垂直 轴离开磁场，故粒子向下偏转，由左手定则可知粒子带正电， 项正确；当 时，粒子运动轨迹如图中轨迹2所示，粒子不再垂直 轴射出磁场， 项错；粒子在磁场中运动，有 ，由几何关系可知 ，所以粒子的速率 ， 项正确； 粒子离开磁场的位置到 点的距离最大时，入射点与出射点间距离为 ，所以出射点到 的最大距离为 ， 项正确.
【关键点拨】 首先作出入射速度的垂线，与 轴的交点 为入射角为 粒子的轨迹圆心，连接 、 即得粒子轨迹半径 ,由几何关系可知 ；当入射角为 时，结合半径用相同的方法找出粒子的轨迹圆心，由于圆心不在 轴上，故出射点一定不垂直 轴，B项错；当粒子离开磁场的位置到 点距离最大时，粒子在磁场中运动轨迹对应的弦为直径，由此确定出射点到 点的最大距离.
4. [2020全国Ⅰ，6分]一匀强磁场的磁感应强度大小为 ,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径 共线， 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 、电荷量为 的粒子，在纸面内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( C )
A. B. C. D.
[解析] 带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有 ，解得 ，运动时间 ， 为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定.采用放缩法，粒子垂直 射入磁场，则轨迹圆圆心必在 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当 为 的半径)和 时，粒子从 、 区域射出磁场，运动时间等于半个周期.当 时，粒子从弧 上射出，轨迹半径从 逐渐增大，粒子射出位置从 点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从 逐渐增大，当半径为 时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对圆心角又逐渐减小，由几何关系可得圆心角最大值为 ，故粒子最长运动时间为 .
二、非选择题
5. [2022河北，16分]两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示,金属板与可调电源相连形成电场,方向沿 轴正方向.在两板之间施加磁场,方向垂直 平面向外.电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示.板间 点放置一粒子源,可连续释放质量为 、电荷量为 、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量.求:
图1
图2
（1） 时刻释放的粒子,在 时刻的位置坐标;
[答案] 由题图2可知,在 时间内,电场沿 轴正方向,粒子初速度为零,粒子沿 轴正方向做匀加速直线运动,粒子沿 轴正方向的位移 （1分）
粒子在 时刻的速度
在 ~ 时间内,只有磁场,粒子做匀速圆周运动
粒子做匀速圆周运动的周期
粒子做圆周运动的时间为
粒子做圆周运动的轨迹半径 （1分）
粒子在 时间内的运动轨迹如图甲所示,可知粒子在 时刻的位置坐标为 （1分）
图甲
（2）在 时间内，静电力对 时刻释放的粒子所做的功;
[答案] 粒子在 时间内的运动轨迹如图乙所示.
时间内,静电力对粒子做的功 （1分）
~ 时间内，粒子沿 轴正方向的位移
则 ~ 时间内，静电力对粒子做的功 （1分）
粒子在 时刻的速度大小
~ 时间内，粒子沿 轴正方向的位移
粒子在 时刻的速度 （1分）
则 ~ 时间内，静电力对粒子做的功 （1分）
则 时间内，静电力对粒子所做的功为
（1分）
图乙
（3）在 点放置一粒子接收器,在 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获.
[答案] 结合（1）中分析有 , .
①若在 之间的 时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图丙所示，有
（1分）
（1分）
结合上述分析有 （1分）
整理得
要使粒子能被捕获需满足 ，代入数据，当 时不等式成立.（1分）
②若在 ~ 之间某时刻释放，先考虑加速两次的情况
同理可得, ,所以无解.（1分）
仅加速一次的情况，分析可知， ~ 时间内粒子一直加速时，加速后在磁场中的运动半径恰好等于 ,则运动半个周期后，横坐标恰好为 ，则有
分析可知 （1分）
则仅加速一次时无解
③若在 ~ 之间某时刻释放，且粒子能在电场存在期间被捕获，分析可知粒子只能经过一次加速
粒子在磁场存在时做圆周运动的轨迹半径为
由圆周运动规律可得粒子的速度大小为 （1分）
粒子在电场中加速过程的位移为
粒子要能被捕获需满足
分析可知 满足要求
则粒子释放的时刻为 （1分）
图丙
6. [2021天津，18分]霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中.长方体半导体材料厚为 、宽为 、长为 ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示.半导体中有电荷量均为 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 和 .当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，沿 方向，于是在 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 ，沿 方向.
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
[答案] 由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿 方向（2分）
（2）若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ；
[答案] 设 时间内流过半导体垂直于 轴某一横截面自由电子的电荷量为 ，由电流定义式，有 （1分）
设自由电子在 方向上定向移动速率为 ，则
（1分）
可导出自由电子的电流微观表达式为 （2分）
单个自由电子所受洛伦兹力大小为 （2分）
霍尔电场力大小为 （2分）
自由电子在 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，则有
解得其合力大小为 （2分）
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 方向定向移动的速率分别为 、 ，求 时间内运动到半导体 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 方向上形成的电流应满足的条件.
[答案] 设 时间内在 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 、空穴数为 ，则 （2分）
（2分）
霍尔电场建立后，半导体 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则有
，即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在 方向形成的电流应大小相等、方向相反.（2分）
题组八
1. [2021辽宁，19分]如图所示，在 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场；在 区域内存在沿 轴正方向的匀强电场.质量为 、电荷量为 的粒子甲从点 由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点 、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙.（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用,忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小 ；
[答案] 根据题述，粒子甲进入匀强磁场后（与乙碰撞前）的轨迹半径 ，由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得粒子甲进入匀强磁场时的速度 （1分）
粒子在匀强电场中加速运动，由动能定理有 （1分）
解得 （1分）
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在 区域内加上与 区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间 ；
[答案] 甲、乙两粒子发生弹性碰撞，由动量守恒定律有
（1分）
由机械能守恒定律有 （1分）
联立解得 , （1分）
碰撞后，粒子乙在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得 （1分）
粒子甲在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
解得
甲、乙两粒子沿相同轨迹做匀速圆周运动，甲的运动周期
（1分）
乙的运动周期 （1分）
又 （1分）
解得 （1分）
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离 .
[答案] 两粒子碰撞后，粒子乙运动 后离开第一象限，在此过程中，粒子甲运动轨迹对应的弧长
（1分）
又 （1分）
则轨迹所对的圆心角 （1分）
撤去磁场和电场后，粒子甲、乙均做匀速直线运动.加上磁场后，两粒子轨迹恰好不相交，画出粒子运动轨迹如图，由几何关系可知， ， ， ，且 ，在三角形 中，由余弦定理有 （2分）
解得 （1分）
2. [2021全国甲，20分]如图，长度均为 的两块挡板竖直相对放置，间距也为 ，两挡板上边缘 和 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 ；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场.一质量为 ，电荷量为 的粒子自电场中某处以大小为 的速度水平向右发射，恰好从 点处射入磁场，从两挡板下边缘 和 之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞.已知粒子射入磁场时的速度方向与 的夹角为 ，不计重力
（1）求粒子发射位置到 点的距离；
[答案] 画出粒子在电场中的运动轨迹，如图1，有
（1分）
, （1分）
, （1分）
从发射位置到 点的距离 （1分）
解得 （1分）
图1
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
[答案] 磁感应强度 较大时，设粒子恰好从 点射出，轨迹半径为 ，在板间的轨迹如图2，则由几何关系有
（1分）
（1分）
图2
结合（1）中分析，有 （1分）
解得 （1分）
磁感应强度 最小时，粒子轨迹恰好过 点，设轨迹半径为 ，如图3
（2分）
（1分）
解得 （1分）
故 （1分）
图3
（3）若粒子正好从 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板 的最近距离.
[答案] 设此情况粒子轨迹半径为 ，画出从 中点 出射粒子的轨迹，过 点作 的垂线，垂足为 ,如图4根据几何知识可知最近距离
（2分）
又 （2分）
解得
得最近距离 （2分）
图4
【一题多解】 能量角度： ，根据动能定理得 ，又有 ， ，联立解得 .
动量角度： ，根据动量定理得 ，又有 ， ， ，联立解得 .
3. [2020山东，14分]某型号质谱仪的工作原理如图甲所示. 、 为竖直放置的两金属板，两板间电压为 ， 板为记录板，分界面 将 、 间区域分为宽度均为 的Ⅰ、Ⅱ两部分， 、 、 、 所在平面相互平行， 、 为 、 上两正对的小孔.以 、 所在直线为 轴，向右为正方向，取 轴与 板的交点 为坐标原点，以平行于 板水平向里为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为 和 .一质量为 ，电荷量为 的粒子，从 孔飘入电场（初速度视为零），经 孔进入磁场，过 面上的 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板 上.不计粒子重力.
图甲
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径 以及 点到 轴的距离 ；
[答案] 设粒子经加速电场到 孔的速度大小为 ，粒子在区域Ⅰ中，做匀速圆周运动对应圆心角为 ，在 、 两金属板间，由动能定理得 ①（1分）
在区域Ⅰ中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得 ②（1分）
联立①②式得 ③
由几何关系得
④
⑤
⑥
联立①②④式得 ⑦（2分）
（2）求粒子打到记录板上位置的 坐标；
[答案] 设区域Ⅱ中粒子沿 轴方向的分速度为 ，沿 轴正方向加速度大小为 ，位移大小为 ，运动时间为 ，由牛顿第二定律得
⑧（1分）
粒子在 轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
⑨（1分）
⑩（1分）
粒子在 方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
（1分）
联立①②⑤⑧⑨⑩ 式得 （2分）
（3）求粒子打到记录板上位置的 坐标（用 、 表示）；
[答案] 设粒子沿 方向偏离 轴的距离为 ，其中在区域Ⅱ中沿 方向偏离的距离为 ,由运动学公式得
由题意得
联立①④⑥⑨⑩ 式得
（2分）
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点 、 、 ，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）.
图乙
[答案] 、 、 分别对应氚核 、氦核 、质子 的位置（2分）
4. [2020浙江7月选考，10分]某种离子诊断测量简化装置如图所示.竖直平面内存在边界为矩形 、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地. 、 、 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子
2019-2023年物理高考真题分类
专题十一 磁 场
磁场的基本性质
题组一
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B. 形导线通以恒定电流 ,放置在磁场中.已知 边长为 ,与磁场方向垂直, 边长为 ,与磁场方向平行.该导线受到的安培力为( )
A. 0 B. C. D.
2. [2023浙江1月选考，3分]某兴趣小组设计的测量大电流的装置如图所示，通有电流 的螺绕环在霍尔元件处产生的磁场 ，通有待测电流 的直导线 垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元件处产生的磁场 .调节电阻 ，当电流表示数为 时，元件输出霍尔电压 为零，则待测电流 的方向和大小分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
3. [2022江苏，4分]如图所示，两根固定的通电长直导线 、 相互垂直， 平行于纸面，电流方向向右， 垂直于纸面，电流方向向里.则导线 所受安培力方向( )
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
4. [2022湖南，4分]如图（a），直导线 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴 上，其所在区域存在方向垂直指向 的磁场，与 距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示.导线通以电流 ，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为 .下列说法正确的是( )
图（a） 图（b）
A. 当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由 指向
B. 电流 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C. 与电流 成正比
D. 与电流 成正比
5. [2021江苏，4分]在光滑水平桌面上将长为 的软导线两端固定，固定点的距离为 ，导线通有电流 ，处于磁感应强度大小为 、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为( )
A. B. C. D.
6. [2021全国甲，6分]两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内， 与 在一条直线上， 与 在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流 ，电流方向如图所示.若一根无限长直导线通过电流 时，所产生的磁场在距离导线 处的磁感应强度大小为 ，则图中与导线距离均为 的 、 两点处的磁感应强度大小分别为( )
A. 、0 B. 0、 C. 、 D. 、
7. [2021广东，4分]截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线.若中心直导线通入电流 ，四根平行直导线均通入电流 ， ，电流方向如图所示.下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是( )
A. B.
C. D.
8. [2019江苏，4分，多选]如图所示,在光滑的水平桌面上, 和 是两条固定的平行长直导线,通过的电流强度相等.矩形线框位于两条导线的正中间,通有顺时针方向的电流,在 、 产生的磁场作用下静止.则 、 的电流方向可能是( )
A.均向左 B. 均向右
C. 的向左, 的向右 D. 的向右, 的向左
二、非选择题
9. [2023海南，12分]如图所示， 形金属杆上边长为 ，质量为 ，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为 的匀强磁场.
（1）若插入导电液体部分深 ，闭合电键，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度 ，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；
（2）若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度 ，通电时间 ，求通过金属杆横截面的电荷量.
题组二
一、选择题
1. [2022福建，6分，多选]奥斯特利用如图所示实验装置研究电流的磁效应.一个可自由转动的小磁针放在白金丝导线正下方，导线两端与一伏打电池相连.接通电源瞬间，小磁针发生了明显偏转.奥斯特采用控制变量法，继续研究了导线直径、导线材料、电池电动势以及小磁针位置等因素对小磁针偏转情况的影响.他能得到的实验结果有( )
A. 减小白金丝直径，小磁针仍能偏转
B. 用铜导线替换白金丝，小磁针仍能偏转
C. 减小电源电动势，小磁针一定不能偏转
D. 小磁针的偏转情况与其放置位置无关
2. [2022北京，3分]如图所示平面内，在通有图示方向电流 的长直导线右侧,固定一矩形金属线框 ， 边与导线平行.调节电流 使空间各点的磁感应强度随时间均匀增加，则( )
A. 线框中产生的感应电流方向为
B. 线框中产生的感应电流逐渐增大
C. 线框 边所受的安培力大小恒定
D. 线框整体受到的安培力方向水平向右
3. [2022全国乙，6分，多选]安装适当的软件后,利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度 .如图,在手机上建立直角坐标系,手机显示屏所在平面为 面.某同学在某地对地磁场进行了四次测量,每次测量时 轴指向不同方向而 轴正向保持竖直向上.根据表中测量结果可推知( )
测量序号
1 0 21
2 0
3 21 0
4 0
A. 测量地点位于南半球 B. 当地的地磁场大小约为
C. 第2次测量时 轴正向指向南方 D. 第3次测量时 轴正向指向东方
4. [2021河北，4分]如图，距离为 的两平行金属板 、 之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为 ，一束速度大小为 的等离子体垂直于磁场喷入板间.相距为 的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ，导轨平面与水平面夹角为 ，两导轨分别与 、 相连.质量为 、电阻为 的金属棒 垂直导轨放置，恰好静止.重力加速度为 ，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力.下列说法正确的是( )
A. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
D. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
5. [2021福建，6分，多选]如图，四条相互平行的细长直导线垂直坐标系 平面，导线与坐标平面的交点为 、 、 、 四点.已知 、 、 、 为正方形的四个顶点，正方形中心位于坐标原点 ， 为 的中点且在 轴上；四条导线中的电流大小相等，其中过 点的导线的电流方向垂直坐标平面向里，其余导线的电流方向垂直坐标平面向外.则( )
A. 点的磁感应强度为0 B. 点的磁感应强度方向由 指向
C. 点的磁感应强度方向沿 轴正方向 D. 点的磁感应强度方向沿 轴负方向
6. [2021浙江6月选考，6分，多选]如图所示，有两根用超导材料制成的长直平行细导线 、 ，分别通以 和 、流向相同的电流,两导线构成的平面内有一点 ，到两导线的距离相等.下列说法正确的是( )
A. 两导线受到的安培力
B. 导线所受的安培力可以用 计算
C. 移走导线 前后, 点的磁感应强度方向改变
D. 在离两导线平面有一定距离的有限空间内,不存在磁感应强度为零的位置
二、非选择题
7. [2022上海，4分]如图，四根电阻均匀分布且相等的电阻丝连接成一个闭合的正方形线框, 为正方形线框的中心.当大小为 的电流从 点流入、 点流出时， 边在 点产生的磁场方向为 （选填“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）.已知直导线在 点产生的磁感应强度大小与流经导线的电流大小成正比，若 边在 点产生的磁场的磁感应强度为 ,则整个线框在 点产生的磁场的磁感应强度大小为 .
磁场对运动电荷的作用
题组三
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是( )
A. 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B. 小球运动过程中的速度不变
C. 小球运动过程中的加速度保持不变
D. 小球受到的洛伦兹力对小球做正功
2. [2023全国乙，6分]如图，一磁感应强度大小为 的匀强磁场，方向垂直于纸面（ 平面）向里，磁场右边界与 轴垂直.一带电粒子由 点沿 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于 轴的接收屏上的 点； , 与屏的距离为 ，与 轴的距离为 .如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为 的匀强电场，该粒子入射后则会沿 轴到达接收屏.该粒子的比荷为( )
A. B. C. D.
3. [2022海南，3分]如图，两块圆弧形金属板间存在方向指向圆心 的电场，与 点等距处电场强度大小相等.一束正离子流沿纸面垂直电场方向以相同速度射入电场，其中一部分离子能沿着某一等势面通过电场，然后进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，则这部分离子中，沿相同轨迹通过磁场的离子都具有相同的( )
A. 质量 B. 电荷量 C. 比荷 D. 动能
4. [2021福建，4分]一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示.一质子 以速度 自 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动.下列粒子分别自 点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响） ( )
A. 以速度 射入的正电子 B. 以速度 射入的电子
C. 以速度 射入的氘核 D. 以速度 射入的 粒子
二、非选择题
5. [2023辽宁，13分]如图，水平位置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍.金属板外有一圆心为 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.质量为 、 电荷量为 的粒子沿中线以速度 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 点飞出电场，并沿 方向从图中 点射入磁场.已知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力.
（1）求金属板间电势差 .
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 .
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中 点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长.定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心 .
6. [2023浙江1月选考，11分]探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示. 轴上方存在垂直 平面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场. 轴下方的分析器由两块相距为 、长度足够的平行金属薄板 和 组成，其中位于 轴的 板中心有一小孔 （孔径忽略不计）， 板连接电流表后接地.位于坐标原点 的离子源能发射质量为 、电荷量为 的正离子，其速度方向与 轴夹角最大值为 ；且各个方向均有速度大小连续分布在 和 之间的离子射出.已知速度大小为 、沿 轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直 轴射入孔 .未能射入孔 的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）.不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞.
（1）求孔 所处位置的坐标 ；
（2）求离子打在 板上区域的长度 ；
（3）若在 与 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压 ；
（4）若将分析器沿着 轴平移，调节加载在 与 板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压 与孔 位置坐标 之间关系式.
题组四
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分）一电子和一 粒子从铅盒上的小孔 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 上的 和 两点， 点在小孔 的正上方， 点在 点的右侧，如图所示.已知 粒子的速度约为电子速度的 ,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为( )
A. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
2. [2022北京，3分]正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷.在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示.下列说法正确的是( )
A. 磁场方向垂直于纸面向里 B. 轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C. 轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D. 轨迹3对应的粒子是正电子
3. [2022重庆，4分]2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为 ，磁感应强度大小为 .若某电荷量为 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为 ，垂直于磁场方向的分量大小为 ，不计离子重力，则( )
A. 电场力的瞬时功率为 B. 该离子受到的洛伦兹力大小为
C. 与 的比值不断变大 D. 该离子的加速度大小不变
4. [2021湖北，4分，多选]一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成 、 和 三个微粒， 和 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示， 未在图中标出.仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是( )
A. 带负电荷 B. 带正电荷
C. 带负电荷 D. 和 的动量大小一定相等
二、非选择题
5. [2023江苏，15分]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 .质量为 、电荷量为 的电子从 点沿 轴正方向水平入射.入射速度为 时,电子沿 轴做直线运动;入射速度小于 时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
（1）求电场强度的大小 ;
（2）若电子入射速度为 ,求运动到速度为 时位置的纵坐标 ;
（3）若电子入射速度在 范围内均匀分布,求能到达纵坐标 位置的电子数 占总电子数 的百分比.
6. [2022江苏，8分]利用云室可以知道带电粒子的性质.如图所示，云室中存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，一个质量为 、速度为 的电中性粒子在 点分裂成带等量异号电荷的粒子 和 ， 、 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比 ，半径之比 .不计重力及粒子间的相互作用力.求：
（1）粒子 、 的质量之比 ；
（2）粒子 的动量大小 .
题组五
一、选择题
1. [2023海南，4分，多选]如图所示，质量为 、带电荷量为 的带电粒子，从坐标原点 以初速度 射入第一象限内的电、磁场区域，在 , 、 为已知量)区域内有竖直向上的匀强电场，在 区域内有垂直纸面向里、大小为 的匀强磁场，控制电场强度 值有多种可能)，可让粒子从 射入磁场后偏转打到足够长的接收器 上，不计重力，则( )
A. 粒子从 中点射入磁场，电场强度
B. 粒子从 中点射入磁场时的速度
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到 的距离为
D. 粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是
2. [2022辽宁，6分，多选]粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两个粒子先后从 点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的 点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的 点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是( )
A. 粒子1可能为中子
B. 粒子2可能为电子
C. 若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的 点
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的 点
3. [2022全国甲，6分]空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面 平面)向里，电场的方向沿 轴正方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点 由静止开始运动.下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是( )
A.
B.
C.
D.
二、非选择题
4. [2023浙江6月选考，11分]利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术.如图所示, 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为 、边界均平行 轴的区域Ⅰ和Ⅱ ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，区域Ⅱ 存在磁感应强度大小为 的磁场，方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ 的下边界与 轴重合.位于 处的离子源能释放出质量为 、电荷量为 、速度方向与 轴夹角为 的正离子束,沿纸面射向磁场区域.不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应.
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度 及其在磁场中的运动时间 ;
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度 ;
（3）若 ,且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 ~ 范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比 .
5. [2021广东，15分]如图所示是一种花瓣形电子加速器简化示意图.空间有三个同心圆 、 、 围成的区域，圆 内为无场区，圆 与圆 之间存在辐射状电场，圆 与圆 之间有三个圆心角均略小于 的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能 从圆 上 点沿径向进入电场.电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速.已知圆 与圆 之间电势差为 ，圆 半径为 ，圆 半径为 ，电子质量为 ，电荷量为 .忽略相对论效应.取 .
（1）当 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角 均为 ,最终从 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示.求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当 时，要保证电子从出射区域出射，求 的最大值.
题组六
一、选择题
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.图中 、 、 三点在同一直线上， 与 垂直，且与电场和磁场方向均垂直. 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线 运动的粒子才能进入区域Ⅱ.若区域Ⅰ中电场强度大小为 、磁感应强度大小为 ,区域Ⅱ中磁感应强度大小为 ,则粒子从 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为 .若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 ,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是( )
A. 若仅将区域 Ⅰ 中磁感应强度大小变为 ，则
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为 ,则
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
2. [2022湖北，4分，多选]在如图所示的平面内，分界线 将宽度为 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 ， 与磁场左右边界垂直.离子源从 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 成 角.已知离子比荷为 ，不计重力.若离子从 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为 ，则离子的入射速度和对应 角的可能组合为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. [2021北京，3分]如图所示，在 坐标系的第一象限内存在匀强磁场.一带电粒子在 点以与 轴正方向成 的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于 轴射出磁场.已知带电粒子质量为 、电荷量为 ， .不计重力.根据上述信息可以得出( )
A. 带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B. 带电粒子在磁场中运动的速率
C. 带电粒子在磁场中运动的时间 D. 该匀强磁场的磁感应强度
4. [2021全国乙，6分]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 、电荷量为 的带电粒子从圆周上的 点沿直径 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 ；若射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 .不计重力，则 为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
5. [2023浙江6月选考，11分]某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置(简化为与火箭绝缘的导电杆 和装置 组成，并形成闭合回路.装置 能自动调节其输出电压确保回路电流 恒定，方向如图所示.导轨长度远大于导轨间距,不论导电杆运动到什么位置，电流 在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 (其中 为常量),方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小 ,方向与 相同.火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度 进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停.已知火箭与导电杆的总质量为 ,导轨间距 ，导电杆电阻为 .导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置 的内阻.在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小 和运动的距离 ;
（2）求回路感应电动势 与运动时间 的关系;
（3）求装置 输出电压 与运动时间 的关系和输出的能量 ;
（4）若 的阻值视为0,装置 用于回收能量,给出装置 可回收能量的来源和大小.
6. [2021河北，16分]如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，极板与可调电源相连.正极板上 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 、电荷量为 .一足够长的挡板 与正极板成 倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子. 、 是负极板上的两点， 点位于 点的正上方， 点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子， 长度为 ,忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力, .
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在 点处的粒子靶上，求可调电源电压 的大小;
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 上,求电压的最小值 ;
（3）若粒子靶在负极板上的位置 点左右可调，则负极板上存在 、 两点 ， 、 两点未在图中标出),对于粒子靶在 区域内的每一点,当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到 种能量的粒子，求 和 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）.
题组七
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上 点开有一个小孔,过 的横截面是以 为圆心的圆,如图所示.一带电粒子从 点沿 射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是( )
A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心
B. 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连线
2. [2022湖北，4分，多选]如图所示，一带电粒子以初速度 沿 轴正方向从坐标原点 射入，并经过点 .若上述过程仅由方向平行于 轴的匀强电场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，到达 点的动能为 .若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，
到达 点的动能为 .下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
3. [2021海南，4分，多选]如图，在平面直角坐标系 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 .大量质量为 、电荷量为 的相同粒子从 轴上的 点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与 轴正方向的夹角为 .当 时，粒子垂直 轴离开磁场.不计粒子的重力.则( )
A. 粒子一定带正电
B. 当 时，粒子也垂直 轴离开磁场
C. 粒子入射速率为
D. 粒子离开磁场的位置到 点的最大距离为
4. [2020全国Ⅰ，6分]一匀强磁场的磁感应强度大小为 ,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径 共线， 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 、电荷量为 的粒子，在纸面内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
5. [2022河北，16分]两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示,金属板与可调电源相连形成电场,方向沿 轴正方向.在两板之间施加磁场,方向垂直 平面向外.电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示.板间 点放置一粒子源,可连续释放质量为 、电荷量为 、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量.求:
图1
图2
（1） 时刻释放的粒子,在 时刻的位置坐标;
（2）在 时间内，静电力对 时刻释放的粒子所做的功;
（3）在 点放置一粒子接收器,在 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获.
6. [2021天津，18分]霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中.长方体半导体材料厚为 、宽为 、长为 ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示.半导体中有电荷量均为 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 和 .当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，沿 方向，于是在 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 ，沿 方向.
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 方向定向移动的速率分别为 、 ，求 时间内运动到半导体 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 方向上形成的电流应满足的条件.
题组八
1. [2021辽宁，19分]如图所示，在 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场；在 区域内存在沿 轴正方向的匀强电场.质量为 、电荷量为 的粒子甲从点 由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点 、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙.（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用,忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小 ；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在 区域内加上与 区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间 ；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离 .
2. [2021全国甲，20分]如图，长度均为 的两块挡板竖直相对放置，间距也为 ，两挡板上边缘 和 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 ；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场.一质量为 ，电荷量为 的粒子自电场中某处以大小为 的速度水平向右发射，恰好从 点处射入磁场，从两挡板下边缘 和 之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞.已知粒子射入磁场时的速度方向与 的夹角为 ，不计重力
（1）求粒子发射位置到 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板 的最近距离.
3. [2020山东，14分]某型号质谱仪的工作原理如图甲所示. 、 为竖直放置的两金属板，两板间电压为 ， 板为记录板，分界面 将 、 间区域分为宽度均为 的Ⅰ、Ⅱ两部分， 、 、 、 所在平面相互平行， 、 为 、 上两正对的小孔.以 、 所在直线为 轴，向右为正方向，取 轴与 板的交点 为坐标原点，以平行于 板水平向里为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为 和 .一质量为 ，电荷量为 的粒子，从 孔飘入电场（初速度视为零），经 孔进入磁场，过 面上的 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板 上.不计粒子重力.
图甲
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径 以及 点到 轴的距离 ；
（2）求粒子打到记录板上位置的 坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的 坐标（用 、 表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点 、 、 ，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）.
图乙
4. [2020浙江7月选考，10分]某种离子诊断测量简化装置如图所示.竖直平面内存在边界为矩形 、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地. 、 、 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 水平射入磁场， 束中的离子在磁场中沿半径为 的四分之一圆弧运动后从下边界 竖直向下射出，并打在探测板的右边缘 点.已知每束每秒射入磁场的离子数均为 ，离子束间的距离均为 ,探测板 的宽度为 ，离子质量均为 、电荷量均为 ，不计重力及离子间的相互作用.
（1）求离子速度 的大小及 束中的离子射出磁场边界 时与 点的距离 ;
（2）求探测到三束离子时探测板与边界 的最大距离 ；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量 与板到 距离 的关系.
专题十一 磁 场
磁场的基本性质
题组一
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B. 形导线通以恒定电流 ,放置在磁场中.已知 边长为 ,与磁场方向垂直, 边长为 ,与磁场方向平行.该导线受到的安培力为( C )
A. 0 B. C. D.
[解析] , 对， 错
2. [2023浙江1月选考，3分]某兴趣小组设计的测量大电流的装置如图所示，通有电流 的螺绕环在霍尔元件处产生的磁场 ，通有待测电流 的直导线 垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元件处产生的磁场 .调节电阻 ，当电流表示数为 时，元件输出霍尔电压 为零，则待测电流 的方向和大小分别为( D )
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 霍尔元件输出的电压为零，则霍尔元件中的载流子不发生偏转，即霍尔元件所在处的磁感应强度为零，故螺绕环在霍尔元件处所产生磁场的磁感应强度与直导线在霍尔元件处所产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，即 ，解得 ，又由右手螺旋定则可知螺绕环在霍尔元件处产生的磁场方向竖直向下，则直导线在该处产生的磁场方向应竖直向上，由安培定则可知直导线中的电流方向由 到 ， 正确， 错误.
3. [2022江苏，4分]如图所示，两根固定的通电长直导线 、 相互垂直， 平行于纸面，电流方向向右， 垂直于纸面，电流方向向里.则导线 所受安培力方向( C )
A. 平行于纸面向上
B. 平行于纸面向下
C. 左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里
D. 左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
[解析]
4. [2022湖南，4分]如图（a），直导线 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴 上，其所在区域存在方向垂直指向 的磁场，与 距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示.导线通以电流 ，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为 .下列说法正确的是( D )
图（a） 图（b）
A. 当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由 指向
B. 电流 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C. 与电流 成正比
D. 与电流 成正比
[解析] 当导线静止在图（a）右侧时，导体棒 在重力、拉力和安培力的作用下处于平衡状态，由平衡条件可知，导体棒所受安培力指向右侧，又安培力与磁场方向垂直，所以安培力垂直于轻绳指向右上方，由左手定则可知，导线中电流方向由 指向 ， 项错误；由平衡条件有轻绳拉力 ，又 ，得 ，分析易知 、 项错误， 项正确.
5. [2021江苏，4分]在光滑水平桌面上将长为 的软导线两端固定，固定点的距离为 ，导线通有电流 ，处于磁感应强度大小为 、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为( A )
A. B. C. D.
[解析]
软导线在安培力与两固定点拉力的作用下处于平衡状态，张紧后的形状为一半圆，如图所示，由于软导线在磁场中的有效长度为 ，故受到的安培力 ，则两固定点对软导线的拉力均为 ,因此软导线中张力 ， 正确， 、 、 错误.
6. [2021全国甲，6分]两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内， 与 在一条直线上， 与 在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流 ，电流方向如图所示.若一根无限长直导线通过电流 时，所产生的磁场在距离导线 处的磁感应强度大小为 ，则图中与导线距离均为 的 、 两点处的磁感应强度大小分别为( B )
A. 、0 B. 0、 C. 、 D. 、
[解析] 根据安培定则可知沿 的等效电流产生的磁场在 点的磁感应强度方向垂直纸面向里、在 点的磁感应强度方向垂直纸面向外，且大小均为 ，沿 的等效电流产生的磁场在 、 两点的磁感应强度方向均垂直纸面向里且大小均为 ，根据磁场的叠加原理可得 点的合磁感应强度大小为 ， 点的合磁感应强度大小为 ，故选项 、 、 错误，选项 正确.
7. [2021广东，4分]截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线.若中心直导线通入电流 ，四根平行直导线均通入电流 ， ，电流方向如图所示.下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是( C )
A. B.
C. D.
[解析] 由于 ，故长管外面的四根通电平行直导线间的安培力可忽略，只考虑长管内通入电流 的直导线对长管外四根平行直导线的安培力作用，中心直导线四周产生顺时针方向的环形磁场，结合左手定则可知，通电后左右两根平行直导线挤压绝缘弹性长管靠近固定长直导线，上下两根平行直导线远离固定长直导线，选项 正确.
【光速解法】 利用“同向通电直导线相互吸引、异向通电直导线相互排斥”的结论可快速解题.
8. [2019江苏，4分，多选]如图所示,在光滑的水平桌面上, 和 是两条固定的平行长直导线,通过的电流强度相等.矩形线框位于两条导线的正中间,通有顺时针方向的电流,在 、 产生的磁场作用下静止.则 、 的电流方向可能是( CD )
A.均向左 B. 均向右
C. 的向左, 的向右 D. 的向右, 的向左
[解析] 若 、 的电流方向均向左，根据安培定则和磁场的叠加可知， 直导线到 、 直导线正中间部分的磁场方向垂直纸面向外，而 直导线到 、 直导线正中间部分的磁场方向垂直纸面向里，再根据左手定则可知，矩形线框受到的安培力的合力不为零，与题中线框在磁场作用下静止不符；同理，若 、 的电流方向均向右，可知矩形线框受到的安培力的合力不为零，与题中线框在磁场作用下静止也不符.选项 、 均错误.若 的电流方向向左、 的电流方向向右，根据安培定则和磁场的叠加可知， 、 直导线在 、 直导线中间所有空间产生的磁场方向均垂直纸面向外，根据左手定则可知，矩形线框受到的安培力的合力为零，与题中线框在磁场作用下静止相符；同理，若 的电流方向向右、 的电流方向向左，根据安培定则和磁场的叠加可知， 、 直导线在 、 直导线中间所有空间产生的磁场方向均垂直纸面向里，根据左手定则可知，矩形线框受到的安培力的合力也为零，与题中线框在磁场作用下静止相符，选项 、 均正确.
【快解秘诀】 根据“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，可快速判断C、D正确.
二、非选择题
9. [2023海南，12分]如图所示， 形金属杆上边长为 ，质量为 ，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为 的匀强磁场.
（1）若插入导电液体部分深 ，闭合电键，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度 ，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；
[答案] 对金属杆，离开液面后跳起的高度为 ，由运动学公式有
（2分）
解得 （1分）
对金属杆从刚闭合电键至其下端离液面高度为 的过程，由动能定理有 （2分）
解得 （1分）
（2）若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度 ，通电时间 ，求通过金属杆横截面的电荷量.
[答案] 对金属杆，由动量定理有 （2分）
由运动学公式有 （1分）
又 （2分）
解得 （1分）
题组二
一、选择题
1. [2022福建，6分，多选]奥斯特利用如图所示实验装置研究电流的磁效应.一个可自由转动的小磁针放在白金丝导线正下方，导线两端与一伏打电池相连.接通电源瞬间，小磁针发生了明显偏转.奥斯特采用控制变量法，继续研究了导线直径、导线材料、电池电动势以及小磁针位置等因素对小磁针偏转情况的影响.他能得到的实验结果有( AB )
A. 减小白金丝直径，小磁针仍能偏转
B. 用铜导线替换白金丝，小磁针仍能偏转
C. 减小电源电动势，小磁针一定不能偏转
D. 小磁针的偏转情况与其放置位置无关
[解析] 减小白金丝直径，仍存在电流，其产生的磁场仍能使小磁针偏转， 正确；白金丝换成铜导线，仍存在电流，产生的磁场仍能使小磁针偏转， 正确；减小电源电动势，只要导线中有电流，小磁针还是会发生偏转， 错误；通电导线产生的磁场与地磁场叠加后，其空间磁场方向与位置有关，当小磁针摆放在不同位置时其偏转情况不同， 错误.
2. [2022北京，3分]如图所示平面内，在通有图示方向电流 的长直导线右侧,固定一矩形金属线框 ， 边与导线平行.调节电流 使空间各点的磁感应强度随时间均匀增加，则( D )
A. 线框中产生的感应电流方向为
B. 线框中产生的感应电流逐渐增大
C. 线框 边所受的安培力大小恒定
D. 线框整体受到的安培力方向水平向右
[解析] 根据安培定则可知，通电直导线右侧的磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度随时间均匀增加，根据楞次定律可知线框中产生的感应电流方向为 ， 错误.线框中产生的感应电流为 ，空间各点的磁感应强度随时间均匀增加，故线框中产生的感应电流不变， 错误.线框 边感应电流保持不变，磁感应强度随时间均匀增加，根据安培力表达式 ，知所受的安培力变大， 错误.线框所处空间的磁场方向垂直纸面向里，线框中产生的感应电流方向为 ，根据左手定则可知，线框 边所受的安培力水平向右，线框 边所受的安培力水平向左， 边和 边所受的安培力大小相等、方向相反.由通电直导线的磁场分布特点可知 处的磁感应强度较大，结合安培力表达式 可知，线框整体受到的安培力方向水平向右， 正确.
3. [2022全国乙，6分，多选]安装适当的软件后,利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度 .如图,在手机上建立直角坐标系,手机显示屏所在平面为 面.某同学在某地对地磁场进行了四次测量,每次测量时 轴指向不同方向而 轴正向保持竖直向上.根据表中测量结果可推知( BC )
测量序号
1 0 21
2 0
3 21 0
4 0
A. 测量地点位于南半球 B. 当地的地磁场大小约为
C. 第2次测量时 轴正向指向南方 D. 第3次测量时 轴正向指向东方
[解析] 地磁北极在地理南极附近，地磁南极在地理北极附近，根据测量数据可知， 为负值，测量地点位于北半球， 错误；利用第1次测量的数据可得当地的地磁场大小为 ， 正确；第2次测量时 为负值， 轴正向指向南方，选项 正确；第3次测量时 为正值， 轴正向指向北方， 轴正向指向西方，选项 错误.
【温馨提示】 要注意地球表面的地磁场方向指向地理北极附近，在北半球，地磁场竖直分量向下，在南半球，地磁场竖直分量向上.
4. [2021河北，4分]如图，距离为 的两平行金属板 、 之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为 ，一束速度大小为 的等离子体垂直于磁场喷入板间.相距为 的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ，导轨平面与水平面夹角为 ，两导轨分别与 、 相连.质量为 、电阻为 的金属棒 垂直导轨放置，恰好静止.重力加速度为 ，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力.下列说法正确的是( B )
A. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
D. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
[解析] 等离子体在磁场中运动，设 两板间电压为 ，有 ,根据左手定则可知，金属板 带负电、金属板 带正电，由金属棒 静止可知，金属棒受到的安培力沿导轨向上，根据左手定则可知磁场 垂直导轨平面向下，有 ，根据闭合电路欧姆定律有 ，联立解得 ，选项 正确， 、 、 错误.
5. [2021福建，6分，多选]如图，四条相互平行的细长直导线垂直坐标系 平面，导线与坐标平面的交点为 、 、 、 四点.已知 、 、 、 为正方形的四个顶点，正方形中心位于坐标原点 ， 为 的中点且在 轴上；四条导线中的电流大小相等，其中过 点的导线的电流方向垂直坐标平面向里，其余导线的电流方向垂直坐标平面向外.则( BD )
A. 点的磁感应强度为0 B. 点的磁感应强度方向由 指向
C. 点的磁感应强度方向沿 轴正方向 D. 点的磁感应强度方向沿 轴负方向
[解析] 由安培定则可知，通电直导线 、 在 点产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，相互抵消；通电直导线 、 在 点产生的磁场方向均垂直 连线指向 ，故 点的磁感应强度不为零，方向由 指向 ,选项 错误， 正确.通电直导线 、 在 点产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，相互抵消；通电直导线 、 在 点产生磁场的磁感应强度大小相等、方向分别垂直 连线和 连线，二者的合磁场方向沿 轴负方向，故选项 错误， 正确.
6. [2021浙江6月选考，6分，多选]如图所示，有两根用超导材料制成的长直平行细导线 、 ，分别通以 和 、流向相同的电流,两导线构成的平面内有一点 ，到两导线的距离相等.下列说法正确的是( BCD )
A. 两导线受到的安培力
B. 导线所受的安培力可以用 计算
C. 移走导线 前后, 点的磁感应强度方向改变
D. 在离两导线平面有一定距离的有限空间内,不存在磁感应强度为零的位置
[解析] 、 导线受到的安培力是相互作用力，所以大小应该相等，选项 错误；根据通电直导线的磁场分布特点，导线所受的安培力可以用 进行计算，选项 正确；根据右手定则可知， 在 处产生的磁场方向垂直纸面向外，而 在该处产生的磁场方向垂直纸面向里，由于 导线中电流强，所以合磁场方向垂直纸面向里，若撤走 导线，则 点的磁场方向垂直纸面向外，故选项 正确；根据通电直导线的磁场分布特点，两导线所在平面内存在一条磁感应强度为零的线，但在两导线所在平面外的有限空间内不可能存在磁感应强度为零的地方，选项 正确.
二、非选择题
7. [2022上海，4分]如图，四根电阻均匀分布且相等的电阻丝连接成一个闭合的正方形线框, 为正方形线框的中心.当大小为 的电流从 点流入、 点流出时， 边在 点产生的磁场方向为 （选填“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）.已知直导线在 点产生的磁感应强度大小与流经导线的电流大小成正比，若 边在 点产生的磁场的磁感应强度为 ,则整个线框在 点产生的磁场的磁感应强度大小为 .
[答案] 垂直纸面向外（2分）; 0（2分）
[解析] 当大小为 的电流从 点流入、 点流出时，根据安培定则可知， 边在 点产生的磁场方向为垂直纸面向外.由于四根电阻丝电阻相等，设每根电阻丝的电阻为 ， 边电流为 ， 边、 边、 边电流为 ，根据并联电路规律有 ，解得 .根据安培定则可知， 边、 边、 边在 点产生的磁场方向都是垂直纸面向里，由于 正比于 ，则 边、 边、 边在 点产生的磁场的磁感应强度大小均为 ，根据磁场叠加原理可知，整个线框在 点产生的磁场的磁感应强度大小为 .
磁场对运动电荷的作用
题组三
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是( A )
A. 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B. 小球运动过程中的速度不变
C. 小球运动过程中的加速度保持不变
D. 小球受到的洛伦兹力对小球做正功
[解析] 小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右， 对；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为零，所以小球运动过程中的速度变化， 错；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化， 错；洛伦兹力永不做功， 错.
2. [2023全国乙，6分]如图，一磁感应强度大小为 的匀强磁场，方向垂直于纸面（ 平面）向里，磁场右边界与 轴垂直.一带电粒子由 点沿 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于 轴的接收屏上的 点； , 与屏的距离为 ，与 轴的距离为 .如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为 的匀强电场，该粒子入射后则会沿 轴到达接收屏.该粒子的比荷为( A )
A. B. C. D.
[解析]
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示
3. [2022海南，3分]如图，两块圆弧形金属板间存在方向指向圆心 的电场，与 点等距处电场强度大小相等.一束正离子流沿纸面垂直电场方向以相同速度射入电场，其中一部分离子能沿着某一等势面通过电场，然后进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，则这部分离子中，沿相同轨迹通过磁场的离子都具有相同的( C )
A. 质量 B. 电荷量 C. 比荷 D. 动能
[解析]
4. [2021福建，4分]一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示.一质子 以速度 自 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动.下列粒子分别自 点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（所有粒子均不考虑重力的影响） ( B )
A. 以速度 射入的正电子 B. 以速度 射入的电子
C. 以速度 射入的氘核 D. 以速度 射入的 粒子
[解析] 根据题述，质子 以速度 自 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，可知质子所受的电场力和洛伦兹力平衡，即 .因此凡是满足速度 的粒子都能够做匀速直线运动，所以选项 正确.
二、非选择题
5. [2023辽宁，13分]如图，水平位置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍.金属板外有一圆心为 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.质量为 、 电荷量为 的粒子沿中线以速度 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 点飞出电场，并沿 方向从图中 点射入磁场.已知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力.
（1）求金属板间电势差 .
[答案] 设平行金属板间距为 ，则平行金属板板长为 （1分）
粒子在两平行金属板间做类平抛运动
水平方向： （1分）
竖直方向： （1分）
又 （1分）
联立解得 （1分）
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 .
[答案] 粒子进入磁场时的速度 （1分）
设其与水平方向的夹角为 ，则 ,即 由 得，粒子在磁场中做圆周运动的半径 （1分）
已知磁场圆半径 ,则 （1分）
作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图1所示
粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可得 （1分）
故 （1分）
图1
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中 点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长.定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心 .
[答案] 根据几何关系，将磁场圆绕 点顺时针旋转，当 点转到 点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长.作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的圆心 ，如图2所示.（3分）
图2
6. [2023浙江1月选考，11分]探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示. 轴上方存在垂直 平面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场. 轴下方的分析器由两块相距为 、长度足够的平行金属薄板 和 组成，其中位于 轴的 板中心有一小孔 （孔径忽略不计）， 板连接电流表后接地.位于坐标原点 的离子源能发射质量为 、电荷量为 的正离子，其速度方向与 轴夹角最大值为 ；且各个方向均有速度大小连续分布在 和 之间的离子射出.已知速度大小为 、沿 轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直 轴射入孔 .未能射入孔 的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）.不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞.
（1）求孔 所处位置的坐标 ；
[答案] 离子在磁场中做圆周运动，根据由洛伦兹力提供向心力可得
（1分）
（1分）
（2）求离子打在 板上区域的长度 ；
[答案] 如图所示，与 轴夹角为 的离子经磁场偏转后进入孔 后仍与 轴成 角
（1分）
（1分）
进入孔 后离子速度方向与 轴的最大夹角为
，即
由几何关系可得 （1分）
（3）若在 与 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压 ；
[答案] 进入孔 的离子速度大小 及其与 轴夹角 必须满足
（1分）
由动能定理可得
（1分）
解得 （1分）
（4）若将分析器沿着 轴平移，调节加载在 与 板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压 与孔 位置坐标 之间关系式.
[答案] 由上述分析及离子速度方向、大小的范围可知，离子经偏转后能进入孔 的位置范围为 （1分）
且
由动能定理得 （1分）
解得 （1分）
题组四
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分）一电子和一 粒子从铅盒上的小孔 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 上的 和 两点， 点在小孔 的正上方， 点在 点的右侧，如图所示.已知 粒子的速度约为电子速度的 ,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为( C )
A. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B. 电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D. 电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
[解析] 假设电子打在 点，即其所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，故 ，由于 粒子的速度 小于电子的速度 ，所以 ， 粒子经过电、磁组合场后向右偏转，即其所受合力方向向右，由于 粒子带正电，所以电场方向水平向右， 错误；电子所受电场力方向水平向左，则其所受洛伦兹力方向水平向右，则磁场方向垂直纸面向里， 错误， 正确.假设 粒子打在 点，同样可以得出 正确.
【考情速递】 题目源自速度选择器模型，根据两种粒子在速度选择器中运动的轨迹情况及两种粒子的速度特点反推电场、磁场方向的可能情况，考查逻辑推理能力，需要经过猜想、验证、再猜想、再验证的过程.
2. [2022北京，3分]正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷.在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示.下列说法正确的是( A )
A. 磁场方向垂直于纸面向里 B. 轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C. 轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大 D. 轨迹3对应的粒子是正电子
[解析]
3. [2022重庆，4分]2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为 ，磁感应强度大小为 .若某电荷量为 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为 ，垂直于磁场方向的分量大小为 ，不计离子重力，则( D )
A. 电场力的瞬时功率为 B. 该离子受到的洛伦兹力大小为
C. 与 的比值不断变大 D. 该离子的加速度大小不变
[解析]
4. [2021湖北，4分，多选]一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成 、 和 三个微粒， 和 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示， 未在图中标出.仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是( BC )
A. 带负电荷 B. 带正电荷
C. 带负电荷 D. 和 的动量大小一定相等
[解析] 由左手定则可知，粒子 、粒子 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应保持不变，则粒子 应带负电， 错误， 、 正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即 ，解得 ，由于粒子 与粒子 的电荷量大小关系未知，则粒子 与粒子 的动量大小关系不确定， 错误.
二、非选择题
5. [2023江苏，15分]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型. 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 .质量为 、电荷量为 的电子从 点沿 轴正方向水平入射.入射速度为 时,电子沿 轴做直线运动;入射速度小于 时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.
（1）求电场强度的大小 ;
[答案] 电子沿 轴做直线运动，则电子受平衡力的作用，即
（2分）
解得 （1分）
（2）若电子入射速度为 ,求运动到速度为 时位置的纵坐标 ;
[答案] 电子在电、磁叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由 到 的过程，由动能定理得
（2分）
联立解得 （1分）
（3）若电子入射速度在 范围内均匀分布,求能到达纵坐标 位置的电子数 占总电子数 的百分比.
[答案] 设电子的入射速度为 时刚好能达到纵坐标为 的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为 ，则
电子在最低点的合力为 （1分）
电子在最高点的合力为 （1分）
由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等，即 （1分）
整理得
电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得
（1分）
整理得
解得 （2分）
又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大（1分）
则能到 的位置的电子数占总电子数的比例为
（1分）
解得 （1分）
6. [2022江苏，8分]利用云室可以知道带电粒子的性质.如图所示，云室中存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，一个质量为 、速度为 的电中性粒子在 点分裂成带等量异号电荷的粒子 和 ， 、 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比 ，半径之比 .不计重力及粒子间的相互作用力.求：
（1）粒子 、 的质量之比 ；
[答案] 分裂后带电粒子在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 （1分）
解得 （1分）
由题干知半径之比
故 （1分）
因为相同时间内的径迹长度之比
则分裂后粒子在磁场中的速度之比为
（1分）
联立解得 （1分）
（2）粒子 的动量大小 .
[答案] 中性粒子在 点分裂成带等量异号电荷的粒子 和 ，分裂过程中，没有外力作用，动量守恒，根据动量守恒定律有 （1分）
因为分裂后动量关系为 （1分）
联立解得 （1分）
【图形剖析】
题组五
一、选择题
1. [2023海南，4分，多选]如图所示，质量为 、带电荷量为 的带电粒子，从坐标原点 以初速度 射入第一象限内的电、磁场区域，在 , 、 为已知量)区域内有竖直向上的匀强电场，在 区域内有垂直纸面向里、大小为 的匀强磁场，控制电场强度 值有多种可能)，可让粒子从 射入磁场后偏转打到足够长的接收器 上，不计重力，则( AD )
A. 粒子从 中点射入磁场，电场强度
B. 粒子从 中点射入磁场时的速度
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到 的距离为
D. 粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是
[解析] 若粒子从 中点射入磁场，在电场中，水平方向有 ，竖直方向有 ，解得 ， 对；粒子在电场中运动，由动能定理有 ，结合 项分析可得 ， 错；粒子在电场中的运动过程，竖直方向有 ，粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有 ，设粒子从电场中射出时的速度方向与 轴正方向的夹角为 ，根据几何关系可知，圆心到 的距离为 ， 错；经分析可知，粒子从 点进入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径最大，在电场中运动时，水平方向有 ，竖直方向有 ，由动能定理有 ，粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有 ，联立解得 ， 对.
2. [2022辽宁，6分，多选]粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两个粒子先后从 点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的 点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的 点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是( AD )
A. 粒子1可能为中子
B. 粒子2可能为电子
C. 若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的 点
D. 若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的 点
[解析] 由于粒子1在磁场中沿直线运动，则粒子1不带电，因此粒子1可能为中子， 正确；粒子2在磁场中向上偏转，由左手定则可知，粒子2一定带正电， 错误；由于粒子1不带电，在磁场中不发生偏转，增大磁感应强度，粒子1仍打在 点， 错误；由 得 ，若增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的轨迹半径增大，粒子2可能打在探测器上的 点， 正确.
3. [2022全国甲，6分]空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面 平面)向里，电场的方向沿 轴正方向.一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点 由静止开始运动.下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是( B )
A.
B.
C.
D.
[解析] 分析可知，开始一段较短时间内，粒子具有沿 方向的速度，由左手定则可知，粒子应向左侧偏转， 、 项错误；由于粒子所受电场力沿 方向，且粒子初速度为零、初始位置在坐标原点，故粒子运动轨迹的最低点在 轴上， 项错误， 项正确.
二、非选择题
4. [2023浙江6月选考，11分]利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术.如图所示, 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为 、边界均平行 轴的区域Ⅰ和Ⅱ ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为 的匀强磁场，区域Ⅱ 存在磁感应强度大小为 的磁场，方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ 的下边界与 轴重合.位于 处的离子源能释放出质量为 、电荷量为 、速度方向与 轴夹角为 的正离子束,沿纸面射向磁场区域.不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应.
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度 及其在磁场中的运动时间 ;
[答案] 离子恰不进入区域Ⅱ时的速度为离子不进入区域Ⅱ的最大速度，作出其此时的运动轨迹，如图1所示
由轨迹图中的几何关系得 （1分）
解得
由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得
由图1的几何关系可得运动轨迹所对圆心角为
则离子在磁场中的运动时间 （1分）
图1
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度 ;
[答案] 解法一 作出离子恰好能到达 处的运动轨迹，如图2所示
若 ，由 可知离子在区域Ⅰ中的运动轨迹半径为
图2
由几何关系可等效为 时离子恰好运动到 处，如图3（1分）
图3
由轨迹图中几何关系可得 （1分）
解得
离子在区域Ⅰ磁场中运动，有 （1分）
解得 （1分）
解法二 当离子运动到 处时的速度方向水平向右时，速度最小，设为 ，又 ，则由 可知
作出离子的轨迹如图所示
由几何关系可知
设 ，在 中
又由几何关系得
解得
结合 可解得
（3）若 ,且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 ~ 范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比 .
[答案] 解法一 由区域Ⅱ中磁场磁感应强度 ,可知其可等效为匀强磁场，磁感应强度为 ，若再把区域Ⅱ中磁场等效为磁感应强度为 的匀强磁场，则磁场宽度则等效为 .画出恰好不能进入第四象限的离子运动轨迹，如图4
图4
由轨迹图中几何关系得 （1分）
解得
由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得
即速度大于 的离子都能够进入第四象限（1分）
进入第四象限的离子数与总离子数之比为 （1分）
解法二 离子在水平方向上的洛伦兹力
在磁场Ⅰ中，由动量定理得
则
即
在磁场Ⅱ中，由动量定理得
则
即
故在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中有
解得
又速度越小，离子越不容易进入第四象限
所以 时离子进入第四象限
故
5. [2021广东，15分]如图所示是一种花瓣形电子加速器简化示意图.空间有三个同心圆 、 、 围成的区域，圆 内为无场区，圆 与圆 之间存在辐射状电场，圆 与圆 之间有三个圆心角均略小于 的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能 从圆 上 点沿径向进入电场.电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速.已知圆 与圆 之间电势差为 ，圆 半径为 ，圆 半径为 ，电子质量为 ，电荷量为 .忽略相对论效应.取 .
（1）当 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角 均为 ,最终从 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示.求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在 点出射时的动能；
[答案] 根据题述情境，由动能定理得电子在Ⅰ区磁场中运动的动能为 （1分）
解得 （1分）
由几何关系得 ，解得电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹半径 （1分）
电子在Ⅰ区匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得
（1分）
解得Ⅰ区的磁感应强度大小 （1分）
电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹所对圆心角为
（1分）
则电子在Ⅰ区磁场中的运动时间 （1分）
电子总共经过8次加速，由动能定理得 （1分）
解得电子在 点出射时的动能 （1分）
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当 时，要保证电子从出射区域出射，求 的最大值.
[答案] 电子运动轨迹与Ⅰ区磁场外边界相切时 最大，由几何关系得
（1分）
解得电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹半径 （1分）
电子在Ⅰ区匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得
（1分）
解得 （1分）
由动能定理得 （1分）
即 ，解得 的最大值为 （1分）
题组六
一、选择题
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.图中 、 、 三点在同一直线上， 与 垂直，且与电场和磁场方向均垂直. 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线 运动的粒子才能进入区域Ⅱ.若区域Ⅰ中电场强度大小为 、磁感应强度大小为 ,区域Ⅱ中磁感应强度大小为 ,则粒子从 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为 .若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 ,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是( D )
A. 若仅将区域 Ⅰ 中磁感应强度大小变为 ，则
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为 ,则
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ,则
[解析] 粒子在Ⅰ中 粒子在Ⅱ中运动的轨迹半径为
所用时间
仅将 变为 从 的四等分点处竖直向下射出
仅将 变为 从 点竖直向下射出
粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图1所示
粒子转过的圆心角均为 ，粒子在Ⅱ中运动的时间仍为 ， 错
图1
仅将 变为 半径 ，粒子从 边离开，如图2所示 对应圆心角的正弦值 粒子转过圆心角 粒子运动时间 ， 错
图2
仅将 变为 半径 ，粒子从 边离开,如图3所示 对应圆心角的正弦值 粒子转过圆心角 粒子运动时间 , 对
图3
2. [2022湖北，4分，多选]在如图所示的平面内，分界线 将宽度为 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 ， 与磁场左右边界垂直.离子源从 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 成 角.已知离子比荷为 ，不计重力.若离子从 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为 ，则离子的入射速度和对应 角的可能组合为( BC )
A. ， B. ， C. ， D. ，
[解析] 若 ，则半径 ,则轨迹如图甲所示，从图中可以看出 ，选项 错误；若 ，则半径 ,则轨迹如图乙所示，从图中可以看出 ，选项 正确；若 ，则半径 ,则轨迹如图丙所示，从图中可以看出 ，选项 正确；若 ，则半径 ,则轨迹如图丁所示，从图中可以看出离子不从 点射出，选项 错误.
图甲 图乙
图丙 图丁
3. [2021北京，3分]如图所示，在 坐标系的第一象限内存在匀强磁场.一带电粒子在 点以与 轴正方向成 的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于 轴射出磁场.已知带电粒子质量为 、电荷量为 ， .不计重力.根据上述信息可以得出( A )
A. 带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B. 带电粒子在磁场中运动的速率
C. 带电粒子在磁场中运动的时间 D. 该匀强磁场的磁感应强度
[解析] 如图，找出轨迹圆心 ，画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，利用三角函数知识求出轨迹半径 ，则轨迹方程为 ，故 正确；由洛伦兹力提供向心力有 ，故 ，因为 和 均未知，故选项 、 错误；因为 ， 未知，不能求出周期 ，故不能求出带电粒子在磁场中运动的时间， 错误.
4. [2021全国乙，6分]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 、电荷量为 的带电粒子从圆周上的 点沿直径 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 ；若射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 .不计重力，则 为( B )
A. B. C. D.
[解析] 设圆形磁场区域的半径为 ，沿直径 方向以速度 射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转 ，则其轨迹半径为 ，由洛伦兹力提供向心力得 ，解得 ；沿直径 方向以速度 射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转 ，由几何关系得 ，可得其轨迹半径为 ，由洛伦兹力提供向心力得 ，解得 ,则 ，选项 正确.
二、非选择题
5. [2023浙江6月选考，11分]某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置(简化为与火箭绝缘的导电杆 和装置 组成，并形成闭合回路.装置 能自动调节其输出电压确保回路电流 恒定，方向如图所示.导轨长度远大于导轨间距,不论导电杆运动到什么位置，电流 在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 (其中 为常量),方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小 ,方向与 相同.火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度 进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停.已知火箭与导电杆的总质量为 ,导轨间距 ，导电杆电阻为 .导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置 的内阻.在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小 和运动的距离 ;
[答案] 导电杆所受的安培力大小 （1分）
又 、
整理得 （1分）
火箭落停过程中，由牛顿第二定律得 （1分）
解得
由运动学公式可得，火箭运动的距离
解得 （1分）
（2）求回路感应电动势 与运动时间 的关系;
[答案] 导电杆向下运动的速度为 （1分）
则回路中的感应电动势为
又
整理得 （1分）
（3）求装置 输出电压 与运动时间 的关系和输出的能量 ;
[答案] 由于电路中的电流恒为 ，导电杆下滑过程中的总电动势为
且有
整理得 （1分）
装置 输出的功率为
初始时刻， ,
到达停靠平台时， ,
由 关系可知，
则在火箭落停过程中，装置 输出的能量为
（1分）
（4）若 的阻值视为0,装置 用于回收能量,给出装置 可回收能量的来源和大小.
[答案] 可回收能量的来源为导电杆和火箭机械能的减少（1分）
由能量守恒定律得 （1分）
又由（1）得
整理得 （1分）
6. [2021河北，16分]如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，极板与可调电源相连.正极板上 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 、带正电的粒子束，单个粒子的质量为 、电荷量为 .一足够长的挡板 与正极板成 倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子. 、 是负极板上的两点， 点位于 点的正上方， 点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子， 长度为 ,忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力, .
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在 点处的粒子靶上，求可调电源电压 的大小;
[答案] 粒子由 到 的过程，根据动能定理有
（1分）
根据几何关系可知带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径
（1分）
根据牛顿第二定律有 （1分）
联立解得 （2分）
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 上,求电压的最小值 ;
[答案] 恰好不打在 上的粒子的运动轨迹如图1所示，设粒子在上方磁场的轨迹半径为 ，在下方磁场中的轨迹半径为 ，则 （1分）
（1分）
粒子进入下方磁场的速度为 ，则
（1分）
根据几何关系有 （1分）
联立解得 （2分）
图1
（3）若粒子靶在负极板上的位置 点左右可调，则负极板上存在 、 两点 ， 、 两点未在图中标出),对于粒子靶在 区域内的每一点,当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到 种能量的粒子，求 和 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）.
[答案] 根据题意可知，当粒子在下方磁场中的运动轨迹与 刚好相切时，再进入上方磁场做圆周运动，从上方打在板上，与上板交点为 ,此位置为距 最近且满足题意的位置，如图2所示，设在上方磁场中运动的轨迹半径为
在下方磁场有 （1分）
可得 （1分）
根据几何关系有
可得 （1分）
则 （1分）
当电压在此值基础上再增大时，在 右侧均可满足题意，故 趋近于 （1分）
图2
题组七
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上 点开有一个小孔,过 的横截面是以 为圆心的圆,如图所示.一带电粒子从 点沿 射入,然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是( BD )
A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心
B. 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连线
[解析] 假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况.如图1所示，由几何关系可知 ，所以 ,又粒子沿直径射入， ，则 ， ,则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连线， 对；粒子在圆筒中先做圆周运动，与圆筒碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心， 错；粒子最少与圆筒碰撞2次，就可能从小孔射出，如图2所示， 对；根据 可知， ,则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与圆筒碰撞次数可能会增多，在圆内运动的时间不一定越短，如图3所示， 错.
图1 图2
图3
2. [2022湖北，4分，多选]如图所示，一带电粒子以初速度 沿 轴正方向从坐标原点 射入，并经过点 .若上述过程仅由方向平行于 轴的匀强电场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，到达 点的动能为 .若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从 到 运动的时间为 ，
到达 点的动能为 .下列关系式正确的是( AD )
A. B. C. D.
[解析] 若题述过程由方向平行于 轴的匀强电场实现，则粒子在 方向不受外力作用，做匀速运动， ，根据动能定理得 ，解得 ；若题述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，则粒子在 方向受沿 负方向的洛伦兹力的分力 作用，做减速运动，所以 ，因为洛伦兹力不做功，根据动能定理可得 .综上所述，选项 正确， 错误.
【技巧点拨】 根据电场力做正功，洛伦兹力不做功，很容易得出动能关系 .判断时间大小关系时，可以将运动分解到 轴方向和 轴方向，可知电场中沿 轴方向粒子做匀速直线运动，而在磁场中沿 轴方向粒子做减速运动，故在磁场中沿 轴方向运动相同位移所用时间更长.
3. [2021海南，4分，多选]如图，在平面直角坐标系 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 .大量质量为 、电荷量为 的相同粒子从 轴上的 点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与 轴正方向的夹角为 .当 时，粒子垂直 轴离开磁场.不计粒子的重力.则( ACD )
A. 粒子一定带正电
B. 当 时，粒子也垂直 轴离开磁场
C. 粒子入射速率为
D. 粒子离开磁场的位置到 点的最大距离为
[解析] 由于粒子垂直 轴离开磁场，故粒子向下偏转，由左手定则可知粒子带正电， 项正确；当 时，粒子运动轨迹如图中轨迹2所示，粒子不再垂直 轴射出磁场， 项错；粒子在磁场中运动，有 ，由几何关系可知 ，所以粒子的速率 ， 项正确； 粒子离开磁场的位置到 点的距离最大时，入射点与出射点间距离为 ，所以出射点到 的最大距离为 ， 项正确.
【关键点拨】 首先作出入射速度的垂线，与 轴的交点 为入射角为 粒子的轨迹圆心，连接 、 即得粒子轨迹半径 ,由几何关系可知 ；当入射角为 时，结合半径用相同的方法找出粒子的轨迹圆心，由于圆心不在 轴上，故出射点一定不垂直 轴，B项错；当粒子离开磁场的位置到 点距离最大时，粒子在磁场中运动轨迹对应的弦为直径，由此确定出射点到 点的最大距离.
4. [2020全国Ⅰ，6分]一匀强磁场的磁感应强度大小为 ,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径 共线， 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 、电荷量为 的粒子，在纸面内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( C )
A. B. C. D.
[解析] 带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有 ，解得 ，运动时间 ， 为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定.采用放缩法，粒子垂直 射入磁场，则轨迹圆圆心必在 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当 为 的半径)和 时，粒子从 、 区域射出磁场，运动时间等于半个周期.当 时，粒子从弧 上射出，轨迹半径从 逐渐增大，粒子射出位置从 点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从 逐渐增大，当半径为 时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对圆心角又逐渐减小，由几何关系可得圆心角最大值为 ，故粒子最长运动时间为 .
二、非选择题
5. [2022河北，16分]两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示,金属板与可调电源相连形成电场,方向沿 轴正方向.在两板之间施加磁场,方向垂直 平面向外.电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示.板间 点放置一粒子源,可连续释放质量为 、电荷量为 、初速度为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量.求:
图1
图2
（1） 时刻释放的粒子,在 时刻的位置坐标;
[答案] 由题图2可知,在 时间内,电场沿 轴正方向,粒子初速度为零,粒子沿 轴正方向做匀加速直线运动,粒子沿 轴正方向的位移 （1分）
粒子在 时刻的速度
在 ~ 时间内,只有磁场,粒子做匀速圆周运动
粒子做匀速圆周运动的周期
粒子做圆周运动的时间为
粒子做圆周运动的轨迹半径 （1分）
粒子在 时间内的运动轨迹如图甲所示,可知粒子在 时刻的位置坐标为 （1分）
图甲
（2）在 时间内，静电力对 时刻释放的粒子所做的功;
[答案] 粒子在 时间内的运动轨迹如图乙所示.
时间内,静电力对粒子做的功 （1分）
~ 时间内，粒子沿 轴正方向的位移
则 ~ 时间内，静电力对粒子做的功 （1分）
粒子在 时刻的速度大小
~ 时间内，粒子沿 轴正方向的位移
粒子在 时刻的速度 （1分）
则 ~ 时间内，静电力对粒子做的功 （1分）
则 时间内，静电力对粒子所做的功为
（1分）
图乙
（3）在 点放置一粒子接收器,在 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获.
[答案] 结合（1）中分析有 , .
①若在 之间的 时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图丙所示，有
（1分）
（1分）
结合上述分析有 （1分）
整理得
要使粒子能被捕获需满足 ，代入数据，当 时不等式成立.（1分）
②若在 ~ 之间某时刻释放，先考虑加速两次的情况
同理可得, ,所以无解.（1分）
仅加速一次的情况，分析可知， ~ 时间内粒子一直加速时，加速后在磁场中的运动半径恰好等于 ,则运动半个周期后，横坐标恰好为 ，则有
分析可知 （1分）
则仅加速一次时无解
③若在 ~ 之间某时刻释放，且粒子能在电场存在期间被捕获，分析可知粒子只能经过一次加速
粒子在磁场存在时做圆周运动的轨迹半径为
由圆周运动规律可得粒子的速度大小为 （1分）
粒子在电场中加速过程的位移为
粒子要能被捕获需满足
分析可知 满足要求
则粒子释放的时刻为 （1分）
图丙
6. [2021天津，18分]霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中.长方体半导体材料厚为 、宽为 、长为 ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示.半导体中有电荷量均为 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 和 .当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，沿 方向，于是在 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 ，沿 方向.
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
[答案] 由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿 方向（2分）
（2）若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ；
[答案] 设 时间内流过半导体垂直于 轴某一横截面自由电子的电荷量为 ，由电流定义式，有 （1分）
设自由电子在 方向上定向移动速率为 ，则
（1分）
可导出自由电子的电流微观表达式为 （2分）
单个自由电子所受洛伦兹力大小为 （2分）
霍尔电场力大小为 （2分）
自由电子在 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，则有
解得其合力大小为 （2分）
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 方向定向移动的速率分别为 、 ，求 时间内运动到半导体 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 方向上形成的电流应满足的条件.
[答案] 设 时间内在 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 、空穴数为 ，则 （2分）
（2分）
霍尔电场建立后，半导体 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则有
，即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在 方向形成的电流应大小相等、方向相反.（2分）
题组八
1. [2021辽宁，19分]如图所示，在 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场；在 区域内存在沿 轴正方向的匀强电场.质量为 、电荷量为 的粒子甲从点 由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点 、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙.（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用,忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小 ；
[答案] 根据题述，粒子甲进入匀强磁场后（与乙碰撞前）的轨迹半径 ，由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得粒子甲进入匀强磁场时的速度 （1分）
粒子在匀强电场中加速运动，由动能定理有 （1分）
解得 （1分）
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在 区域内加上与 区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间 ；
[答案] 甲、乙两粒子发生弹性碰撞，由动量守恒定律有
（1分）
由机械能守恒定律有 （1分）
联立解得 , （1分）
碰撞后，粒子乙在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 （1分）
解得 （1分）
粒子甲在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
解得
甲、乙两粒子沿相同轨迹做匀速圆周运动，甲的运动周期
（1分）
乙的运动周期 （1分）
又 （1分）
解得 （1分）
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离 .
[答案] 两粒子碰撞后，粒子乙运动 后离开第一象限，在此过程中，粒子甲运动轨迹对应的弧长
（1分）
又 （1分）
则轨迹所对的圆心角 （1分）
撤去磁场和电场后，粒子甲、乙均做匀速直线运动.加上磁场后，两粒子轨迹恰好不相交，画出粒子运动轨迹如图，由几何关系可知， ， ， ，且 ，在三角形 中，由余弦定理有 （2分）
解得 （1分）
2. [2021全国甲，20分]如图，长度均为 的两块挡板竖直相对放置，间距也为 ，两挡板上边缘 和 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 ；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场.一质量为 ，电荷量为 的粒子自电场中某处以大小为 的速度水平向右发射，恰好从 点处射入磁场，从两挡板下边缘 和 之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞.已知粒子射入磁场时的速度方向与 的夹角为 ，不计重力
（1）求粒子发射位置到 点的距离；
[答案] 画出粒子在电场中的运动轨迹，如图1，有
（1分）
, （1分）
, （1分）
从发射位置到 点的距离 （1分）
解得 （1分）
图1
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
[答案] 磁感应强度 较大时，设粒子恰好从 点射出，轨迹半径为 ，在板间的轨迹如图2，则由几何关系有
（1分）
（1分）
图2
结合（1）中分析，有 （1分）
解得 （1分）
磁感应强度 最小时，粒子轨迹恰好过 点，设轨迹半径为 ，如图3
（2分）
（1分）
解得 （1分）
故 （1分）
图3
（3）若粒子正好从 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板 的最近距离.
[答案] 设此情况粒子轨迹半径为 ，画出从 中点 出射粒子的轨迹，过 点作 的垂线，垂足为 ,如图4根据几何知识可知最近距离
（2分）
又 （2分）
解得
得最近距离 （2分）
图4
【一题多解】 能量角度： ，根据动能定理得 ，又有 ， ，联立解得 .
动量角度： ，根据动量定理得 ，又有 ， ， ，联立解得 .
3. [2020山东，14分]某型号质谱仪的工作原理如图甲所示. 、 为竖直放置的两金属板，两板间电压为 ， 板为记录板，分界面 将 、 间区域分为宽度均为 的Ⅰ、Ⅱ两部分， 、 、 、 所在平面相互平行， 、 为 、 上两正对的小孔.以 、 所在直线为 轴，向右为正方向，取 轴与 板的交点 为坐标原点，以平行于 板水平向里为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为 和 .一质量为 ，电荷量为 的粒子，从 孔飘入电场（初速度视为零），经 孔进入磁场，过 面上的 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板 上.不计粒子重力.
图甲
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径 以及 点到 轴的距离 ；
[答案] 设粒子经加速电场到 孔的速度大小为 ，粒子在区域Ⅰ中，做匀速圆周运动对应圆心角为 ，在 、 两金属板间，由动能定理得 ①（1分）
在区域Ⅰ中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得 ②（1分）
联立①②式得 ③
由几何关系得
④
⑤
⑥
联立①②④式得 ⑦（2分）
（2）求粒子打到记录板上位置的 坐标；
[答案] 设区域Ⅱ中粒子沿 轴方向的分速度为 ，沿 轴正方向加速度大小为 ，位移大小为 ，运动时间为 ，由牛顿第二定律得
⑧（1分）
粒子在 轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
⑨（1分）
⑩（1分）
粒子在 方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
（1分）
联立①②⑤⑧⑨⑩ 式得 （2分）
（3）求粒子打到记录板上位置的 坐标（用 、 表示）；
[答案] 设粒子沿 方向偏离 轴的距离为 ，其中在区域Ⅱ中沿 方向偏离的距离为 ,由运动学公式得
由题意得
联立①④⑥⑨⑩ 式得
（2分）
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点 、 、 ，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）.
图乙
[答案] 、 、 分别对应氚核 、氦核 、质子 的位置（2分）
4. [2020浙江7月选考，10分]某种离子诊断测量简化装置如图所示.竖直平面内存在边界为矩形 、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地. 、 、 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子
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